CC BY
38
Дудченко А. А., Сергеев В.Н. Нелинейные уравнения равновесия конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 2. - С. 78-98. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.05
Dudchenko A.A., Sergeev V.N. The nonlinear equations of equilibrium of the conical shell, supported by a discrete set of frames. PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no. 2, pp. 78-98. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.05
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 2,2017 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/ini7
DOI 10.15593/perm.mech/2017.2.05 УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ ДИСКРЕТНЫМ НАБОРОМ ШПАНГОУТОВ
А.А. Дудченко, В.Н. Сергеев
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), Москва, Россия
О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ
Одно из важных направлений в механике деформируемого тела представлено работами, которые посвящены исследованию напряженного состояния подкрепленных тонких оболочек.
Упрощенные методы расчета подкрепленных оболочек, базирующиеся на моделях, использующих концепцию «размазывания», далеко не всегда дают удовлетворительные результаты. Поэтому развитие и углубление методов расчета таких оболочек является актуальным и идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированного состоянии.
Учет дискретности расположения набора при полноценно работающей обшивке основывается на процедуре «склейки» решений для оболочки и набора по участкам, а также на основе вариационных и конечно-элементных методов.
В последние годы появился ряд работ, в которых дискретность подкрепляющего набора предлагается учитывать, записывая переменную жесткость системы с помощью дельта-функции Дирака. Задача сводится к уравнениям с сингулярными коэффициентами .
Коническая оболочка, подкрепленная дискретным набором, представляет собой дискретно-континуальную систему, сочетающую континуальный элемент -собственно оболочку и дискретные элементы - шпангоуты. Указанная система рассматривается с помощью аппарата обобщенных функций как «единая» оболочка из некоторого неоднородно-ортотропного моментного материала, т.е. как оболочка переменной жесткости.
В работе представлена математическая модель деформирования подкрепленной конической оболочки. Приведен вывод нелинейных уравнений равновесия оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов с помощью аппарата векторного анализа. Рассмотрена геометрическая сторона задачи. При рассмотрении физической стороны приведены соотношения упругости для оболочки и дан вывод соотношений упругости шпангоута.
Получена: 07 ноября 2016 г. Принята: 06 мая 2017 г. Опубликована: 30 июня 2017 г.
Ключевые слова:
коническая оболочка, дискретный набор шпангоутов, дельта-функция, неоднородно-ортотропный моментный материал,геометрическая и физическая сторона задачи, нелинейные уравнения равновесия.
© ПНИПУ
© Дудченко Александр Александрович - доктор технических наук, профессор, e-mail: a_dudchenko@mail.ru
Сергеев Валерий Николаевич - кандидат технических наук, доцент, e-mai: k603sergeev@mai.ru
Aleksandr A. Dudchenko - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: a_dudchenko@mail.ru Valeriy N. Sergeev - CSc in Technical Sciences, Associate Professor, e-mail: k603sergeev@mai.ru
NONLINEAR EQUILIBRIUM EQUATIONS OF THE CONICAL SHELL STIFFENED BY A DISCRETE SET OF FRAMES
A.A. Dudchenko, V.N. Sergeev
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation
ABSTRACT
Studying the stress state of stiffened thin shells is one of important issues of solid mechanics.
The simplified methods of computing the stiffened shells based on the models that use the concept of "smoothing" do not always give satisfactory results. Therefore, it is relevant to develop and investigate the computational methods for such shells; and it is in line with considering the discreteness of the position of the stiffening set of frames and identifying the characteristics of stress-strain states that are generated by them. In order to take into account the discreteness of the location of the set of frames in case of a fully operating skin, we "joint" the solutions for the shell and the set of frames, as well as used the variational and finite element methods.
A number of works have recently appeared where authors suggest considering the discreteness of the stiffen set by recording the variable stiffness of the system using the Dirac delta function. The problem is reduced to equations with singular coefficients.
The conical shell which is stiffened with a discrete set of frames is a discrete-continuous system which combines the continual element, i.e. - the shell itself and discrete components, i.e. -frames. This system is considered by means of generalized functions as an "integrated" shell of a non-homogeneous orthotropic generalized material, i.e. as a shell with a variable stiffness.
The paper presents the mathematical model of the deformation of the stiffened conical shell. The derivation of the nonlinear equilibrium equations of the shell are supported by a discrete set of frames using vector analysis. Also the geometrical aspect of the problem is considered here. When considering the physical aspects, we provide the elasticity equations for the shell and obtain the equations of the frame elasticity.
© PNRPU
Введение
В настоящей работе рассматривается коническая оболочка, подкрепленная дискретным набором шпангоутов.
Исследованию гладких оболочек посвящено большее количество работ [2, 6-10, 12, 20-22, 29, 37, 41]. Дискретно подкрепленные оболочки по сравнению с гладкими оболочками представляют собой не только значительно более содержательный, но и значительно более сложный объект исследования. Современный этап развития теории ребристых оболочек начинается с работ [3, 19-22], в которых сформулированы общие принципы теории оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. При этом ребристая оболочка рассматривается как конструкция, состоящая из собственно оболочки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов.
Упрощенные методы расчета подкрепленных оболочек, широко применяющиеся в практических разработках, базируются на концепции «размазывания», т.е. замене подкрепленной оболочки некоторой гладкой конструктивно-ортотропной моделью [3, 16-18, 24, 40-41]. Такой подход далеко не всегда дает удовлетворительные результаты [6]. Поэтому развитие и углубление методов расчета таких оболочек идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированного состоянии.
Развитие и углубление методов расчета таких оболочек идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированнолго состоянии.
ARTICLE INFO
Received: 07 November 2016 Accepted: 06 May 2017 Published: 30 June 2017
Keywords:
conical shell, discrete set of frames, delta function, non-homogeneous orthotropic generalized material, geometrical and physical aspects of the problem, nonlinear equilibrium equations.
Вместе с вышеизложенными традиционными постановками известны работы, использующие другие расчетные модели ребристых оболочек. Прежде всего следует сказать о возможности решения задачи путем «склейки» решений для оболочки и набора по участкам. Здесь необходимо отметить, что подобные решения возможны лишь в случаях, когда для каждого из стыкуемых участков можно предварительно получить решение при произвольных граничных условиях по месту соединения гладких оболочек вращения с дискретными шпангоутами, Здесь по окружной координате решение должно удовлетворять лишь условиям периодичности. Указанный подход применим при любых граничных условиях на торцах оболочки, в то время как для оболочки с продольным дискретным набором решение «склейкой» возможно только при классических граничных условиях на торцах. На указанном подходе базируются исследования подкрепленных пластин и оболочек в работах [7, 30, 34-36, 38].
