CC BY
17
УДК 539.374
DOI: 10.18303/2618-981X-2018-6-307-317
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНО ДОПУСТИМОЙ ВЫСОТЫ ОТВАЛА, СЛОЖЕННОГО ИЗ ГОРНЫХ ПОРОД
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, зав. кафедрой математики и естественных наук, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Геннадий Михайлович Подыминогин
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, младший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: podyminogin@gmail.com
Ольга Анваровна Лукьяшко
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, инженер, тел. (383)335-97-50, e-mail: lykola@yandex.ru
Рассматривается отвал в виде усеченного конуса. Предполагается, что потеря устойчивости борта отвала происходит за счет веса вышележащих слоев, при этом вес этих слоев действует как штамп на горизонтальную поверхность. В результате пол штампом образуется пластическая область, имеющая один и тот же наклон к горизонтальной плоскости вне зависимости от размеров штампа. На этом пути определяется такое положение площадки под штампом, на которой давление (из-за веса вышележащих слоев) будет максимальным. Решая задачу о переходе материала под штампом в пластическое состояние, находим предельную нагрузку для штампа. Нагрузка определяется свойствами горной породы-сцеплением, углом внутреннего трения. При решении пластической задачи использовались результаты, получения в работах Березанцева В.Г. Как результат сопоставления этих двух нагрузок получается зависимость максимально допустимой высоты отвала, в зависимости от угла наклона его борта, физико-механических свойств материала отвала.
Ключевые слова: отвал, угол наклона борта, максимальное давление, пластичность, предельная нагрузка, горная порода, максимально допустимая высота.
DETERMINATION OF THE MAXIMUM HEIGHT OF A ROCK DUMP
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher; Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Head of Mathematics and Natural Sciences Department, phone: (383)243-94-75, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Gennady M. Podyminogin
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Junior Researcher, phone: (383)335-97-50, e-mail: podyminogin@gmail.com
Olga A. Luk'yashko
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Engineer, phone: (383)335 97 50, e-mail: lykola@yandex.ru
The paper studies a dump in the form of a truncated cone. It is assumed that the stability loss of the dump slope occurs due to the weight of the overlying layers, while the weight of these layers acts as a stamp on the horizontal surface. As a result, a plastic domain is formed under the stamp. The domain has the same slope to the horizontal plane, regardless of the stamp size. Then, the domain position under the stamp, at which the pressure (due to the weight of the overlying layers) will be maximum, is determined. By solving the problem of the material transition under the stamp into a plastic state we find the maximum load for the stamp. The load is determined by the properties of the rock-clutch and the angle of internal friction. For the solution of the plastic problem we have used the results obtained in the works of V.G. Berezantsev. As a result of comparison of these two loads, the maximum allowed height of the dump is obtained, depending on the slope angle and physical and mechanical properties of the dump material.
Key words: dump, slope angle, maximum pressure, plasticity, ultimate load, rock, maximum allowed height.
Введение
Решению задач об устойчивости бортов карьеров и отвалов посвящено множество работ [1-21]. Практически во всех работах отмечается, что потеря устойчивости указанных объектов происходит за счет веса вышележащих слоев, вводится величина H|90 - длина вертикальной трещины, образующейся
в момент схода части борта карьера или отвала при потере устойчивости. Очевидно, что три события: вес вышележащих слоев, величина H|90 и потеря устойчивости, связаны между собой. Вопрос - каким образом? Решение этого вопроса получим на примере оценки устойчивости отвала конусообразной формы.
Поиск сечения в отвале с максимальным давлением
Представим себе отвал в виде усеченного конуса так, как изображено на рис. 1. Пусть высота отвала есть величина H, радиус окружности в основании отвала обозначим как R, угол наклона борта отвала к плоскости основания представим в виде а . При этом будем иметь в виду, что скольжения при потере устойчивости борта отвала определяются некоторым углом Р на рис. 1, зависящим от угла а , физико-механических характеристик массива пород таких как угол внутреннего трения.
