CC BY
28
УДК 624.044
И. К. БАДАЛАХА (ДИИТ)
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННЫХ УПРУГИХ МАССИВОВ РАЗЛИЧНОЙ ШИРИНЫ И ОГРАНИЧЕННОЙ ТОЛЩИНЫ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ ПРИ ИХ ПЛОСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ
У статт наведено результати ршення ряду задач плоского деформування пружних несшиченно довгих масивiв рiзноl ширини i обмежено! товщини. Розглядаються рiзнi випадки умов на контакт масиву з основою. В ршеннях використанi запропоноваш автором ранiше залежностi м1ж напруженим i деформованим станами, вiдмiннi ввд узагальненого закону Гука.
В статье приведены результаты решения ряда задач плоского деформирования упругих бесконечно длинных массивов различной ширины и ограниченной толщины. Рассматриваются различные случаи условий на контакте массива с основанием. В решениях использованы предложенные автором раньше зависимости между напряженным и деформированным состояниями, отличные от обобщенного закона Гука.
The article presents the results of solving several problems of a flat deformation of elastic infinitely long massifs of different width and limited thickness. Various cases of conditions at the massif/base contact. The relationships between stressed and strained states previously suggested by the author, which differ from the generalized Hooke's law, are used in the solutions.
Настоящая работа является продолжением цикла работ автора по определению напряженно-деформированного состояния упругих массивов с раздельным определением деформаций от чистого формоизменения (чистого сдвига, чистой деформации), который протекает без изменения объема среды, и от изменения ее объема (плотности). Оба вида деформаций независимы друг от друга и подчиняются различным закономерностям [1 - 3]. Напряженное состояние в любой точке упругого массива характеризует потенциальная гармоническая функция давления, представляющая собой среднее давление в точке, которое равно одной трети первого инварианта напряженного состояния:
■ (
)=1-v
ходя из этого, для функции давления с граничные условия будут следующими:
1) при г = 0 — = 0 (Жс = 0);
дг
2) при г = И и хф0 с = 0;
3) при г = И и х = 0 с = <х>;
4) функция должна быть четной относительно координаты х, т.е. с(х,г) = с(-х,г).
2/
Uс ' z U с
Здесь приводятся результаты решений некоторых задач для массивов ограниченной толщины с различной шириной, опирающихся на жесткое основание, при их плоском деформировании.
Задача № 1. Упругий массив прямоугольного поперечного сечения бесконечной длины на жестком основании. На верхней площадке действует по нормали к ней сила Р (Н/м), рассредоточенная по бесконечной линии вдоль массива (рис. 1). Граничные условия на контакте массива с основанием допускают только горизонтальные смещения от чистого сдвига. Ис-
Рис. 1
Это смешанная задача Дирихле-Неймана, решение которой если имеется, то единственное. Решение, удовлетворяющее поставленным условиям, получено [4] в виде:
Р п(2п -1) х
с = — > cos
о п
ch
п(2п -1) • z И
2 П=1
21
ch
п(2п - 1)h И
■ (1)
Для проверки условия, является ли данная функция потенциальной, запишем ее вторые частные производные:
© Бадалаха И. К., 2010
Р
x
д2ст _ р £
п(2" -1)
И
х cos
п(2" -1) • х
И
д 2с
р
д х2
_-—£
х соэ-
п(2" -1) • х
21
, п(2" -1)
сд —-- • г
21
сЬ П(2" -1 • к
И
п(2" -1)
И
, п(2" -1)
сд —-- • г
21
сЬ П(2" -1) • к
И
. п(2" -1) х
х эт-
И
, п(2" -1)
сд —-- • г
И
сЬ
п(2" -1) • к
27
(2)
дс с р п(2" -1)
дг
2^
2£
. п(2" -1) х
X Э1П-
И
, п(2" -1)
ся —-- • г
21
сЬ
п(2" -1) • к
И
(3)
Ж0 _ к0 •(с ёг _-к0 Р •£ Л 9« ^
2£
х соэ-
п(2" -1) • х
2£ п(2" -1)
, п(2" -1)
эл —-- • г
21
И
п(2" -1) • к
И
(4)
нечной полосе постоянной ширины 2а, задача определения функции давления решается путем интегрирования (1) в соответствии с рис. 2:
2а
ШИк
1
2/!
1 1 1 /7
1 1 X
Рис. 2
Очевидно, что сумма вторых частных производных равна нулю, поэтому данная функция является гармонической, потенциальной.
