Устойчивость конических оболочек Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ТЕОРИЯ КОРАБЛЯ И СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Б01: 10.24937/2542-2324-2018-4-386-11-19 УДК 624.046:624.074.4

Г.И. Ефремова, В.М. Рябов

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

УСТОЙЧИВОСТЬ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Объект и цель научной работы. Статья посвящена проблеме проверки устойчивости конических оболочек, по своим параметрам относящихся к классу прочных корпусных конструкций подводной техники. Материалы и методы. Решение задачи строится на базе приближенной формулы, полученной обобщением решения Х.М. Муштари для постоянного значения отношения толщины конической оболочки (Г) к ее радиусу (г) и, соответственно, зависящего от г параметров подкрепляющих оболочку шпангоутов. Рассматриваются оболочки без изломов образующей. Ряд составляющих базовой формулы установлен на основе численных расчетов. Основные результаты. Выполнена оценка граничных условий конических оболочек, определяемых специальным параметром О. Рассмотрены 4 варианта граничных условий (оба края свободно оперты, оба края жестко заделаны; большой диаметр жестко заделан, меньший - свободно оперт; большой диаметр свободно оперт, меньший - жестко заделан). На основании сопоставлений численных и теоретических решений продемонстрирована высокая степень совпадения значений параметра О для приведенных вариантов граничных условий в широком диапазоне изменения параметра п/п (где п и Г2 - наибольший и наименьший радиусы конических оболочек).

При рассмотрении оболочек без шпангоутов предложена формула, позволяющая определить значение постоянной толщины равноустойчивой оболочки, соответствующее конкретному значению теоретического критического давления для конической оболочки с постоянным значением отношения толщины конической оболочки к ее радиусу. Для определения наименьшего теоретического давления при постоянном отношении толщины конуса к радиусу предложена упрощенная формула, хорошо работающая для оболочек «средней длины».

Выполненный анализ устойчивости конических оболочек со шпангоутами показывает, что базовая формула удовлетворительно определяет теоретическое критическое давление оболочки средней длины с внутренними шпангоутами и завышает его при наличии наружных ребер жесткости.

Заключение. Разработан расчетно-аналитический метод оценки устойчивости несущих конических конструкций подводной техники, который может быть использован специалистами отраслевых НИИ и бюро-проектантов. Ключевые слова: устойчивость, конические оболочки, радиус, толщина. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

NAVAL ARCHITECTURE

DOI: 10.24937/2542-2324-2018-4-386-11-19 UDC 624.046:624.074.4

Efremova G., Ryabov V.

Krylov State Research Center, St. Petersburg, Russia

STABILITY OF CONICAL SHELLS

Object and purpose of research. This paper discusses stability verification of conical shells belonging to the class of pressure hull structures for underwater technology.

Materials and methods. Solution to the problem is based on an approximate formula derived through generalization of Mushtari solution for constant thickness-radius ratio t/r of conical shell and, accordingly for r-dependent parameters of shell stiffeners. This paper only investigates the shells with straight generatrix. A number of terms in the basic formula was found numerically.

Main results. This paper gives an assessment of boundary conditions for conical shells, determined by a special parameter, G. Four variants of boundary conditions are discussed: both ends simply supported; both ends fixed; greater diameter

Для цитирования: Ефремова Г.И., Рябов В.М. Устойчивость конических оболочек. Труды Крыловского государственного научного центра. 2018; 386(4): 11-19.

For citations: Efremova G., Ryabov V. Stability of conical shells. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2018; 386(4): 11-19 (in Russian).

fixed, smaller simply supported; greater diameter simply supported, smaller fixed. Comparison of numerical and theoretical solution demonstrates quite a good correlation of G parameter for above-mentioned variants of boundary conditions in a wide range of ri/r2 ratios, where ri and n are greatest and smallest radii of conical shells respectively.

For shells without stiffeners, the paper suggests a calculation formula yielding the value of constant thickness for an equally stable shell, corresponding to given theoretical critical pressure for a conical shell with constant t/r ratio.

To calculate the least theoretical pressure at constant t/r, this paper suggests a simplified formula that works well for "medium-length" shells.

