CC BY
11
УДК 539.3
DOI: 10.18303/2618-981X-2018-6-276-286
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ИСТОЧНИКА ВОЗМУЩЕНИЙ И НДС МАССИВА ПОРОД ВОКРУГ НЕГО ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ СМЕЩЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ. Ч. 1. ПОСТРОЕНИЕ ТЕСТОВОГО ПРИМЕРА
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, зав. кафедрой математики и естественных наук, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ольга Евгеньевна Белоусова
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: o.e.belousova@mail.ru
Лариса Ивановна Торгашова
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, старший преподаватель кафедры математики и естественных наук, тел. (383)243-94-75, e-mail: aspirant_igd@mail.ru
Для построения тестового примера решается задача о действии сферического источника в безграничной упругой среде. Решение волнового уравнения для радиального смещения отыскивается при помощи метода разделения переменных. Изменение во времени определяется тригонометрическими функциями, изменение по пространственной координате - цилиндрическими функциями. Построенное решение в сферических координатах преобразуется в решение для прямоугольных декартовых координат. На заданном расстоянии от центра источника задается плоскость, на которой определяются следы от полученного решения для трех перемещений и трех напряжений (нормального и двух касательных). Задача заключается в том, чтобы по этим данным восстановить положение самого источника, характер его воздействия, напряженно-деформированное состояние вокруг источника, условия нагруже-ния полупространства в бесконечно удаленных точках.
Ключевые слова: динамическая задача, источник возмущений, напряжения, деформации, смещения, сферический источник, вектор напряжений, вектор смещений, граница полупространства.
DETERMINATION OF THE POSITION OF SOURCE OF PERTURBANCY AND VAT THE ROCK MASSES ARE AROUND IT FROM THE DATA OF MEASUREMENTS OF OFFSETS ON THE EARTH'S SURFACE. P. 1. CONSTRUCTION OF THE TEST EXAMPLE
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher; Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Head of Mathematics and Natural Sciences Department, phone: (383)243-94-75, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Olga E. Belousova
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Ph. D., Senior Researcher, phone: (383)335-97-50, e-mail: o.e.belousova@mail.ru
Larisa I. Torgashova
Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Senior Lecturer, Department of Mathematics and Natural Sciences, phone: (383)243-94-75, e-mail: aspirant_igd@mail.ru
The problem of a spherical source action in an infinite elastic medium is solved to construct a test example. The solution of the wave equation for radial displacement is sought using the variable separation method. The time change is determined by trigonometric functions, the change in the spatial coordinate is determined by the cylindrical functions. The constructed solution in spherical coordinates is transformed into a solution for rectangular Cartesian coordinates. At a given distance from the center of the source a plane is defined. On the plane the traces from the obtained solution are determined for three displacements and three stresses (normal and two tangential). The problem is to restore the position of the source itself, the nature of its action, the stress-strain state around the source and the loading conditions of the half-space at infinity points using these data.
Key words: dynamic problem, disturbance source, stress, deformation, displacement, spherical source, stress vector, displacement vector, half-space boundary.
Введение
В науках о Земле в силу объективной причины (невозможно заглянуть внутрь Земли) делаются различные прогнозы. Прогнозируются положения месторождений полезных ископаемых, положения и время наступления катастрофических событий, напряженно-деформированное состояние массива пород вблизи выработок, структура Земли на больших глубинах. В основе оценок лежат те или иные идеи - методы механики деформируемого твердого тела, первая краевая задача, вторая краевая задача, смешанная краевая задача, гипотеза Динника, обратные задачи, лучевые методы исследований [1-28].
В этом множестве идей и работ нет таких, о которых будем говорить ниже. Они предполагают задание на одной и той же известной границе и самой искомой внутри области функции и ее производной по нормали. Отличие от классических постановок состоит в том, что эти условия должны быть заданы одновременно.
Постановка задачи
Пусть на поверхности Земли заданы одновременно как функции координат поверхности и времени t вектор напряжений Коши o-n- = фг (x, y, t) и вектор
перемещений щ\ =уг (x, y, t). Второе условие означает то, что заданная функция, первое условие соответствует, что задана производная от этой функции по нормали. Задача следующая: по известным функциям фг (x, y, t) и (x, y, t) на поверхности Земли найти напряженно-деформированное состояние Земли, най-
ти внутри Земли источники динамических возмущений, приводящие на ее поверхности к катастрофическим событиям в виде землетрясений, определить внутреннюю структуру Земли (наличие в ней пустот, включений и так далее).