Определение компонент перемещений, вызванных чисто сдвиговыми и объемными деформациями, выполняется по условию [3]: - перемещения от чистого сдвига:
ие _-к, &г_ х
дх И И
р а "_ш с _ — ( £ соэ
-а "_1
п(2" - 1)(х -в)
И
сЬ
сЬ
п(2" -1) • г 21
п(2" -1) • к
27
ё в.
После интегрирования и элементарных алгебраических преобразований имеем:
. п(2" -1) а
Р V? Э1П 27 п(2" -1) • х с_ — > -_ 2\ч--соэ—--— х
о л
21 п(2" -1)
И
, п(2" -1)
сп--г
И
2
сЬ
п(2" -1) • к 21
(5)
По известному значению функции давления определяются перемещения точек массива, вызванные чистым формоизменением:
ттс с дс с р . п(2" -1) а
ис _-кс--_ кс — > эт—-— х
дх 2£ ""1 2£
- вертикальные перемещения от изменения плотности упругой среды:
сЬ
п(2" -1) • г
. п(2" -1) х 2р
х эт
21 сЬ п(2" -1) • к с 2£
(6)
с дс с Р V . п(2" -1) а
Ж _-к--_-к -> Э1И —-— х
д г И 2^
х соэ-
п(2" -1) • х
, п(2" -1)
эй —-1 •г
И
где кс и к0 - физические константы среды, соответственно, - модуль чистого формоизменения и модуль объемной деформации.
Для случая нагрузки равномерной интенсивности р (Н/м2), распределенной на беско-
21 сЬ п(2" -1) • к с И
, (7)
а также вертикальные перемещения от изменения объема среды:
2
х
х
Ж0 = к 0 -¡а-йг = кор У J ")0 ^
. п(2п -1) а
31П-
2
21 п(2п -1)
2
, п(2п -1)
зп--г
21
зп
и
х соз-
п(2п -1) - х
, п(2п -1) зп--г
2
2
сП
п(2п -1) - И
2
. п(2п -1) а
п=ад 31П
Ж0 =-^У-2^— х
х соз-
2^ П=1
п(2п -1) - х
2
п(2п -1) 2
, п(2п -1) зп —-1 - г
2
сП
п(2п -1) - И
2
(8)
0 —=о (ис = дг 0);
И и х= 0 а = да ?
И и хф0 а = 0;
= а (-х, г) р
2£
Ж с| ' г | Жс X
=- У
"" п=1
соз
п(2п -1) - х
2
зП
зП
п(2п -1) - г 2
п(2п -1) - И 2
. (9)
д 2а = р У
""27 У
п(2п -1)'
2
п(2п -1) - х - соз-х
2
д 2а = р у =у
п(2п -1)
п(2п -1) - х - соз-х
2
Задача № 2. Упругий массив и его загруже-ние аналогичны задаче № 1, но основание допускает только вертикальные смещения от чистой деформации (рис. 3), т.е. функция давления должна удовлетворять условиям:
Рис. 3
Функция давления, удовлетворяющая поставленным граничным условиям, получена в виде [4]:
Проверим, является ли она гармонической. Для этого запишем ее вторые частные производные:
, п(2п -1) зп--г
х 2
зп - и "
2
Очевидно, что сумма этих производных равна нулю, поэтому сама функция (9) является гармонической и, следовательно, потенциальной.
Компоненты перемещений среды, вызванные чистым формоизменением, в соответствии с [3] будут:
и< =-кс-да=кс р_уп(2п-1)
дх
21
21
х з1П-
п(2п -1) х
2
, п(2п -1) зп —--1 - г
2
зп
п(2п -1) - И
2
(10)
да р п(2п -1)
д г
2^
2
х соз-
п(2п -1) х ~2
, п(2п -1)
сп —-- - г
2
зп
п(2п -1) - И
2
(11)
Перемещения, вызванные изменением плотности среды, определяются интегрированием (9):
Ж0 = ^ ¡у соз.П(2п - 1)х
2
п=1
2
зп
зп
п(2п - 1)г
2
п(2п - 1)И
Yt
1г+С;
Ж 0 = ^-Р у
п(2п -1) - х - соз-х
2£ п=1 п(2п -1) 2£
п(2п - 1)г
зп-
2
п(2п - 1)И
1г + С .
