CC BY
7
УДК 539.3
DOI: 10.18303/2618-981X-2018-6-287-297
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ИСТОЧНИКА ВОЗМУЩЕНИЙ И НДС МАССИВА ПОРОД ВОКРУГ НЕГО ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ СМЕЩЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ. Ч. 2. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, зав. кафедрой математики и естественных наук, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ольга Евгеньевна Белоусова
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: o.e.belousova@mail.ru
Лариса Ивановна Торгашова
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, старший преподаватель кафедры математики и естественных наук, тел. (383)243-94-75, e-mail: aspirant_igd@mail.ru
Рассматривается динамическая задача теории упругости с заданными на границе полупространства граничными условиями (заданы одновременно и вектор напряжений Коши и вектор смещений, зависящие от координат поверхности и времени). Задание начальных условий при этом не предполагается. Требуется по граничным условиям задачи восстановить напряженно-деформированное состояние массива пород с определением в нем источника возмущений и интенсивности его воздействия. Строятся конечно-разностный алгоритм решения задачи, программа для вычислений. Для проверки расчетной схемы используются результаты решения тестового примера. Показывается удовлетворительное согласие численного решения с аналитическим. Далее рассматривается задача с границей полупространства, свободной от напряжений и заданными на ней смещениями. Также определяется напряженно-деформированное состояние полупространства и источник возмущения в нем.
Ключевые слова: конечно-разностная схема, алгоритм, программа, напряжения на границе, смещения, интенсивность источника возмущения, уравнения теории упругости, численные и аналитические решения.
DETERMINATION OF THE POSITION OF SOURCE OF PERTURBANCY AND VAT THE ROCK MASSES ARE AROUND IT FROM THE DATA OF MEASUREMENTS OF OFFSETS ON THE EARTH'S SURFACE. P. 2. FINITE-DIFFERENCE SCHEME CONSTRUCTION
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher; Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Head of Mathematics and Natural Sciences Department, phone: (383)243-94-75, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Olga E. Belousova
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Ph. D., Senior Researcher, phone: (383)335-97-50, e-mail: o.e.belousova@mail.ru
Larisa I. Torgashova
Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Senior Lecturer, Department of Mathematics and Natural Sciences, phone: (383)243-94-75, e-mail: aspirant_igd@mail.ru
The article studies the dynamic problem of the elasticity theory with the given half-space boundary conditions (both the Cauchy stress vector and the displacement vector are defined simultaneously depending on the coordinates of the surface and time). The initial conditions are not assumed here. It is required by the boundary conditions of the problem to restore the stressstrain state of the rock mass with the definition of the disturbance source and its impact intensity. A finite-difference algorithm solving the problem is constructed as well as a program for calculations. To check the calculation scheme the results of the solution of the test example are used. A satisfactory agreement between the numerical solution and the analytical solution is shown. Then, the authors consider the problem with the stress-free boundary of a half-space with the specified shifts. Also, the stress-strain state of the half-space and the disturbance source in it are determined.
Key words: finite-difference scheme, algorithm, program, boundary stress, displacement, disturbance source intensity, elasticity theory equations, numerical and analytical solutions.
Введение
Решению поставленной задачи посвящено множество работ [1-12], в основе которых лежат данные, полученные с помощью аэрофотосъемки, GPS наблюдений, сканированию поверхностей. Для создания и изучения смещений на поверхности Земли создаются и изучаются сейсмические колебания [13-19].
Эта часть работы посвящена численному решению задачи для полупространства z < R, на границе которого задаются одновременно смещения ux, Uy, uz как функции координат x, y, z = h и времени t и координаты вектора
напряжений a z, т zx, т zy:
ux = ux (x, y, h, t), Uy = Uy (x, y, h, t), uz = uz (x, y, h, t), (1)
Tzx = Tzx (x y, h tX Tzy =Tzy (x У, h ^ az =az (x y, ht). (2)
Целью решения является определение НДС массива пород, заключенного в полупространстве z < h при условиях (1), (2), определения структуры массива пород (есть ли в нем пустоты, жесткие включения), отыскания в нем источников динамических возмущений.
Разработка численного алгоритма и вычислительной схемы
Для решения задачи имеем уравнения равновесия:
соотношения Коши:
закон Гука:
да х дт Ху дт —Х + —— +-
дх ду 02
ха
= р-
д 2иЛ
дтху дау дтух
■г +-+—— = р
да2
д 2и
у
дх ду
дТ , дт х + —— + ^^ = р
вz да.