В этой работе приведем пример решения этой задачи для случая, когда Земля представляет собой полупространство с неравенством 2 < 0, где 2 = 0 - уравнение поверхности Земли. Чтобы проверить разработанный алгоритм и программу вычислений построим в начале тестовый пример. Пример следующий.
Построение тестового примера
Пусть в начале прямоугольной декартовой системе координат хОуг расположен источник динамических возмущений (рисунок).
В точке О действует сферический источник, на высоте 2 = к фиксируются следы этого источника возмущений в виде зависимостей
^2 (Х У> К О > ^Х2 =^Х2 (Х У> К О > =^у2 (Х У> К О > Щ = Щ (Х У, К О ,
иу = и у (Х, У, К, г), их = иг (Х, у, К, г)
Источник действует в безграничном пространстве. На плоскости z = h фиксируются следы от действия источника. Предполагается, что материал вокруг источника возмущений является упругим с известными константами упругости E и V. Первая задача состоит в нахождении следов от действия источника. Вторая задача состоит в определении положения источника по заданным следам.
Рассмотрим решение первой задачи. Пусть r, 9, ф - сферические координаты, связанные с прямоугольными декартовыми координатами x, y, z формулами
x = r sin 9 cos ф, y = r sin 9sin ф, z = r cos 9. (1)
Пусть иг - радиальное смещение и два других смещения и0 и иф равны нулю. Смещение иг удовлетворяет волновому уравнению:
u»r + ^ - 2 ^r
r г2
_р(1 + v)(l - 2v) d2u = (1 -v) E dt
2,
(2)
где штрихами обозначаются производные по координате г, р - плотность материала, t - время.
Решение (2) отыскиваем в виде
f ( r) g (t).
Подстановка (3) в (2) дает следующее условие:
(3)
f.+2f' 2f
r r
f
1 glí!l
a2 g (t)
= -X2
(4)
2 E(1 -v) л 2
где а = —-—-—- - скорость распространения волны, X - константа.
р(1 + v)(1 - 2v)
Из (4) следует, что
g (t) = Q cos (Xat) + C2 sin (Xat). Для определения f получаем уравнение
(5)
r 2f" + 2fr +
X2r2 - 2
f = 0.
(6)
Далее вводится новая переменная г = Xr. Две функции F(r) = / — из (6)
Vх/
получаем условие
r2F" + 2F'r +
-2 о
г -2
F = 0.
(7)
Уравнение (7) является частным случаем дифференциального уравнения
„ 1 - 2а . u +-u +
z
2 ,.2 Л
о2 а -v Р2 +-т"
u = 0,
(8)
приводящего к цилиндрическим функциям.
2 2 1 3
В нашем случае а -V =-2, а = -—, Р = 1, у = ^. Решение (8) представляется в виде и = га ZV (р г).
3
При V = — функцию Z з (г) принимаем в виде
2
Z з (г Ы -2
- \ пг
2
Б1П г
Л
- ооб г
у
(9)
3
При V = — функцию Z з (г) равна 2 —
2
Z з (г) = ^
о / Л
2 ( ообг ^
-Б1И г--
V г у
(10)
Используя эти результаты, примем, что функция иг изменяется вдоль координаты г и во времени г по правилу:
иг = С
б1и (Хг) ооб (Хг) (Хг )2 ХГ"
б1и (Хаг).