зп
х
х
х
Произвольная интегрирования С определяется из граничных условий: при г = 0 Ж = 0. Тогда окончательно имеем:
Ж0 11 п(2п - !)•х
Ж =-к У —-- сое—---— х
П=1 п(2п -1)
и
, п(2п -1) • г ,
сп —----1
21
5Ь
п(2п -1) • И 2
(12)
Р а п=ш
С=- Г V С05—:-—-— X
2^ -а П=1 2^
п(2п - 1)(х -в)
5Ь
5Ь
п(2п -1) • г 2
4 в = — V"
И
п(2п -1) • И Ц и=1 п(2п -1)
21
. п(2п -1) • (х -в)
X 51П-
21
5Ь
п(2п -1) • г
21
5Ь
п(2п -1) • И
21
5Ь
21.
п(2п -1) • И
(13)
5Ь
и
ис = -кс •—= кс£- У дх * ^
51П-
п=1
и
X 51П
Ь п(2п -1) • г п(2п -1) х ^ 5 ц 21 ' п(2п -1) • И
5П-
и
да с рП=? . п(2п -1) а
(14)
Жс =-кс •— = -кс ^ У дг
51П-
п=1
X С05-
п(2п -1) • х
21
сЬ
5Ь
В том случае, когда на поверхности массива будет действовать равномерно распределенная нагрузка р (Н/м2), функция давления определяется интегрированием (9) в соответствии со схемой на рис. 2:
И
п(2п -1) • г 21
п(2п -1) • И
27
(15)
Перемещения точек упругой среды от изменения ее плотности после соответствующего интегрирования будут:
Ж0 =-к
. п(2п -1) а
п=ад 51П
0 р У-——— X
21
п(2п -1)
21
X С05-
п(2п -1) • х
, п(2п -1) • г ,
сп —----1
21
и
5Ь
п(2п -1) • И 21
. (16)
После подстановки пределов и алгебраических преобразований функция давления будет:
, п(2п -1) • а
Р V? 51П 27 п(2п -1) • х
а = — У -^ 2 --С05—---— X
I п(2п -1) 21
21
п(2п -1) • г
По известной функции давления (13) определяются перемещения точек массива, вызванные чистым формоизменением:
да с рП=^ . п(2п -1) а
Задача № 3. В задачах № 1 и 2 рассматривалось напряженно-деформированное состояние упругого массива прямоугольного поперечного сечения бесконечной длины для двух предельных случаев по граничным условиям на контакте его с основанием: контакт допускает только горизонтальные смещения от чистого деформирования (задача № 1) либо только вертикальные (задача № 2). Если же контакт с основанием допускает и горизонтальные и вертикальные смещения от чистого деформирования упругой среды, то задача может быть решена путем комбинирования двух решений. Для этого внешняя нагрузка делится на две части пропорционально оценочной величине упомянутых смещений:
Р = Рг + Рв = тгР + твР = Р(тг + тв),
где тг и тв - коэффициенты, пропорциональные частям нагрузки, формирующим, соответственно, горизонтальные и вертикальные сдвиговые смещения на контакте. Их сумма равна единице.
Таким образом, общее решение будет состоять из суммы двух решений, пропорциональных решению задачи № 1 с коэффициентом
х
п=1
X
а
X
пропорциональности т и решению задачи № 2 с коэффициентом тв.
Для нагрузки, сосредоточенной вдоль бесконечной линии, будем иметь: функция давления в любой точке поперечного сечения массива:
с =
cos
р—У
Р— У cos
п=1
п(2п -1) • х
2
п(2п -1) • х
2
, п(2п -1) ch —--1 • z
2
ch
n(2n -1) • h 2
sh
п(2п -1)
2
n(2n -1) • h
sh
Ii
а после преобразований
РП=? п(2п -1) • х с =— у cos
п=1
и
m
ch
+ m
, n(2n -1) sh
в И
sh
п(2п -1) 2
, п(2п -1)
ch--z
И
п(2п -1) • h И
(17)
m
, п(2п -1) sh —--1 • z
2
ch
п(2п -1) И
m
ch
sh
п(2п -1) • z
2
п(2п -1) • h 2
. (20)
В том случае, когда на поверхности массива будет действовать равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р (Н/м2) по бесконечной полосе шириной 2а, решение задачи будет представлять комбинацию решений (5)-(8) и (13)-(16).
Задача № 4. Бесконечно простирающийся упругий массив ограниченной толщины на жестком основании (рис. 4). На его поверхности приложена по нормали сила Р (Н/м), равномерно распределенная вдоль бесконечной линии, т.е. имеем задачу плоского деформирования. Условия контакта с жестким основанием допускают только горизонтальные смещения от чистого деформирования.