Stability analysis of stiffened conical shells has demonstrated that the basic formula yields satisfactory results for critical theoretical pressures of medium-length shells with internal stiffeners, whereas for those with external ones these results are somewhat too high.

Conclusion. Calculation & analysis method suggested in this paper for stability assessment of conical bearing structures of underwater technology could be useful for the experts of dedicated research institutes and design offices. Keywords: stability, conical shells, radius, thickness. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.

Введение

Introduction

Устойчивость конических оболочек рассмотрена в большом числе публикаций [1-8 и др]. Этому вопросу посвящена специальная монография И.Н. Преображенского и В.З. Грищака «Устойчивость и колебания конических оболочек» [6]. Тем не менее, полного решения задачи до сих пор нет - имеются лишь отдельные приближения, полученные при тех или иных упрощающих допущениях. К их числу принадлежит и эта работа, основанная, прежде всего, на работах Х.М. Муштари [4 и др.] и собственных исследованиях, в том числе на сопоставлении устойчивости оболочек постоянной и линейно переменной толщины.

Геометрия кругового конуса (рис. 1) описывается следующими параметрами:

■ длина L;

■ наибольшие (п) и наименьшие (r2) радиусы;

■ угол конусности у (tgy = (ri - r2)/L);

■ радиус конуса в зависимости от отстояния от наибольшего радиуса

r(x) = ri - xtgy; (1)

■ отстояние наибольшего радиуса r1 от вершины Li = rictgy;

r 1

x = 0 r(x) r2 x = a

L Lo

Li

■ отстояние наименьшего радиуса r2 от вершины Lo = Li - L, L = (ri - r2) /tgy,;

■ радиусы кривизны Ri = да, R2 = r /cos y;

■ параметры A = i/cos y, B = r = ri - xtgy;

■ зависимости толщины t от x;

■ параметры шпангоутов (рис. 26).

Учет особенностей геометрии конических

оболочек подводных аппаратов (рис. 2) предполагает, что:

■ при описании конической оболочки отсчет вдоль нее ведется по оси конуса, так, что шпации I соответствует площадь сечения шпации It / cos у;

■ шпангоуты ставятся нормально к оси корпуса и, соответственно, под углом у к поверхности оболочки, так, что отстояния центров тяжести пояска и стенки (рис. 2б) от срединной поверхности обшивки будут

tn +1 i t+h

+h I cos y , I-I cos y ;

средние напряжения в обшивке ст2 = pr/tcosy .

(2)

(3)

Рис. 1. Геометрия кругового конуса Fig. 1. Geometry of a circular cone

В табл. 1 дано сопоставление параметров цилиндра и конуса по рис. 2.

Рассматриваются оболочки без изломов образующей. Уравнения равновесия круговой конической оболочки при любых ^) являются уравнениями с переменными коэффициентами.

Таким образом, в общем случае строгой формулы для p'кр получить нельзя. Можно получить лишь приближенные формулы, составляющие которых определяются на основе численных расчетов.

В качестве такой исходной и подлежащей уточнению формулы примем решение, получаемое

■

x

обобщением (не строгим!) решения Х.М. Муштари для постоянного значения t /г (и, соответственно, зависящее от г параметров шпангоутов).

Х.М. Муштари, полагая п2 >> 1, n2 >> sin2 у для оболочки средней длины и малой конусности, t /г = const, получил уравнение с постоянными коэффициентами и

E

Ркр 2 . 2 л

n +a /2

12(1 -v2)r3

(n2 +a2)2 +

t_ (a4 + 2,5a2 + 9/16) r (n2 +a2)2

(4)

(5)

Ркр =-

E

n2 - cos2 Y+—(1 -S)

JH cos V 2 2 42 -^-3—L(n2 - cos2 y)2 +

r 3l

t < cos3 Y

r [n2 + aj2„(1 -S)]2

t cos Y r 2 2 „ „ 2 ,2

+ 12(1 2) 3 П + < (1 -S) - cos2 Y]2 12(1 -v )r

(6)

где a

пр

= a1 tfo ; a1 =

n sin y ln(rl / r2)

В формуле полагается, что п2 существенно больше а2. Как показали расчеты, формула хорошо «работает» при п /а1 > 2,5...3 и удовлетворительно при п /а1 ~ 2:

S =

5 ß2

ß4

ß2

ß4

4 n24Ö 2n4G 8VG 200G ' ß = ln(rl /r2),

(7)

* Формула корректна при О порядка единицы и не допускает предельного перехода О ^ 0.

a = л sin у / £п(г1 / г2).