В ряде работ расчет подкрепленных систем с учетом дискретности производится на основе вариационных методов, что позволяет избежать процедуры «склейки». Задача решается в перемещениях. Единая для оболочки и набора деформированная поверхность аппроксимируется двойными или одинарными рядами. В результате задача сводится к бесконечным системам связанных алгебраических или дифференциальных уравнений, решение которых ищется численно, либо в некоторых частных случаях - аналитически, например в работе [14-15, 31].
В некоторых работах дискретность подкрепляющего набора предлагается учитывать, записывая переменную жесткость системы с помощью дельта-функции Дирака [5, 11, 2126, 28, 30-32, 34-36]. Такой подход также позволяет избежать процедуры «склейки». Задача сводится к уравнениям с коэффициентами, содержащими особенности дельта-функции
Общий метод построения решения уравнений с коэффициентами, содержащими особенности типа дельта-функции и их производных, дан в работах [16, 23-24, 28, 30, 32]. Этот метод может быть использован в качестве общей основы исследования всевозможных объектов, сочетающих непрерывные элементы с дискретными.
1. Основная интерпретация задачи. «Единая» оболочка
В данной работе представлена математическая модель конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов. Такая оболочка представляет собой дискретно-континуальную систему, сочетающую континуальный элемент - собственно оболочку и дискретные элементы - шпангоуты. Следуя [16, 27, 29, 31], будем рассматривать указанную систему с помощью аппарата обобщенных функций как «единую» оболочку из некоторого неоднородно-ортотропного моментного материала (среда Коссера) т.е. как оболочку переменной жесткости.
Пусть , №б, , №б, , е2о2б,М°б,М2о2б,М °б,М2об - погонные усилия и моменты
в конической оболочке, а №2у, QЩ1 у, Опш3у, МЩу, М™,у, Мпш3у - составляющие внутренних
сил (нормальная и перерезывающая силы и изгибающие и крутящий моменты в поперечном у'-го шпангоута в осях подвижного триедра.
Введем обобщенные погонные усилия и моменты в «единой» оболочке (рис. 1):
N = Nf, N2 = NO6 + j* 2 N;2;5(a-a,),
гоб
S = Nо6
12 5
S2 = N26 + j* 2 б; j S(a-a j),
Qi = 011, 02 = 02 + j* 2 б; j5 (a - a j), (1)
м1 = m;, m2 = м2о2б +
j* 2 M; j S(a-a j)
M3 = j* 2M;J 5(a-a j)'
Hi = MO6, H2 = M2O6 + -1*^M; j5 (a - a;).
Рис. 1. Внутренние силовые факторы Fig. 1. Stress factors
Здесь Л1, Л2, £1з £2,- нормальные, касательные и перерезывающие усилия; М1з М2, И2 - изгибающие и крутящие моменты; М3 - моментное взаимодействие материала; 5(а-а..) - дельта-функция, сосредоточенная на параллели а = а... Криволинейная координата а отсчитывается вдоль образующей конической поверхности; А* - соответствующий коэффициент первой квадратичной формы деформированной поверхности.
2. Криволинейные координаты. Метрика поверхности
Рассмотрим прямой круговой конус. Выберем систему декартовых координат (х, у, г) так, чтобы его начало было совмещено с вершиной конуса. Положение точки М срединной поверхности будем фиксировать в координатной сетке, состоящей из линий главных кривизн, т. е. из образующих конической поверхности и семейства параллелей.
Пусть Р - двугранный угол между текущим и некоторым фиксированным мериди-альным сечениями оболочки; а - некоторый параметр, отсчитываемый в направлении образующей; / (а) - расстояние между текущей параллелью и вершиной конуса. Уравнение конической поверхности в параметрической форме
х
= f (a)sin у cos ß, y = f (a)sin у sin ß, z = f (a) cos ß,
(2)
где параметры а и Р - криволинейные координаты точки М (рис. 2).
Пусть ds произвольно ориентированный малый линейный элемент срединной поверхности, соединяющий точки с криволинейными координатами а, Р и а + dа, Р + dp. Квадрат длины этого элемента
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 = A2 (da)2 + 2ABcos%dadß + B2 (dß)2,
где
oX
A2 =|_| +1^1 +l_
Oy. I2+i—T
Sa
_ Oa j V Sa j
B2 =
i ox Л2 icy Л2 Yoz л2
vOß j Uß
V^V
vOß j
(3)
(4)
dx dx dy dy dz dz
AB cos x =--+———+--.
da dp 5a dp 5a dp
Здесь x - угол между координатными линиями. Внося (2) в (4), имеем
ж
A = /(a), B = f (a) sin y, x = -
Рис. 2. Геометрия конической оболочки Fig. 2. Geometry of the conical shell
Введем в рассмотрение тангенциальные орты n1 и n2, ориентированные в направлении возрастания координат а и Р по координатным линиям Р = const, а = const соответственно, и орт нормали n3 = n1 х n2. Орты n1,n2,n3 образуют подвижный векторный базис. Производные скалярных, а также векторных функций криволинейных координат а, Р по направлению ортов n1, n2
d 1 d
d
dn1 A da dn2
1A
A dp'
(6)
3. Геометрическая сторона задачи
Пусть р (а, Р) - радиус-вектор точки М срединной поверхности до деформации, р* (а, Р) - радиус-вектор точки М после деформации, U (а, Р) - вектор упругого смещения той же точки. Очевидно,
p = xi + yi + zk, p* = x*i + у*1 + z*k, р* = р + U, (7)
* * *
где /, у, к - орты декартовой системы координат, а х, у, г и х , у, г - соответственно декартовы координаты точки М до и после деформации. Из (7) следует
x = p • i = x + U • i, y = p • j = y + U • j, z = p • k = z + U • k.
(8)
Выражениями (8) представлены параметрические уравнения деформированной поверхности оболочки. Линейный элемент ds* этой поверхности определяется первой квадратичной формой
(ds*) = A 2 (dа)2 + 2A B cos (n*, n*)dadß + B*2 (dß) ,
где аналогично (4)
A*2 =
8x
v 5a у
8y
У 8а у
8£
У 8а у
B*2 =
У 8ß J + У 8ß
У н у
V
y8ßy
(9)
(10)
A* B* cos (*, n*)
^ * ^ * ^ * ^ * ^ * ^ *
8x 8x 8y 8y 8z 8z
8a 8ß 8a 8ß 8a 8ß
Из (8) с учетом (6) имеем
8x 8a
8y* 8ß
f
= A
8U n* +--
8ni у
f
= B
= B
f 8Uл
n2 +
8n
2 у
8x , "8ß
• 8z* .
7, — = A 8a
8n2
n2 +
У у
f
8U \ 8y
8a
n +
8U
8z*
f 8U ^ n, +--
У 8ni у f
V
1 8n1 j 8ß
= B
n2 +
8U
V
8n
k.
