Цилиндрическая оболочка конечной длины под внешним гидростатическим давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.224.5

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ПОД ВНЕШНИМ

ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ

THE FINIT LENGTH CYLINDRICAL SHELL UNDER EXTERNAL

HYDROSTATIC PRESSURE

В.И. Ванько V.I. Vanko

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Россия, г. Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

Bauman Moscow State Technical University, 105005, Russia, Moscow, 2-ya Baumanskaya St., 5.

E-mail: vvanko@mail.ru

Аннотация. В работе исследуется процесс деформирования круглоцилиндрической оболочки конечной длины под внешним (боковым) гидростатическим давлением. Оболочка изготовлена из упруго-линейновязкого материала. Принятая кинематическая схема позволяет проследить процесс деформирования срединного поперечного сечения оболочки вплоть до полного сплющивания и оценить "время жизни" конструкции.

Resume. This article analyses deformation process of the cylindrical shell of the finite length under external (side) pressure. The shell is made of elastic—linear viscous material. The accepted kinematic sheme allows to observe the deformation process of the middle cross section up to complete flattening and to estimate the "lifetime" of the construction.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка конечной длины; внешнее гидростатическое давление; упруго-линейновязкий материал; метод коллокации; "время жизни" конструкции.

Keywords: cylindrical shell of the finite length; external hydrostatic (side) pressure; linear elastic-linear viscous material; collocation method; "lifetime" of a construction.

Введение

В работах [1,2,3], посвященных исследованию поведения оболочек при перемещениях точек срединной поверхности, сравнимых с толщиной оболочки, используется теория, основанная на нелинейных кинематических соотношениях "перемещения ^деформации". Как следствие упомянутой нелинейности, уравнения равновесия имеют весьма сложный и громоздкий вид и делать какие-либо качественные предварительные заключения становится невозможным.

В работе [4] при изучении процесса развития больших перемещений точек нейтрального слоя кругового кольца, первоначально имевшего слабую овальность формы, была использована следующая кинематическая схема: форма кольца (поперечного сечения бесконечно длинной оболочки) аппроксимировалась сопряжением двух окружностей радиусов Rb и Ra ( Яь > Ra ), рис. 1. Здесь, ввиду центральной симметрии формы кольца, рассматривается только первая четверть в осях ХОУ. В процессе деформирования радиус Яь увеличивается, Яа — уменьшается, вследствие чего изгибающие моменты в поперечных сечениях дуг ВС и СА — разных знаков. Поэтому считаем, что в точке сопряжения дуг изгибающий момент равен нулю.

Рис. 1. Схемы деформирования поперечного сечения цилиндрической оболочк на этапе I (а), по окончании этапа I (б), на этапе II (в).

Fig. 1. Scheme of deformation of the cross section of the cylindrical casings for phase I (a), at the end of phase I (b), phase II (C)

При малой начальной овальности точка С соответствует полярному углу ^ = п /4. Движение по окончании этапа I (Rb стремится к бесконечности) происходит так, что b(t) стремится к о. Решение задачи доводится до состояния полного сплющивания: b = о. При учете ползучести материала кольца (внешнее гидростатическое давление, достигнув некоторой величины, остается постоянным) возможно определить время сплющивания [4]; для упругопластической оболочки -соответствующее значение параметра нагружения [5].

Уравнения равновесия

Развивая описанную выше кинематическую схему, рассмотрим круглоцилиндриче- скую оболочку длиной 21. Исследуем два вида закрепления концевых сечений: шарнирное опирание и жесткую заделку контуров. Как и прежде, оболочка находится под действием внешнего гидростатического давления. Процесс сплющивания происходит так, что существуют три плоскости симметрии: ХОУ, ХОЕ и YOZ [6].

На рис. 2 даны сечения оболочек в плоскостях симметрии. При этом считаем, что в случае шарнирного опирания образующие В "ВВ' и А "АА' в плоскостях симметрии в процессе деформирования остаются полуволнами синусоиды; в случае жесткой заделки аналогичные образующие остаются полуволнами косинусоиды с амплитудами соответственно р(£) и а(£).

