Задача продолжения решения трехмерного уравнения теплопроводности с данными на части границы Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

ЗАДАЧА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДАННЫМИ

НА ЧАСТИ ГРАНИЦЫ

А. Ю, Приходько1'2, М, А. Шишленин1,2,3

1 Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск 2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Новосибирск 3Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 630090, Новосибирск

УДК 519.622

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10063

Исследуется задача продолжения решения трехмерного параболического уравнения с данными, заданными на временоподобной поверхности. Прямая задача решается конечно-разностным методом расщепления по направлениям. Задача продолжения сводится к обратной задаче, которая является некорректной. Задача продолжения решается численно методом наискорейшего спуска. Получена формула градиента функционала. Приведены результаты численных расчетов.

Ключевые слова: задача продолжения, уравнение теплопроводности, метод наискорейшего спуска

Введение

При исследовании процессов тепло и массообмена в экспериментах основными измеряемыми величинами являются температура и плотность теплового потока.

Методы измерения температуры на данный момент хорошо развиты. Имеются как локальные, так и полевые методы измерения температуры поверхности исследуемых объектов с высокой точностью, например, инфракрасная термография.

Измерение плотности теплового потока задача более сложная. Имеющиеся на данный момент методы обладают невысокой точностью, датчики теплового потока имеют большие размеры и не могут быть успешно использованы, особенно в мини и микросистемах. Прямых методов дистанционного измерения плотности теплового потока на сегодняшний момент нет. Во многих задачах плотность теплового потока вычисляют по температурным измерениям.

В данной работе исследуется изменения температуры нагреваемого элемента в эксперименте (Рис. 1). При исследовании теплообмена в жидких и двухфазных средах измерить температуру стенки нагреваемой фольги на поверхности теплообмена сложно, а подчас невозможно, поэтому измеряют температуру границы, доступной для наблюдения. Температура верхней поверхности (границы) измеряется инфракрасным излучением. На недоступной поверхности фольги происходит теплообмен.

Задача состоит в определении потока тепла на недоступной части границы, а именно необходимо решить задачу продолжения решения с части границы.

В работах [12,17] исследована одномерная задача продолжения решения для параболического уравнения. Доказана теорема единственности решения, и численно сравниваются метод обращения разностной схемы, сингулярное разложение и градиентный метод.

В работе [13] исследуется задача линейного теплообмена в однородном объекте, когда измерения температуры проводятся только в граничной области и требуется вычислить температуру в точках внутреннего контроля. Эта задача представляется в виде одномерной обратной задачи для параболического уравнения

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 19-01-00694.

ISBN 978-5-901548-42-4

Нагреваемый элемент

1 рабочий объем: 2 струя (Б 15 мм): 3 блок: 4 нагрев элемент: 5 расходомер: 6 насос: 7 термостат: 8 внешнее возмущение: 9 система трубопроводов: 10 инфракрасный сканер.

Рис. 1

в частных производных с ненулевыми условиями на одной граничной области стержня. В этой задаче требуется вычислить неизвестную граничную функцию на другом конце и найти значения температуры во внутренних точках. Авторы сводят обратную задачу к интегральному уравнению с помощью преобразований Лапласа. Полученное уравнение характеризует прямую зависимость неизвестной граничной функции от исходных данных.

В работе [15] предложен метод определения температуры при нелинейном теплопереносе внутри цилиндрического тела с неизвестной начальной температурой. Исходными данными являются результаты измерений температурных функций вблизи поверхности тела. Рассматриваемая задача возникает при термической обработке изделий в камерных печах. Математическая модель процесса включает в себя нелинейное уравнение теплопроводности, учитывающее зависимость теплофизических свойств материала от температуры, и граничные условия, характеризующие процесс теплообмена на поверхности тела. Для определения температуры внутри тела предложен метод дискретной регуляризации, позволяющий последовательно находить температуру в направлении от поверхности к оси цилиндра. Вычислительная схема метода предполагает использование стабилизирующих функционалов, а также конечно-разностных уравнений для определения температурных значений по пространственной переменной, что позволяет уменьшить влияние неизвестных начальных условий.

В работах [11.14] предложен прямой метод решения задачи продолжения. Линейная обратная задача после дискретизации сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

В данной работе построен чпеленый метод решения трехмерной задачи продолжения с данными на части временииодобной границы.

1 Постановка задачи

Рассмотрим задачу продолжения решения с части границы г = 0 трехмерного уравнения теплопроводности в области о = {(х,у,г) : х е (0,А),у е (0,В),г е (0,к)}:

0и

— = а(х,у,г)аи + С(х,у,г,г) (х,у,г) е о, Ь е (0,Т), (1)

= и0(х,у,г), (2)

м|г=0 = УЛ(х,у,Ь), (3)

и=о = I (х,у,Ь), (4)

их1х=о = до(у,г,г), их\х=А = дх (у,г,Ь), (5)

иу 1у=о = Ьо(х,г,г), иу 1У=в = Ьл (х,г,г). (6)

Здесь и(х,у,г,Ь) — температура, а(х,у,г) = р — плотность, Ср — теплоемкость, ио — температура в начальный момент времени, С(х, у, г, Ь) — функция источника.

