CC BY
68
УДК 539.3 + 624.074.4
В.В. Литвинов, В.И. Андреев, А.С. Чепурненко
ФГБОУ ВПО «РГСУ»
УСТОЙЧИВОСТЬ УСЕЧЕННОЙ КРУГОВОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Энергетическим методом в форме Тимошенко — Ритца решена задача устойчивости свободно опертой усеченной круговой конической оболочки, сжимаемой по верхнему основанию равномерно распределенной погонной нагрузкой t, отнесенной к срединной поверхности оболочки и направленной вдоль образующей конуса. Задача свелась к проблеме определения собственных чисел в алгебраической теории матриц. Численно на ПЭВМ получено значение критической нагрузки
Ключевые слова: оболочка, устойчивость, энергия, работа, выпучивание, обобщенное вековое уравнение.
Рассмотрим свободно опертую круговую коническую оболочку со срезанной вершиной, сжимаемую по верхнему основанию равномерно распределенной нагрузкой t, направленной вдоль образующей конуса (рис. 1). Для краткости такое нагружение назовем осевым сжатием [1].
Не ограничиваясь лишь осесимметричной формой потери устойчивости, перемещения точек срединной поверхности оболочки при выпучивании будем искать в виде
ВЕСТНИК
10/2012
и = и(а,1,а,2); V = у(щ,а2); и = и^^)-
Так как для конической оболочки в принятой системе координат А = 1, В = а,18тф, = да, ^ = а11апср, компоненты деформации выпучивания согласно линейной теории оболочек [2] могут быть записаны в виде
Si — ■
ды
За,
1 dv
s2 —-
=
В да2 B да д2 w
1 дВ w +--ы +-
—; S12 = В—I - 1 +
R2
дат
1 ды В да2
да2
(1)
2Со — —
2 В
1 5v
1 д2 w ^
R да 2 В да 2
Ж12 =
да1
v
R2
1 3w В да2
1 дВ 3w В да1 5а 1
Принимая гипотезу о нерастяжимости образующей конуса при его выпучивании ( 81 = 0), получим
ды да1
— 0,
откуда следует и = и(а2), и далее, используя граничное условие для нижнего основания
и\ , = 0,
1а1 =1
Получаем:
и = 0.
Таким образом, перемещения точек оболочки могут быть описаны двумя компонентами:
V = у(а1, а2),
V = w(а1, а2).
Для облегчения задачи установления функций V и V примем еще одну гипотезу, которая, впрочем, обладает физичностью. Будем считать, что потеря устойчивости рассматриваемой оболочки происходит в форме, симметричной относительно какой-либо вертикальной осевой плоскости, например, х20х3.
Одна из возможных форм деформации горизонтального сечения конуса показана на рис. 2.
В силу принятой гипотезы функцию для v(al,a2) следует выбрать нечетной по а2 , а для w(al,а2) — четной.
В качестве искомых могут быть приняты следующие функции [7, 8]:
v = X X bmnаГ sinпа2;
m—1n—1
х х
w — X X cmnаГ cos(n -1)а2.
Г—1 n—1
(2)
Рис. 2. Возможная форма деформации горизонтального сечения конуса при осевом сжатии
Сближение концов образующей при выпучивании может быть подсчитано по формуле
1 1
Д = 1 f 2 J
^ \2 ^ _ ^2
dv 1 I dw +
da
da
d ai.
(3)
Потенциальная энергия деформации при выпучивании оболочки в данном случае имеет вид
П =
Eh гг
>(1 -J2)())
^2(1-ja)ej22
dF + D Ц Г(®1 +^2)2 -2(1 - j) ( -^i22)
(F)
dF, (4)
где dF = ajsin yd aid a2.
Работу внешних сил подсчитываем по формуле
A = f t-Д-Bqda2,
(a 2)
где Bq = B|= a0 sinф.
С учетом последнего и используя (3), получим
1 l 2л
A = t-aо sinф-— f f
dv
da
dw
da
d a1 d a 2.
(5)
Потенциальную энергию системы записываем в виде Э = П-А.
Применяем теперь принцип минимума полной потенциальной энергии системы [5], на основании которого
дЭ дП дА
0; (6)
dbrs dbrs dbr
дЭ дП дА
dcrs dcrs dcrs
= 0
r = 1,2,.... m, s = 1,2,.... n.