дх ду
да2
д 2и2
(3)
дих
8х = ~д7' 8ху =
ди
8
у
у ду
ди
8 =
д2
^ ди у ди Л
"х
' 8у7 2
V дх ду ,
Гди2 диуЛ
ду д2
^ху 2
диу ди„
дх ду
(4)
'х = Е(СТх у ^
* |
i (
= 1 * -
8у =-(ау х 7
^ = Е(°7 х у/
'ху
*х2
8 у7
ху 2ц
т х7
2ц 2ц
(5)
<
<
Рассмотрим схему решения. Поскольку их, и у, и2 заданы на поверхности 2 = 0, то отсюда следует. Что на поверхности 2 = 0 задана деформация вху и, следовательно, напряжение тху. Из того, что задано их определяется дефор-
дих
дх
дпу
ду
дятся напряжения а х, а у:
мация в х = —х. Из того, что задано смещение и у, находим деформацию
дх
-,у =——. Далее при известных в х, в у, а 2 из первых двух уравнений (5) нахо-
В 2 :
а 2 (V2 + V) + Ев х + Еув у а 2 (у2 + у) + Еув х + Ев у
ах =-—-, ау=—Г-у-• (6)
При известных ах, а у, а2 из третьего уравнения (5) находится деформация
а ^ (1 - 3у2 - 2у3)-Е в х (у + у2)-Е в у (у + у 2)
в 2 = 7 • (7)
Е (1 -2
:(1 -У2 )
Поскольку заданы при 2 = 0 напряжения т х2, т у2. То в соответствии с последними двумя уравнениями (5) находятся деформации вх2, ву2. Затем рассматривается система уравнений (4). При известных на границе 2 = 0 деформациях вх2, ву2, в2 и известных смещениях, т. е. при известных производных
ди7 ди2 дих диу ди2 тт
—-,—- далее находятся производные —х,——,—-. Интегрированием этих дх ду д2 д2 д2
выражений находятся смещения их, и у, и2 на 2 = к - к2:
Для определения напряжений тх2, ту2, а2 на этом слое интегрируем дифференциальные уравнения равновесия (1). Из первого уравнения (3) находим
дтх2_ рд!их _зох -3тХУ (8)
дг дг2 дх ду
из второго уравнения
3т у2 — рд \ 3т ху да ху (9)
д2 дг2 дх ду
из третьего
д<57 д 2 и 2 - р
дт_ дт
Х2
У2
д2
дг
2
дх ду
(10)
Таким образом, в результате интегрирования указанных уравнений находим значение величин их, и у, и2, тх2, т у2, < 2 на слое 2 = к - к2 [20-21]. Процесс
вычислений продолжается по изложенной выше схеме.
Проверка расчетной схемы
В качестве тестового примера берутся значения их, и у, и2, тх2, т у2, < 2 полученные из решения задачи заглубленного источника (часть 1 данной статьи). Зависимости их, иу, и2, т х2, т у2, < 2 представлены на рис. 1-3. При этом
их ¡2=к = С
Б1П
А к
соб
Щ
х2 + у2 + 22
\2
А к
СОБ [2 ^х2 + у2 + 22
- соб
Ак
5( 214х
собi 2 л/х2 + у2 + 22
хб1П (А а
(Аа г)б1П(^х2 + у2Д/"2 ■ -2 ■ -2
х2 + у2 / + у2 + 22 ) СОБ х/
х2 + у2;
(11)
х 2=к
Рис. 1. Зависимость смещений их, иу, и2 от координат на поверхности заглубленного источника, рассчитанного по формулам (11), (12)
291
u
У
G
z=h
sin
_Àh_
cos ! z/ ylx2 + y2 + z2
M_
cos ( zl ylx2 + y2 + z2
cos
Àh
cos( z/ \/x2 + y2 + z2
л / л À2
Jl J
x
xsin(àat)sin(т^+У2/^x2 + y2 + z2)sinx/^/x2 + y2 ;
(12)
uzlz=h - G1
sin
À h
{z/l
cos( z/ -v/x2 + y2 + z2
2
À h
cos ( z/ л/x2 + y2 + z2
cos
Àh
л / л rÀ 2
cos ( z/y/x2 + y2 + z2 )
xsin (à at ) cos ( z/<y/x2 + y2 + z2 ) ; (13)
т
QÀ sin (Àat )
zxlz=h
2 (1 + v)
3cos (À^x2 + y2 + z2 ) Зsin (à^ x2 + y2 + -2
)
À2 ( x2 + y2 + z 2 )
sin (À\/x2 + y2 + z2
ÀV x2 + y2 + z2 )
З
À^fx2 + y2 + z2
cos ( 2 z/^Jx2 + y2 + z 2 ) cos xj\j.
