Напряженно-деформированное состояние упругого полупространства, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой по площади прямоугольника и по бесконечной полосе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.044

И. К. БАДАЛАХА (ДИИТ)

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, НАГРУЖЕННОГО РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ ПО ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И ПО БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ

У статп наведено результат ршення задач про напружено-деформований стан пружного нашвпростору вщ ди навантаження, рiвномiрно розподiленого по стрiчцi постшно! ширини шнцево! i несшнченно! довжи-ни, з використанням нетрадицшно! лшшно! залежносп деформацiй ввд напруженого стану, ввдмшно! ввд узагальненого Закону Гука.

В статье приведен результат решения задач о напряженно-деформированном состоянии упругого полупространства от действия нагрузки, равномерно распределенной по полосе постоянной ширины конечной и бесконечной длины, с использованием нетрадиционной линейной зависимости деформаций от напряженного состояния, отличной от обобщенного Закона Гука.

The article shows the result of solving the problem on the stressed-and-strained state of an elastic semi-space because of the load action, which is uniformly distributed over the strip of constantly width and final or infinite length, with the use of non-traditional linear dependence of strains on the stressed state that differs from the generalized Hooke's law.

В [1, 2] автором изложены основные принципы определения напряженно-деформированного состояния упругой среды в нетрадиционной постановке, суть которой состоит в том, что относительные деформации в упругой среде делятся на два тензора: тензор деформаций чистого сдвига и тензор объемных деформаций. Полный же тензор деформаций представляет алгебраическую сумму этих двух тензоров:

в„ = в„

в = s

у У

,0 .

вz = вz+вz;

z z z '

У XV У ху + У XV ;

(1) (2)

(3)

(4)

V = Vc + Vи

W = Wc + W0.

(8)

(9)

Оба тензора деформации вызваны действием одного и того же напряженного состояния, но различными сторонами его проявления: сдвиговые смещения вызваны разностью давлений в различных точках среды, а объемные относительные деформации вызваны его величиной. При этом напряженное состояние полностью характеризует потенциальная, гармоническая функция давления, представляющая собой одну треть первого инварианта напряженного состояния:

3 (

а = — а.

3

(10)

У yz У yz + У

Vz

I yz •

У zx У zx + У z.

(5)

(6)

Компоненты перемещений точек среды вдоль координат также определяются раздельно для сдвиговых и объемных деформаций, а полные проекции перемещений представляют алгебраическую сумму таких перемещений соответственно координатным осям х, у, г:

U = Uc + U'

о.

(7)

где сх, су и сг - нормальные напряжения по

трем ортогональным площадкам для данной точки.

Таким образом, для решения любой задачи по определению напряженно-деформированного состояния следует задаться граничными условиями для гармонической функции давления и определить её. Дальнейшие операции не представляют особых сложностей.

В решаемой задаче граничными условиями для функции давления (рис. 1) будут: на поверхности, под нагрузкой, с = р; за её преде-

© Бадалаха И. К., 2009

лами - с = 0; функция должна монотонно убы- а после подстановки пределов интегрирования вать с удалением от площадки загружения. Та- получаем кая функция совпадает с функцией для мгновенных напоров в водонасыщенном грунте при быстром нагружении и получена Мачеретом [3] в виде:

а„ =-

2п

Рис. 1. Схема загружения полупространства равномерной нагрузкой по площади прямоугольника

а„ = -

2п

-агс^-

(х + а) + (у + Ь) +

2 ■ г 2

1/2

(х + а )(у + Ь )

агс^-

агс^-

(х + а) + (у -Ь) +

2 , 2 г

1/2

(х + а )(у - Ь )

(х - а) + (у + Ь) +

2 ■ г2

1/2

(х - а)(у + Ь)

- агс^-

(х - а) + (у - Ь) +

2 ■ г2

1/2

(х - а) (у - Ь)

. (11)

а =

- п

г • ё в ё

-а -Ь

[(х-в)2 +(у-^)2 + :

3/2

Р • г ' 2п

I

(х-в);

[(У Ч)2 + г2 ][(х-в)2 +(у-^)2 + ;