Для определенности будем считать, что напряженно-деформированное состояние рассматриваемого отвала - осесимметричное. Ситуацию на рис. 1 исследуем в следующей интерпретации. Пусть имеется отвал высоты H, значение которой постепенно наращивается в следствии отсыпки. При каком- то значении H = H*, произойдет нарушение устойчивости отвала. Задача заключается в определении значения H*, при котором борт карьера обрушится. Чтобы определить значение H* решим последовательно следующие две задачи: пер-вая-определение высоты h в отвале на рис. 1, на которой находится площадка AD и на которой вследствие веса вышележащего конусообразного элемента
ЛВЫЬ давление максимально; вторая задача - определение пластической зоны под штампом, действующим на площадку ЛВ.
Рис. 1. Отвал горных пород с углом при основании а, с углом сдвижения пластической зоны р , радиусом основания Я, высотой Н
Решение первой задачи предполагает в первую очередь определение объема тороидального элемента ADNL. Этот объем вычисляется по формуле
V = 1 л( R - h ctg а)2 (R tg а- h)-1 л( R - H ctg а)2 (R tg а- H )--л(Я - h)(R - hctgß)2. (1)
В этом выражении три слагаемых: первое слагаемое соответствует объему «большого» конуса с радиусом основания R - h ctg а, второе слагаемое соответствует объему конуса, надстроенного над отвалом, третье слагаемое - это объем цилиндра с радиусом R - h ctg ß и высотой H - h.
Формулу (1) перепишем с учетом обозначений
R h
— = а, — = х. (2)
H H
Тогда
V 1 2 1 2 —^- = -л(а - х ctg а) (a tg а-х)—л (а - ctg а) (a tg а-1)-
H3 3 3
-л(1 - х)(а - хctgß) . . (3)
Определим площадь основания тора. Имеем
S = n(R-hctga)2 -n(R-hctgß)2.
С учетом (2) из (4) получаем
S
(4)
Hz
nx(ctg ß - ctg a)(2a - xctg a - x ctgß).
Найдем давление на площадку AD, оно пропорционально отношению
2 2 2 3V (a - xctga) (atga- x)-(a - ctga) (atga-1)-3(a - xctgß) (1 - x)
HS ~
( ctg ß- ctg a)( 2a - x ctg a- x ctg ß)
(5)
Далее, вычисляем производную по х и приравниваем ее к нулю. В итоге находим уравнение для определения х или И в зависимости от Н:
4 3?
B4 x + B3x + B2 x + B1x + B0 = 0,
(6)
где B4 =(3ctg2 ß- ctg2 a), B3 = -4a(3ctg2 ß - ctg2 a),
B2 = 2a(5actg ß + ctg ß-2actga-ctga-3ctgactgß), B1 = -2 ( ctg ß + ctg a)( a3tg a-( a - ctg a)2 ( a ctg a-1)-3a2), B0 = 2a(a3 tg a - (a - ctg a)2 (a ctga -1) - 3a2 ).
Вычисляя x из (6) и подставляя это значение в (5), находим с точностью до значения pg величину максимального давления на площадке AD с известными углами наклонов a и ß .
Следующая задача состоит в определении пластической зоны под штампом, действующим на площадку AD.
Решение задачи ищем в условиях осесимметрической деформации, для которой тензоры Ta, Ts имеют вид (7)
(7)
f Qr ^rz 0 ] с sr srz 01
Q II ^rz Qr 0 • T = ' ±s srz sr 0
0 V 0 V 0 V 0
Сделаем два замечания. 1. Как видно из рис. 1
H90 = H - h
(8)
2. Угол ß, определяющий направление сдвига неустойчивой массы отвала, находится из соотношения, следующего из нижеприведенного решения второй задачи
^ ^ о
-а I ctg2ц,
ctg ß = ctg а+ C°s2^ 2 > , (9)
sin а sin ц
где ц - угол внутреннего трения, а - угол наклона борта отвала.
Определение предельной нагрузки для потери устойчивости отвала
Установим теперь формулу (9) и связанные с ней другие зависимости, касающиеся отыскания предельной нагрузки на площадку AD с условием того, что под ней образуется пластическая зона, и определим еще одну зависимость, позволяющую находить максимально допустимую высоту отвала.
Рассмотрим рис. 2, где изображена структура пластической зоны под штампом, действующим на площадку AD.
Рис. 2. Отвал с углом наклона а, с углом наклона пластической зоны Р, с изображенными полями простых напряженных состояний OAB, BAC , CAD
Для решения задачи имеем уравнения равновесия
= 0, У в
даг . . аг -аф
1 дг 1 дг г
дтг2 да 1Г7 + г + гг =
„ дг дг г
где у в - удельный вес.