x2 + y2 ;
(14)
"zy
qÀ sin (à at ) z=h = 2 (1 + v)
З^(Àyjx2 + y2 + z2 ) Зsin(à^x2 + y2 + z2 )
À2 ( x2 + y2 + z 2 )
ÀV x2 + y2 + z2 )
З
sin ( ÀJ x2 + y2 + z2
ÀïJ x2 + y2 + z2
sin ( 2^1 x2 + y21 y¡x 2 + y2 + z2 ) sin ( x/ ^/x 2 + y2 ) ; (15)
)
Рис. 2. Зависимость смещений и2 и напряжений тХ2 от координат на поверхности заглубленного источника, рассчитанного по формулам (13), (14)
2 12=/
С{А б1п (Ааг) = 2 (1 + у) (1 - 2у)
2(1 - 2у)соб (а^/ х2 + у2 + 22)
А2 (х2 + у2 + 22)
2(1 - 2у)В1П(Ых2 + у2 + 22 I (1 - У)Б1П (Ых2 + у2 + 2
2 , 2 , _2
х2 + у2 + 22)
3
А^ х2 + у2 + 22
х
2
2,2,2
X СОБ ( 2/^х + у
с1а б1п (Ааг)
2 (1 + у) (1 - 2у)
(1 - 2у)б1п (А^1 х2 + у2 + 22)
Ц х2 + у2 + 22)
3
(1 -2у)соб(ал/х2 + у2 + 22 ) (vб1п(ал/х2 + у2 + 2
)
.2.2. 2
А2 (х2 + у2 + 22) А^/х2 + у2 + 2:
/Ф
X
XБ1П2 (У!х2 + у2 /у1х2 + у2 + 22 )
(16)
)
)
)
Рис. 3. Зависимость напряжений т , аг от координат на поверхности заглубленного источника, рассчитанного по формулам (15), (16)
На основе алгоритма, представленного выше в виде соотношений (6)—(10), разработана конечно-разностная программа численного счета, позволяющая находить НДС массива пород внутри полупространства при любых граничных условиях (1)-(2). Процедура вычислений носит характер томографических снимков, когда напряжения, деформации и смещения определяются послойно. Сделаны сопоставления расчетных зависимостей по данному алгоритму с тестовыми, полученными при возбуждении полупространства одиночным сферическим источником. Получено хорошее совпадение расчетных и тестовых значений, что позволяет использовать эту программу для расчетов других (реальных) ситуаций.
Заключение
Разработан алгоритм решения задачи об определении источника возмущений в полупространстве по заданным одновременно на его границе векторе напряжений Коши и векторе смещений. Сделана проверка расчетной схемы.
Работа выполнена в рамках проекта ФНИ № гос. регистрации АААА-А17-117122090002-5.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Antipov, A.V. (2010). Graund point classification using molding filter in TERRASOLID / Antipov, A., Martemyanova, O. // Internetional sammer Student Seminar. - Pages 18-22. Novosibirsk.
2. Ayrapetian, V.S. (2006). IR lidar based on OPO / Hakobyan, A.V., Apresyan, G.M., Poghossyan, EM., Sahakyan, A.N., Sargsyan, K.A. & Sargsyan T.K.// SPIE. - V. 6160. -Pages 708-713.
3. Chujkova, N.A., Nasonova, L.P. & Maximova, T.G. The new method to find the anomalous internal structure of terrestrial planets and its test on the earth // Proceedings International Association of Geodesy Symposia. Volume 144, 2016, Pages 209-219. 3rd International Gravity Field Service. Shanghai. China.
4. Chujkova, N.A., Kazaryan, S.A. & Maximova, T.G. (2003). The Earth's crust: The global structure of the boundaries and their connection // Vestnik Moskovskogo Universita. Ser. 3 Fizika Astronomiya № 2, Pages 55-62.
5. Jin, S., van Dam, T. & Wdowinski, S. (2014). A Tikhonov regularization method to estimate Earth s oblateness variations from global GPS observations // Journal of Geodynamics 79. -Pages 23-29.
6. Jin, S., van Dam, T. & Wdowinski, S. (2013). Observing and understanding the Earth system variations from space geodesy//Journal of Geodynamics 72. - Pages 1-10.
7. Mikhailov, V.O., Gordin, V.M., Timoshkina, E.P., Kiseleva, E.A. & Smolyaninova, E.I. (2007). Geodynamic models and their application in the combined interpretation of geological and geophysical data // Izvestiya, Physics of the Solid EarthVolume 43, Issue 1, January 2007, Pages 2-12.