2 у
(11)
Внося (11) в (10) и пренебрегая квадратами малых величин и их произведениями, найдем
A* = A
гл 8U л 1 +-n1
. 8n1 у
B* = B
f 8U ^ ,*„* /* А 8U 8U ^
1 +--n2
8n
A*B* cos (*, n*) = AB
2 у
-n2 +--n1
У 8n1 8n2 у
. (12)
Пусть через точку М срединной поверхности проходит некоторая кривая, заданная в параметрической форме
a = a(t), ß = ß(t).
(13)
Представим орт I, направленный по касательной к этой кривой, в виде линейной комбинации
t = an1 + bn2 = (tn1) n1 + (tn2) n2. Пусть dst - дифференциал дуги кривой (13). Из (3) имеем
(dst )2 = [ A2 аа2 + 2 ABcos%a р + B 2р2 ] (dt )2
(14)
(15)
d a a d ß где a = —, ß = —. dt dt
Материальный отрезок после деформации будет иметь длину ds* . Согласно (2) (ds* )2 = (a*2<а2 + 2A*B* cos (n*, n* )aр + B*2p2 )(dt)2.
(16)
Развернем (16) с помощью (12). Пренебрегая квадратами малых величин и их произведениями, с учетом (15) найдем
dst = С^
1 +
гди Л —п
Чдп1 у
((• п1 )2 +
(ди ди Л
-п2 н--п1
дп1 дп
((• п1 )(( • П2 ) +
(ди Л
-п2
2 У
чдп2 у
( • п2 )2
(17)
Выражением (17) представлена длина ориентированного в направлении произвольного тангенциального орта ( материального отрезка. Относительная деформация этого
отрезка в( = -
ds: - сэ,
^ =
на основании (17) будет выражена так:
(ди Л —п
Чдп1 у
((п1 )2 +
(ди ди Л
—п2 н--п1
^ дп1 дп2 у
(,п1 ) ((П2 ) +
(ди Л -п2
\дП2 У
((П2 )2
(18)
Совмещая орт ( с направлением п и п2, соответственно получим
= ди = ди
= - П1, 82 = -
дп1 дп2
п2.
(19)
Рассмотрим теперь угловые деформации срединной поверхности оболочки. Пусть через точку М срединной поверхности проходят две кривые:
а
= а! ((),Р = Р1 (() и а = а2 ((),Р = Р2 ((),
орты которых (х и (2. Косинус угла между этими ортами
008
((1, (2)=(1(2 = К 1(2+т т2+п п2,
где направляющие косинусы определяются выражениями
, дх ду дг
I = —, т = —, п = —. д( д( д(
(20)
(21)
(22)
Материальные линии, совпадающие с (20), после деформации займут новое положение. Пусть (*, (* - единичные орты этих линий в новом положении. Их направляющие косинусы
1 дг*
,* 1 дх * 1 ду
1*=--^ Щ=~--^ п =■
(23)
1 + в( д( 1 + в( д( 1 + в( д(
Пользуясь (8) и (21)-(23), с точностью до бесконечно малых высшего порядка найдем
ди ди
соб
/**\ * * л \ / ч Си ои
' ((1 , (2 ) = (1(2 =(1 ) ((1(2 )+(1 — + (2
Ввиду малости угловой деформации у = ((1(2) - ((1*, (2),
008 (((, (2*) = 008 ((l, (2) + У,1,2 эт ((l, (2). Теперь, внося (24) в (25), найдем
(24)
у(1(2 12 эт
((1, (2 )
ди ди (1 — + (2-
д(2 д(1
((l, (2)( -е,2).
(25)
(26)
1
Выражением (26) представлено изменение угла между произвольными направлениями на срединной поверхности. Поскольку координатные линии ортогональны,
ди ди
У пп = У12 = П--+ п2-. (27)
г^ 1 д^2 2 д^ v }
Рассмотрим компоненты изгибной деформации срединной поверхности. Пусть рэ (а, р, х3) - радиус-вектор точки Мэ эквидистантой поверхности, отстоящей от срединной поверхности на расстояние х3, отсчитываемое по нормали п3. Очевидно,
Рэ =Р + Хзпз. (28)
Зададим на срединной поверхности некоторую кривую а = а(г),р = р(г) . Ее радиус-вектор
Рг =Рг (г) = р[а(г), р( г)], (29)
где эг и г - соответственно дуга и единичный орт кривой.
Кривой (29) на эквидистантой поверхности соответствует кривая рэг =рэг (г, х3 ) =
= Рэ [а(г),р(г),Х3].
На основании (28)-(29)
Рэг = Рг + х3п3 (Рг). (30)
Дифференцируя (30), получим
^Рэ^ = ^ = г + х3 дп3. (31)
дэг дг дг
Из (31) имеем
Фэ = п1, Ф, = ^1 _ХС^у]п2.
дщ дп2 ^ В )
(32)
Пусть Р*э - радиус-вектор точки Мэ после деформации. Имеем
рэ =Рэ +и э (Рэ), (33)
где иэ (рэ ) = иэ (а, р, х3) - вектор упругого смещения точки Мэ. В соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява
Рэ ( х3 ) = Р* (р) + х3п3* (р) , (34)
где п3* - орт нормали к срединной поверхности после деформации. Приравняв правые части (33) и (34), с учетом (28), (7) найдем
иэ (Рэ ) = и (р) + Х3АП3 (Рг). (35)
Дифференцируя (35), получаем
ар*, = Ф* = дРэ+ди+х3 дАП3. (36)
дэ дг дг дг 3 дг
Выражение (36) определяет вектор, направленный по касательной к деформированной ¿-линии.
Пусть - элементарный отрезок дуги t -линии до деформации. С учетом (35)
ds3t =
Фэ
dt
dst.
(37)
После деформации материальный отрезок будет иметь новую длину ^^. С учетом (36)
ФЭ
ds3t =
dt
dst.
(38)
На основании (37)-(38) относительная деформация элемента t -линии
=
ds3t - ds3t
ds„t
будет
e3t =
Ф3
dt
dp3
dt
= 1.
(39)
Умножим выражение (36) скалярно само на себя и, пренебрегая квадратами и произведениями малых величин, найдем
Ф3 dP3
dt dt
dp3 r_dU dt I dt
+ x3
dAn3
"dT
/
dp3
dt
(40)
Внося (40) в (39), получим
dp3 r_dU dt I dt
+ x3
dAn3
"dT
/
dp3
dt
(41)
Выражение (41) носит общий характер. Совмещая орт t с любым направлением в срединной поверхности, легко получить выражения для линейной деформации эквидистантной поверхности. С учетом (32) найдем
dU dAn3
ei3 = — ni + х3^-
dn1 dn1
1
е 2э ='
1 -
x3cosy B
du
Vdn2
n2 + x3
dAn3
dn
■nn
(42)
2 у
Рассмотрим угловые деформации в эквидистантной поверхности. Пусть через точку М срединной поверхности проходят две кривые
Pt, =Pt, (t1 ), Pt2 =Pt2 (t2 ). На 3квидистантной поверхности x = const им соответствуют кривые
Рц = Pt, + Х3n3 (Pt, ) , P3t2 = Pt12 + x3n3 (Pt2).
