CC BY
24
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 93-99
= Механика =
УДК 531
Деформирование линейно упрочняющейся оболочки при условии обобщенной полной пластичности *
А. В. Кудряшов
Аннотация. Выполнена постановка задачи по определению напряженно-деформированного состояния тонкой, линейно упрочняющейся оболочки с помощью обобщенной гипотезы полной пластичности. Получены и проанализированы приближенные аналитические решения для различных вариантов рассматриваемой гипотезы.
Ключевые слова: оболочка, пластичность, упрочнение, гипотеза полной пластичности.
1. Постановка задачи. Характеристики напряженно-деформированного состояния тонкой оболочки, деформируемой под действием равномерного давления, удовлетворяют системе уравнений
„2
^11
—— r sin y A1
pr
~2
f Л 2 —— a2>
^11 ÖY ^22. , ,
— — r + — sin Y = РГА1А2, A1 dr A2
ÖA2
dr
(1)
r + A2 = A1 cos y,
duz .
-T— = -A1 sin y,
' dr
здесь A1 — относительное удлинение оболочки в направлении меридиана, A2 — относительное удлинение оболочки в окружном направлении, y — угол поворота касательной к меридиану оболочки.
Характеристики напряженного и деформированного состояние связаны между собой соотношениями, описывающими необратимый характер процесса формоизменения:
Wi
'г]
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракт П1125).
-1
д ln AfA2 /
О V dso д ln A?A2 v дв x -1
"11 = T“^ U:1 • (2)
^22 = T
два V два
д^\2 f дln A^ 2 /дln A^ 2 , 2 дlnAi дlnA2 (3)
дв^ = V два ) + V два J + два два ' ()
Здесь ва = в|г=0 — величина формоизменения оболочки в полюсе, T = = t (то, в) — интенсивность тензора напряжений, та = еопв£ — предел упру-
V дв \2 V дв . \2 ~ ~ й
гости материала, — = —— ва = W • • W — второй инвариант тензора
\дг J \ два )
деформации скорости.
Уравнения (1)—(3) образуют замкнутую систему относительно неизвестных функций: Ai (во,г), A2 (во,г) — относительные удлинения оболочки, Y (во,г) — угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки, uz (в0,г) — вертикальные перемещения точек срединной поверхности. Искомые функции удовлетворяют следующим граничным условиям:
A2 (во, R) = 1 — оболочка не деформируется в окружном направлении, uz (во, R) = 0 — граница оболочки закреплена от перемещений,
Y (во, 0) = 0 — условие симметрии в полюсе.
Введем в рассмотрение функцию вида напряженного состояния р (во,г), удовлетворяющую уравнениям
д ln A1 Í2 дв . , п.
~я---- = \ sm(^ +
два V 3 два 3 (4)
д ln A2 Í2 дв . , п.
— = V3 два8Ш(р- з).
В результате преобразования (4) компоненты тензора напряжений и тензора деформации скорости будут определяться только функцией угла вида напряженного состояния р (во, г) и скоростью формоизменения :
Wii = во"g6 (3sinР + ^3cos р) , (5)
W22 = во ^6 (3 sin Р - V3 cos р) ,
а11 = t-^6 ^3sin р + \/3cos pj , (6)
^22 = t (3 sin р — ^3 cos р j .
Таким образом, ориентация векторов скорости формоизменения и напряжения, описывающих процессы формоизменения и нагружения в соответствующих пятимерных девиаторных пространствах, не зависит от величи-
ны формоизменения в (во, г). Напротив, длины этих векторов определяются только величиной формоизменения в (во, г) и не зависят от угла вида р (во, г).
Законы изменения характеристик деформированного состояния срединной поверхности оболочки А1, А2 связаны с законами изменения угла вида напряженного состояния р (во, г) и длины траектории в (во, г) следующей функциональной зависимостью:
111 Л = Г'/I Sosin (p + í)ds”’
2 ds . ( n \ ,
(p - í) ^
1n Л2 =
(7)
sin p
3 Зво
Отметим, что использование функций р (во, г) и в (во, г) для описания деформированного состояния обеспечивает удовлетворение условия текучести материала.