8. Тимофеев В. Ю., Ардюков Д. Г., Тимофеев А. В., Бойко Е. В. Поля смещений Алтае-Саянского региона и эффективные реологические параметры земной коры // Геология и геофизика. 2014. - Т. 55, № 3. - С. 481-497.
9. Timofeev, V.Y., Kalish, E.N., Ardyukov, D.G., Valitov, M.G., Timofeev, A.V., Stus, Y.F., Kulinich, R.G., Nosov, D.A., Sizikov, I.S. & Ducarme, B. (2017). Gravity observation at continental borderlands // Geodesy and Geodynamics, Volume 8, № 3. Pages 193-200.
10. Протасов М.И., Чеверда В.А., Правдухин А.П., Исаков Н.Г. Трехмерная анизотропная миграция данных 3D сейсморазведки на основе Гауссовых пучков // Технологии сейсморазведки. - 2017. - №1. - С 35-47.
11. Костин В. И., Лисица В. В., Решетова Г. В., Чеверда В. А. Локальное пространственно-временное измельчение сеток для конечно-разностного моделирования упругих волн в трехмерно-неоднородных разномасштабных средах //Сибирский журнал вычислительной математики. - 2013. - Т. 16 (1). - С. 45-65.
12. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V. & Tcheverda, V.A. (2016). Statistical analysis of free-surface variability's impact on seismic wavefield. // Proceedings of 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosciences. Pages 434-438. Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosci-ences. Saint Petersburg. Russian Federation.
13. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V., Tcheverda, V.A., Alexandrov, D. & Bakulin, A. (2015). Effect of surface sand topography changes on repeatability of land Seismic data in desert environment // Proceedings of 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment2015. Pages 1400-1404. 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment. Madrid. Spain
14. Castro C.E., Kaser M., & Toro, E.F. (2009). Space-time numerical methods for geophysical applications // Philosophical Transactions of the Royal Society: series A. - № 367. -Pages 4613-4631.
15. Diaz, J. & Grote, M.J. (2009). Energy conserving explicit local time stepping for second-order wave equations // SIAM J. Scientific Comput. - Vol. 31, iss. 3. - Pages 1985-2014.
16. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V., Reshetova, G.V., Vishnevsky, D M. & Tcheverda, V.A. (2013). Hybrid algorithm for simulation of seismic wave propagation in complex media - Anisotro-py, attenuation, multi-scale // Proceedings of 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Fron-tiers2013, Pages 5634-5638. 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference
and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Frontiers. London. United Kingdom.
17. Fei, T.V. 7 Liu, Q. (2005). Wave equation migration for 3D VSP using phase-shift plus interpolation // Society of Exploration Geophysicists.
18. Тимошкина Е. П., Леонов Ю. Г., Михайлов В. О. Формирование системы горное сооружение - предгорный прогиб: геодинамическая модель и ее сопоставление с данными по северному Предкавказью // Геотектоника. - 2010. - № 5. - С. 3-21.
19. Mikhailov, V.O., Smolyaninova, E.I. & Sebrier, M. (2002). Numerical modeling of neotectonicmovementsfnd the state of stress in the North Caucasus foredeep // Tectoniccs, 21. Pages 7-1 - 7-14.
20. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М., 1977. - 656 с.
21. Чанышев А. И., Вологин Д. А. Определение напряженно-деформированного состояния и дефективности массива пород по данным измерений смещений на его поверхности. Ч.1: построение аналитических решений // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2011. - № 4. - С. 3-11.
REFERENCES
1. Antipov, A.V. (2010). Graund point classification using molding filter in TERRASOLID / Antipov, A., Martemyanova, O. //Internetional sammer Student Seminar. - Pages 18-22. Novosibirsk.
2. Ayrapetian, V.S. (2006). IR lidar based on OPO / Hakobyan, A.V., Apresyan, G.M., Poghossyan, E.M., Sahakyan, A.N., Sargsyan, K.A. & Sargsyan T.K. // SPIE. - V. 6160. - Pages 708-713.
3. Chujkova, N.A., Nasonova, L.P. & Maximova, T.G. (2016). The new method to find the anomalous internal structure of terrestrial planets and its test on the earth // Proceedings International Association of Geodesy Symposia. Volume 144, Pages 209-219. 3rd International Gravity Field Service. Shanghai. China.
4. Chujkova, N.A., Kazaryan, S.A. & Maximova, T.G. (2003). The Earth's crust: The global structure of the boundaries and their connection // Vestnik Moskovskogo Universita. Ser. 3 Fizika Astronomiya № 2, Pages 55-62.
5. Jin, S., van Dam, T. & Wdowinski, S. (2014). A Tikhonov regularization method to estimate Earth s oblateness variations from global GPS observations //Journal of Geodynamics 79. -Pages 23-29.