а

X

Рис. 2. Процесс деформирования оболочек с шарнирно опертыми и жестко заделанными концевыми сечениями Fig. 2. The process of deformation of shells with simply supported and rigidly clamped end sections

Точка С по-прежнему обозначает точку срединного сечения, в которой изгибающий момент Ме (в плоскости поперечного сечения) обращается в нуль. Считаем, что в области ВВ'С'С оболочка продавливается (вминается внутрь), в области СС'А'А — выпучивается.

Учет влияния конечности длины оболочки скажется, прежде всего, в том, что вследствие растяжения образующих цилиндра возникнут дополнительные распределенные усилия, приложенные к дугам ВС и СА срединного сечения оболочки.

Осевые усилия, возникающие от растяжения образующей Б"ВВ', дадут равнодействующую, направленную по оси ОУ и приложенную в точке В. Аналогично, вследствие растяжения образующей А''ААравнодействующая усилий приложена в точке А вдоль оси ОХ (в отрицательном направлении). Относительно распределения этих дополнитель- ных усилий по дугам: ВС — £2(5) и СА — £1(5), примем следующие предположения.

Максимальное значение усилий £2(5), очевидно, в точке В, £^)тах — в точке А.

В [4] показано, что большая часть I периода протекает при (почти) неподвижной точке С Щ = —. Поэтому считаем, что в точке С: ^ (5) = ^ (5) = 0, а сами усилия £1(5) и £2(5) распределены по соответствующим дугам линейно, рис. 3.

Рис. 3. Распределение усилий по дугам BC и CA срединного сечения оболочки Fig. 3. Allocation of effort in the arcs BC and CA of the mid-section of the shell

При составлении уравнений равновесия дуг ВС и СА принимаем во внимание, что вследствие

симметрии формы поперечного сечения z = о: ^ На Учитываем также равнодействующие параллельных усилий £1(5) и £2(5): Т и Т2 соответственно и их моменты Мс(£1), Мс(£2) относительно точки С.

Равновесие дуги ВС:

Hb - HC - p(b - Rc sinv) = 0,

T2 + Vc - p(R cos = 0,

Mb + fp1 (Rc cos V)2 + f p 1 (b - Rc sin щ)2 - Hb (b - Rc sin щ) -Mc(t2) = 0.

Равновесие дуги СА:

Ис - р (Яс 81пщ) - Т = 0, К -Кс -р (а-Яс 008щ) = °

Ма + Гр] (а - Яс 008 щ)2 + |р1 (Кс ип щ)2 - Га (а - Яс 008 щ) + Мс(^ ) = 0.

(2)

Уравнения (1), (2) сохраняют силу в течение всего процесса сплющивания. Исключая из третьих уравнений систем (1) и (2) величины Нь, Ус, Не и Уа, получим уравнения равновесия в моментах:

Мь + ГР J (Яс 008 щ)2 + [р J (Ь - Яс 81п щ)2 -Мс ($2) - (71 + рЬ) (Ь - Яс 81п щ) = 0, Ма +1Р1 (а - Яс 008 щ)2 + |Р ] (Яс 81п щ)2 + Мс & ) + (Т2 - ра)(а - Яс 008 щ) = 0.

(3)

Здесь: р — равномерное по поверхности внешнее (боковое) гидростатическое давление на оболочку, Ма,ь,с и Т1>2 — моменты и усилия, отнесенные к единице длины:

п п

Ма ь = | azdz■, Т =| adz.

Вычисление распределенных усилий и и t2 и их моментов относительно точки С продемонстрируем на примере шарнирно опертой оболочки.

Пусть ао и Ьо — начальные (до нагружения) значения наибольшего и наименьшего полудиаметров срединного поперечного сечения (г = о).

При шарнирном опирании уравнения образующих Б"ВВ' и Л"АА':

пг

У(г) = Ь0 )008^

пг

х( г) = а0 + а(/) 008 —.

Текущие длины этих образующих

I

т)=|

1 + р21 — I 81п2 — ¿г;

I 21) 21

(4)

Щ) = ^1 + а2 [П] 81п2 ^¿г.