(43)
(44)
Дифференцируя (43), имеем
Ф^ _ф_ Ф^ _др_
д^ д'1 1' дsh д'2 2'
где £ £2 и '2 - соответственно дуги и орты кривых (43). Дифференцируя (44), с учетом (30), (45) найдем
Фэ^ _ др3 _ дПз дрэ^2 _ др3 _ дПз
— — '1 I Х3 , — — '2 I Х3
д£ д^ д^ д£ д'2 д'2
(46)
Выражением (46) представлены векторы, направленные по касательным к недефор-мированным '-линиям. Соответствующие им единичные векторы
'э1 /
31 д'1
дРэ
д'1
'э2 /
32 дЛ,
дРэ
д'2
(47)
После деформации '-линии лежат на поверхности (33). Дифференцируя (33), имеем
ф; __др^| ди д£ д'1 д'1 д'1
+ X.
дАп3 д',
дрэ^2 дрэ дрэ ди
д'2 д'2 д'2
+ X
дАп3
д'2
(48)
Выражения (48) определяют векторы, направленные по касательным к деформированным '-линиям. Соответствующие им единичные векторы
'э1 _•
фэ , дрэ , '(2 ^ / дрэ
д'1 д'1 ' э2 д'2 д'2
(49)
Косинусы углов между '-линиями до и после деформации определяются как
Фэ Фэ дрэ дрэ
д'1 д'2
сов
дрэ дрэ
д'1 д'2
сов
vч' 2;
д'1 д'2
дрэ дрэ
д'1 д'2
(50)
Для малых угловых деформаций у^ _ ('э1, 'э2) - (, '(2)
сой ('(1, 'э2) _ сой ('э1, 'э2) + У¡^ вт ('э1, 'э2),
вследствие чего
'(с '(2 )- сов ('э^ 'э2 )
(51)
СОв
у«2
^ (^ 'э2 )
(52)
Теперь, развертывая (50) с помощью (34) и (48) и внося результат в (52), нетрудно получить выражение для угловой деформации.
Совместим ^ с п1, а ¿2 сп2. Тогда из (30)
¿э1 = П1, ¿э2 = П2.
На основании (53) из (52) следует, что
э / * * \
УП1П2 = С0Й 1п^ п2 ] ,
(54)
где п*, п* - орты п1 и п2 линий после деформаций.
Развертывая выражение (54) с помощью (30) и (48) с точностью до бесконечно малых второго порядка, находим
V =■
< ПлЩ
1
1 -
x3cosy
dU dU -n2 +--n + x
f
dn1
dn2
dAn3
V dn2
-n1 +
dAn3 cosy dU ^
dnn
"n2 --
B dn
"n1
1 У
(55)
B
Таким образом, формулами (42) и (55) представлены линейные и угловые деформации эквидистантной поверхности в осях подвижного векторного базиса. При х3 = 0 эти выражения совпадают с соответствующими выражениями для деформации срединной поверхности.
тт Х3 1 , Х3С08У 1
Для рассматриваемых оболочек —« 1, поэтому, положив 1 + —-«1, будем
В В
в дальнейшем исходить из выражений
е13 = е1 + x3
dAn3 dAn3
n, е 2 3 — е 2 ~+ x3-n
dn
dn,
2'
'2
У nln2 У12 У12 + x3
dAn3 dAn3 cosy dU -3 n1 +--3 n2---n2
(56)
V dn2
dn
B dn
1 У
Выражения (56) могут быть представлены в виде
£1э = 81 + Х3%1, 82 э =82 + Х312, У12 = у12 + 2 Х3^12,
(57)
где
X: =
_d_
dn
n
dU
dn1
, x2
d
dn2
dU n3-
V dn2 У
siny dU
--n3-
B 3 dn
, x12 n3
d 2U dn1dn2
(58)
Величины х2 представляют собой компоненты изгибной деформации срединной поверхности; %12 определяет кручение срединной поверхности.
Разворачивая выражения (56) и (57), получим известные формулы [2]:
1 du е. =--.
1 А da
1
е2 = — 2 B
(
dv
--+ u siny - w cosy
dp
Л
У
= 1 2 = 1 du B d i vЛ
y12 = y12 +y12 = вёр + AA B
X1 =■
1 d2 w
a2 a„.2 ' x2 B2
A2 da2
f d2 B . d ^ dv"
w + cosy—
2 +— siny— dp2 A "
^ da у
dp
x12
1A
A da
1 few ^ —--+ v cosy
B V dp \
(59)
4. Статическая сторона задачи
Выделим сечениями а = const, p = const и а + dа = const, Р + dp = const элемент оболочки. Пусть R - вектор равнодействующей, а M - вектор момента относительно точки M всех сил, приложенных к элементу. С точностью до бесконечно малых высших порядков вектор N может быть представлен в виде
R = —[( + Si + Qi )B*dp] d а +
я ^ _ (60)
+ -^p[(N 2 + S 2 + Q2 ) A*d а] dp + A*B*Pdаdp,
где P - вектор интенсивности поверхностной нагрузки, отнесенной к площади срединной поверхности, а N, S, Q - векторы обобщенных погонных усилий (1), приложенных к контуру выделенного элемента (см. рис. 1), причем на площадках с «положительными» внешними нормалями,
Nj = Njn*, Si = Sri, Qi = Qn*,
* * * * * (61) N 2 = N2n*, S 2 = SRn* + S^n*n**, Q2 = Q2 n3*,
где в соответствии с (i)
S2r = Nj6 , S2 = A* Ж,5(а-а;). (62)
A i
Вектор M с точностью до бесконечно малых высших порядков может быть представлен в виде
M = — [(M1 + e1) B*dpl dа +—[(M2 + e2 + M3) A*dа] dp -
Яа Я^ J (63)
- [(N1 + S1 + Q1) n* +( N 2 + S 2 + Q2) n* ] A* B*dаdp,
где М и Н - погонные векторы обобщенных изгибающего и крутящего моментов (1.1), приложенных к контуру элемента (см. рис. 1), причем на площадках с «положительными» внешними нормалями:
I1 = M1n*, M2 = -MRn* -M2n*n*, M3 = M3n3*, e1 = -H1n1*, e2 =h2n*,
(64)
где в соответствии с (1)
MR = M£, M2 = A '"^M^i 5 (а - а j). (65)
Из условий равновесия выделенного элемента N = M = 0 следует
Nn*n3* = Nn* = Nn3* = Mn2*n3* = Mn* = Mn3* = 0. (66)
В развернутой форме уравнения (66) принимают вид
A((1B*) +—(S2 A* ) + (S1B* )n*n*+ (N2 A* )n*n*+ (S RA* )n;n3* ^ + daV ' dpv ' 1 1 ' da 12 ' dp 12 ' dp
W)
—(S1B*) +—((2A*) + n*n —((1B*) +—(SRA*) +(N1 B* )n**^ + (SRA*U
da1 1 ' dp1 2 ' 12 Ld^ 1 ' dp1 2 'J 1 1 ' 2 da 12 ' 2 dp
-(S2RA*)
n*n* dnL + (Q A* )
n2n3 da \q2A j d
n2 n3
dn3* dp d
+ A* B* p* = 0,
d
da
n2n3 dn* - (QB*) n3* - (Q2A*) n3* dp + A*B*p* = 0,
In?,
Sty
dp
dp
B* ^(а A* )-(Nty* + S1n2* )B* ^-((2 n* + SRn* )A* Ц-(S^A* )n2* n* Ц +
+A* B* p3* = 0,
а
da (HB)+dp(M2 A*) - (MB) n*? ^ - ((2 A* yn p
dn*
dn*
\mmRa2)
n2 n3
(M3 A*)
dn*
dn*
"dp v л y z J dp
n2 n3
а
(Вhl^A2)-n*n d-(H1B') + eP(MRA2) -(В))
da dp
dn*
- ?? a*b*q1 - a*b*q2 = 0,
d
-(M2RA* )n* ^ + (M 2SA*)
da
* * dn*
dp
dn1*
da
dp
((B )n* ^-((RA* )n** ^ + (M 2SA*)
n2 n3
dn1
dp
((3 A*)
n
dn*
dp
- A*B*Q = 0,
da
dp
|n2 n3
dn3* dp
(H B2)
dn1*
n3 —- +
da
+ (H2A*)n*Ц + A((3A*)-A*B*(S2 -S1 ) = 0,
(67)
где р1, р2, р3 - составляющие вектора интенсивности внешней поверхностной нагрузки в осях подвижного ортогонального триедра п* х п*, п*, п*.