1/2

агс^-

(х - а) + (у - Ь)

2 , 2 г

- агс^-

- агс^-

(х - а) + (у - Ь) + (х + а)(у - Ь)

1/2

2 , 2 г

(х + а) + (у - Ь) + (х - а)(у + Ь)

1/2

(х - а) + (у + Ь) +

2 , 2 г

1/2

- агс^-

(х + а) (у + Ь )

(х + а )2 +(у + Ь )2 +

2 . 2 г

1/2

. (13)

Здесь и в дальнейшем для сокращения записей функцию давления при действии нагрузки, равномерно распределенной на поверхности полупространства по площади прямоугольника, будем обозначать са. Путем несложных преобразований можно показать, что функции (13) и (11) тождественны.

Для определения компонентов напряжений в этой задаче есть два пути.

1. Можно воспользоваться соотношениями В. А. Флорина [4] для пространственных задач с плоской поверхностью при действии на них нормальной нагрузки:

дх2

¡•д 2а

с у=-г г+а°;

Эту же функцию можно получить путем интегрирования функции давления для сосредоточенной силы, полученной в [2]:

ду2

дса

аг = -г—- + ап

г дг а

т =- г

хху I

■д2аа. дх ду

да.

Т уг =

- г-

Р

= — arсtg" 2п

( х-в)( у Ч)

(х-в) + (у Ч) +

2 , 2 г

(12)

т,„ =- г-

ду

да^

ду

(14)

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

Р

а х =-г

а

2. Можно интегрировать компоненты напряжений, полученные для полупространства при действии сосредоточенной силы, направленной по нормали к его поверхности [2].

Однако поскольку в традиционной постановке эта задача была решена [5], то воспользуемся этим решением для определения напряженного состояния среды в рассматриваемой задаче, приняв в нем коэффициент бокового расширения ц = 0,5 . В результате получим:

+■

( х - а)(у + Ь )•

(у + Ь )2 + г2 (х - а )+(у + Ь ) +

2 ■ г2

1/2

- агс^-

+ агс^-

(х - а) + (у - Ь) +

2 ■ г2

1/2

(х - а )(у - Ь)

(х - а)2 + (у + Ь)2 +

2 ■ г2

1/2

а„ =-

2п

(х + а )(у - Ь )

2 ■ г2

(х + а)2 + г2 (х + а)2 +(у - Ь) + ( х - а )(у - Ь )• г

1/2

- агс^-

(х - а)(у + Ь)

(х + а )2 +(у + Ь )2 +

2 , 2 г

1/2

(х - а)2 + г2 (х - а)2 +(у - Ь)2 + г2" 1/2

(х + а)( у + Ь) • г

(х + а )2 + г2 (х + а )2 +(у + Ь )2 + г2" 1/2

(х - а)(у + -Ь )• г

+ агс^-

(х + а )(у + Ь)

(х + а )2 + (у - Ь )2 +

2 , 2 г

1/2

а, =-

2 ■ г2

(х - а)2 + г2 (х - а)2 + (у + Ь) + (х - а)2 + (у - Ь)2 +

1/2

2п

(х + а )(у - Ь ) г(х - а)(у - Ь)

; (21)

2 , 2 г

- аг^-

аг^-

\2 2 4 '-г

1/2

(х - а)2 + г2 (у - Ь) + (х - а)2 +(у - Ь)2 + 2г2

(х - а )(у - Ь)

(х - а)2 + (у + Ь)2 +

2 ■ г2

2 ■ г2

1/2

(х - а) + (у - Ь) + г(х - а)(у + Ь)

1/2

- аг^£-

(х - а)(у + Ь)

(х + а )2 +(у + Ь )2 +

2 , 2 г

2 , 2 г

1/2

(х - а)2 + г2 (у + Ь) + (х - а)2 +(у + Ь)2 + 2г2

+ аг^-

(х + а )(у + Ь )

(х + а )2 + (у - Ь )2 +

2 ■ г2

2 , 2 г

1/2

а =Р

у 2п

(х + а )(у - Ь ) (х + а )(у - Ь )•

; (20)

(х - а) + (у + Ь) + г(х + а)(у -Ь)