Характеристики деформированного состояния А1, А2 удовлетворяют следующим условиям в полюсе и на границе оболочки:
0,
откуда могут быть получены граничные условия для угла вида напряженного состояния:
d 1n Л1 d 1n Л2 d 1n Л2
dso o СО o r o СО o r r=R
p\r=o 2 ’ p|r=R 3 '
С учетом преобразования (4) постановка задачи примет вид
§1 dr r + §2 sin Y = Р^1 Л2)
(8)
"1
— r sin y Л1
2
pr2 2 — ^
дЛ2 + Л Л
-T¡— r + Л2 = Л1 cos Y, ar
дГ = -Л1 sin y,
"11
d 1n Л1 dso
\/6 (3 .
To 1 3 sin p + л/З cos p
"22 = To ^g6 (3 sin p — \/3 cos p)
(9)
2 ds . ( n
3 áS0sln lp + í
d ln §2 dso
2 ds
3 dso
sin
Предположим, что распределение угла вида напряженного состояния известно и неизменно на всем процессе деформирования:
p (so,r) = po (r) '
(10)
Данная гипотеза может рассматриваться как обобщенная гипотеза полной пластичности для материала оболочки. Независимость угла вида ро (г) от процесса формоизменения позволяет проинтегрировать соотношения (7):
1n Л1 =
2s (so,r)sin(po (r) + í
(11)
ІП А2 = Уз5 (5о,г)8Іп (ро (г) - 3)
и преобразовать уравнения равновесия к следующему виду: 1т' Лз»іг ■- '3..8 .. \ г™7
Аі
2
рг2 2 — А2>
V« {о ■ , щ \ ;
Т — ^3 8ІП ро + V з 008 г -
Т^6 ^3 8ІП ро + ^3 008 ро) АГ1 дг +
+ Т^6 (З.ІП Ро - \^3008 ро) .р = ргАіА2
дА2
дг
6
г + А2 = А1 008 7,
(12)
ІП А2 = У35 (50,г)8ІП (ро (г) - -3) •
Искомыми функциями являются: угол 7 (зо, г), характеристики деформированного состояния А2 («о, г), А1 (зо, г) и величина формоизменения « («о, г).
Материал оболочки полагаем линейно упрочняющимся со скоростью а:
т = То (1 + аз («о, г)).
2. Построение решения. Найдем решение системы уравнений (12) для различных выражений угла вида напряженного состояния. Положим
ро (г) = 2 - 6г”, П Є N
(13)
Построим асимптотическое решение системы (12) в окрестности полюса оболочки для различных значений степени п. Искомые характеристики деформированного состояния представим в виде степенных рядов по координате г:
7 (5о,г) = ^Г*г\ 5 (5о,г)= 5о + ^ ^г*,
¿=1 ¿=1
Аі (5о,г) = Ао + ^Л1г*, А2 (5о,г) = Ао + ^Л2г\
,г) = Ао г, А2 («о,г) = Ао + > Л, г
¿=1 ,=1
Для первых коэффициентов разложений независимо от величины п имеем: 3
Аор
Гі
л/6 (1 + а\/6іп Ао)
, 5о = \/6 ІП Ао •
Таким образом, в первом приближении решение не зависит от вида гипотезы.