21

Если принять во внимание, что рассматриваются такие перемещения и параметры оболочки, что и/21 < 1/5, Я121 < 1/5, здесь и — характерное перемещение, то можно воспользоваться формулой бинома с точностью ~ 5%, и выражения (4) существенно упрощаются:

/2(0 = } [ 1

1 (п

+ -| — I 81П

2 I 21

2

2 пг

21

¿г,

<

<

2

0

0

f г L 1 (алЛ2 . 2 xz

)=Л1+2)Sln "27

l, (t) = J I 1+ -I —I sln2 — dz.

После вычисления интегралов имеем:

( -2) l2 (t) = l 1 + -L , lx (t) = l

1 + — 4 J

Здесь X =—1а(1 )-

Соответствующие деформации в точках срединной поверхности на образующих ВВ' и АА":

£о = -1,

„0 -l

£z =—--шарнирное опирание.

Так как в плоскости ХОУ сечение оболочки имеет возможность изгибаться, деформация- ми растяжения—сжатия срединной поверхности в плоскости ХОУ пренебрегаем: = 0.

Скорости деформации в точках сечений ХОУ, УOZ и ХОУ имеют значения (производные вычисляются по времени либо по параметру нагружения):

• о 1 . .0 1 .

^ = 2 И'2 И 2 •

Деформации и их скорости обусловят возникновение растягивающих напряжений (Т° в точках образующих ВВ'и АА'срединной поверхности.

Считаем, что напряжения <х_ равномерно распределены по длине образующих оболочки, причем

вектор <т° в любой точке направлен по касательной к соответствующим образующим ВВ 'и АА' (ВВ " и АА ") при любом закреплении концов оболочки, рис. 4.

Рис. 4. Образующая оболочки и вектор внутреннего напряжения. Fig. 4. Forming the shell and the vector of internal tension.

Проектируем вектор <x° на ось OY(OX):

О — О • — О , О t, \

= Y7лsin а ~ К tg ■«=У О);

х"(г).

Находим средние по длине оболочки значения производных у'(г), х'(г). При шарнирном опира-нии и жесткой заделке получаем:

ББ': 1 /)—81п—^ =1 /)—81п—^ = ; / 7 2/ 2/ / { к 7 2/ / /

1 р —т г 1 р —т —т г —^ (X)

ЛЛЛ: - —(X) — 81п—¿г = - —(X)—81п—¿г = —. / 2/ 2/ / { 2/ / /

Итак, усилия в точке В (рассматриваем всю образующую Б"ББ'):

,(Б)=| 2г ¿г,- 4Н ж*.

- к

Аналогично, в точке А:

Ц Л) =} 2а» —1 ¿П = 4к —1 а».

-к

В точках А и В модули усилий от растяжения образующих — максимальны.

Принимаем линейные по углу щ распределения усилий t2(щ) и tl(щ) по дугам ВС и СА, рис. 4:

Х2(щ)=k2(^-щ), 0^щ^р;

7Т

Ш) = к11//, 0 <¥<--р. (5)

Множители пропорциональности к и в выражениях (5) легко определяются, так как значения t2(B) и tl(А) известны:

к2 = Х2(Б)/р = 4к М а:1;

/ р

К =4к —й а 1

1 — 2 -р / 2 — 2 -р

Интегрируя по дугам ВС и СА (по переменному углу щ), получим равнодействующие Т2 и Тъ а также моменты Мс^) и Мс(^) (усилия и моменты отнесены к единице длины):

Т2 = Р k2(р-щ)dщ = к2 р = 2к р;

о 2 /

7 =n|Рk1щdщ = 2 к а? —р).

(6)

Г (1

мс(и) = |к2(Г~Щ)яъ (ъ1ПГ-Ъ1Пщ)йщ = ^2кь

р ъ1пр-р + ътр =

= 4ИЯЪ

Р($ )

(

\

1 , ъ1пр

— рЪ1Пр-1 +--

2 Г )

(7)

Г

ж/2-р

Мс (^ ) = | кщЯа (сов р - соъ(р + щ)) йщ = кгЯ

соър

Г

— -р 1 + соър

= 4йЯ ^

0

z

( (

соър

V V

— /2 - р 1 + -

2 —/2-р

а(/)

) )

l

В [4] было показано, что I этап для бесконечно длинной оболочки , в основном, протекает при почти постоянном значении угла р~щ ~ ж/ 4. Примем во внимание данное замечание и при исследовании процесса сплющивания оболочек конечной длины будем считать скорость изменения угла равной нулю: р = 0.