Слагаемые 2,5а2 + 9/16 определяются отличием граничных условий от свободного опирания.

Решение (4) для конструктивно-ортотропной оболочки с Jn /г31 = const, t /г = const может быть приближенно обобщено в виде

б)

Рис. 2. Геометрия конических оболочек подводных аппаратов:

а) коническая часть подводного аппарата, подкрепленная шпангоутами;

б) параметры шпангоута

Fig. 2. Geometry of conical shells for underwater technology: a) stiffened conical part of an underwater vehicle; b) stiffener parameters

Таблица 1. Сопоставление параметров цилиндра и конуса

Table 1. Comparison of cylinder and cone

_j/n

Цилиндр Конус

Давление Р p/cosy

Радиус r r/cosy

Толщина t t

Площадь сечения шпации It It/cosy

Площадь сечения шпангоута F F

Параметр в lt/F It/Fcosy

Эксцентриситет шпангоута Z0 Z0 cosy

Собственный момент инерции шпангоута J0 J0 cos2y

Полный момент инерции шпангоута с присоединенным пояском (без собственного момента инерции последнего) Jп Jп cos2y

(цилиндр) ai = lim (n sin у /ln (ri Ir2)) ^ nr /L; L - длина цилиндра; G - коэффициент, зависящий от граничных условий и геометрии оболочки и подлежащий определению.

При n2 >> a2

где г1, г2 - радиусы оснований, причем при г1 < г2 следует брать у < 0, так, что всегда sin у /ln (г1 /г2) > 0 (далее полагаем ri > г2); при у ^ 0, ri ^ Г2 = г = const

а2пр, n2 >> 1

кр

= E

t an!p cos3 y

Jn cos3 y«2

r 3¿

t3n2cos y 12(1 -v2)r3

(8)

l

п

h

ст

r

Рис. 3. Правило знаков для усилий и перемещений Fig. 3. Rule of signs for forces and displacements

Из Sp/Sn2 = 0 при этом следует

'i I 3 -a4Pcos3 У I/

t cos y 12(1 -v2)r3

Jn cos3 У A

r Ъ1

. (9)

В дальнейшем полагаем 5 ~ 0. Формула (4) с 5 = 0 является основой исследования.

Оценка влияния граничных условий

Assessment of boundary condition effect

Для приближенного определения G примем

Jn cos2 y

r 3/

>>

12(1 -v2)r3

(10)

л gy 2

E—(cos3 y)

EJ„

- 5(tg2 y ) tt

л

dz 4

9 < 4 +—tg4 y .16

S 2

r 3l cos ylse2

+ cos y

Sz 2

se4

cos y^se

s2

1 S4

, I - +cos y - ,

s4 yl se2 r^se4

Ф = 0; (12)

** При этом с небольшой ошибкой в безопасную сторону в (4) можно принять 5 = 0 тем более что при этом снимается проблема, связанная с определением 5 при малых О.

z =

ln (r / r2 )

tgy '

(13)

где 9 - угол, отсчитываемый по окружности сечения; г - текущее значение радиуса нормального сечения оболочки (при п < Г2 нужно брать у < 0); Ф - разрешающая функция, через которую выражаются перемещения и, V, м> и усилия Т1, £ в срединной поверхности (рис. 3).