6. Jin, S., van Dam, T. & Wdowinski, S. (2013). Observing and understanding the Earth system variations from space geodesy //Journal of Geodynamics 72. - Pages 1-10.
7. Mikhailov, V.O., Gordin, V.M., Timoshkina, E.P., Kiseleva, E.A. & Smolyaninova, E.I. (2007). Geodynamic models and their application in the combined interpretation of geological and geophysical data // Izvestiya, Physics of the Solid EarthVolume 43, Issue 1, Pages 2-12.
8. Timofeev, V.Y., Ardyukov, D.G., Timofeev, A.V. & Boyko, E.V. (2014). Polya smeshcheniy Altae-Sayanskogo regiona I effektivnye reologicheskie parametry zemnoy kory [The displacement fields of the Altai-Sayan region and the effective rheological parameters of the earth's crust] //Geologiya Igeofizika, Volume 5, № 3, Pages 481-497 [in Russian].
9. Timofeev, V.Y., Kalish, E.N., Ardyukov, D.G., Valitov, M.G., Timofeev, A.V., Stus, Y.F., Kulinich, R.G., Nosov, D.A., Sizikov, I.S. & Ducarme, B. (2017). Gravity observation at continental borderlands // Geodesy and Geodynamics, Volume 8, № 3. Pages 193-200.
10. Protasov, M.I., Tcheverda, V.A., Pravduhin, A.P. & Isakov, N.G. (2017). 3D anisotropic imaging of 3D seismic data on the basis on Gaussian beams // Tekhnologii seysmorazvedki [Technologies of seismic prospecting], 1, 35-47. [in Russian].
11. Kostin, V.I., Lisitsa, V.V., Tcheverda, V.A. & Reshetova, G.V. (2013). Finite difference simulation jf elastic wave propagation through 3D heterogeneous multiscale media based on locally refined grids IINumericl Analysis andApplicaitions, 6(1), 40-47.
12. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V. & Tcheverda, V.A. (2016). Statistical analysis of free-surface variability's impact on seismic wavefield. //Proceedings of 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosciences. Pages 434-438. Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosciences. Saint Petersburg. Russian Federation.
13. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V., Tcheverda, V.A., Alexandrov, D. & Bakulin, A. (2015). Effect of surface sand topography changes on repeatability of land Seismic data in desert environment II Proceedings of 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment2015. Pages 1400-1404. 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment. Madrid. Spain.
14. Castro C.E., Kaser, M., & Toro, E.F. (2009). Space-time numerical methods for geophysical applications II Philosophical Transactions of the Royal Society: series A. - № 367. - Pages 4613-4631.
15. Diaz, J. & Grote, M.J. (2009). Energy conserving explicit local time stepping for second-order wave equations II SIAM J. Scientific Comput. - Vol. 31, iss. 3. - Pages 1985-2014.
16. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V., Reshetova, G.V., Vishnevsky, D M. & Tcheverda, V.A. (2013). Hybrid algorithm for simulation of seismic wave propagation in complex media - Anisotro-py, attenuation, multi-scale II Proceedings of 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Fron-tiers2013, Pages 5634-5638. 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Frontiers. London. United Kingdom.
17. Fei, T.V. 7 Liu, Q. (2005). Wave equation migration for 3D VSP using phase-shift plus interpolation // Society of Exploration Geophysicists.
18. Timoshkina, E.P., Leonov, Y.G. & Mikhailov, V.O. (2010). Formirovanie sistemy gornoye sooruzhenie - predgorny progib: geodinamicheskaya model I tyo sopostovleniye s dannymi po severnomu Predkavkazyu [The formation of the system is a mountain structure - piedmont deflection: the geodynamic model and its comparison with the data for the northern Ciscaucasia] // Geotektonika, № 5. Pages 3-21 [in Russian].
19. Mikhailov, V.O., Smolyaninova, E.I. & Sebrier, M. (2002). Numerical modeling of neotectonicmovementsfnd the state of stress in the North Caucasus foredeep II Tectoniccs, 21. Pages 7-1 - 7-14.
20. Samarsky, A.A. (1983). Teoriya raznostnykh skhem [Theory of difference schemes]. Moscow: Nauka [in Russian].
21. Chanyshev, A.I. & Vologin, D.A. (2011). Determination of the stress-strain state and damages in a rock mass by the displacement measurements on its surface. Part I: Analytical solutions II Journal of Mining Science Volume 47, Issue 4. Pages 395-403.
© A. H. Hiaubwee, O. E. Eenoycoea, H. H. Topsawoea, 2018
