Флаттер конической оболочки при внешнем обтекании сверхзвуковым потоком газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 539.3

ФЛАТТЕР КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

А. В. Васильев1

В большинстве работ, в которых исследуется флаттер оболочек, для избыточного аэродинамического давления используется формула поршневой теории. В настоящей статье рассматривается решение задачи о флаттере конической оболочки при внешнем обтекании ее сверхзвуковым потоком газа в новой постановке, устанавливается степень влияния новых слагаемых на критическое значение числа Маха.

Ключевые слова: флаттер, коническая оболочка, внешнее обтекание.

The well-known piston theory formula for the excess aerodynamic pressure is used in the majority of works devoted to the panel flutter of shells. In this paper, we consider the solution of the flutter problem for conical shells under external flow of a supersonic gas in a new formulation and discuss the effect of new terms on the critical Mach number.

Key words: flutter, conical shell, external flow.

1. Введение. Проблема колебаний и устойчивости тонкостенных конических оболочек достаточно давно интересует исследователей [1] в связи с развитием аэрокосмической техники. В постановочной части большинства этих работ для давления аэродинамического взаимодействия принималась формула поршневой теории [2-4]; в рассмотренной литературе не обнаружено данных о каких-либо практических опытах при больших значениях числа Маха, поэтому проверить точность поршневой теории было невозможно.

В настоящей работе рассматривается решение задачи о флаттере конической оболочки при внешнем обтекании сверхзвуковым потоком газа в новой постановке. Задача в новой постановке [5, 6] отличается от упомянутой присутствием квазистатического давления, коэффициентом перед выражением типа поршневой теории, а также наличием новых слагаемых, имеющих ясный механический смысл (присоединенная масса, инерция поворотов, усилия в срединной плоскости). Как будет установлено далее, именно последнее слагаемое оказывает наибольшее влияние на критическое значение числа Маха. В предложенной работе проводится широкий параметрический анализ данной задачи и определяется степень влияния новых слагаемых на критическое значение числа Маха.

2. Постановка задачи. Представим себе коническую поверхность, которая в сферической системе координат (s, p, 0) занимает область V = {0 ^ s ^ оо; 0 = а; 0 ^ p ^ 2п}. Вместо коордипаты s будем использовать координату x = s cos а. Новая координатная ось направлена вдоль оси симметрии конуса; все формулы также будем приводить относительно координаты x. Часть конуса si ^ s ^ s2 (соответственно xi ^ x ^ Х2) образована упругой оболочкой, остальная часть жесткая. Конус симметрично обтекается

потоком газа в положительном направлении оси х с большой сверхзвуковой скоростью, так что — =

ao

(7Ро \ 2

- _ скорость звука в нем; ро, ро —

Ро /

невозвущенные давление и плотность газа соответственно; 7 — показатель политропы. Оболочку считаем упругой, механические характеристики ее материал а: Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, Р1 — плотность, Оо = ЕЬ3/ (12(1 — V2)) — цилиндрическая жесткость; к — толщина оболочки, I — ее длина, Я 2 — радиус широкого основания конической оболочки. Согласно [5-7], избыточное давление ц имеет следующий вид:

2ppD f , a{D) 4p0D( Зе 11 a{D)\ (dw , ,

q(x, t) =- 1 + e —----—7--1 + —— e- ——h vo cos a — I —

ЧУ 1 ' 7 + 1 V 4 2 PoD2) 7 + 1 V 4 87 J\dt

p0Dx f 3a(D) \ f d2w d2w 2 2 d2w\

dw\ dx J

2v0 cos а

( 3a(D) \ (d2w d2w 2 2 32w\

Васильев Алексей Валерьевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexxx_wasQmail.ru.

7 — 1 2а?