Из уравнения (12) определяется разрешающая функция

Ф =

C^hqz + C2chqz + +C3 sin sz + C4 cos sz

cos ne,

(14)

где q ■■

что практически всегда имеет место для подкрепленных оболочек корпусов морской техники**, а также

а 2

n2 - cos2 у >> ——; n2 >> апр , (ii)

2 пр

что уже накладывает определенные ограничения на формы потери устойчивости и делает определение G приближенным. Разрешающее уравнение устойчивости при этом

= . 4в + -tg2y ; S = . 4в --tg

y ;

h =

pr

Eh cos y

4 / 2 2

n (n - cos y ) +

y)

+tg4 y -

J ц

Ihr2 cos4 y

(n2 -cos2 y) .

Перемещения и усилия находятся по формулам

ztgy

s3

,2 1

se2sz

3, J

+ 2 se*"

Ф;

- ztgy

2

1

д3Ф

cos y se3

w = e 2

ztgy 1

д4Ф

2 -v-,4

cos y se

T = E-e ~

ztgy

(cos y )

sz2se2

+2(tgy)-

szse2

3(t2 ) s2

-4(tg y) ^^

Ф;

(1-)

t ztgy

S = E—e 2 (cos2 y)> r

s4

-t (tgy)

sz3se 2

К 2 ч s2

— (tg2y)-

4 dzde

dz2 se

+ - (tg3y) —

s se

ф.

На границах r = ri, z = 0 и r = r2, z = zi. Для z = z1 введем новые переменные

^ = qz1, S = sz1.

(16)

n

2

4

3

s

e

Из изложенного следует

Лр =-

EJncos у

r 3l

(n2 - cos2 y) +

h a,j4G cos3 y +E —

r n4 (n2 - cos2 y)

(17)

выражение (17) является упрощенным аналогом (4),

G =

1 +

9 ГР

161 S

il

•.4 у ч 2

+G + 5 ГР

41л

S = rc,

M

Р)4 +G-5 [Г2

4 1л

Выражая граничные условия через усилия и перемещения и приравнивая определитель получающейся системы к нулю, получим трансцендентное уравнение для нахождения G через п, 9.

Рассмотрим в качестве примеров два случая.

1. Оба конца оболочки свободно оперты, т.е. V = T1 = 0:

1 -

5 Р2 5 Р

4 Л

4 —2

16

—

sh— sin S +

Р

+2-^-—(ch— cos S-1) = 0.

n2

(19)

2. Оба конца жестко заделаны, т. е. u = v = 0:

ch— cos S-1 -—sh— sin S = 0. 4 —2 S

(20)

Решая уравнения (19), (20), а также уравнения для других граничных условий, можно получить значение G как функции р. Полученный ряд значений G для 0 < р < 1,4 (т.е. 1 < (п /г2) < 4,05 угол у при этом явно в решение не входит) был аппроксимирован аналитическими формулами высокой точности для четырех вариантов граничных условий.

1. Оба края оболочки свободно оперты:

G « 1 -(Р/6)2.

(21)

Сопоставление численного решения и расчета по формуле (21) дано в табл. 2.

Таблица 2. Сопоставление численного решения и расчета по формуле (21)

Table 2. Comparison of the numerical solution and the calculation as per Formula (21)

(18)

Г2/П в G (численное) G по формуле (21) Погрешность, %

1,000 0 1 1 0

1,221 0,2 0,999 0,999 0

1,492 0,4 0,997 0,996 -0,1

1,822 0,6 0,990 0,990 0

2,226 0,8 0,983 0,982 -0,1

2,718 1,0 0,973 0,972 -0,1

3,320 1,2 0,961 0,960 -0,1

4,055 1,4 0,946 0,946 0

2. Больший диаметр жестко заделан, меньший -свободно оперт:

G « 2,441 + 0,63Р + 0,21Р2.

(22)

Погрешность по этой формуле не превосходит -0,2 и +0,06 % при изменении G от 2,441 при р = 0 до 3,734 при р = 1,4.

3. Больший диаметр свободно оперт, меньший жестко заделан:

G « 2,441 -0,65Р+ 0,092Р2.

(23)

Погрешность по этой формуле не превосходит -0,23 и +0,08 % при изменении О от 2,441 при р = 0 до 1,713 при р = 1,4.

4. Оба края жестко заделаны:

G « 5,143 + 0,325Р2.