При этом сам угол р будем определять из соотношения постоянства периметра срединного сечения z = о:

Яр+[ж-р]я = -я° -ь

(8)

В выражениях (7) для моментов Мс(-) введем обозначения:

соър

ж/2-р 1

ж/ 2 -р

-1 = /,;

Ъ1Пр

р о — + —

V2 Г)

-1 = /2.

Тогда моменты усилий £1(5), £2(5) относительно точки С запишутся так:

Мс (О = 4МаП <( А),

Мс Ц2) = 4НЯьу2 Щ а°( В).

I

Уравнения равновесия (3) с учетом связей Яс, щ с величинами Яа, Яъ, р [4], запишем в виде:

Мъ = Р (Ь2 -X2 -у2)+ Мс(¿2) + Т(Ь -у°);

Р.

2

Ма = Р (а2 -х2 -у2)-Мс(О-Г2(а-х°).

(9)

°

<

Система (9) замыкается условием (8). Характер решения системы (8), (9) зависит от вида определяющих соотношений для материала оболочки.

Материал оболочки — упруго-линейновязкий

Считаем материал оболочки линейно вязким и принимаем определяющие соотношения " скорости деформаций ~ напряжения" в виде [7] :

ёв=Ка'в, ё_=Асг'_;

,21 ,21

(10)

Здесь ё0 и ё , сте и ст2 — главные скорости деформаций и главные напряжения в окружном и про-

дольном направлениях в и z; Л — постоянная материала оболочки: [Л] =

м

Н • с

Из уравнений (10):

ав=А-\2ёв+ё2), а2=А-1(2ё2+ёв).

(11)

Уже было оговорено, что вследствие свободы изгибания оболочки в окружном направлении (сечение г = о) пренебрегаем изменением периметра срединной поверхности этого сечения. Пусть £ — координата по толщине оболочки, тогда имеем выражения для скоростей деформаций:

(12)

Здесь £г — скорость деформации срединной поверхности в направлении оси г; к,, и кА — главные кривизны; точкой над буквенным символом обозначаем производную по времени.

Вычисляем скорости кривизн в продольном направлении в точках В (г = о, в = п / 2)

и А( z = о, 0 = о):

к: = у"(1) = 1 ДО Г у | - точка В,

к,=х\г) = -^сс{А у| -точкаА;

(13)

Из (11) получим выражения для напряжений:

_01 о Л -1 Л01 О Л -1 Л02 п л

<т_ — и\ , а, — и\ —средние напряжения в точках В и А;

а в = Л

V ЯЬ У

4 )

в точке В,

ав =К

V Ra J

1 .

--a

4

л i

1

в точке А.

Ограничимся лишь подробным изучением первого этапа деформирования срединного сечения. Вычисляем моменты Ме (в окружном направлении) в точках А и В:

M,, = 2hl {2

a 3 л

M v

V Ra J

- к

Л

¿(0 ;

2 h3 If 1 V

Mb =--<¡ 2

b 3 л

V Rb J

Л

m\.

(14)

Коэффициент k имеет значения:

t 1 t 1 -к = — при шарнирном опирании; к = — при жесткой заделке.