Пользуясь (19), (27) (58), нетрудно установить следующие соотношения:
* * * * dn . * * dn*
n1 n2 =y12, n2 x n3—3 = - sin y12, n2 x n3 2
n2 x n3
dp da da
dn* d 1 cosy dw — =—y12 +---sin y,
da dp A da
d 1 y12,
* * d?3 . * * d?3
п2 X п3^ = AXl, п2 X п3^т = BX12 + cos y12 = btp , da dp
n
dn* = 1 d
A de1
dn*
= ^ (cxy 12)-——^ n*—7 = sin y
da a da
B dp
dp
1 -е1 +—(ae 2) 1 daV 2У
dn1
n
dn*
dn.
dn
3 ^ = ax1, n3 ™ = bx12, n3 - = ax12, n3 ™
da dp da dp
= -Bx2 + cos y.
(68)
На основании (67) уравнения равновесия запишем в обычной форме: d^B* )+А( a*) SB £y!2 - A sin ySf y12 +
+ Qi ABh + 02 A* Bxß+ p* A* B* = 0,
+N2 A*
f d 1 cos y dw . л
— y12 +---Sin y
dß 2 A да
A(SiB*) + A((2A*) + (A +1 ]N1 Byi2 -N1A^^-d(SfA)yi2
da1 ' dßV 2 ' Ua aj 2 1 dß dßV 27 +A sin yS,
1 +—(a57) daV 2;
да а
f d 1 cos y dw
—y12 +—-—
dß A da
- S2sA*
sin y
+ 01ABX12 -
-02A* (cos y - Bh2) - p*A*B* = 0,
da (Q1B*) + djß(02 A*) - N1ABx1 + N2 A* (cos y- BX 2) -(S1 + Sf) ABx1
- S2S A*Bxß + p3*A*B* = 0,
d d , ,*\ , , „ d 1 TT .* f d 1 cos y dw . ^
•• ^ л 1 sin y
— (H1B*) +—(M2A*)-MB— y12 -H2A da1 17 dßv 27 1 da 12 2
—y12 +"
dß A da
А
da
- A sin yM 2f y12 - M3 A*Bxß - Q1 ABy12 - Q2 A* B* = 0,
) + А(Я 2 A* )-fA+1 ] H1B y12 + H1A ^ -—(m
' dßv 2 ' ^da aj 1 12 1 dß dßv
- A sin yM.
1 + A(as9) daV 2)
+M SA
f d
1 cosy dw y12 +---sin y
4dß 12 A da
-Q A*B* = 0,
л
- M3 A* (cos y- Bh2 )-
У
-М),45x12 + Н АВХ1 + М^А'Вт, + Н2А*(у-ВХ2) + ^(М3А*)-
-(2 - ^ )А* В* _ 0, А* _ А (1 + 81), В* _ В (1 + 82).
Уравнения (69) представляют собой полные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия деформированного элемента конической оболочки в квадратичном приближении. Из этих уравнений, отбрасывая некоторые второстепенные члены, нетрудно получить различные варианты уравнений, известные в литературе [2, 3, 6, 8, 13, 27, 39].
5. Физическая сторона задачи
5.1. Соотношение упругости оболочки
(69)
Соотношения упругости для гладкой конической оболочки из однородного изотропного материала
N1f = ^ (1 + ^ 2), = ^ (VS1 +S2), N12 = Ghyu,
M°6 = D
X1 +
x 2
k1k2 у
M2°26 = D (VX1 +X 2 ) , M1°2б = M2°6 = D (1 - v) X12 .
5.2. Соотношения упругости шпангоута
Будем считать, что в общем случае шпангоут расположен относительно срединной поверхности произвольно и главные оси инерции его поперечного сечения ориентированы также произвольно (рис. 3). Контакт шпангоута с оболочкой осуществляется по линии. Будем считать, что каждое поперечное сечение шпангоута в отдельности перемещается в пространстве как абсолютно твердое тело. Пусть P - радиус-вектор произвольной
точки, жестко связанной с поперечным сечением p = const шпангоута, отсчитываемой от точки 0 (см. рис. 3), принятой в качестве полюса. В 3том случае перемещение 3той точки
u (p p) = Uj (p,0)+9 (p) (71)
где 9j (p) - вектор малого вращения поперечного сечения j-го шпангоута.
При построении соотношений упругости для шпангоута будем считать, что его поперечное сечение p = const жестко связано с жесткой нормалью оболочки, проходящей через точку 0' (см. рис. 3). Другими словами, для шпангоута и оболочки принимается единая гипотеза Кирхгофа-Лява-Клебша.
Рис. 3. Поперечное сечение шпангоута Fig. 3. Cross-section of the frame
В силу этой гипотезы в представлении (71) следует положить
и, (р,0) = и (о, ,р), (72)
где о, - координата параллели, соответствующей линии контакта у-го шпангоута с оболочкой.