(24)

Погрешность не превосходит +0,1 и -0,07 % при изменении G от 5,143 при р = 0 до 5,784 при Р = 1,4.

При невыполнении неравенств n2 >> а21 подстановка G из формул (21)-(24) в (4) будет давать некоторую погрешность.

Оболочки без шпангоутов. Постоянная и переменная толщина

Unstiffened shells. Constant and variable thickness

Очевидно, что для конкретной оболочки параметру t /r = const соответствует равноустойчивая оболочка

2

Таблица 3. Значения £пост /ri, £перем /ri, tnocT /£Лерем для ряда значений р'кр, ri/ri = 0,8, L/ri = 1,08 (L = 540 мм)

Table 3. tconst / ri, tvar / r 1, tconst / tvar for a number of p cr

values, r 2 /ri = 0.8, L /ri = 1.08 (L = 540 mm)

р'кр /пост //1 /перем //1 /пост //перем

10 0,019 0,022 0,864

30 0,031 0,0355 0,873

50 0,0385 0,0445 0,865

100 0,0525 0,06 0,875

150 0,062 0,0705 0,879

200 0,069 0,079 0,873

250 0,0755 0,0865 0,873

300 0,0815 0,0945 0,862

/пост г\ о'71+0,008 t - U,8/1_0,009 перем

с •Л

пост/ 'перем

0,890 0,885 0,880 0,875 0,870 0,865 0,860 0,855 0,850

\

/ 'Л —

Т \

/ \ ■

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

(перем/^* 1

Рис. 4. Зависимость tnocT Дперем ОТ tnepeM /ri для r2/ri = 0,8, L/ri = i,08

Fig. 4. tconst / tvar versus tvar / ri for r2 / ri = 0.8, L/ri = i.08

Р'кр, МПа

500

400 300 200 100 0

tпост

tпер ем

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 t /r1

Рис. 5. Зависимость р'кр от отношения t/ri; ri = 500 мм, r2 = 400 мм, L = 540 мм, Г2 /ri = 0,8, L /ri = 1,08 Fig. 5. р'кр versus t /ri

с t = const. Исследовались оболочки в следующих диапазонах: 0,12 < r2In < 0,8, 0,54 < LIn < 2,16.

Приведем результаты сопоставления /постЛперем для ряда сочетаний r2 и L при r1 = 500 мм (табл. 3 -рис. 4-5; табл. 4 - рис. 6-7).

В табл. 5 эти результаты обобщены и сопоставлены с аппроксимацией

^пост 1

/п

2(1+ъ/

1

'-t, 2

« 2t,

перем (1 + r2 / r1) ;

/(1 + r2/ /1).

(25)

(26)

Таблица 4. Значения tnocT /ri, ^ерем /ri, tnocT Дперем, для ряда значений р'кр, ri/ri = 0,i2, L/ri = 2,i6 (L = i080 мм)

Table 4. tconst /ri, tvar /ri, tconst /tvar, for a number of p'cr values, r2 /ri = 0.i2, L /ri = 2.i6 (L = i080 mm)

Р'кр /пост //1 /перем //1 /пост //перем

10 0,02 0,044 0,45455

20 0,0265 0,059 0,44915

30 0,031 0,07 0,44286

40 0,035 0,078 0,44872

50 0,0385 0,085 0,45294

60 0,0415 0,091 0,45604

70 0,0445 0,0965 0,46114

/пост 0 452+0,004 -V, 4JZ Q QQ3 Сдерем

^пост^ перем

0,50

0,48

0,42

0,40

0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

'перем/?" 1

Рис. 6. Зависимость £Лост Дперем от ^ерем /Г1 ДЛЯ г2 /Г1 = 0,12, L /Г1 = 2,16

Fig. 6. tconst/ tvar versus tvar / п for Г2 / Г1 = 0.12, L/ri = 2.16

Формула (25) при r2 /r1 > 0,24 дает почти точно значения по верхнему пределу (без ошибки в опасную сторону) при определении /пост по /дерем.