1/2

2 , 2 г

(х + а )2 + г2 (у - Ь ) + (х + а )2 +(у - Ь )2 + 2 г2

2 , 2 г

(у - Ь) + г2 (х + а) +(у - Ь) + ( х + а )( у + Ь )• г

1/2

2 'г2

(у + Ь)

2 , 2 г

2 , 2 г

(х + а) +(у + Ь ) + ( х - а )(у - Ь )• г

1/2

(х + а) + (у - Ь) + г (х + а )(у + Ь )

1/2

(х + а )2 + г2 (у + Ь ) +

■ -г2

(у - Ь )2 + г2 (х - а )+(у - Ь ) +

2 ■ г2

1/2

X

(х + а ) +(у + Ь )2 + 2 г2

1/2

- arсtg-

(х + а )2 +(у + Ь )2 + г2 (х - а)2 +(у - Ь)2 + г2

1/2

+ arсtg-

+ arсtg-

(х - а )(у - Ь)

(х - а )2 +(у + Ь )2 + г2

1/2

(х - а)(у + Ь)

(х + а )2 +(у - Ь )2 + г2

1/2

- arсtg-

(х + а) (у - Ь )

(х + а )2 +(у + Ь )2 + г2

1/2

(х + а )(у + Ь )

т =Р

^ 2п

(х + а) +(у - Ь )2 + г2

1/2

(х - а) +(у + Ь)2 + г2

1/2

(х + а) +(у - Ь )2 + г2

1/2

+ ■

т = Р*

уг 2п

(х + а )2 +(у + Ь )2 + г2 (х + а )

1/2

(у - Ь )+ г2 1

(х - а)

(х + а )2 +(у - Ь )2 + г2 1 1/2 "(у - Ь )2 + г2" ( х + а )

(х - а)2 +(у - Ь)2 + г2 1 1/2 -+ - "(у + Ь )2 + г2" ( х - а )

(х + а) + (у + Ь )2 + г2 1/2 (у + Ь) + г

\2 , „2

т,„ =

Рг

2п

(х - а )2 +(у + Ь )2 + г2

(у+Ь) х

1/2

(х - а)2 + г2

(у - Ь)

(х - а) +(у + Ь)2 + г2 1/2 (х + а)+ г

\2 , -2

(х + а )2 +(у + Ь )2 + г2

(у+Ь)

1/2

(х + а )2 + г2 (х + а )2 +(у + Ь )2 + г2

(у - ь)_

1/2

(х + а)2 + г2 (х + а)+(у - Ь) + г

2 , „2

1/2

. (25)

; (22)

Для определения компонентов перемещений, вызванных чистым сдвигом в упругой среде, определяются частные производные функции давления (13). В результате имеем:

даа = Р_ дх 2п

(у + Ь) г (у + Ь)2 + г2

(х + а )2 +(у + Ь )2 + г2

1

1/2

х + а)2 •(у + Ь)2 + г2 (х + а)2 +(у + Ь)2 + г2 (у - Ь)2 г [(у - Ь )2 + г2

(х + а) +(у - Ь )2 + г2 1

(23)

1/2

{(х + а)2 •(у-Ь)2 + г2 (х + а)2 +(у-Ь)2 + г2

(у + Ь )г [(у + Ь )2 + г2

"(х - 2 а) + (у + Ь )2 + г2" 1/2

1

>

- а) • (у + Ь) + г2 (х - а) + (у + Ь)2 + г2 1

{(х - а)2 •(у - Ь )2 + г2 (х - а)2 +(у - Ь)

\ 2 2 х + г

(у - Ь )г "(у- - Ь )2 + г2

"(х - 2 а) + (у - -Ь )2 + г2" 1/2

(26)

(24)

даа = Р_ ду 2п

(х + а) • г • (х + а )2 + г2

(х + а) +(у + Ь )2 + г2

1/2

1

1

X

г

1

X

{(х + а)2 - (у + Ь)2 + г2 (х + а)2 + (у + Ь)2 +; (х + а)-г - (х + а)2+г2

2 , 2 г

(х + а 2 + (у - Ь 2 + 1

1/2

1

(х - а ^^ • ^^ - (х - а 2 (у - ь) Ь 22 + г2 (х - а22 (х - а 22 + (у -+ (у - Ь 22 + г2 ]