Предполагается, что в зоне пластических деформаций выполняется условие полной пластичности. Условием пластичности здесь является условие Кулона - Мора. Если через 9 обозначить угол между первым главным напряжением для тензора Та (и деформации ТБ !) и осью г, то характеристики системы дифференциальных уравнений (10) и условия пластичности Кулона - Мора будут следующие:
^ = 1в (9 + |), ^ = (9-|),
(11)
I = ^ + ^, где у - угол внутреннего трения. Соотношения на характеристиках
. бш2|- d а
2d 9 +---+
а- соб2| + а
2d ^^^^^ +
а- соб2| + а
2 соб 9- бш | г - со Б (9 + |)
2 соб 9- бш |
СОБ
+ У в -
(9-|)
+ У в ■
(а - соб 2| + а) - соб (9 +1) соб (9 + |)
г - соб(9-|) (а-соб2| + а)-соб(9-|)
^г = 0, (12)
^г = 0. (13)
Все основные линии изображены на рис. 2, из которого видно, что действительно угол наклона пластической области, определяемый значением Р, зависит только от значений угла а и угла внутреннего трения |.
Для нахождения предельной нагрузки начнем вычисления с границы О^Л. Борт отвала ОцЛ свободен от напряжений. Поскольку главные оси Та пронумерованы так, что а! > а2 > аз, то первое главное направление перпендикулярно ОхЛ (а! = 0, по двум другим главным направлениям материал сжат, а2 < 0,
а3 < 0). Отсюда угол 9|
О^Л
С тт Л П
— а 2
V
, где угол а - угол наклона борта отвала
J
к оси г .
Далее предполагается, что угол 9 постоянен во всем треугольнике О^ЛО. Это означает, что d9 = 0 в (12), (13).
Будем идти от контура O-A к контуру AD на рис. 1. Проинтегрируем (12) вдоль характеристики, отвечающей числу А,- в (11). Имеем из (12) следующее дифференциальное уравнение первого порядка:
. „ , 2cos9sinц(аcos2u + a) 1 cos(9-ц) Л __
srn2^a; +-ц( s ^ )- + 1B L I = 0. (14)
cos(9 + ц) r cos (9 + ц)
Общее решение (14) представляется в виде:
(С Л 2cos 9 sin ц cos (9-ц) r __ а cos2ц + a = — ----------, (15)
V r У
cos(9 + ц)tg2ц cos (9 + ц) tg2ц
где C - произвольная константа интегрирования. При г соответствующим границе О^А,
i a
а
OA 2 cos2 ц
Отсюда и из (15) при данном значении r находим C.
Далее на рис. 2 следует центрированное поле BAC, в котором вводятся полярные координаты, отсчитываемые от точки A. При этом r = ta + р-cosх, z = h + р-sinх, где ta - абсцисса точки A на рис. 1, h - ее ордината. Рассматривая это поле, находим, что угол 9 здесь можно считать равным
9 = Х + Ц, (16)
я .
где х - полярный угол, изменяющимся в пределах а - ц - — < х < -Ц.
Из (16) следует d9 = d х. Кроме того на основании уравнений для характеристик (11) получаем в центрированном поле два вида характеристик. С одной стороны, это пучок линий с уравнениями х = const, другие характеристики имеют вид логарифмических спиралей с уравнениями вида:
. е(х-хо )-ctg^, (17)
Р = Ро •е
где Ро - произвольная константа. Теперь необходимо проинтегрировать соотношение (12) на характеристике (17) при условиях r = Га + р cos х, d9 = dх,
cos (х + 2ц)
dr = dp cos х - Р sin xdх = р---- dх (последнее условие следует из (17)).
sin 2ц
В итоге получается дифференциальное уравнение для определения а следующего вида
f
cos 9 sin ц • p cos (ф + 2ц)
\
2 (a cos 2ц + a) 1 +
V
Уравнение (18) - линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции (асо82ц + а) аргумента %. Решая его, находим значение а на границе АС.