Здесь введены обозначения: е = -; а(Б) = 1 + --°ч ; Б = Уо tg в: В — угол раствора конуса,

7 + 1 (7 — 1)02 образованного присоединенной ударной волной в невозмущенном течении; он определяется из квадратного уравнения е0а(0) + 2го tg а = 20, которое после упрощения принимает вид

Ы2(7 + 3) tg2 в — 2М2(7 + 1^ а tg в — 2 = 0. Отсюда легко выразить tg в как функцию от числа Маха:

(7 + l)tg« + W/(7 + l)2tg2« + fc^

tgß =-

7 + 3

Напряженно-деформированное состояние оболочки будем определять уравнениями технической теории в смешанной форме [8]:

g2w

cos4 aDoA2w — A^F — L(w, F) = q(x, t) — ph

dt2 '

cos4 aA2F + EhAkw - ^ L(w, w) = 0,

(2)

( д2 \ 1

где w — прогибы оболочки, F — функция усилий, Дд. = cos3 а ctg а ( —~ I—, А — оператор Лапласа в

\ дх2J x

сферических координатах. Оператор L(u, v) имеет вид

4 / д2и ( 1 d2v 1 dv \ d2v ( 1 д2и 1 du ' \дх2 \ж2 дф2 х дх) дх2 \х2 dip2 х дх

, 1 d2v 1 dv\ (1 д2и 1 du -2 -

X дхдф x2 дф J \x дхдф x2 дф/

при этом дополнительно введено обозначение ф = ф sin а.

Так как давление q(x,t) в формуле (1) имеет чисто "статическую" составляющую, то можно положить, что решение системы может быть представлено в виде суммы основного и возмущенного состояний:

w = wo(x,<p) + wi(x,<p,t), F = Fo(x, ф) + Fi(x,p,t).

В невозмущенном состоянии принято wo = 0 [2]. Подставим (3) в систему (2) и линеаризуем. В качестве граничных условий будем рассматривать шарнирное опирание на обоих краях оболочки, откуда следует

д2w д2F

х = xi, х = х2: w = 0, -т—г = 0, F = 0, = 0.

ox2 ox2

В результате получим систему

cos4 aDoA2w\ — cos3 а ^1хх— L(w\, Fq) = аЛхЛ) — ph -тгтг

x tg a dt2

cos4 aA2Fi + Eh cos3 a —- = 0.

x tg a

Избыточное давление qi и оператор L(w\,F0) выражаются следующим образом:

dw\

(4)

4poD( Ze 11 a{D)\(dWl ,

cos a ■

poDx ( 3a(D) \ fd2wi d2wi 2 2 d2wi\

L(w 1 F0) =cos4a(—(-—^ + J_ =

' \ дх2 \x дх J дх2 \x x x2 дф2 J J

17 ВМУ, математика, механика, №2

= cos4 а(°2wi Т° + Т°(- — + — °2wi \ дх2 1 2 \х дх х2 дф2

где ф = p sin a; T0 T0 — окружное и продольное усилия соответственно. В невозмущенной системе последние имеют вид [8]

то = -pstxtga то = ¡T^dx + c = -pstx tg а Л _ xf\ 2 cos а ' 1 х cos а \ х2)'

Введем безразмерные параметры w = F = 1 и отнесем координату х к I, оставив за ней прежнее

h Eh l

обозначение. В итоге система (4) преобразуется следующим образом:

sin a A2F + — wxx = 0, x

h2 sin a 2 Fxx l rpO

12(1 — v2)l2 Aw~ — ~SmahE W^ " (6)

. + -

Ищем решение в виде w = W (x)ewt cos np, F = $(x)ewt cos np, n = 1,2,3,.... После подстановки данных выражений в (6) получим систему

21

sino; А„Ф + - Wxx = 0, x

sin ah2 Фхх l „т ^о l ^oí Wx Wff

■AÍW--— -sina — WXXT? -sina — T9° — +

12(1 — u2)l2 n ~ x ~^hEtVxx±l~^hE±2\x ^ x2 ,

4poD/ 3e 11a(D)\fjrl h \ (7)

poDxl L „ 3a(D) , o....., hw ^ ^2,,2ИД l2 tga

1-е —-1—Ц- ujzWh + 2 vqlü — cos aWx + v q eos"* a -r Wxx - ph¿w¿W

2vo cos a\ 27(7 +1)/V 0 l x 0 l2 xx ) ' J h2Ecos3 a'

/ d2 2d n2

где An = —г +

\dx2 xdx x2 sin2 a, Второе уравнение из системы (7) представим в виде

h2 sin a д2ттг Ф'' . h ттт11гт0 h W' n2W \ . TlW, TlW

—-A2 W---sin а - W"7? - sin a - T2° — + —-+ AlXW" + A2W' +

12(1 - v2)l2 n x l 1 l 2V x x2 sin2 a)