(11)
Определим с помощью (11)
ди
гг = —- = С{Х б1и (Хаг)
д г
2ооб (Хг) 2б1и (Хг) б1и (Хг) (Х г )2 (Х г )3 + Хг
(12)
еф = е0 = — = СхХ б1и (Хаг)
б1И (Хг) ООБ (Хг)
ТХ-Г "ТаТ)2-
(13)
Далее, из того, что
г Е
аг - 2^Ф
_1_
8ф = Е
1
Е
а
Ф
(1 -V)-
vа,
получаем
1
<
O
(1 + v)(1 - 2v)
[(1 - v)sr + 2vsф] :
QX sin (Xat)
(1 + v)(1 - 2v)
2 (1 - 2v) cos (Xr) 2 (1 - 2v) sin (Xr) (1 - v) sin (Xr)
(X r )2
(X r )3
Xr
(14)
ae =ст
sф+vsr
ф
(1 + v)(1 - 2v)
C1X sin (Xat)
(1 + v)(1 - 2v)
(1 - 2v) sin (Xr) (1 - 2v) cos (Xr) v sin (Xr)
(X r )3
(X r )2
Xr
(15)
Искомые граничные условия
Используя (11)—(15) для формулировки смещений их, и у и2. Имеем
— и-А — Сл
sin(Xr) cos(Xr)
X2
sin (Xat) sin e cos ф,
(16)
иy = urj = ur sin 0 sin ф, uz = urk = ur cos 9.
Будем считать, что эти величины их, иуи2 заданы на границе 2 = И, т. е. как следует из (1), при
h
r =-.
cos e
Определим теперь напряжения az, izx, xzy. Поскольку орты сферической системы координат имеют в системе координат xOyz следующие координаты:
er = (sin 9 cos ф, sin 9 sin ф, cos 9), eQ = (С089С08Ф,С0898Н1Ф,-8Н19), еф = (-8тф,со8ф,0)
то отсюда следует, что орт к, например, в этой же системе координат равен к = (cos9,-sin9,0). Отсюда находим вектор напряжения Коши на площадке
с нормалью к , он будет равен
1
<
рп = ar cos0er - cjq sin0ee.
(17)
Составляя скалярное произведение вектора рп с ортом к, получаем напряжение а 2:
2 2 <Z = <r cos 0 + а0 sin 0.
(18)
Составляя теперь скалярное произведение (17) с ортом i = (sin 0 cos ф, cos 0 cos ф, - sin ф) и ортом j = (sin 0 sin ф, cos ф8т ф, cos ф), получаем другие напряжения
< -<70
"zx
sin 20 cos ф, i ^ = Подставляя сюда (15) находим
< -<0
sin 20 sin ф.
(19)
1 zx
QlX sin (Xat)
" 2(1 + v)
3cos(Xr) 3sin(Xr) sin(Xr)
(Xr )2 (Xr)3
Xr
Q¡X sin (Xat)
LZJ
2 (1 + v)
3cos (Xr) 3sin (Xr) sin (Xr)
(Xr)2 (Xr)3
Xr
cos 20 cos ф,
sin 20 sin ф.
(20)
В этих формулах, как и в (18) полагаем г = ф •
В результате построен тестовый пример, в котором на плоскости 2 = к задаются перемещения (16), напряжения (18), (20). Задача: получить по этим данным распределения (14), (15) для любых значений г при г и, кроме того, установить величину к и значение С, входящее в (11).
Отметим, что в этих формулах
0 = arctg
У Г 2 2 2 , ф = arctg—, r = Jx2 + y2 + z2
Z x
Заключение
Создан набор граничных условий для проверки расчетной схемы определения источника динамических возмущений в упругом полупространстве, его интенсивности, напряженно-деформированного состояния полупространства.
Работа выполнена в рамках проекта ФНИ № гос. регистрации АААА-А17-117122090002-5.
<
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Bu, W., Liu, X., Tang, Y. & Yang, J. (2015). Finite element multigrid method for multi-term time fractional advection diffusion equations // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 6 (1).
2. Buterin, S.A. (2018). On an inverse spectral problem for first-order integro-differential operators with discontinuities // Applied Mathematics Letters, - Vol. 78. - P. 65-71.
3. Buterin, S.A. & Sat, M. (2017). On the halfinverse spectral problem for an integro-differential operator // Inverse Problems in Science and Engineering, - Vol. 25, Iss. 10. -P.1508-1518.
4. Timofeev, V.Y., Kalish, E.N., Ardyukov, D.G., Valitov, M.G., Timofeev, A.V., Stus, Y.F., Kulinich, R.G., Nosov, D.A., Sizikov, I.S. & Ducarme, B. (2017). Gravity observation at continental borderlands // Geodesy and Geodynamics, Volume 8, № 3. - P. 193-200.
5. Протасов М. И., Чеверда В. А., Правдухин А. П., Исаков Н. Г. Трехмерная анизотропная миграция данных 3D сейсморазведки на основе Гауссовых пучков // Технологии сейсморазведки. - 2017. - № 1. - С. 35-47.