В треугольнике АСВ (см. рис. 1) принимаем величину 9 опять константой, определяемой условиями на стороне АВ. На этой стороне 9 = 0. Поэтому решением задачи в треугольнике АСВ служит выражение, подобное (15), где
Склеивая все эти решения, находим а на АВ и значение а^ на АВ по формуле:
Естественно а^ зависит от положения исходной точки на границе О\А или на АВ. Можно вычислить среднее значение а^ на АВ и приравнять его значению, которое соответствует максимальному давлению на площадке, полученному в первой части работы. Отсюда находится максимально допустимое значение высоты отвала, при котором он остается еще устойчивым.
1. Разработана математическая модель потери устойчивого отвала конусообразной формы, в которой учитывается вес породы, физико-механические свойства, включая угол внутреннего трения породы.
2. Получено выражение для определения максимально допустимой высоты отвала с точки зрения безопасности ведения работ.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-05-00757А).
1. Frank, U. (2014). Multi-perspective enterprise modeling: Foundational concepts, prospects and future research challenges // Software and Systems Modeling, 13 (3), Pages 941-962.
2. Brown, C. (2012). Autonomous vehicle technology in mining // Engineering and Mining Journal, 213(1), Pages 30-32.
3. Hahn, S., Pastor, S. & Thompson, R. (2015). Development of mine haul road surfacing condition monitoring through digital image processing // Engineering and Mining Journal, 67(9), Pages 34-45.
9 = 0.
Заключение
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
4. Trubetskoy, K. N., Rylnikova, M. V., Vladimirov, D. Ya. & Pytalev, I. A. (2017). Provisions and prospects for introduction of robotic geotechnologies in open pit mining // Gornyi Zhurnal Issue 11, 1 November 2017, Pages 60-64.
5. Abroskin, A. S. (2015). Use of modern systems of automation of open cast mining // Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, Geo Assets Engineering, 326 (12), Pages 122-130.
6. Frank, U. (2014). Multi-perspective enterprise modeling: Foundational concepts, prospects and future research challenges // Software and Systems Modeling, 13 (3), Pages 941-962.
7. Rylnikova, M. V., Yun, A. B. & Terentieva, I. V. (2015). Prospects and development strategy of Jezkazgan deposit // Gornyi Zhurnal Volume 2015, Issue 5, 2015, Pages 44-49.
8. Козырев А. А., Семенова И. Э., Рыбин В. В., Аветисян И. М. Особенности перераспределения полей напряжений при формировании глубокого карьера рудника "железный" ковдорского месторождения // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2015. № 4. С. 24-33.
9. Kozyrev, A. A., Rybin, V. & Konstantinov, K. (2015). Assessment result on geomechanical state of near-wall rock mass in open-pits of the kola region by integrated instrumental methods // International Multidisciplinary Scientific GeoConference Surveying Geology and Mining Ecology Management, SGEM Volume 3, Issue 1, 2015, Pages 111-118. 15th International Multidisciplinary Scientific Geoconference and EXPO, SGEM 2015; Albena; Bulgaria.
10. Stacy, T. R. (2007). Slope Stability in High Stress and Hard Rock Conditions // Proceedings of the 2007 International Symposium on Rock Slope Stability in Open-pit Mining and Civil Engineering, Pages 187-200. Perth, Australia.
11. Makarov, P. V. & Bakeev, R. A. (2015). Simulation of spallation life of metals in relation to operating stresses in the nanosecond loading time range // AIP Conference Proceedings Volume 1683, № 020134 International Conference on Advanced Materials with Hierarchical Structure for New Technologies and Reliable Structures 2015. Tomsk; Russian Federation.
12. Шешенин С. В., Артамонова Н. Б., Фролова Ю. В., Ладыгин В. М. Определение упругих свойств и тензора передачи порового давления горных пород методом осреднения // Вестник Московского университета. Серия 4: Геология. 2015. № 4. С. 90-97.
13. Frolova Y. V. (2010). Patterns of transformations in the compositions and properties of Icelandic hyaloclastites during lithogenesis // Moscow University Geology Bulletin. Т. 65. № 2. Pages 104-114.
14. Фролова Ю. В. Скальные грунты и методы их лабораторного изучения/учебное пособие. - М.: КДУ, 2015. - 222с.