В данном случае это приводит к следующему
2
0
ao 0
ВЕСТНИК
10/2012
I л ф{ {<
82 ^ + 2(1 -Ц)812 ^
12
(Ж + ®2) дГ1" (1
(
дж2
жг
V Ъ
-2ж
дж
12
12
Л
дЪг
»а^а^а2 -1ф1——а0 | |
2 I л
дv д
г дv >
£7г : :г, да] дЪг„
а0 0 1 "
vдаl /
Э1П ф
-2ж
г [1е ^+к2
Г ¿Г2 дсг, + 12
а0 0 I ™
(®1 + ®2)
—1 + —2 у дсГ5 дсгз J
- (1 -Ц)
®1
ё а^ а2 = 0;
>
■ ®2
1
а^а^а2 - ^ э1п ф
1 -Ц Ек
2 I п "а0 Ц
ди д
да дсГ
ч5«1 J
ё а^ а2 = 0
После всех громоздких подстановок и последующего интегрирования, которое в данном случае выполняется в замкнутом виде, приходим к системе линейных алгебраических уравнений, которую удобно записать следующим образом:
да да
УУ Ъ (А11 - Вп ^+УУ г А12 = 0
итп у^тпгя I ' ^тп^тпгя "
т=1 п=1 т=1 п=1
да да да да , .
У У ЪтпАтпгя + У У стп (Атпгя — ¿Втпгя ) = 0
(7)
т=1 п=1 т=1п=1
(г = 1,2,.... т ^ = 1,2,.... п. или в матричной форме
(А -1 • В)Х = 0, (8)
где А и В — квадратные матрицы размером 2тп х 2тп , которые можно представить как блочные
" 311
А =
Ап А12
А21 А'
тпгп тпгп
22
В =
В 0
0
В
22
X — вектор, составленный из неизвестных коэффициентов Ътп и стп, входящих в (2). Его можно записать в виде
'■й-
1 2
где X и X — в свою очередь векторы, составленные из коэффициентов Ътп и стп соответственно, т.е.
Х = {Ътп}; Х = {стп}.
Условием для нахождения критической нагрузки является равенство нулю определителя системы (8)
| А -1 • В |= 0, (9)
которое представляет обобщенное вековое уравнение. В результате задача определения критических нагрузок ¿кр свелась к проблеме определения собственных чисел в алгебраической теории матриц. Вычисления производились численно на ПЭВМ.
а0 0
Было проведено 6 приближений. Наибольший размер матриц и системы (8) в шестом приближении был 72 х 72. В первом приближении т и п равнялись 1. Во втором т и п менялись от 1 до 2, в третьем — от 1 до 3, в четвертом — от 1 до 4, в пятом — от 1 до 5, в шестом — от 1 до 6.
Вычисления выполнялись при следующих параметрах оболочки (\ кг
Е = 2• 106—-; ц = 0,3; Н = 1см; ф =30 а0 = 100см; I = 200см. см
Уточнение критической нагрузки происходило сверху (рис. 3), и уже после третьего приближения обнаруживается сходимость. Результаты пятого и шестого приближения отличаются примерно на 5 %.
^ , кг/см
кр'
3010
2010
1010
1 2 3 4 5 6
Номер приближения
Рис. 3. График зависимости критической нагрузки на конус при осевом сжатии от номера приближения
Полученная в шестом приближении критическая нагрузка = 8,82 -103— согла-
см
суется с решением, приведенным для нижнего основания конуса в [6]
^кр
Eh2
1
5 (iV)
/tgrn
(10)
Эта формула аналогична формуле Лоренца — Тимошенко [7, 8] для круговой цилиндрической оболочки и получена Штаерманом [9] для случая осесимметричной формы потери устойчивости в предположении, что при выпучивании в направлении меридиана образуется большое число волн. В случае же несимметричной деформации или малом числе волн вдоль образующей возможны, по-видимому, отклонения критической нагрузки в сравнении с решением по формуле (10), что имеет место в нашем
случае, так как по формуле (10) получается tKÜ
р см
Библиографический список
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Наука, 1967. 984 с.
2. Биргер И.А. Прочность. Устойчивость. Колебания : справочник. В 3 т. Т. 3. / под ред. И. А. Биргера, Я.Г. Пановко. М. : Машиностроение, 1968. 568 с.
3. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд. перераб и доп. М. : Машиностроение, 1991. 336 с.
4. Гольденвейзер А.Л. Теория тонких упругих оболочек. М.-Л. : Гостехиздат, 1953. 544 с.
5. Муштари Х.М. Приближенное решение некоторых задач устойчивости тонкостенной конической оболочки кругового сечения // Прикладная математика и механика. 1943. Т. 7. Вып. 3. С. 155—166.
ВЕСТНИК 10/2012
6. Григолюк Э.И., КабановВ.В. Устойчивость оболочек. М. : Наука, 1978.
7. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М. : Гостехиздат, 1946.
8. Baruch M., Harari O., Singer J. Low buckling loads of axially compressed conical shells. Trans. ASME, Ser. E., 1970, vol. 37, № 2 pp. 384—392.