6. Костин В. И., Лисица В. В., Решетова Г. В., Чеверда В. А. Локальное пространственно-временное измельчение сеток для конечно-разностного моделирования упругих волн в трехмерно-неоднородных разномаштабных средах // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2013. - Т.16 (1). - С. 45-65.
7. Kolyukhin, D.R., Lisitsa, V.V. & Tcheverda, V.A. (2016). Statistical analysis of free-surface variability's impact on seismic wavefield. // Proceedings of 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosciences. Pages 434-438. Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosci-ences. Saint Petersburg. Russian Federation.
8. Kolyukhin, DR., Lisitsa, V.V., Tcheverda, V.A., Alexandrov, D. & Bakulin, A. (2015). Effect of surface sand topography changes on repeatability of land Seismic data in desert environment // Proceedings of 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment2015. Pages 1400-1404. 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment. Madrid. Spain
9. Castro C.E., Kaser M., & Toro, E.F. (2009). Space-time numerical methods for geophysical applications // Philosophical Transactions of the Royal Society: series A. - № 367. - P. 46134631.
10. Diaz, J. & Grote, M.J. (2009). Energy conserving explicit local time stepping for second-order wave equations // SIAM J. Scientific Comput. - Vol. 31, iss. 3. - P. 1985-2014.
11. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V., Reshetova, G.V., Vishnevsky, D M. & Tcheverda, V.A. (2013). Hybrid algorithm for simulation of seismic wave propagation in complex media - Anisotro-py, attenuation, multi-scale // Proceedings of 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Fron-tiers2013, Pages 5634-5638. 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Frontiers. London. United Kingdom.
12. Fei, T.V. 7 Liu, Q. (2005). Wave equation migration for 3D VSP using phase-shift plus interpolation // Society of Exploration Geophysicists.
13. Тимошкина Е. П., Леонов Ю. Г., Михайлов В. О. Формирование системы горное сооружение - предгорный прогиб: геодинамическая модель и ее сопоставление с данными по северному Предкавказью // Геотектоника. - 2010. - № 5. - С. 3-21.
14. Mikhailov, V.O., Smolyaninova, E.I. & Sebrier, M. (2002). Numerical modeling of neotectonicmovementsfnd the state of stress in the North Caucasus foredeep // Tectoniccs, 21. Pages 7-1 - 7-14.
15. Чанышев А.И., Вологин Д.А. Определение напряженно-деформированного состояния и дефективности массива пород по данным измерений смещений на его поверхности. Ч.1: построение аналитических решений // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2011, № 4. - С. 3-11.
16. Чанышев А.И. Об одном методе определения теплового состояния среды // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2012, № 4. - С. 83-93.
17. Адушкин В.В., Опарин В.Н. От явления знакопеременных реакций горных пород на динамические воздействия - к волнам маятникового типа в напряженных геосредах. Ч. III. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2014, № 4. - С. 10-38.
18. Adushkin, V.V., Spivak, A.A.& Kharlamov, V.A. Results of instrumental observations of tidal wave propagation in the atmosphere // Doklady Earth Sciences. Volume 469, Issue 1, 1 July 2016. - P. 758-761.
19. Spivak, A.A. (2010). The specific features of geophysical fields in the fault zones // Izvestiya, Physics of the Solid Earth, 46 (4), Pages 327-338.
20. Kabanikhin, S.I. & Krivorot'ko, O.I. (2016). A numerical algorithm for computing tsunami wave amplitudes // Numerical Analysis and Applications. Volume 9, Issue 2, 1 April 2016, Pages 118-128.
21. Kabanikhin, S.I. & Shishlenin, M.A. (2015). Two-dimensional analogs of the equations of gelfand, levitan, krein, and marchenko // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. Volume 3, Issue 2, 2015. - P. 70-99.
22. Belonosova, A.V. & Belonosov, V.S. (2013). Direct and inverse problems of reservoir bottom sounding // Sib. electron. matem. izv, 10, P. 10-15.
23. Kabanikhin, S.I. & Krivorot'ko, O.I. (2013). A numerical method for determining the amplitude of a wave edge in shallow water approximation // Applied and Computational Mathematics Volume 12, Issue 1, 2013, P. 91-96.