(х - а22 +(у - Ь22 + г2 1/2

2 , 2 г

+ а22-(у-Ь22 + г2 (х + а2+(у-Ь2 + (х - а2-г - (х - а22 +

(28)

Теперь перемещения точек среды, вызванные чистым сдвигом (в сокращенной форме записи), будут:

22 л '-г

2 ■ г2

(х - а2 + (у + Ь2 + 1

1/2

ис =-*с ;

дх

с = *с дса ;

ТГС с

V = - * -

{(х - а2 • (у + Ь2 + г2 (х - а}2 + (у + Ь}2 +

1

с _ □

Жс =-*

да

{(х - а22-(у - Ь 22 + г2 (х - а 22 +(у - Ь 22 +

■ -г2

дг

(29)

(30)

(31)

(х - а2- г- (х - а22 + г2

(х - а 22 +(у - Ь 22 + г2 1/2

(27)

д^ = р_ дг 2п

(х + а 2(у + Ь) (х + а 22 +(у + Ь 22 + 2 г2

(х + а 22 +(у + Ь 22 + г2 1/2

В формулах (29) - (31) к° (м4/н) - модуль деформации чистого сдвига, т.е. коэффициент пропорциональности между градиентом давления и смещением точки в результате чистого сдвига.

Перемещения точек, вызванные изменением плотности среды, согласно [1, 2], будут протекать только по вертикали, т. е.

и0 = V0 = 0;

в0 = к0-ап;

(32)

(33)

{(х + а22 -(у + Ь22 + г2 (х + а22 +(у + Ь22 +

(х + а 2(у - Ь 2 (х + а 22 +(у - Ь 22 + 2 г2

(х + а 22 +(у - Ь 22 + г2 1 1/2

+ а 22-(у - Ь 2 (х - а2 (у + Ь2 + г2 (х + а22 +(у-Ь22 + (х - а 22 +(у + Ь 22 + 2 г2

(х - а 22 +(у + Ь 22 + г2 1 1/2

Ж0 =|*0 -ггёг = *0 -|са -ёг . (34)

ад ад

В формулах (33) и (34) *0 (м2/н) - модуль объемной деформации, т.е. коэффициент пропорциональности между давлением и относительной объемной деформацией.

Интегрирование функции (13) соответственно (34) в полных записях довольно трудоемкое, поэтому мы будем интегрировать один член этой формулы, записав его сокращенно:

¥ = | агс^

{(х - а 22 -(у + Ь 22 +г2 (х - а 22 +(у + Ь 22 +

г( х2 + у2 + г2 2с х - у

(35)

а затем запишем результат в развернутом виде.

Интегрирование (35) выполняется по частям:

и = агс^-

_1_

х - у

"г2(х2+у2+г22];

х

ёы = -

1 + -

;(х2 +у2 +г2) х•у

2 2 х у

2 г

( х2 + у 2)

+ 4 г3

ёы =-

2 (х2 + у2 + г2)] ху (х2 + у2 + 2г2)

1/2

"х2 у2 + г2 (х2 + у2 + г2 )](х2 + у2 + г2 )

ёV = ёг ; v=г;

< х2 + у2 + г2)

1/2

¥ = ы • V - [Vёы = г • агс§-

х • у

х • у (х2 + у2 + 2 г2 )

-1

- г-

[ х2 у2 + г2 (х2 + у2 + г2 )](х2 + у2 + г2)

Вводится новый аргумент:

х 2 =(х2 + у2 + г2), при этом 2хёх = 2гёг; хёх = гёг, тогда: х • у (х2 + у2 + 2 г2)

ёг.