Использование (25) для оболочек постоянной толщины:

■ по заданному (требуемому) р'кр для Г2 /п > 0,24 согласно (6) находится /перем;

■ формула (25) позволяет определить соответствующее этому р'кр значение /пост почти точно или с небольшим завышением (то есть с ошибкой в безопасную сторону).

Определение наименьшего теоретического критического давления при постоянном отношении толщины к радиусу

Calculation of the least critical pressure at constant t/r

Предварительно по аналогии с цилиндром определим вспомогательный параметр u и его связь с ai. Сопоставление с цилиндром дано в табл. 6.

С учетом табл. 6 основное уравнение (4) приводится к виду

, _ E cos у

pkp _ 2 2 2 , ^ n2 - cos2 у+ a2 /2

' t ^

V '0 У

an

t (n2 +a2np)2

_i_

+ r i2(i-V2)'

/ 2 2 , 2 \2 -(n - cos у + anp)

(27)

Отличия (27) от формулы Мизеса сводятся к заменам 1 на соБ2у при (п2 - 1); г на г0;

Л БШ у

а^ = а^ и , а, =-.

45 £п (г,/ Го)

Появился общий множитель СОБ4у. Повторяя вывод для цилиндра [3] с минимизацией по п при п2 ~ п2соБ2у, получим при 0,75 < и < да

minpkp « 0,5891 i + — +

0,4 0,2

2

' n ^

a,i85u-I i +

u u i + u

í , Y

E

4

cos у

8u

- i.

(28)

(29)

С ростом r\ /r2 погрешность в (28) с ошибкой в безопасную сторону возрастает.

Формулы (28), (29) и определяют приближение min р'кр и п.

P кр 500

/ tп ост

/ /

/

^ере м

400 300 200 100 0

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 t /г 1

Рис. 7. Зависимость р'кр от отношения t /п; ri = 500 мм, r2 = 60 мм, L = 1080 мм, Г2/Г1 = 0,12, L/ri = 2,16 Fig. 7. p'cr versus t/r±; ri = 500 mm, Г2 = 60 mm, L = 1080 mm, Г2 /r1 = 0.12, L /r1 = 2.16

Таблица 5. Сопоставление результатов расчета tn0cT /^ерем с аппроксимацией (25) Table 5. tconst/ tvar ratio: calculation results versus approximation (25)

n/ri /пост / /псрсм фактически /пост /¿перем по (25)

i i i

0,8 0,83...0,9i 0,9

0,64 0,77.0,83 0,82

0,60 0,76.0,79 0,80

0,48 0,70.0,75 0,74

0,40 0,65.0,70 0,70

0,24 0,54.0,59 0,62

0,i2 0,44.0,46 0,56

Таблица 6. Сопоставление параметра u его связи с ai для цилиндра и конуса

Table 6. Parameter u and its connection with ai for cylinder and cone

Цилиндр Конус

aj =%r / i ; ai = п siny/l«(ri/r2)

u = 0,643 íT -V ^ , V 0,91 JTi примем

2Hn(n / r2) r u - . J - я sin у V t

при 0 <v<0,4 2 fT

¡1 -v2 , „„„ --J—, r0 - rcosy,

ai V t

4 = 1 + 0,02, так, V 0,91 так, что при r /t = const;

ro /t = const.

что с зависимостью от v

можно

не считаться.

ít 4rt . . a,. — = ж-и 2/ u , так

1 r i

2 Í7

что u и-. — .

aj V t

При этом

2/п = 0,636 = 0,99 0,643

МПа

X

Таблица 7. Минимальная критическая нагрузка р'кр, МПа, для конусов c линейнопеременной толщиной обшивки и с линейнопеременной высотой шпангоутов с сечением F = i,5х 8 мм2 (при ti = i,5 мм) и F = 2 х i0 мм2 (при ti = 2,0 мм), шпацией l = 30 мм, диаметром 2ri = 400 мм, длиной L = 270 мм

Table 7. Minimal critical load p'cr, MPa, for cones with linearly-variable plating thickness and linearly-variable height of stiffeners with section F = i.5 х 8 mm2 (at ti = i.5 mm) and F = 2 х i0 mm2 (at ti = 2.0 mm), spacing l = 30 mm, diameter 2ri = 400 mm, length L = 270 mm