24. Kabanikhin, S.I., Gasimov, Y.S., Nurseitov, D.B., Shishlenin, M.A., Sholpanbaev, B.B. & Kasenov, S. (2013). Regularization of the continuation problem for elliptic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems Volume 21, Issue 6, 1 December 2013, P. 871-884.
25. Isakov, V. & Kindermann, S. (2011). Subspaces of stability in the Cauchy problem for the Helmholtz equation // Methods Appl. Anal, 18, P. 1-30.
26. Reginska, T. & Tautenhahn, U. (2009). Conditional stability estimates and regularization with applications to cauchy problems for the helmholtz equation // Numerical Functional Analysis and Optimization Volume 30, Issue 9-10, September 2009, P. 1065-1097.
27. Борщ-Компониец В. И. Практическая механика горных пород. - М.: Издательство «Горная книга». - 2013. - 322 с.
28. Казикаев Д. М., Савич Г. В. Практический курс геомеханики подземной и комбинированной разработки руд : Учебное пособие. - М.: Издательство «Горная книга». -2012. - 224 с.
REFERENCES
1. Bu, W., Liu, X., Tang, Y. & Yang, J. (2015). Finite element multigrid method for multi-term time fractional advection diffusion equations //International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 6 (1).
2. Buterin, S.A. (2018). On an inverse spectral problem for first-order integro-differential operators with discontinuities // Applied Mathematics Letters, - Volume 78. Pages 65-71.
3. Buterin, S.A. & Sat, M. (2017). On the halfinverse spectral problem for an integro-differential operator // Inverse Problems in Science and Engineering, - Volume 25, Issue 10. Pages 1508-1518.
4. Timofeev, V.Y., Kalish, E.N., Ardyukov, D.G., Valitov, M.G., Timofeev, A.V., Stus, Y.F., Kulinich, R.G., Nosov, D.A., Sizikov, I.S. & Ducarme, B. (2017). Gravity observation at continental borderlands // Geodesy and Geodynamics, Volume 8, № 3. Pages 193-200.
5. Protasov, M.I., Tcheverda, V.A., Pravduhin, A.P. & Isakov, N.G. (2017). 3D anisotropic imaging of 3D seismic data on the basis on Gaussian beams // Tekhnologii seysmorazvedki [Technologies of seismic prospecting], 1, 35-47. [in Russian].
6. Kostin, V.I., Lisitsa, V.V., Tcheverda, V.A. & Reshetova, G.V. (2013). Finite difference simulation jf elastic wave propagation through 3D heterogeneous multiscale media based on locally refined grids // Numericl Analysis and Applicaitions, 6(1), 40-47.
7. Kolyukhin, D.R., Lisitsa, V.V. & Tcheverda, V.A. (2016). Statistical analysis of free-surface variability's impact on seismic wavefield. // Proceedings of 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosciences. Pages 434-438. Saint Petersburg International Conference and Exhibition: Understanding the Harmony of the Earth's Resources Through Integration of Geosciences. Saint Petersburg. Russian Federation.
8. Kolyukhin, DR., Lisitsa, V.V., Tcheverda, V.A., Alexandrov, D. & Bakulin, A. (2015). Effect of surface sand topography changes on repeatability of land Seismic data in desert environment // Proceedings of 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment2015. Pages 1400-1404. 77th EAGE Conference and Exhibition 2015: Earth Science for Energy and Environment. Madrid. Spain.
9. Castro C.E., Kaser, M., & Toro, E.F. (2009). Space-time numerical methods for geophysical applications // Philosophical Transactions of the Royal Society: series A. - № 367. - Pages 4613-4631.
10. Diaz, J. & Grote, M.J. (2009). Energy conserving explicit local time stepping for second-order wave equations // SIAM J. Scientific Comput. - Vol. 31, iss. 3. - Pages 1985-2014.
11. Kolyukhin, D R., Lisitsa, V.V., Reshetova, G.V., Vishnevsky, DM. & Tcheverda, V.A. (2013). Hybrid algorithm for simulation of seismic wave propagation in complex media - Anisotro-py, attenuation, multi-scale // Proceedings of 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Fron-tiers2013, Pages 5634-5638. 75th European Association of Geoscientists and Engineers Conference and Exhibition 2013 Incorporating SPE EUROPEC 2013: Changing Frontiers. London. United Kingdom.