1

[ х2 у2 + г2 (х2 + у2 + г2 )](х2 + у2 + г2) х • у (2х2 - х2 - у2) гёг

1

[г2у- + Г ( - х- - / ),-) ,

1

(г, .2 2 21

х • у 12t - х - у

х4 -12

(х2 + у2) + х2 у2

(X2 - х2 ) + (х2 - у2)

= х • у I -т—-г- ёх = х • у х

У] (х2 - х2 )•( - у2) '

(2 - х2) . (2 - у2 )ёх

Г-V >-ё +1 ^ '

J (.2 2\ (л 2 \ J

(2 - х2 )•( - у2) -у - х2 )•( - у2) г ёх г -1'

•у \t2T-A + х •у 1"

= х

(- у2) Т - х2)

х • у г ёх х • у

у

1+7

2 Л у-2

I

■-*:

х • — 1п 2

= -Т 1п 2

(.+х 1 - у—1п 2 ^ + 1 ]

1 у х )

( х: Г1 - х:

1 -— -1

1 у 1 х )

(у+х)

(у - х)

1п

( х + х)

(х - х)

Возвращаясь к аргументу г, окончательно имеем:

¥ = г • агс^-

,( х2 + у2 + г2)1/2 +

х • у

у + (х2 + у2 + г2)

х

+—1п

2

1/2

у-(х2 + у2 + г2) х + (х2 + у2 + г2)

+у 1п 2

1/2

х -(х2 + у2 + г2)

1/2

(36)

Теперь запишем результат интегрирования (34) в развернутом виде:

Ж0 =Р 2п

- г • агс^-

(х + а ) +(у + Ь )2 + г2

1/2

(х + а )(у + Ь )

(х + а)

(у + Ь)

1п

1п

(у- ьЬ ) + (х + а )2 Ку- ,Ь )2 + г2" 1/2

(у- |"Ь)- (х + а )2 Ку + ,Ь )2 + г2" 1/2

(х + а) + (х + а )2 Ку- ,Ь )2 + г2" 1/2

(х + а )- (х + а )2 Ку + ,Ь )2 + г2" 1/2

+г • агс^-

(х + а )2 +(у - Ь )2 + г2

1/2

(х + а )(у - Ь )

+г • arсtg

(х - а) +(у + Ь) + г2 (х - а)(у + Ь)

2

(х - а)

(у + Ь )

1п

1п

- г • агс^-

- 1п

(у + Ь) + > - а ) Ку + -Ь )2- + г2" 1/2

(у + Ь)- > - а ) Ку + -Ь )2- + г2" 1/2

(х- - а ) + ( - а ) ь(у + -Ь )2- Ьг2" 1/2

(х- а )- "(х - а ) ь(у + -Ь )2- Ьг2" 1/2

;(х - а ) Лу - -ь ) + г2" 1/2 (х - а)

при этом третья компоненты нормального напряжения будет равна функции давления (38). Производные (38) будут:

ё р ёх п

х + а х - а

агс^--агс^-

г г

4ахг

(х - а )(у - Ь )

(у- -Ь) + (х - а)2 + (у- -Ь )2 + г2" 1/2 (у - Ь)

(у- -ь)- (х - а)2 + (у- -Ь)2 + г2" 1/2 2

(2,2 2 Iх + г - а

х + а х - а

агс^--аг^-

гг

2

) + 4а

2 2 2 г

(42)

- 1п

(х - а) + (х - а )2 +(у - Ь )2 + г2 1/2

(х - а)- (х - а)2 +(у - Ь)2 + г2 1/2

(37)

с = -

х + а х - а агс^--агс^-

(38)

Р

2а (

2 2 2 1 х - а - г

(х2 + г2 - а2) + 4а2 г2

(43)

Предельный переход из (13 ) путем -да Ь +да даёт функцию давления для задачи плоского деформирования полупространства равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью р (н/м2) по бесконечной полосе шириной 2а (рис. 2):

Окончательно компоненты напряженного состояния при плоском деформировании полупространства равномерно распределенной нагрузкой по бесконечной полосе шириной 2а будут иметь вид:

х + а х - а

агс^--агс^-

г г

2а (х2 - а2 - г2)

(2.2 2 |х + г - а

)2 + 4а

2 2 2 г

с г =Р

п

х + а х - а

агс^--агс^-

г г

; (44)