и с
Перемещения, вызванные чистым формоизменением:
с р п(2п -1) . п(2п -1) х Uc = кс— У —--• sin—--— х
m
И п=1 2£
, п(2п -1)
ch--z
И
ch
п(2п -1) • h И
m
sh
sh
21
п(2п -1) • z И
п(2п -1) • h
2
; (18)
rc =-ксР у^ •cos П(2п -1) •х х
1 О - '
m
и п=1 2
, п(2п -1) sh--z
2
Ii
ch
п(2п -1) • h Ii
m
ch
sh
п(2п -1) • z
2
п(2п -1) • h Ii
; (19)
T) п=Ю
W0 =-к0 Р У
Ii
и п=1 п(2п -1)
п(2п -1) • х
•cos-х
И
Рис. 4
Граничными условиями для функции давления в этом случае будут:
rs
1) при z = 0 — = 0 (Wc = 0);
dz
2) при z = h и х^0 с = 0;
3) при z = h и х = 0 с = <х>;
4) функция должна быть регулярной на бесконечности и четной относительно координаты х, т.е. lim с = 0 и с(х,z) = с(-х,z).
Для определения такой функции давления воспользуемся следующим приемом. В решении (1) для ограниченной ширины упругого массива будем увеличивать ее, устремив к бесконечности (I ^<х>). В пределе мы должны получить искомую функцию. При этом представим функцию (1) в следующем виде:
с
огр
перемещения, вызванные изменением объема среды:
Р chzt п = —У - cos х^ ■ At п
2 п=1 chhtn п п
где t п =
п(2п -1)
2
Р
z
При неограниченном возрастании ширины массива I ^<х> можно записать:
Р f ch г • t
Снеогр = l™ Согр = ~ I -Т— • cos x • tdt •
п 0 ch h • t
Согласно [5] несобственный интеграл такого вида равен:
пВ , па f cos • ch
rch В x , п 2y 2y
I-cos а xax =----7-.
0 chYx y ,па пр о ' ' ch--+ cos—
, п x п( h - г)
n ch--cos—--- n
г г Р 2h 2h 0
Снеогр = I™ Согр = lim ---^-Г" = - •
p h^f h , п x п(п - г) о ch--+ cos—---
Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя:
, п x ( п x Л п(h - г)
sh--1--- !• cos—---
Р 2h . 2h2 J 2h lim-
Y
Y
h , п x ( пx Л • п(h - г) п г
sh—•!--Г- I-sin——---
h2 I h 2h
Выполнив соответствующую подстановку, будем иметь:
с =
, п x п г г, ch--cos—
Р• 2h 2h
h , п x п г ch--+ cos—
(21)
После алгебраических преобразований приводим (21) к более удобному виду:
с = -
, п x п г ch • cos Р . 2h 2h
2h ,2 п х - п г : sh--+ cos —
2h
2h
(22)
п г
, п x . п( h - г)
ch--sin—---
2h 2h I 2h
sh
п x
пx Л • п(h - г) п г 0
--- sin —-----
h 2h
Неопределенность не раскрыта, поэтому воспользуемся второй раз правилом Лопиталя: - производная числителя по к:
, пх ( п х Л п( к - г) пх (пх Л еЬ--1--- I- ео8—-- + —- -I —- 1х
2к I 2к I 2к 2к I к3 I
п( h - г) п x ( п x Л • п(А - г) х cos—--- - sh--1--- !• sin —--- x
2h
2h t 2h2
2h
или
с = -
, п x п г ch • cos Р . 2h 2h
2h ,2 п x .2 п г сh--sin —
2h
2h
(23)
пг , п x --sh-- 2h ( п x
2h2 t 2h2
cos- п(h - г) ( 2h t п г Л 2h2 I
sin-
п г , п x - ch—x
2h 2h2 2h п г
, п x . п( h - г) - ch—sin—---. ,
2h 2h ' '-3
Можно убедиться, что полученная функция давления удовлетворяет всем поставленным граничным условиям и является гармонической, т.е. обладает потенциалом. При этом отметим, что функция (22) была получена также А. Я. Мачеретом [6] при исследовании мгновенных напоров в грунтовой массе после приложения нагрузки.