12. Fei, T.V. 7 Liu, Q. (2005). Wave equation migration for 3D VSP using phase-shift plus interpolation // Society of Exploration Geophysicists.
13. Timoshkina, E.P., Leonov, Y.G. & Mikhailov, V.O. (2010). Formirovanie sistemy gornoye sooruzhenie - predgorny progib: geodinamicheskaya model I tyo sopostovleniye s dannymi po severnomu Predkavkazyu [The formation of the system is a mountain structure - piedmont deflection: the geodynamic model and its comparison with the data for the northern Ciscaucasia] // Geotektonika, № 5. Pages 3-21 [in Russian].
14. Mikhailov, V.O., Smolyaninova, E.I. & Sebrier, M. (2002). Numerical modeling of neotectonicmovementsfnd the state of stress in the North Caucasus foredeep // Tectoniccs, 21. Pages 7-1 - 7-14.
15. Chanyshev, A.I. & Vologin, D.A. (2011). Determination of the stress-strain state and damages in a rock mass by the displacement measurements on its surface. Part I: Analytical solutions // Journal of Mining Science Volume 47, Issue 4. Pages 395-403.
16. Chanyshev, A.I. (2012). A method to determine a bodys thermal state // Journal of Mining Science Volume 48, Issue 4, July 2011. Pages 660-668.
17. Adushkin V.V. & Oparin V.N. (2014). From the alternating-sing explosion response of rocks to the pendulum waves in stressed geomedia. Part III. // Journal of Mining Science. T. 50. № 4. Pages 623-645.
18. Adushkin, V.V., Spivak, A.A. & Kharlamov, V.A. (2016). Results of instrumental observations of tidal wave propagation in the atmosphere // Doklady Earth Sciences. Volume 469, Issue 1, 1 July 2016, Pages 758-761.
19. Spivak, A.A. (2010). The specific features of geophysical fields in the fault zones // Izvestiya, Physics of the Solid Earth, 46 (4), Pages 327-338.
20. Kabanikhin, S.I. & Krivorot'ko, O.I. (2016). A numerical algorithm for computing tsunami wave amplitudes // Numerical Analysis and Applications. Volume 9, Issue 2, 1 April 2016, Pages 118-128.
21. Kabanikhin, S.I. & Shishlenin, M.A. (2015). Two-dimensional analogs of the equations of gelfand, levitan, krein, and marchenko // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. Volume 3, Issue 2, 2015, Pages 70-99.
22. Belonosova, A.V. & Belonosov, V.S. (2013). Direct and inverse problems of reservoir bottom sounding // Sib. electron. matem. izv, 10, Pages 10-15.
23. Kabanikhin, S.I. & Krivorot'ko, O.I. (2013). A numerical method for determining the amplitude of a wave edge in shallow water approximation // Applied and Computational Mathematics Volume 12, Issue 1, 2013, Pages 91-96.
24. Kabanikhin, S.I., Gasimov, Y.S., Nurseitov, D.B., Shishlenin, M.A., Sholpanbaev, B.B. & Kasenov, S. (2013). Regularization of the continuation problem for elliptic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems Volume 21, Issue 6, 1 December 2013, Pages 871-884.
25. Isakov, V. & Kindermann, S. (2011). Subspaces of stability in the Cauchy problem for the Helmholtz equation // Methods Appl. Anal., 18, Pages 1-30.
26. Reginska, T. & Tautenhahn, U. (2009). Conditional stability estimates and regularization with applications to cauchy problems for the helmholtz equation // Numerical Functional Analysis and Optimization Volume 30, Issue 9-10, September 2009, Pages 1065-1097.
27. Borshch-Komponiets, V.I. (2013). Prakticheskaya mekhanika gornykh porod [Practical mechanics of rocks]. Moscow: "Gornaya kniga" [in Russian].
28. Kazikaev, D.M. & Savich, G.V. (2012). Prakticheskiy kurs geomekhaniki podzemnoy I kombinirovannoy razrabotki rud [Practical course of geomechanics of underground and combined mining of ores]. Moscow: "Gornaya kniga" [in Russian].
© А. И. Чанышев, О. Е. Белоусова, Л. И. Торгашова, 2018