+ (A3Q2 + A4Ü2x) W + Á5ÜW + AeQW 'x = 0, pj l^ 2 E YPo д

здесь il = —, c0 = —, po = —5- и приняты следующие обозначения: c0 pi a0

= jp0M2ltgatgf3 f 3ea(D) \ = 4jp0M2ltgatgf3 / Зе lla(£>)\

1 ~ 2Ehcos2a V 27(7 + 1) y' 2 ~ £/¿(7 +1) eos2 а V 4 ^ 87 /'

А

-A3 =

^ = rpolcltgatg/3 í 3ea(D) \ cos3 a' 2ЕНа% cos4 a \ 27(7 + 1) / '

= 47PqM/cq tg atg/? / 3g 11а(Д) \ = 7p0M/c0 tg a tg /3 ( 3 ea(D) \

5 ~ Eh{ 7 + l)a0 cos3 a V 4 £ 87 j' 6 ~ Eha0 cos3 a V 27(7 + / '

Решим систему (7) методом Бубнова-Галеркина при помощи двучленного приближения. Заметим,

„ s — s1 (x — x1) cos а x1

что каждый член ряда имеет вид simmy, где п = 1,2, у = - = ---- = х--(х —

s2 — s1 (x2 — x1)cos а l

необезразмеренная координата x). Тогда

Ф(х) = Б1 sin ny + B2 sin 2ny, W(x) = Ci sin ny + C2 sin2ny, (g)

Xi

y = x

x1

T

Mcr h/R2

0,008 0,012 0,016 0,020

l/R2 = 3, a = 5°

Micr 12,1; n = 6 20,0 n = 6 26,8 n = 5 34,2 n = 5

M2cr 15,3; n = 6 22,3 n = 6 29,0 n = 5 36,2 n = 5

M3cr 6,7; n = 5 10,2 n = 5 14,0 n = 4 17,2 n = 4

M4cr 6,7; n = 5 10,2 n = 5 14,0 n = 4 17,2 n = 4

M5cr 6,7; n = 5 10,2 n = 5 14,0 n = 4 17,2 n = 4

I/R2 = 2, a = 5°

Micr 14,0; n = 8 25,5; n = 7 31,2 n = 7 40,4 n = 6

M2cr 16,8; n = 8 27,7; n = 7 33,3 n = 7 42,3 n = 6

M3cr 6,4; n = 7 9,8; n = 6 13,3 n = 6 16,5 n = 5

M4cr 6,4; n = 7 9,8; n = 6 13,3 n = 6 16,5 n = 5

M5cr 6,4; n = 7 9,8; n = 6 13,3 n = 6 16,5 n = 5

l/R2 = 3, a = 8°

Micr 12,2; n = 5 18,8 n = 5 25,7 n = 4 31,5 n = 4

M2cr 13,6; n = 5 20,0 n = 5 27,0 n = 4 32,6 n = 4

M3cr 7,0; n = 5 11,0 n = 5 14,4 n = 4 18,0 n = 4

M4cr 7,0; n = 5 11,0 n = 5 14,4 n = 4 18,0 n = 4

M5cr 7,0; n = 5 11,0 n = 5 14,4 n = 4 18,0 n = 4

I/R2 = 2, a = 8°

Micr 13,1; n = 7 20,6 n = 7 27,6 n = 6 35,5 n = 6

M2cr 14,5; n = 7 22,0 n = 7 28,7 n = 6 36,5 n = 6

M3cr 6,8 n = 7 10,3 n = 6 13,8 n = 5 17,0 n = 5

M4cr 6,8 n = 7 10,3 n = 6 13,8 n = 5 17,0 n = 5

M5cr 6,8 n = 7 10,3 n = 6 13,8 n = 5 17,0 n = 5

После известной процедуры, используя систему (8), получим уравнение 4-й степени относительно Q с параметрами. Далее все параметры, кроме числа Маха, фиксируются и находятся корни полученного уравнения. Как известно, неустойчивые колебания оболочки возникают, когда один из корней Q переходит в правую полуплоскость; таким образом, необходимо определить значение числа Маха в момент, когда максимальная действительная часть Q равна нулю.