9. Штаерман И.Я. Устойчивость оболочек // Труды Киевского авиационного института. 1936. № 1. С. 12—16.
10. Bryan G.N. Application of the energy test to the collapse of a thin long pipe under external pressure. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1988, vol. 6, pp. 287—292.
Поступила в редакцию в августе 2012 г.
Об авторах: Литвинов Владимир Витальевич — заведующий лабораторией кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, 8 (863) 201-91-36, v2635396@mail.ru;
Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499)483-55-57, asv@mgsu.ru;
Чепурненко Антон Сергеевич — студент института промышленного и гражданского строительства, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, аП;оп_ chepurnenk@mail.ru.
Для цитирования: ЛитвиновВ.В.,АндреевВ.И., ЧепуренкоА.С. Устойчивость усеченной круговой конической оболочки при осевом сжатии // Вестник МГСУ № 10. С. 95—101.
V.V. Litvinov, V.I. Andreev, A.S. Chepurnenko
STABILITY OF TRUNCATED CIRCULAR CONICAL SHELL EXPOSED TO AXIAL COMPRESSION
The problem of stability of a freely supported truncated circular conical shell, compressed by the upper base of a uniformly distributed load per unit length t, referred to the median shell surface and directed along the generatrix of the cone, was solved by the Ritz-Timoshenko energy method. The orthogonal system of curvilinear coordinates of the points of the middle surface of the shell was adopted to solve the problem. Possible displacements were selected in the form of double series approximation functions. The physical principle of inextensible generatrix of the cone exposed to buckling at the moment of instability was employed. In addition, the fundamental principle of continuum mechanics, or the principle of minimal total potential energy of the system, was taken as the basis. According to the linear elasticity theory, energy methods make it possible to replace the solution of complex differential equations by the solution of simple linear algebraic equations. As a result, the problem is reduced to the problem of identifying the eigenvalues in the algebraic theory of matrices. The numerical value of the critical load was derived through the employment of the software.
Key words: shell, stability, energy, work, buckling, generalized hoary equation.
References
1. Vol'mir A.S. Ustoychivost' deformiruemykh sistem [Stability of Deformable Systems]. Nauka Publ., 1967, 984 p.
2. Birger I.A., Panovko Ya.G. Prochnost'. Ustoychivost'. Kolebaniya [Strength. Stability. Vibrations]. Reference book. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968, vol. 3, 568 p.
3. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost' uprugikh sistem [Fundamentals of Analysis of Stability of Elastic Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.
4. Gol'denveyzer A.L. Teoriya tonkikh uprugikh obolochek [Theory of Thin Elastic Shells]. Moscow - Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1953, 544 p.
5. Mushtari Kh.M. Priblizhennoe reshenie nekotorykh zadach ustoychivosti tonkostennoy koniches-koy obolochki krugovogo secheniya [Approximate Solution of Some Problems of Stability of Thin-walled Conical Shell with Circular Cross Section]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1943, vol. 7, no. 3, pp. 155—166.
6. Grigolyuk E.I., Kabanov V.V. Ustoychivost' obolochek [Stability of Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1978.
7. Timoshenko S.P. Ustoychivost' uprugikh system [Stability of Elastic Systems]. Moscow, Gostekh-izdat Publ., 1946.
8. Baruch M., Harari O., Singer J. Low Buckling Loads of Axially Compressed Conical Shells. Trans. ASME, Ser. E., 1970, vol. 37, no. 2, pp. 384—392.
9. Shtaerman I.Ya. Ustoychivost' obolochek [Stability of Shells]. Works of Kiev Institute of Aviation. 1936, no. 1, pp. 12—16.
10. Bryan G.N. Application of the Energy Test to the Collapse of a Thin Long Pipe under External Pressure. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1988, vol. 6, pp. 287—292.
About the authors: Litvinov Vladimir Vital'evich — Director, Laboratory of Department of Strength of Materials, Rostov State University of Civil Engineering (RGSU), 162 Sotsialisticheskaya St., Rostov-Don, 344022, Russian Federation; v2635396@mail.ru; +7 (863) 201-91-36;
Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Corresponding Member of RAACS, Chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, asv@mgsu.ru; +7 (499) 483-55-57;
Chepurnenko Anton Sergeevich — student, Institute of Industrial and Civil Engineering, Rostov State University of Civil Engineering (RGSU), 162 Sotsialisticheskaya St., Rostov-Don, 344022, Russian Federation; anton_chepurnenk@mail.ru.
For citation: Litvinov V.V., Andreev V.I., Chepurnenko A.S. Ustoychivost' usechennoy krugovoy konicheskoy obolochki pri osevom szhatii [Stability of Truncated Circular Conical Shell Exposed to Axial Compression]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 95—101.