Вектор-функцию 9, также можно выразить через вектор-функцию смещения оболочки. Пусть р* - положение радиуса-вектора р после деформации. На основании (71), (72) и элементарных соображений имеем соотношение и^=о, +9 . х р = и^=о, + р* - р .
Совместив радиус-вектор р поочередно ортами п2, п3, из полученного соотношения найдем
0 уП2 =
dU
dn.
82 n2
0 n =
dU
dU
n2 + n1
dn1 dn2
+ n
(dU dU ^
-n л--n2
dn dnl
Скалярно помножив эти соотношения поочередно на n1, n2, n3, окончательно имеем
0 dU 0 n =-n3
j »1
dn2
0 dU 0 ,n2 =-n3
a = a
' j '2
dn1
0 dU 0 n3 =-n3
a = a
'j' '3
dn2
a = a
на основании чего
0 у =
CdU л
-п3
удп2 J
CdU ^ с
п -
дпх
-т
п2 -
V^' ч J
dU —т
\дП2 J
п
что и требовалось.
Пусть M (р, x1, x3) - произвольная точка поперечного сечения р = const шпангоута с координатами xj,x3, отсчитываемыми в направлении ортов п1,п3 от точки 0 (см. рис. 3). Радиус-вектор этой точки р(M) = x1u1 + x3п3. На основании (71)-(73) вектор упругого смещения этой точки
U} (р,Xj,X3) = U(а;,р) +
CdU ^ с
-п3
Удп1 J
п3 -
dU
-п1
Чдп2 J
п
x1 -
CdU ^
-п3
\дп2 J
CdU ^
п2 -
-п3
Чдп1 J
п
(74)
x3.
Скалярно помножив полученное выражение поочередно на п1, п2, п3, после несложных преобразований с учетом (6) получим составляющие вектора упругого смещения шпангоута в скалярной форме:
1 dw
u
(р, x3 ) = U
A да
v, (р, ^ x3) =
1
v--
B
с du --V sin у
\др j
^ 1 C dw
X--
1 B
л
--v cos у
др
J
/О 4 C 1 dw ^
w(р, x1)=1w+a daX 1
Рассмотрим теперь деформации и внутренние усилия в шпангоуте. Переходя к центральным осям х*, х* поперечного сечения шпангоута, имеем
X1 — X1 + , X3 — X3 + ,
(75)
где А1, А3 - эксцентриситеты центра тяжести поперечного сечения шпангоута (см. рис. 3). Линейная деформация окружных волокон шпангоута
£ ,■ (р ^ x3) = ■
1
C dv,.
Л
■ + ui sin у-wi cos V
(76)
(Я} - x3)cos у ^ ЯР где Я} = Я (а}).
Считая размеры поперечного сечения малыми по сравнению с радиусом оболочки, приближенно примем
£ , (p, x1, x2) =
1
(
1 + X
V R J
Ydv,.
др
+ uj sin у - wi cos у
(77)
где r. = r(a.) = R. cos у - радиус поперечного круга линии контакта.
Нормальное напряжение в поперечном сечении шпангоута
а. (р, х, Х2) = Е.8. (р, Х1, Х3), (78)
поэтому для нормального усилия и изгибающих моментов в поперечном сечении шпангоута, отсчитываемых относительно осей подвижного триедра, ориентированного в точке 0 (см. рис. 3), имеем
К,(Р) = |а^, Мш(Р) = |а^, МГ(Р) = {а^йЕ. (79)
Разворачивая (79) с помощью (76), (78), мы будем пользоваться оценкой 1 +— = 1,
К
где А - величина порядка геометрических параметров поперечного сечения шпангоута, включая эксцентриситеты. Получим
К2 , (p) = EF
--+ sin yu - cos yw
dp
f 1 d2w Rj sin ydw 1
cos y dp2
f 1 d 2u Rj sin ydw 1A1
--2 +---1
V cos y dp A da У Rj
da
у R
(80)
Mm4] (p) = ■
E
С0Б у
У
--+ sin yu - cos yw
dp
IA3F} f 1 d2w R, sin ydH J"
у R
cos y dp2
da
У R
f 1 d 2u R, cos ydw 1J
cos y dp2 A da
У R
(81)
Ml, (p) = •
E
С0Б у
У
--+ sin yu - cos yw
dp
Л
AF, f 1 d2w R, sin ydwl J13
у R
cos y dp2
da
У R2
f 1 d 2u R, cos ydw 1 J 33
--2 +--
cos y dp A da
у R
(82)
где .7]1, Jъj3, 3 - осевые и центробежные моменты инерции поперечного сечения .-го шпангоута относительно осей хх, х3:
j1; = jv + a2 f, , j j = j ; + a1a3 f, , j j = j; + af-,
где J, Jj.2, J* - моменты инерции относительно центральных осей х1, х3 ( в общем случае
оси х*, х* не являются главными).
Крутящий момент в поперечном сечении ш пангоута
m:2] (p)=(GJK )TP,a=a аш, a - e:,
|a=a jn\J
-Щ]
(83)
где (01 к), Тр - жесткость и деформация шпангоута при кручении; А*, А^ - эксцентриситеты центра жесткости поперечного сечения шпангоута (см. рис. 3).
F
F
Найдем деформацию кручения шпангоута:
о0 д дп д 1 т„ =-п2 =-(9 п2) -9 í—1 =-(0 n2)--0 v (n3 cos y-n sin y).
p дп дп 1 1 дП дп 1 B 1
Внося в формулу для тр выражение (72), после элементарных преобразований найдем
^P=Xl2 + У12 , (84)
где х12,У12 - определяются согласно (59).
Библиографический список
1. Андрианов И. В., Данишевский В. В. Упрощенные уравнения нелинейной динамики круговых цилиндрических оболочек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. - 2011. - № 1. - С. 17-21.
2. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.
3. Булатов, С.Н. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек сложной геометрии // Актуальные проблемы механики оболочек: тр. междунар. конф. - Казань, 1998. - С. 19-23.
4. Ванько В. И Цилиндрическая оболочка под внешним давлением: неклассическое решение задачи о больших перемещениях // Вестн. Нижегород. ун-та им. Лобачевского. - 2011. - № 4. -Ч. 4. - С. 1413-1414.
5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
6. Власов В.З. Избранные труды. Общая теория оболочек (Т. 1). - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1962. - 528 с.
7. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Решение контактных задач на основе уточненной теории пластин и оболочек // ПМТФ. - 2008. - Т.49, № 5. - С. 169-176.
8. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - 432 с.
9. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. - М.: Наука, 1989. - 376 с.
10. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. Основания нелинейной теории оболочек. -Казань.: Изд-во Акад. наук Татарстана «Фэн», 1996. - 215 с.
11. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.
12. Гольденвейзер А.Л. Теории тонких упругих оболочек. - М.: Наука, 1976. - 512 с.