Из геометрических соотношений I этапа имеем зависимости (ф ~ 0) :

b(t) = Rb- (Rb -Ra) cos p b(t) = Rb( 1 - cos ç) + Ra cos q>,

Pit) =b0- b(t) ^>p = -bit) = - (kb (1 - cos ф) + Ra cos ç>),

ait) = Ra (1 - sin ф) + Rb sin <p => à(t) = Ra (1 - sin ф) + Rb sin q>,

ait) = ait) — a0^> àit) = Rai\ — sin<p) + Rb sin<p. Для деформаций имеем выражения:

е* =е02, ^ =е01; е02 = 1 f^Y G01 = I f^Y «2 ^

z z ' z z ' z 4 V 21} И z 4 V 21)

Вычисляем соответствующие средние напряжения в плоскостях УOZ и XOZ и усилия в точках В и А:

(15)

— 4 (7 )л-1 (ж J* *

Приводим запись уравнений равновесия (9) на I этапе:

2 л-1и3

3

V Rb J

ж

+ к\1 ™

> = ^{b2-x2-y2) +

'И

2

h

2 л-1 и3

3

'1 ^ V Ra J

ж

-Ну

Р ( 2 2 2\

(16)

Дальнейшие преобразования системы (16) — алгебраические: все входящие в (16) линейные вели-

ж

чины — а, р, а, b и т. д. — относим к длине дуги ВСА L — — R; параметр толщины оболочки У 2И т 21

И —-— отношение половины толщины к длине дуги BCA, l —- — параметр удлинения;

жR жR

вводим безразмерное время т — tЛp; дифференцирование осуществляется по т. Все безразмерные линейные величины в дальнейшем сохраняют свои прежние обозначения.

Приводим систему (16) к каноническому виду:

\auRb+cil2Ra =ЪХ, [a2lRb +a22Ra =b2.

(17)

Коэффициенты матрицы системы (17) выражаются в виде:

4,2, ,R2 , Rl ,

an — — И - — ж kh (1 - cos ф) + ж Иу2Р (1 - cos ф) -

ж2 hRb (ж V . 2 • --¡г(b-уо)а sinP

2

a

'Jlr—2 R2 „„, ~2i R3 02 .

12

— — И kж —фcosp + ж Иу2-фр cosp-

3

l

13

к2 ИЯ1 (ж Л . . .

-у -¡г ( (Ь ~ Уо) а (1 ~

Т?2

ъ=^ (ь2 - х2 - у2);

2 2 Д2 2 К3 2

а9, =— кж к —г Б1пр + ж к —^ /а Б1пр-21 3 I2 I3

ж2 кК2

2 I3

р(а - х0) (1 - соБр)Р ,

4,з 2 2113 К2 ~ - 2, К!

г —ж кк ■ ч _ г у ,

3 3 12 I3

а22 = — к -—ж кк(1 - б1п р) + ж кур2 (1 - б1п р) -

ж2 кЯ2а , . _2

р(а - х0) Р сор

Ъ2 = К2 (а2 - х02 - у02).

Здесь (напомним): р = | 1 Яа ]/(К - Ка) >

а(г) = а(т) - а0, а = К (1 - б1п р) + К б1п р,

Р(т) = Ъ - Ъ(т), Ъ = К (1 - соБ р) + К соБ р,

г> • г> р ■ Б1пр ,

Хо = Кь Б1Пр, Уо = Ка СОБр, /2 =— Б1пр+--1,

2 р

( ж 1 СОБ р СОБ р / =1 --р— 1; ^ 2 ) 2 ж/ 2-р

Система (17) решается при начальных условиях [4]:

г = 0: Ка (0) = 1 --О-, Кь (0) = - + 0 ж V2 -1 ж -42 -1

Считаем, что во время нагружения возрастающим давлением р < рэ оболочка - упругая и начальное (для решения задачи ползучести) значение «эксцентриситета» ао может быть вычислено по формуле (аоо — величина эксцентриситета до начала нагружения):

■т, _ а00

а0

1 - Р/Рэ'

где рэ — эйлерово давление для бесконечно длинной упругой оболочки [8].

В таблицах 1 и 2 представлены результаты решения системы (17) [6]:

Таблица 1

Результаты решения системы (17) в зависимости от параметра длины I (И = 0.03)

l ж 12.5 5 2.5

R (10) 0.6325 0.6325 0.6325 0.6325

К (10) 0.6407 0.6407 0.6407 0.6407

К 0.3070 0.2997 0.1835 0.0419

К ж ж ж ж

* т 106.5 108.5 154 1080

Здесь показано влияние параметра I (при фиксированном значении параметра толщины к = 0,03) на время протекания I этапа — Г и на конечную конфигурацию срединного сечения в конце I этапа: чем короче оболочка, тем более сплющивается при т = т* ее срединное сечение, что видно по величине радиуса Яа ; оболочки, параметр длины которых превышает 12.5 , можно

считать «бесконечно длинными»; (10) , Яв (10) — значения радиусов Ла и Яв при т = 10 (время — безразмерное).