р'кр, МПа

2r2, мм град t1 = 1,5 мм -1 = 2,0 мм

ai По программе [9] (наружн. шпанг.) По программе [9] (внутр. шпанг.) По формуле (6) По программе [9] (наружн. шпанг.) По программе [9] (внутр. шпанг.) По формуле (6)

320 2,06 8,43 5,71 (n = 5) 6,50 (n = 5) 6,51 (n = 5) 12,35 (n = 4) 12,73 (n = 4) 13,10 (n = 4)

240 1,74 16,5 4,37 (n = 5) 4,98 (n = 4) 5,07 (n = 4) 8,86 (n = 4) 10,15 (n = 4) 10,39 (n = 4)

200 1,57 20,3 3,47 (n = 4) 4,15 (n = 4) 4,25 (n = 4) 7,35 (n = 4) 8,87 (n = 4) 9,12 (n = 4)

140 1,30 25,7 2,38 (n = 4) 3,07 (n = 4) 2,91* (n = 10) 3,26 (n = 4) 5,36 (n = 4) 7,05 (n = 4) 7,50 (n = 3)

- = 0,0075, J = 1,193 x 10-6 r r3l - = r 0,01, J = 3,03 x 10-6 r 3l

местная потеря устойчивости

Таблица 8. Минимальная критическая нагрузка р'кр, МПа, для конусов c линейнопеременной толщиной обшивки и с линейнопеременной высотой шпангоутов с сечением F = i,5 х 8 мм2 (при ti = i,5 мм) и F = 2 х i0 мм2 (при ti = 2,0 мм), шпацией l = 30 мм, диаметром 2ri = 400 мм, длиной L = 540 мм

Table 8. Minimum critical load p'cr, MPa, for cones with linearly-variable plating thickness and linearly-variable height of stiffeners with section F = i.5 х 8 mm2 (at ti = i.5 mm) and F = 2 х i0 mm2 (at ti = 2.0 mm), spacing l = 30 mm, diameter 2ri = 400 mm, length L = 540 mm

2r2, мм a1 град. р'кр, МПа

-1 = 1,5 мм -1 = 2,0 мм

По программе [9] (внутренние шпангоуты) По формуле (6) По программе [9] (внутренние шпангоуты) По формуле (6)

320 1,04 4,24 3,98 (n = 3) 3,86 (n = 3) 7,61 (n = 3) 7,36 (n = 3)

240 0,90 8,43 3,10 (n = 3) 3,02 (n = 3) 6,39 (n = 3) 6,22 (n = 3)

200 0,83 10,49 2,70 (n = 3) 2,66 (n = 3) 5,82 (n = 3) 5,73 (n = 3)

140 0,70 13,54 2,18 (n = 3) 2,22 (n = 3) 5,00 (n = 3) 5,10 (n = 3)

Таблица 9. Минимальная критическая нагрузка р'кр, МПа, для конусов c линейнопеременной толщиной обшивки и с линейнопеременной высотой шпангоутов с сечением F = i,5х 8 мм2 (при ti = i,5 мм) и F = 2 х i0 мм2 (при ti = 2,0 мм), шпацией l = 30 мм, диаметром 2ri = 400 мм, длиной L = i080 мм

Table 9. Minimum critical load p'cr, MPa, for cones with linearly-variable plating thickness and linearly-variable height of stiffeners with section F = i.5 х 8 mm2 (at ti = i.5 mm) and F = 2 х i0 mm2 (at ti = 2.0 mm), spacing l = 30 mm, diameter 2ri = 400 mm, length L = i080 mm

2r2, мм a1 град. р'кр, МПа

-1 = 1,5 мм -1 = 2,0 мм

По программе [9] (внутренние шпангоуты) По формуле (6) По программе [9] (внутренние шпангоуты) По формуле (6)

320 0,52 2,12 2,12 (n = 3) 2,10 (n = 3) 4,58 (n = 2) 4,37 (n = 2)

240 0,45 4,24 1,95 (n = 2) 1,87 (n = 2) 3,52 (n = 2) 3,35 (n = 2)

200 0,42 5,29 1,60 (n = 2) 1,55 (n = 2) 3,02 (n = 2) 2,93 (n = 2)

140 0,36 6,86 1,17 (n = 2) 1,17 (n = 2) 2,41 (n = 2) 2,42 (n = 2)

С учетом ограничения п /а, > 2,5.3 получаем, что они пригодны лишь для оболочек средней длины. Из п /а, > 2,5.3

( п ^

V^ 1 /

> 6...9 .