Если предпосылки к получению функций давления (1) и (22) корректны, а сами функции определены верно, то путем предельного перехода к ^<х> от функции (21) мы должны получить функцию давления для плоского деформирования полупространства. Выполним такой переход. Для этого, с целью упрощения выкладок, перенесем начало координат в рис. 4 на поверхность, в точку приложения силы, и попытаемся перейти к упомянутому пределу:
=г;
- производная знаменателя по h:
пx ( пхЛ2
ch — I I + ch .
2h t h2 J 2h t h
п x ( 2п x Л п( h - г)( п г - '-cos—-—:—-I —
2h t h
-sm^ (-^ 1 = ^ ( + г2 )•
h
lim Р
h3 I h4
Р
h^f h T2
4 (x2 + г2 )~п(( + г 2 V
(24)
Таким образом, мы получили функцию давления при плоском деформировании полупространства погонно-сосредоточенной силой [7] и
0
п
71
подтвердили взаимосвязь функций давления (1), (22) и (24).
Для определения компонентов напряженного состояния в рассматриваемой задаче № 4 воспользуемся условием [8]:
С х =С-(И - ^ ^ ;
с г =с-(И - г ;
= (И - г)
д г
дс
д х
(25)
ние от массива на основание, которое должно быть равным внешней нагрузке Р. Приняв в (27) г = 0, имеем:
Р 1
С = -
' 2И ПХ ° 2И
Проинтегрируем сг по контакту упругого массива с основанием:
2 0
0
й П Х
Р йх 2Р 2И Г ^ 2И 2И , пх 2И п ^ . пх
сЬ— 2И
0 сЬ — 2И
После определения частных производных функции (22) и подстановки в (25) получаем:
Р_ 2И
, П х П 2
сЬ--СОБ- „(и \
2И 2И П(И - г у
, 2 п х 2 п г
БП--+ СОБ -
2И
2И
2И
, П х . П х
СП--Б1П-
2И 2И
, 2 п х 2 п г БП--СОБ -
2И
2И
, 2 п х 2 п г БП--+ СОБ -
2И
2И
; (26)
с, =-
Р_ ~2к
, п х п г СП--СОБ--\
2И 2И , П(И -гу
, 2 п х 2 п г БД--+ СОБ -
2И
2И
2И
, п х . п г
СП--Б1П-
2И 2И
, 2 п х 2 п г БП--СОБ -
2И
2И
,2 п х 2 п г БП--+ СОБ -
2И
2И
; (27)
= -
Р-п-(И -г)
4И
2Р ( , пх
--агс^1 эЬ—-
п I 2И
= Р .
Следовательно, условие общего равновесия в задаче выполняется.
Компоненты смещений точек упругого массива от чистого формоизменения получаем согласно [3] в виде:
и< =-дС =
д х
= к
, п х пг БП--СОБ-
Рп 2И 2И
, 2 п х . 2 п г СЬ2-+ Б1П2-
2И
2И
4И
2
, 2 п х 2 п г БП--+ СОБ -
шс с дс Ш =- к — = - к
д г
2И
Рп
4Й7
2И
; (29)
, п х . пг
СП--Б1П-
2И 2И
п г
бЬ--СОБ
2И 2И
п г
эЬ--+ СОБ
2И 2И
(30)
Смещения точек упругого массива от изменения объема будут:
, п х п(И - г)
БП--СОБ—---
2И 2И
, 2 п х . 2 п г СЬ2-+ Б1П2-
2И
2И
, 2 п х 2 п г БП--+ СОБ -
2И
2И
(28)
Для контроля соблюдения условия общего равновесия в задаче выполним следующую проверку: просуммируем вертикальное давле-
Ш0 = к0 ¡с-йг = к0 -1
, п х п г
0 СП-СОБ-
2И 2И
,2 пх . 2 пг сП--Б1П -
2И
2И
0 Р1
= -к — 1П
П
, п х . п г СП--+ Б1П-
2И 2И
, п х . п г СП--Б1П-
2И 2И
х
х
X
х
W0 = к 0 - ln
, П X . П z
ch--+ sin—
2h 2h
, П X n z
ch--sin —
2h 2h
В том случае, когда на поверхности упругого массива будет действовать равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р (Н/м2) по бесконечной полосе шириной 2а, функция давления может быть определена путем интегрирования (22) соответственно рис. 5:
п( X + е) п z ch—--- • cos-
с = ■
2h
2h
2h
sh
п(х + е)
-d е =
2h
cos
П z 2h
p 2h nz
---cos—
2h n 2h
п(х + е)
d sh '
2h
' sh
п(х + е)
П z
2h
cos
sh
2h п(х + е)
Л arctg-2h_
П П z
cos— 2h
с = -
sh
п( х + a )
arctg-
2h
sh
п(х - a)
cos-
П z ' 2h
- arctg -
2h
cos
n z 2h
. (32)
гР
IMI.
j h И z ( / x
Рис. 5
Очевидно, что при бесконечном расширении загруженной полосы (2а ^ да) давление в массиве будет стремиться к своему пределу, равному р (Н/м2), что и следует из (32).