3. Расчеты. Приведем результаты параметрического анализа решения. Флаттер оболочки рассматривался при постоянном давлении 101325 Па, углах раствора конуса 5° < а < 10°, относительной длине оболочки от 3 до 4 и относительной толщине от 0,008 до 0,02. Для каждого значения угла, длины и толщины осуществлялся поиск Mcr при различных значениях параметра волнообразования и, и по определению считалось, что значение истинного критического числа Маха равно Mcr* = minMcr(n). Вычисления проводились для материала с парамет-

n

рами E = 7 ■ 1010 Па, ci = 5100 м/с, v = 0,3. Результаты приведены в таблице, где значения критического числа Маха Micr, M2cr, Мзсг, M4cr, M5cr соответствуют следующим выражениям давления аэродинамического взаимодействия:

4poD (dw\ , dw\'

тйл

аналог формулы поршневой теории;

qi(x,t) = --

dt

+ vq cos ol ■

dx

4p0D ( 3e 11 a{D)\ f rJWl

уточненный аналог формулы поршневой теории;

4poD( Ъе 11 a{D)\(dWl ,

3a(D)

cos OL

dw1 dx

cos OL

7-p0Dx

dw1 dx

1-е-

2 2 d2w1 v0 cos ol

cos a2vu\ 27(7 + 1) У V~ dx2 новая постановка, учтено только последнее слагаемое в правой части (5);

( 4p0D{ Зе lla{D)\(dWl ,

cos a

dw\ dx

p0Dx ( ЩР) \ ( d2Wl 2 2

1-е -—;——TT I I 2vq cos a 0 0[ + v0 cos a

д2уи 1

совсй-ио " 27(7 + 1)) V"" """"" дхсЯ ' """ " дх2 новая постановка, учтены последние два слагаемых в правой части (5);

д-Ш1

4 poD( Ъе 11 a(D)\fdw1 ,

i cos a

dx

18 ВМУ, математика, механика, №2

роОх ( 3а(О) \ / д2Wl д2Wl 2 2 д2wl

— новая постановка, учтены все три слагаемых в правой части (5).

Таким образом, из представленных вычислений видно, что критическая скорость флаттера в новой постановке меньше, чем в случае поршневой теории, при этом различия составляют около 40%. Значит, при больших скоростях использование поршневой теории сильно завышает результаты. Также установлено, что наибольший вклад в новой постановке дает последнее слагаемое, имеющее смысл усилия в срединной плоскости. Существенно, что в настоящей работе показано качественное влияние новых слагаемых.

В связи с приближенностью примененных методов расчетов количественная значимость слагаемых требует дополнительного изучения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела / Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. И. 67-122.

2. Александров В.М., Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке газа // Прикл. матем. и механ. 1994. 58, № 4. 123-132.

3. Диткин В.В., Орлов Б.А., Пшеничное Г.И., Сергиенко A.A. О флаттере конических оболочек // Численные методы в механике деформируемого тела. М., 1987. 3-14.

4. Диткин В.В., Орлов Б.А., Пшеничное Г.И. Численное исследование флаттера конических оболочек // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1993. № 1. 185-189.

5. Кийко И.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях конической оболочки малого раствора, внутри которой со сверхзвуковой скоростью протекает газ // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 58-61.

6. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.

7. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Наука, 1968.

8. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

Поступила в редакцию 16.11.2011 После доработки 05.12.2013

УДК 531.384

О ДВИЖЕНИИ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ТЕЛА, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ СИММЕТРИЧНЫХ ПЛАСТИНОК

М. О. Ицкович1, А. С. Кулешов2

Рассматривается задача о движении по неподвижной горизонтальной плоскости твердого тела, состоящего из двух соединенных между собой одинаковых симметричных пластинок. Пластинки соединены перпендикулярно друг к другу так, что их оси симметрии образуют единую ось, являющуюся осью симметрии полученного тела. В работе найдены все возможные положения равновесия тела на плоскости и получены условия их устойчивости. Рассмотрен частный случай, когда движущееся тело состоит из двух одинаковых эллиптических пластинок.

Ключевые слова: тело, состоящее из двух пластинок; качение; кинематика; положение равновесия; устойчивость.

The problem of motion of a rigid body, consisting of two equal symmetric plates whose symmetry planes are at a right angle, on a horizontal plane is considered. All equilibria of the

1 Ицкович Михаил Олегович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mishaitskovichQgmail .com.

2Кулешов Александр Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kuleshovQmech.math.msu.su.