На рис. 5 показана характерная картина завершения I этапа деформирования линейно вязкой "короткой" оболочки (I < 5) .

ьУ = 0 \ * \т = т

Л ь

L J р

У X

Рис. 5. Форма срединного поперечного сечения линейновязкой оболочки в начале и в конце этапа I деформирования Fig. 5. Form the median of the cross-section limanowski shell at the beginning and at the end of phase I deformation

Очевидно, для таких оболочек рассматривать II этап не имеет смысла.

Результаты решения системы (17) в зависимости от параметра h (l = 2.5)

Таблица 2

h 0.03 0.017 0.012

R (10) 0.6325 0.6094 0.5058

К (10) 0.6407 0.6662 0.7707

К 0.0419 0.0177 0.0097

К ж ж ж

* т 1080 1130 1215

Здесь даны значения радиусов Ка и Кв при т = 10 . Естественно, чем тоньше оболочка,

тем более сплющивается срединное сечение при т = Т*. При этом время завершения I этапа несколько увеличивается.

Заключение

В представленной работе продемонстрирован эффект удачного математического моделирования процесса деформирования цилиндрической оболочки в условиях необходимости учета больших перемещений точек срединной поверхности. Сравнительно с цитированными выше работами [1,2,3] данный подход дает представление о процессе в течение всего времени жизни конструкции.

Отметим, что адекватность кинематической схемы, предложенной в [4], проверена экспериментально [9].

Список литературы References

1. Муштари Х.М., Галимов К.З. 1957- Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 431.

Mushtary H.M., Galimov K.Z. 1957- The non-linear theory of elastic shells. Kazan, Tatknigoizdat, 431.

2. Новожилов В.В. 1962. Теория тонких оболочек. Л.,Судпромгиз, 378.

Novozhylov V.V. 1962. The theory of thin shells. Leningrad, Sudpromgyz, 378.

3. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. 2011. Устойчивость цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами под действием внешнего давления. Изв. РАН Механика твердого тела, №2 : 17-25.

Lopanizyn E.A., Matveev E.A. 2011. The stability of non-perfect cylindrical shells under external pressure. Proceedings of RAS. Mechanics of solid body, N2: 17 - 25.

4. Ванько В.И., Шестериков С.А. 1965. Сплющивание кольца в условиях ползучести. Инженерный журнал. Механика твердого тела, №2: 127-130 .

Vanko V.I., Shesterikov S.A. 1965. The flattening of ring on creep conditions. Ingineer journal. Mechanics of solid body, N2: 127 - 130

5. Ванько В.И. 2011. Цилиндрическая оболочка под внешним давлением: неклассическое решение задачи о больших перемещениях. Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И.Лобачевского, N 4, часть 4: 1413-1414.

Vanko V.I. 2011. The cylindrical shell under external pressure: non-classical solution on larger movements conditions. The Herald of Nizhny Novgorod Lobachevskyi University, 4(4): 1413 - 1414.

6. Ванько В.И. 1966. Продольный изгиб и выпучивание. Дисс... канд. физ.- мат. наук.- М., МГУ: 136.

Vanko V.I. 1966. Bucling and stability. Ph.D. Thesis. Moscow State University, 136.

7. Odquist F.K.G. 1966. Mathematical theory of creep and creep rupture. Oxford, Clarendon Press: 168.

8. Вольмир А.С. 1963. Устойчивость упругих систем. М., Физматгиз, 879.

Volmir A.S. 1963. The elastic systems stability. Moscow, Fizmatgyz, 879.

9. Локощенко А.М. 2016. Ползучесть и длительная прочность металлов. Москва, Физматлит, 502.

Lokoshchenko A.M. 2016. The creep and creep rupture of metals. Moscow, Fizmatlit, 502.