(30)

Из (29) получаем 1,185м(1 + (1+м) /8м2) > 7.10, т.е. решение хорошо «работает» при м > (6...8). (31)

Для оболочек малой конусности (r2 ~ r1) решение пригодно при любых м.

Оболочка со шпангоутами

Stiffened shell

Формула (6) удовлетворительно определяет теоретическое критическое давление оболочки средней длины с внутренними шпангоутами и завышает его при их наружном расположении. В подтверждение сказанного приведем данные расчетов конкретных оболочек (табл. 7, табл. 8, табл. 9). Численный метод расчета таких оболочек, в основе которого лежит метод прогонки с дискретной ортогонализаци-ей, достаточно подробно изложен в [9].

Библиографический список

1. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

2. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Физматгиз, 1978.

3. Кравчук В.С. Исследование устойчивости ортотроп-ных цилиндрических и конических оболочек // НТО СП. Доклады. 1965. Вып. 66. С. 63-67.

4. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957.

5. Николаев В.А. Устойчивость ортотропных конических оболочек при действии внешнего давления. НТО СП. Доклады. 1966. Вып. 79. С. 125-129.

6. Преображенский И.Н., Грищак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение, 1986.

7. Рябов В.М. Устойчивость конических оболочек при различных граничных условиях и сопряжении двух конических оболочек // Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 2006. Вып. 26 (310). С. 80-87.

8. Рябов ВМ. Устойчивость и несущая способность оболочек подводной техники. СПб.: Бостон-спектр, 2018.

9. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984.

References

1. Volmir A. Stability of strained systems. Moscow: Nauka, 1967 (in Russian).

2. Grigolyuk E., Kabanov V. Stability of shells. Moscow: Fizmatgiz, 1978 (in Russian).

3. Kravchuk V. Stability of orthotropic cylindrical and conical shells // NTO SP. Messages. 1965. Issue 66. P. 63-67 (in Russian).

4. Mushtari Kh., Galimov K. Non-linear theory of shells. Kazan: Tatknigoizdat, 1957 (in Russian).

5. Nikolaev V. Stability of orthotropic conical shells under external pressure // NTO SP. Messages. 1966. Issue 79. P. 125-129 (in Russian).

6. Preobrazhensky I., Grishak V. Stability and vibrations of conical shells. Moscow: Mashinostroyeniye, 1986 (in Russian).

7. Ryabov V. Stability of conical shells at different boundary conditions and connection of two conical shells // Transactions of KSRI. 2006. Issue 26(310). P. 80-87 (in Russian).

8. Ryabov V. Stability and bearing capacity of underwater technology shells. St. Petersburg, Boston-spektr, 2018 (in Russian).

9. Myachenkov V., Maltsev V. Methods and algorithms for calculation of 3D structures on ES-family computers. Moscow: Mashinostroyeniye, 1984 (in Russian).

Сведения об авторах

Ефремова Галина Ивановна, научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, г. Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: 8 (812) 415-46-77. E-mail: krylov@krylov.spb.ru. Рябов Виталий Михайлович, д.т.н., главный научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, г. Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Тел.: 8 (812) 415-46-77. E-mail: krylov@krylov.spb.ru.

About the authors

Galina I. Efremova, Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812) 415-46-77. E-mail: krylov@krylov.spb.ru.

Vitaly M. Ryabov, Dr. Sci. (Eng.), Chief Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812) 415-46-77. E-mail: krylov@krylov.spb.ru.

Поступила / Received: 23.08.18 Принята в печать / Accepted: 07.11.18 © Рябов В.М., Ефремова Г.И., 2018