Для определения компонентов напряжений и деформаций запишем частные производные функции давления (32):
(31) дс=_р
д x 2h
cos
nz '~2h
ch
п(х + a )
2h
2 п(х + a) 2 пz sh2 —--'- + cos2
ch
2h
п(х - a) 2h
2h
, 2 п(х - a) 2 nz sh2 —--- + cos2
2h
5с p д z 2h
cos
nz '~2h
sh
2h
п(х + a ) 2h
2 п(х + a) 2 nz sh2 —--'- + cos2
sh
2h
n(х - a) 2h
2h
, 2 п(х - a) 2 nz sh2 —--+ cos2
2h
2h
(34)
Обозначив содержимое внешних скобок в (32, 33, 34) соответственно А,, В,, С1, компоненты напряженного состояния упругого массива будут иметь вид:
n
Р
=г 4 - z )£ • в;
P
(35)
с , =£ Л +(h - z )2h. Bi; n 2h
т „ = (h - z • C,. ^ V, ) 2h 1
Компоненты смещений точек упругого массива от чистого формоизменения будут:
ис =-кс • Я; Гс =-ксР-С,. (36) 2Л 2Л
Вертикальные перемещения точек упругого массива от изменения его плотности могут быть определены путем интегрирования функции давления (32):
W0 = к0 Р f п j
sh
п(х + a)
arctg -
2h
cos-
П z 2h
к
a
П
8Ь
п(х - а)
- аг^-
2Н
008-
п г ~2И
ёг + С,
(37)
Р 2£П=? оЬ t •t„
С„т =---> -— • 008 X ^
о п _ ^ ■ ■
огр
П п=1 оЬ Л • tn
где tn =
п( 2п -1)
2£
СТ=11тСТогр = - |
/^ад г ТГ "
Р 7 оЬ г • t
•008 х •tdt.
п 0 оЬ Л • t
Согласно [5] несобственный интеграл такого вида сходится к своему пределу:
г 8Ь В^х , п 008 а х--ах =--
. пВ
81П—
8Ьух 2у , па пр '
' ' 0П--+ 008 —
У
У
Р
с = -
. пг
81П-
И
2И , пх пг
0П--+ 008-
(38)
Для дальнейшего анализа решения и определения компонентов напряжений и деформаций запишем частные производные полученной функции давления (38):
- первые частные производные:
где С - произвольная интегрирования, которая определяется из граничных условий: г = 0, = = 0.
Задача № 5. Эта задача отличается от задачи № 4 тем, что условия контакта упругого бесконечно простирающегося слоя ограниченной толщины с основанием допускают только вертикальные смещения от чистого формоизменения. При этом граничные условия для функции давления будут следующими:
1) при г = 0, — = 0 (ис = 0);
д х
2) при г = И и х^0 с = 0;
3) при г = И и х = 0 с = <х>;
4) функция должна быть четной относительно координаты х и регулярной на бесконечности.
Функция давления, удовлетворяющая этим условиям, может быть получена из решения (9) с ограниченной шириной массива, в котором выполним предельный переход I ^<х>. Предварительно запишем его в виде:
дс
д х
. пх . пг
2 8П- 81П-
р-п___И И
2И2 ( пх пгл2
0П--+ 008-
дс р • п
, пх . пг
2 1 + 0П-81П-
д г 2И2 ( пх пг
0П--+ 008-
- вторые частные производные:
д2с р •п2
д х2
. пг (, ,2 пх , пх пг
81П-1 1 - 8П--+ 0П--008-
2И
, пх пг
0П--+ 008-
пг
дг2
р • п
81П-
1 - 8Ь'
пх
, пх пг
0П--008-
2И
0Ь
пх
пг
008
При неограниченном возрастании ширины массива I суммирование заменяем интегрированием:
Можно убедиться, что функция (38) удовлетворяет поставленным граничным условиям и является гармонической (сумма ее вторых частных производных равна нулю), следовательно она обладает потенциалом.