Рис. 2. Схема полупространства, равномерно нагруженного полосовой нагрузкой

Как показано В. А. Флориным [4], при плоском деформировании полупространства нормальной к его поверхности нагрузкой компоненты напряжений в плоскости деформации могут быть получены с использованием функции давления:

дс ■

дг ' дс

с = с + г-

с, = с - г-

дг

дс

т = - г—

^ дх

(39)

(40)

+

2а (

2 2 2 1 х - а - г

с у =-

т„ =-

(х2 + г2 - а2) + 4а2г2

х + а х - а агс^--агс^-

4ахг

(х2 + г2 - а2

)2 + 4а

2 2 г

(45)

(46)

(47)

Компоненты сдвиговых смещений, согласно [1, 2], будут:

п

2

п

ах =

71

X

71

тто с да с р

и =- к — = к — дх п

Жс с да ср Ж =-к — = к

4ахг

( + г2 - а2) + 4а2г2

; (48)

2а (

2 2 2 х - а - г

дг п

(х2 + г2 - а2) + 4а2г2

.(49)

Компонента перемещения, вызванная объёмным деформированием, определяется интегрированием выражения:

Ж0 = к01в°ёг .

(50)

Ж0 = к0 Р

г х + а , г 1 аг^-ёг -1 аг^

х - а

° Р

= к

Ж0 = к0 Р

I агс^—г—ёг - 1 агс^

II х + а J

х - а

г х + а, г^ агс^--1--1п

- г^ агс^ -

х + а 2 х - а

*2 ■ -г2

1п

х - а

(х - а) +

(х + а) +

. (51)

2 , 2 г

В выражении (51) нижний предел г ^ да брать не следует, поскольку осадка от изменения плотности среды будет неограниченно возрастать, поэтому следует определять величину сжатия конкретного упругого слоя.

Выводы

Представлено полное решение задач о напряженно-деформированном состоянии упругого полупространства при его нагружении равномерно распределенной нагрузкой по полосе постоянной ширины конечной и бесконечной длины. В полученных решениях напряженное состояние любого элемента упругой среды удовлетворяет системе дифференциальных уравнений равновесия, а компоненты от-

носительных деформаций и перемещений - условиям сплошности, поэтому оно является строгим и единственным. Характерной особенностью решения задач теории упругости с разделением деформаций по их происхождению на чисто сдвиговые и объемные является то, что эти деформации определяются не от отдельных компонентов напряжений, а от обобщенной интегральной характеристики напряженного состояния упругой среды - давления в точке, которая представляет собой гармоническую потенциальную функцию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бадалаха, И. К. Постановка и решение задач теории упругости с использованием потенциала [Текст] / И. К. Бадалаха // Дтпропетр. держ. техн. ун-т залiзн. трансп. Зб. наук. пр. Будiвни-цтво. - Вип. 6. - Д., 1999. - С. 173-184.

2. Бадалаха, И. К. Определение напряженно-деформированного состояния упругих массивов путем выделения объемных и сдвиговых деформаций [Текст] / И. К. Бадалаха // Ин-т геотехнической механики НАН Украины, межведомственный сб. науч. тр. - Вып. 18. - Д.: Поллра-фкт, 2000. - С. 119-127.

3. Мачерет, Я. А. Распределение мгновенных напоров и давлений в грунтовой массе, вызванных мгновенной нагрузкой [Текст] / Я. А. Мачерет // Тр. ВИОС. Основания и фундаменты. Сб.

4. Флорин, В. А. Основы механики грунтов [Текст]. - т. I / В. А. Флорин. - Л.-М.: Госиздательство литературы по строительству, архитектуре и строительным матерiалам, 1959. -359 с.

5. Короткин, В. Г. Объемная задача для упруго-изотропного полупространства [Текст] / В. Г. Короткин / НКТП СССР, Главгидроэнер-гострой. Гос. всесоюзн. трест по изысканиям и проектированию гидроэлектростанций и гидро-энергоузлов, Гидроэнергопроект, Ленинград. отделение. - 1938. - Сб. № 4, изыскательский вып. - С. 52-85.

Поступила в редколлегию 24.06.2009.

Принята к печати 01.07.2009.