д^ д^ д^ дх2 ду2 дг2

Задача продолжения заключается в определении функции и(х, у, х, €) в области о х (0, Т).

Данная задача является некорректной. Приведем пример неустойчивости для одномерного случая [16]:

(™) = М

п)

г = и'хх

щ = и

х е 0, (7)

2

и1х=о = -ат(2п2 г), (8)

п

и^ |ж=о =0. (9)

нетрудно показать, что функция

и(п)(х,г) = —[епх в1п(2п2г + пх) + е-пх в1п(2п2г - пх)\ (10)

п

является решением задачи продолжения (7), (8), (9). Когда данные (8) ^ 0, при п ^ ж, решение и(п) ^ ^ ^и п ^ ж. Сведем задачу продолжения (1)-(6) к обратной задаче. Рассмотрим прямую (корректную) задачу :

0и

— = а(х,у,г)аи + С(х,у,г,г) (х,у,г) е о, Ь е (0,Т), (11)

и1г=о = ио(х,у,г), (12)

м|2=о = УЛ(х,у,Ь), (13)

1г=н = д(х,у,Ь), (14)

их1х=о = до(у,г,г), их1х=А = д^ (у,г,Ь), (15)

иу 1у=о = К(х,г,г), иу 1у=Б = к! (х,г,г). (16)

Обратная задача состоит в опредлении д по дополнительной информации (4).

Задача продолжения (1)-(6) эквивалентна обратной задаче (11)—(16), (4) в следующем смысле. Если решена задача продолжения и найдена функция и(х,у, г,€) во всей области о х (0,Т), то решение обратной задачи находится по формуле д = их (х, у, к, Ь). И в обратную сторону, если решена обратная задача, т.е. найдена функция д(х,у,1), то решение обратной задачи подставляем в уравнения (11)—(16), решением которых будет функция и(х,у,г,£) ъ о х (0,Т), таким образом будет решена задача продолжения.

2 Численный метод решения 2.1 Решение прямой задачи

Для решения трехмерного неоднородного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом применяется метод расщепления Яненко [2].

Ч-- + Ь1к(аип+1/3 + /чп) = Г,

-"+2/3 - Ч"+— + Ьш(аип+2/5 + /Зип+1/3) = 0, (17)

т

„"+2/3

----+ L3h(aun+1 + ß-n+2/3) = 0.

Здесь Ljh = — Лц — дискретный аналог второй производной.

< — 2< + <,-,

ли-; = ——211 + °(hf), (18)

а £ [0,1] — параметр схемы, ß = 1 — а. Приведенная схема обладает свойствами:

• экономичность (реализация прогонкой в каждом отщепленном уравнении), при а > 0

• ^солютнад устойчивость (при а > 1/2);

аппроксимация с порядком о(т + hf).

2.2 Решение обратной задачи

Сформулируем обратную задачу (11) - (16), (4) в виде линейного операторного уравнения

Aq = f. (19)

Здесь q = q(x, у, t) — искомая функция, f = f (х, у, t) — данные обратной задачи. Обозначим qz=0 = {(x,y,z, t) : х £ (0,A),y £ (0,B),z = 0} Будем решать обратную задачу минимизацией следующего функционала

т

J(q) = \\Aq — f\\2 = J j — (x,y, 0, t;q) — f (x,y, t))2düzdt ^ min, (20)

0

A

ограниченный оператор, то справедлива оценка

j ы < mfto—у!. (21)

Рассмотрим метод наискорейшего спуска

Ч(п+1) = -ап1'(Ч(п)) (22)

где д(0) — начальное приближение, д(п) — приближенной решение на п — итерации, 1'(— градиент функционала, а.п — параметр спуска.

II 1' (ап\\2

«„ = аГёшт1 (^ - (дп)) = 1)„2 • (23)

Градиент функционала вычисляется по формуле

1' (д) = (аф)\г=н, (24)

здесь ф — решение сопряженной задачи

дф

- = ДаФ (Х'У'z) 6 ^

t 6 (0,Т), аф)\г=т = 0,

аф)\г=о = 2(uz (х,у, 0, t;q) - f(x,y, t)),

аф)г\z=h = 0,

аф)х\х=о = (аф)х\х=А = 0,

(25)

аф)у\у=о = (аф)

У\у=В

0.

Алгоритм :

1. Задаем начальное приближение д(0)

2. Предположим что решение на п итерации найдено, покажем как найти решение на п +1 итерации.

3. Решаем прямую задачу (11) (16).

4. Решаем сопряженную задачу (25).

5. Вычисляем градиент (24).

6. Вычисляем параметр спуска (23).

7. д(п+1) = д(п) - ап1' (д(п)), Переход к шагу 2.

Критерий остановки || 1 (</(п))|| < е или ограничение на количество итераций.