Подтверждением взаимной связи решений задач теории упругости является возможность предельного перехода от решения одной задачи к решению другой задачи. В связи с этим попробуем перейти от функции давления (38) в данной задаче к функции давления при плоском деформировании полупространства равномерно распределенной вдоль бесконечной линии нагрузкой Р (Н/м). С целью удобства перенесем начало координат вертикально вверх на поверхность упругого бесконечно простирающегося слоя. В новой координатной системе функция (38) будет представлена в виде:
Выполнив соответствующую подстановку, получим функцию давления:
с = -
Р_
2И
81П
п(И - г)
пх
0П--
008
п(И - г)
У
И
где координата г расположена в точке приложения нагрузки и направлена вниз, а область ее изменения будет: И > г > 0.
Для перехода к функции давления в полупространстве будем неограниченно увеличивать толщину упругого слоя И ^<х>:
с = lim —
2h
п( h - z )
sin —-'h
. nx n(h-z) 0 ' ch--+ cos —---
. п z Sin
h + рп2 (h - z)
Р
2h i пx п z 2h2 ch--+ cos—
, п x п z 1 + ch--cos—
, п x п z ch--+ cos—
Раскрытие неопределенности выполним по правилу Лопиталя. Для этого записываем первые производные по И в числителе и знаменателе:
= -
Pn2 (h - z) shl
, nx . п z sh--sin —
2h
, п x п z ch--+ cos—
(41)
с = lim —
h^<» 2h
cos
п( h - z )
h
nx
2
, nx ( nx Л . п (h - z) ( nx
sh — —- I-sin - -—'--I —2
Г-2 и 1-2
0 0'
Компоненты перемещений точек массива от чистого формоизменения с учетом ранее предложенных зависимостей [3] будут:
Т тс (
U = к
Рп
, nx . п z
2 sh--sin —
Поскольку неопределенность не раскрыта, записываем вторые производные числителя и знаменателя:
- производная числителя:
n(h - z) - sin—---
nz ]2 n(h - z) ( 2nz 2 . - cos - -—- -I —-
2 ;„ í„3
Wc = -к'
2h2 ( , nx пzx2 ch--+ cos—
Рп2
, п x п z 1 + ch--cos—
2h2 ( п x п zл2 ch--+ cos—
(42)
- производная знаменателя:
ch
пг
пг
2
sh
пx
пz
и
п(h - z) ( пzЛ2 . п(h - z) (4пz - cos—----I—^ I + sin—--- л—г
1.2 i„ i3
Вертикальные перемещения точек массива от изменения его плотности определяются путем интегрирования (38):
. п z . Р sin—dz
W0 = к0 fc-dz + C = к0 — f h = J oh J
а после перехода к пределу имеем
z
Р
с = —
2 2 * п х + г
Таким образом, путем предельного перехода мы получили функцию давления при нагруже-нии поверхности полупространства нагрузкой, равномерно распределенной вдоль бесконечной линии [7], что подтверждает взаимосвязь решений и является их контролем.
Компоненты напряженного состояния в данной задаче, в соответствии с условием (25), определяются зависимостями:
= -к0— ln 2п
2h J , пx пz
ch--+ cos —
h h
+ C '
, п x п z ch--+ cos—
Здесь С - постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий: при г = 0 Ж0 = 0, отсюда
С = к ° — ln 2п
i п x ch— +1
h
и тогда
п z
Р
sin
с =-
Рп2 (h - z)
2h , пx п z ch--+ cos—
2h
(39)
W0 =-к0 — ln 2п
, п x п z ch--+ cos—
1 п x ch— +1
h
(43)
z =
X
0
h
В том случае, когда на поверхности бесконечно простирающегося упругого слоя ограниченной толщины в данной задаче будет действовать равномерно распределенная нагрузка р (Н/м2) по полосе бесконечной длины и постоянной ширины 2а, задача определения функции давления решается путем интегрирования (38) согласно рис. 5:
с =
- Г
ти л
п г
-й 8
2к - , п(х + 8) пг
еп —-- + ео8—
После интегрирования и подстановки пределов получим:
с = -
(
arctg
п(х + а )
п г
Л
2к 2к
сх = Р- А-Р-(к - г)• В;
с.
п 2к
Р А , Р
п Р
= £.-А + ^--(к - г )В;
2к
тхг = (к -г)-О, 2к '
и компоненты смещений точек от чистого формоизменения:
ис = -^ ^С = -КсР-В; дх 2к
шс сдс с Р п
I =-к — = -к--О.