Для идеально пластического материала в рамках гипотезы (13) для п = 2 приближенное решение имеет вид
м , А0 ( р \ (2 (Т0)2 а0^3 + 9п) ^2 () А§ 3
7 (А°’Г) = ЖТ0 ) Г +^----------------------57ёТ-----------Г3’
ч ^ Л 1 (635.2А0 - 613.69 / р \2л0\ 2
в (Ао,г) = л/61п Ао +21(24Ао - 0.09789) ( 1.35 - 0.24Ао - %Т0 ) Ао) Г’
5(ТО)2 А8\/3 + 12п) \/3Ао 504 516 (То)4 А^2 + 519 (Т0)2 Аб^З + 200п2) ^ЗАо
А! (Ао, г) = Ао + ^----------------------------------—-1-------г2+ (14)
З49272 _р )2 \б
(НТО)2 Ао^З - 4п) \/ЗАо
А2 (А0,г) = А0 - Л^----------------------1-------г -
87 (То) Ао2 + 156 (То) Ао^З - 20^2) Ао 4
1746З6
Следует отметить особенность полученного решения: отсутствие деформации в полюсе Ао = 1 не обеспечивает отсутствие деформаций в остальных точках оболочки и отсутствие внешнего давления, то есть для данного решения имеем
А1 ( г)|Ао = 1 = 1
Таким образом, до деформации оболочка отличается от круговой пластины и имеет начальный прогиб.
Увеличение скорости деформационного упрочнения увеличивает прикладываемое давление и диапазон устойчивого развития процесса деформирования. Полученные зависимости приведены ниже (рис. 1).
Рассмотрим следующую гипотезу для угла вида напряженного состояния. Предположим, что п = 4 и функция ро (г) распределена по закону
Ро (г) = 2 - 6г4. (15)
В рамках гипотезы (15) для идеально пластического материала получено приближенное решение в виде степенных рядов:
Аз Г ^ г + ^ А9 Г ^ 3 гз + 47^ \1^ Р ^6АЧтъ) г + 378АЧтоУ г + 498960Ао ^о
Ао (Ао, г) = Ао + 4 2 А07г2 + 4 А13г4 +
168 то о 29106 то
А2 (Ао,г) = Ао - 1(Р) 2 А0г2--¿^ (Р) 4 А13г4 - 4519
56 V то у 0 58212 V то / 0 2З4710784 \ то
5
г5, . (16)
_р \
о 1 А09го,
т0 )
_р_\
о 1 А09го.
то )
£
5
4 3 2 1
1 1.4 1.8 2.2 А.0
Рис. 1. Влияние скорости упрочнения на кривую давление-деформация в
полюсе для п = 2
Решение (16) качественно отличается от решения (14). Здесь наличие сколь угодно малой нагрузки обеспечивает начало процесса деформирования, а также выполняется условие Ах (г)|д0=1 = А2 (г)|д0=1 = 1.
Ниже (рис. 2) приведены зависимости прикладываемого давления от величины деформации в полюсе для различных скоростей деформационного упрочнения.
£
^0
Рис. 2. Влияние скорости упрочнения на кривую давление-деформация в
полюсе для п = 4
Таким образом, решения, построенные в рамках гипотезы обобщенной полной пластичности для п < 4 и для п ^ 4, имеют качественные различия. При прочих равных условиях увеличение параметра п снижает необходимое
для формоизменения давление. Следует отметить, что увеличение параметра n оказывает влияние только на коэффициенты при старших степенях г, в то время как основной вклад в решение вносят отрезки рядов до 6 степени включительно. Отсюда следует, что для n ^ 6 получаемые решения фактически одинаковы и рассматривать большие значения параметра n не имеет смысла.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность: Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
2. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 388 с.
3. Маркин А.А. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластиче-ского деформирования металлов // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 5. С. 164-172.
4. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловкий Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.
Кудряшов Александр Вячеславович ([email protected]), к. ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Deformation of the linearly strengthened shell under condition of the generalized hypothesis of the full plasticity
A. V. Kudryashov
Abstract. The statement of problem of the definition the stress-deformed state the thin, linearly strengthened shell has been executed by means of the generalized hypothesis of the full plasticity. The approximately analytical solution for the different forms applied hypotheses has been received and analyzed.
Keywords: shell, plasticity, hardening, full plasticity hypothesis.
Kudryashov Alexandr ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 28.12.2009