13. Даревский В.М. Нелинейные уравнения теории оболочек и их линеаризация в задачах устойчивости // Тр. VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. - М., 1966. - С. 355-368.
14. Дудченко А.А. Прочность и проектирование авиационных конструкций из композицон-ного материала. - М.: Изд-во МАИ, 2007, - 199 с.
15. Дудченко А.А., Елпатъевский А.Н. Прочность композитных подкрепленных панелей, нагруженных в своей плоскости // Механика композитных материалов. - 1993. - Т. 29, № 1. - С. 84-92.
16. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. -№ 4.- С. 150-162.
17. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: тр. ЦКТИ. -1968. - Вып. 88. - С. 46-70.
18. Жилин П.А. К анализу краевых задач для ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: тр. ЦКТИ. - 1966. - № 72. - С. 26-40.
19. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. Ч. 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. - М.: Физматгиз, 2010. - 288 с.
20. Карпов В.В., Семенов А.А. Математическая модель деформирования подкрепленных ор-тотропных оболочек вращения // Инженерно-строительный журнал. - 2013. - № 5. - С. 100-106.
21. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчету строительных конструкций. - СПб., 2009. - 74 с.
22. Карпов В.В. Метод вариационных предельных преобразований в теории оболочек, имеющих нерегулярности // Вестн. гражданских инженеров. - 2005. - № 4(5). - С. 37-42.
23. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике / под ред. Б.Е. Победри. - М.: Мир, 1978. - 518 с.
24. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. - Киев: Наук. думка, 1974. - 192 с.
25. Климанов В.И, Тимашев С. А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / УНЦ АН СССР. - Свердловск, 1985. - 291 с.
26. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. - 196 с.
27. Муштари Х.М., Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. - Казань, 1975. - 326 с.
28. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Расчет пространственных конструкций. - 1962. - Вып. 8. - С. 207-245.
29. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - JL: Судпромиздат, 1962. - 431 с.
30. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. -М.: Машиностроение, 1973. - 660 с.
31. Овчаров А. А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 3. - C. 63-71.
32. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными ко3ффициентами типа дельта-функции и ее производных // ДАН СССР. - 1970. - Т. 1, № 5. - С. 997-1000.
33. Рейсснер Э.Э. Линейная и нелинейная теория оболочек. Тонкостенные оболочечные конструкции. - М.: Машиностроение, 1980. - С. 55-69.
34. Семенов А.А., Овчаров А.А. Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек // Инженерный вестник Дона. - 2014. - Т. 29. - Вып. 2. - С. 74-77.
35. Семенов А.А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных орто-тропных оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. -№ 1.- С. 49-63.
36. Общая нелинейная теория упругих оболочек / Черных К.Ф. [и др.]. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. - 388 с.
37. Chrobot B. Mathematical models of ribbed Shells // Studia Geotechnica et Nechanica. - 1982. -Vol. IV. - No. 3-4. - P. 55-68.
38. Reissner E. Linear and Nonlinear Theory of Shells // Thin-shell structures: theory, experimenyand Design, Prentice - Hall inc., 1974. - P. 29-44.
39. Swaddiwudhipohg S., Tian J., Wang C.M. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method // Thin walled structures. - 1999. - Vol. 35. - P. 1-24.
40. Yang. B., Zhou J. Analysis of ring-stiffened cylindrical shells // Journal of Applied Mechanics. -1995. - Vol. 62. - Р. 1005-1014.
References
1. Andrianov I.V., Danishevskij V.V. Uproshchennye uravneniya nelinejnoj dinamiki krugovyh cilindricheskih obolochek [Simplified equations of nonlinear dynamics of circular cylindrical shells]. Sankt-Peterburg, Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta, 2011, no. 1, pp. 17-21
2. Biderman V.L. Mechanics of thin-walled constructions [Mechanics of thin-walled structures]. Moscow: Mashinostroenie, 1977, 488 p.
3. Bulatov S.N. K probleme raschyota podkreplyonnyh konicheskih obolochek slozhnoj geometrii [To the problem of calculating reinforced conic shells of complex geometry]. Kazan', Tr. mezhdunar. konf. «Aktual'nye problemy mekhaniki obolochek», 1998, pp. 19-23.
4. Van'ko V.I Cilindricheskaya obolochka pod vneshnim davleniem: neklassicheskoe reshenie zadachi o bol'shih peremeshcheniyah [Cylindrical shell under external pressure: a non-classical solution of the problem of large displacements]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. Lobachevsky, 2011, no. 4. Part 4: Messages presented at X all-Russia. Congress on fundamental problems of the theory of applied mechanics, pp. 1413-1414.
5. Vladimirov B.C. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Nauka, 1979, 320 p.
6. Vlasov V.Z. Izbrannye trudy. Obshchaia teoriia obolochek (tom 1) [Selected transactions. General theory of the shells (volume 1)]. Moscow, izdatel'stvo akademii naukSSSR, 1962, 528 p.
7. Volchkov Yu. M., Dergileva L.A. Solution of contact problems on the basis of the precise theory of plates and shells Dergileva [Solution of contact problems based on the refined theory of plates and shells. J. Appl., 2008, vol. 49, no. 5, pp. 169-176.
8. Vol'mir A.C. Nelineinaia dinamika plastinok i obolochek [Nonlinear dynamics of plates and shells]. Moscow, Nauka, 1972, 432 p.
9. Vorovich I.I. Matematicheskie problemy nelineinoi teorii pologikh obolochek [Mathematical problems of the nonlinear theory of shallow shells]. Moscow, Nauka, 1989, 376 p.
10. Galimov K.Z., Paymushin V.N., Teregulov I.G. Osnovaniia nelineinoi teorii obolochek [The Foundation of the nonlinear theory of shells]. Kazan', Izdatel'stvo Akademii nauk Tatarstana "Fen", 1996, 215 p.
11. Gelfand I. M., Shilov G. E. Obobshchennye funktsii i deistviia nad nimi [Generalized functions and operations on them]. Moscow, Fizmatgiz, 1959, 470 p.
12. Goldenveyzer A.L. Teorii tonkikh uprugikh obolochek [Theory of thin elastic shells]. Moscow, Nauka, 1976, 512 p.
13. Darevskiy V.M. Nelineinye uravneniia teorii obolochek i ikh linearizatsiia v zadachakh ustoichivosti [Nonlinear equations of the theory of shells and its linearization in problems of stability]. Moscow, Trudy VI Vsesoiuznoi konferentsiipo teorii obolochek i plastinok, 1966, pp. 355-368
14. Dudchenko A.A. Prochnost' i proektirovanie aviatsionnykh konstruktsii iz kompozitsonnogo materiala [Strength and design of aircraft structures made of kompozitsionnogo material]. Moscow, Izdatel'stvo Moskovskogo aviatsionnogo instituta, 2007, 199 p.