д г 2к
(48)
Перемещения от изменения плотности упругой среды могут быть определены интегрированием:
(
- arctg
Л
п(х - а)
п г
2к 2к
(44)
Для определения компонентов напряжений и компонентов деформаций от чистого формоизменения запишем частные производные (44):
5с р д х 2к
3 п(х + а) 2 п(х + а) 4 пг
4Ш3 —-'- - 8ее к2 -—
2к 2к 2к
+
4 п (х + а) 4 пг
1 + ш —-—
2к 2к
4 п(х - а) 2 п(х - а) 3 пг
4Ш4 —-'- - 8еек2 -^ tg3 —
2к 2к 2к
4 п (х - а) 4 пг
1 + т —-—
2к 2к
; (45)
5с р дг 2к
4 п(х + а) 3 пг 2 пг
4Ь4—-^ - tg3 —8ее2 —
_2к_2к 2к
■ 1+th4 п(х+ауtg4пг ' 2к 2к
+
_ , п(х - а) 3 пг 2 г
4Ш—-- tg3--8ее2 —
_2к_2к_2к
1+Л4п(х - а у ^ пг
2к 2к
(46)
Обозначив содержимое в квадратных скобках выражений (44, 45 и 46) соответственно А, В и О, запишем компоненты напряженного состояния:
10 = р Г А
тт *
йг + С,
(49)
где С - постоянная интегрирования, которая находится из граничных условий.
Задача № 6. В задачах № 4 и 5 были рассмотрены два предельные случаи граничных условий на контакте упругого массива с жестким основанием:
- контакт допускает только горизонтальные перемещения от чистого формоизменения;
- контакт допускает только вертикальные смещения от чистого формоизменения.
Если же условия на контакте могут допускать как горизонтальные, так и вертикальные смещения от чистого формоизменения, т.е. полные сдвиговые смещения будут направлены под некоторым углом к нему, то решение такой задачи может быть комбинацией решений задач № 4 и 5 подобно тому, как это было рассмотрено выше при решении задачи № 3.
Вывод
Подводя итог представленным выше решениям, отметим, что в обычной постановке, с применением обобщенного физического закона, решений этих задач не получено, использование же предлагаемых физических зависимостей приводит к расширению круга решаемых задач с одновременным более точным отражением самого явления деформирования.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бадалаха, И. К. Постановка и решение задач теории упругости с использованием потенциала [Текст] / И. К. Бадалаха // Дншропетр. держ.
71
техн. ун-т затзн. трансп : зб. наук. пр. «Будiв-ництво». - 1999. - Вип. 6. - С. 173-184.
2. Бадалаха, И. К. Определение напряженно-деформированного состояния упругих массивов путем выделения объемных и сдвиговых деформаций [Текст] / И. К. Бадалаха // Ин-т геотехнической мех-ки НАН Украины : межвед. сб. науч. тр. - Вып. 18. - Д.: Полiграфiст, 2000. -С. 119-127.
3. Бадалаха, И. К. Решение задач теории упругости с раздельным определением чистых и объемных деформаций [Текст] / И. К. Бадалаха // Вю-ник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2009. - Вип. 27. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2009. - С. 154-159.
4. Бадалаха, И. К. Влияние гидродинамических факторов на устойчивость оснований и сооружений из насыпных грунтов [Текст] : дисс. ... канд. техн. наук / И. К. Бадалаха. - Д., 1980. -199 с.
5. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И. С. Град-
штейн, И. М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. -1108 с.
6. Мачерет, Я. А. Распределение мгновенных напоров и давлений в грунтовой массе, вызванных мгновенной нагрузкой [Текст] / Я. А. Ма-черет // Тр. ВИОС, сборник 4. - М., 1934. -123 с.
7. Бадалаха, И. К. Напряженно-деформированное состояние упругого полупространства от погонной линейной нагрузки, действующей на ограниченном и неограниченном протяжении его поверхности [Текст] / И. К. Бадалаха // Вю-ник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2009. - Вип. 26. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2009. - С. 98-102.
8. Флорин, В. А. Основы механики грунтов [Текст]. - т. I / В. А. Флорин // Л.-М.: Госизд-во лит-ры по строит., арх-ре и строит. материалам, 1959. - 359 с.
Поступила в редколлегию 22.12.2009.
Принята к печати 28.12.2009.