3 Численные результаты

Рассмотрим результаты численных расчетов для симулированных данных: Зафиксируем А = В = 2-к, к = ■п/2, Т = -п/2, Мх = Му = = 40, ^ = 100,

i(x,y, z, t) = sinx sin у sin z cos t.

(26)

И функции G, u0, ui, go, gi, h0, h\, q, f выбираются так, что бы удовлетворять уравнениям в прямой задаче.

Теперь q = q(* — считаем неизвестной искомой функцией в обратной задаче, a fs — данными обратной задачи.

В качестве начального приближения зафиксируем q0(x,y, t) = 0 У fix = В/4 N — количество итераций

(N)

N

Ч(*)(х, У fix, t)

q(5)(x, у fix, t)

q(i0)(x, у fix, t)

q(i5)(x, у fix, t)

Рис. 2: Сходимость градиентного метода qn

На (Рис. 2) показаны результаты работы градиентного метода. В таблице 1 используется гауссовский шум, N = 50 — количество итераций.

J (q) - 4{N41

6 = 0% 0.0037 0.00058

6 = 2% 0.0590 0.00060

6 = 5%o 0.3466 0.00627

6~- = 10% 1.3961 0.00790

Таблица 1: Результаты для различного уравня шума 6

4 Заключение

Разработан численный метод решения задачи продолжения обладает высокой скоростью сходимости и при-емлимой устойчивостью к шуму в данных. Для быстрого решения прямой задачи использован ОрепМР и библиотека Intel MKL. Отметим, что можно существенно уменьшить число итераций, учитывая априорную информацию об искомом решении [6,9].

Список литературы

[1] Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. - 2009.

[2] Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Издательство "Наука", Сибирское отделение, 1967.

[3] Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Ненарокомов А. В. Обратные задачи в исследовании сложного теплообмена //М.: Янус-К. - 2009.

[4] Galaktionov V. A., Vazquez J. L. Continuation of blowup solutions of nonlinear heat equations in several space dimensions //Communications on Pure and Applied Mathematics: A Journal Issued by the Courant Institute of Mathematical Sciences. - 1997. - T. 50. - №. 1. - C. 1-67.

[5] Frankel J. I. Regularization of inverse heat conduction by combination of rate sensor analysis and analytic continuation //Journal of Engineering Mathematics. - 2007. - T. 57. - №. 2. - C. 181-198.

[6] Kabanikhin S.I., Shishlenin M.A. Quasi-solution in inverse coefficient problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2008. V. 16, iss. 7. P. 705-713.

[7] Alifanov О. M. et al. Mathematical Model of Heat Transfer in High-Porous Materials //2010 14th International Heat Transfer Conference. - American Society of Mechanical Engineers, 2010. - C. 947-957.

[8] Алифанов О. M., Гребенников А. И. Быстрое решение обратных задач теплопроводности методом обобщенных лучей и его применение к моделированию наноструктурных материалов //Вестник Московского авиационного института. - 2010. - Т. 17. - №. 3. - С. 10-10.

[9] Кабанихин С.И., Шишленин М.А. Об использовании априорной информации в коэффициентных обратных задачах для гиперболических уравнений // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. с. 147-164.

[10] Дучков А. А., Карчевский А. Л. Определение глубинного теплового потока по данным мониторинга температуры донных осадков //Сибирский журнал индустриальной математики. - 2013. - Т. 16. - №. 3. - С. 61-85.

[11] Shishlenin М.А. Matrix method in inverse source problems. Сибирские электронные математические известия. 2014. Т. 11. С. 161.

[12] Belonosov A., Shishlenin М. Regularization methods of the continuation problem for the parabolic equation. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 10187 LNCS, 2017, Pages 220-226.

[13] Yaparova N., Gavrilova T. Mathematical modeling and method for solving an inverse heat conduction problem via the Volterra equation //AIP Conference Proceedings. - AIP Publishing, 2018. - T. 2025. - №. 1. - C. 100013.

[14] Шишленин М.А. Микросейсмический мониторинг гидроразрыва пласта. Труды Международной конференции "Вычислительная математика и математическая геофизика" посвященная 90-летию со дня рождения академика А. С. Алексеева. 2018. С. 407-413.

[15] Япарова Н. М. Метод прогнозирования температурного состояния цилиндра при термообработке в условиях неполной исходной информации //Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2019. - Т. 19. - №. 2. - С. 54-65.

[16] Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems: theory and applications. - Walter De Gruyter, 2011. - T. 55.

[17] Belonosov A., Shishlenin M., Klyuchinskiy D. A comparative analysis of numerical methods of solving the continuation problem for ID parabolic equation with the data given on the part of the boundary //Advances in Computational Mathematics. - 2019. - T. 45. - №. 2. - C. 735-755.

Приходько Алексей Юрьевич — магистрант ММФ, Новосибирский государственный университет;

e-mail: a.prikhodkoÚg.nsu.ru; Шишленин Максим Александрович — д.ф.-м.н., заведующий лабораторией Института вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН; Новосибирский государственный университет;

e-mail: mshishleninQngs.ru.

Дата поступления — 30 апреля 2017 г.