15. Dudchenko A.A., Elpatevskii A.N. Strength of the composite reinforced panels, loaded in their plane. Mechanics of composite materials. 1993, vol. 29, no. 1, pp. 84-92.
16. Zhilin P.A. Lineinaia teoriia rebristykh obolochek [Linear theory of ribbed shells], Izvestiia akademii nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela, 1970, no, 4, pp. 150-162.
17. Zhilin P.A. Obshchaia teoriia rebristykh obolochek [General theory of ribbed shells]. The strength of the hydroturbines: proceedings of Central Committee for Heavy Industry, 1968, vol. 88, pp. 46-70.
18. Zhilin P.A. K analizu kraevykh zadach dlia rebristykh obolochek [To the analysis of boundary value problems for the ribbed shells]. The strength of the hydroturbines: proceedings of Central Committee for Heavy Industry. 1966, no. 72, pp. 26-40.
19. Karpov V.V. Prochnost' i ustoichivost' podkreplennykh obolochek vrashcheniia. Chast' 1. Modeli i algoritmy issledovaniia prochnosti i ustoichivosti podkreplennykh obolochek vrashcheniia [Strength and the stability of the stiffened shells of rotation. Part 1. Models and the algorithms of a study of strength and stability of the stiffened shells of rotation]. Moscow, Fizmatgiz, 2010, 288 p.
20. Karpov V.V., Semenov A.A. Matematicheskaya model' deformirovaniya podkreplennyh ortotropnyh obolochek [Mathematical model of deformation of reinforced orthotopic rotational shells]. Inzhenerno-stroitel'nyi zhurnal, 2013, no. 5, pp. 100-106.
21. Karpov V.V., Sal'nikov A.Yu. Variacionnye metody i variacionnye principy mekhaniki pri raschetu stroitel'nyh konstrukcij [Variational methods and variational principles of mechanics in building structures]. Sankt-Peterburg, Sankt-Peterburgskii gosudarstvennyi arkhitekturno-stroitel'nyi universitet, 2009, 74 p.
22. Karpov V.V. Metod variacionnyh predel'nyh preobrazovanij v teorii obolochek, imeyushchih neregulyarnosti [The Method of variation of the ultimate transformations in the theory of shells having irregular]. Vestnikgrazhdanskikh inzhenerov, 2005, no 4(5), pp. 37-42.
23. Kech V., Teodoresku P. Vvedenie v teoriyu obobshchennyh funkcij s prilozheniyami v tekhnike. Pod redakciej B.E.Pobedri [Introduction to the theory of generalized functions with applications in engineering. Edited by B. E. Pobedria]. Moscow, Izdatel'stvo Mir, 1978, 518 p.
24. Lazaryan V.A., Konashenko S.I. Obobshchennye funktsii v zadachakh mekhaniki [Generalized functions in mechanics problems]. Kazan', Naukova dumka, 1974, 192 p.
25. Klimanov V.I., Timashev S.A. elineinye zadachi podkreplennykh obolochek [Nonlinear problems of reinforced shells]. Sverdlovsk, Ural'skii nauchnyi tsentr akademii nauk SSSR, 1985, 291 p.
26. Mihailov B.K. Plastiny i obolochki s razryvnymi parametrami. [Plates and shells with discontinuous parameters]. Leningrad, Leningradskii gosudarstvennyi universitet, 1980, 196 p.
27. Mushtari H.M., Galimov K.Z. Osnovy nelineinoi teorii tonkikh obolochek [Bases of the nonlinear theory of thin shells [Foundations of nonlinear theory of thin shells]. Kazan', Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta, 1975, 326 p.
28. Novitsky V.V. Del'ta-funktsiia i ee primenenie v stroitel'noi mekhanike [The delta-function and its application in structural mechanics]. Calculation of spatial structures, 1962, iss. 8, pp. 207-245
29. Novozhilov V.V. Teoriya tonkih obolochek [Theory of thin shells]. Leningrad, Sudpromizdat, 1962, 431 p.
30. Obraztsov I.F., Onanov G.G. Stroitel'naya mekhanika skoshennyh tonkostennyh sistem [Structural mechanics sloping thin-walled systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1973, 660 p.
31. Ovcharov A.A., Brylev I.S. Matematicheskaya model' deformirovaniya nelinejno uprugih podkreplennyh konicheskih obolochek pri dinamicheskom nagruzhenii [Mathematical model of nonlinear elastic deformation of reinforced conical shells under dynamic loading]. Modern problems of science and education, 2014, no. 3, pp. 63-71
32. Onanov G.G. Uravneniya s singulyarnymi koehfficientami tipa del'ta-funkcii i ee proizvodnyh [Equations with singular coefficients type of Delta-function and its derivatives]. Doklady akademii nauk SSSR, 1970, vol. 1, no. 5, pp. 997-1000.
33. Reissner E.E. Lineinaia i nelineinaia teoriia obolochek. Tonkostennye obolochechnye konstruktsii [The Linear and nonlinear theory of shells]. Moscow. Mashinostroenie, 1980, pp. 55-69
34. Semenov A.A., Karpov V.V. Matematicheskaya model' deformirovaniya podkreplennyh ortotropnyh obolochek vrashcheniya [Mathematical model of deformation of orthotopic reinforced shells of revolution]. Inzhenerno-stroitel'nyi zhurnal, 2013, no 5, pp. 100-106
35. Semenov A.A., Ovcharov A.A. Matematicheskaya model' deformirovaniya ortotropnyh konicheskih obolochek [Mathematical model of deformation of orthotopic conical shells]. Inzhenernyi vestnik Dona, 2014, vol. 29, iss. 2, pp. 74-77
36. Semenov A.A. Algoritmy issledovaniya prochnosti i ustojchivosti podkreplennyh ortotropnyh obolochek [Algorithms for the investigation of strength and stability of stiffened orthotopic shells]. Stroitel'naia mekhanika inzhenernykh konstruktsii i sooruzhenii, 2014, no. 1, pp. 49-63
37. Chernyh K.F. i dr. Obshchaya nelinejnaya teoriya uprugih obolochek . [The General nonlinear theory of elastic shells]. Sankt-Peterburg, Izdatel'stvo Sankt-Peterburgskogo universiteta, 2002, 388 p.
38. Chrobot B. Mathematical models of ribbed Shells. Studia Geotechnica et Nechanica, 1982, vol. IV, no. 3-4, pp. 55-68.
39. Reissner E. Linear and Nonlinear Theory of Shells. Thin-shell structures: theory, experimenyand Design, Prentice - Hall inc., 1974. pp. 29-44.
40. Swaddiwudhipohg S., Tian J., Wang C.M. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method. Thin walled structures. 1999, vol. 35, pp. 1-24.
41. Yang. B., Zhou J. Analysis of ring-stiffened cylindrical shells. Journal of Applied Mechanics, 1995, vol. 62. pp. 1005-1014.