15. Zhabko, A. V. (2013). Calculation theory of stability of foundations and slopes // Proceedings XV International ISM Congress 2013, Pages 85-97. 16 - 20 September 2013, Aachen, Germany.
16. Zhabko, A. V. (2015). Calculation of stability of inhomogeneous and anisotropic slopes / A. V. Zhabko, V. A. Gordeev // Mez 278 2015 XXII. konference Spolecnosti dulnich mericu a geologu. Zasedani odbornych komisi ISM. Praha. 24 - 26 cervna 2015.
17. Жабко А. В. Расчет устойчивости откосов // Маркшейдерия и недропользование. -2012. - № 2. - С. 55-59.
18. Мельников, Н. Н. Изменение геодинамического режима геологической среды при ведении крупномасштабных горных работ на глубоких карьерах / Мельников Н. Н., Козырев А. А. // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). -2015. - № 56. «Глубокие карьеры». С. 7-23.
19. Каспарьян Э. В. Геомеханические проблемы при открытых горных работах / Кас-парьян Э. В., Козырев А. А. // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). - 2015. - № 56. «Глубокие карьеры». С. 134-143.
20. Подыминогин Г. М., Чанышев А. И. Определение максимально допустимой высоты борта карьера по схеме жесткопластического тела // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2015. - № 3. С. 32-40.
21. Подыминогин Г. М., Чанышев А. И. Определение предельных параметров борта карьера в рамках осесимметричной модели жесткопластического деформирования горных пород // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2015. - № 4. -С. 50-60.
REFERENCES
1. Frank, U. (2014). Multi-perspective enterprise modeling: Foundational concepts, prospects and future research challenges // Software and Systems Modeling, 13 (3), Pages 941-962.
2. Brown, C. (2012). Autonomous vehicle technology in mining // Engineering and Mining Journal, 213(1), Pages 30-32.
3. Hahn, S., Pastor, S. & Thompson, R. (2015). Development of mine haul road surfacing condition monitoring through digital image processing // Engineering and Mining Journal, 67(9), Pages 34-45.
4. Trubetskoy, K. N., Rylnikova, M. V., Vladimirov, D. Ya. & Pytalev, I. A. (2017). Provisions and prospects for introduction of robotic geotechnologies in open pit mining // Gornyi Zhurnal Issue 11, 1 November 2017, Pages 60-64.
5. Abroskin, A. S. (2015). Use of modern systems of automation of open cast mining // Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, Geo Assets Engineering, 326 (12), Pages 122-130.
6. Frank, U. (2014). Multi-perspective enterprise modeling: Foundational concepts, prospects and future research challenges // Software and Systems Modeling, 13 (3), Pages 941-962.
7. Rylnikova, M. V., Yun, A. B. & Terentieva, I. V. (2015). Prospects and development strategy of Jezkazgan deposit // Gornyi Zhurnal Volume 2015, Issue 5, 2015, Pages 44-49.
8. Kozyrev, A. A., Semenova, I. E., Rybin, V. V. & Avetisyan, I. M. (2015). Stress redistribution in deep open pit mine zhelezny at kovdor iron ore deposit // Journal of Mining Science. 2015. Т. 51. № 4. Pages 659-665.
9. Kozyrev, A. A., Rybin, V. & Konstantinov, K. (2015). Assessment result on geomechanical state of near-wall rock mass in open-pits of the kola region by integrated instrumental methods // International Multidisciplinary Scientific GeoConference Surveying Geology and Mining Ecology Management, SGEM Volume 3, Issue 1, 2015, Pages 111-118. 15th International Multidisciplinary Scientific Geoconference and EXPO, SGEM 2015; Albena; Bulgaria.
10. Stacy, T. R. (2007) . Slope Stability in High Stress and Hard Rock Conditions // Proceedings of the 2007 International Symposium on Rock Slope Stability in Open-pit Mining and Civil Engineering, Pages 187-200. Perth, Australia.
11. Makarov, P. V. & Bakeev, R. A. (2015). Simulation of spallation life of metals in relation to operating stresses in the nanosecond loading time range // AIP Conference Proceedings Volume 1683, № 020134 International Conference on Advanced Materials with Hierarchical Structure for New Technologies and Reliable Structures 2015. Tomsk; Russian Federation.
12. Sheshenin S. V., Artamonova N. B., Frolova Y. V. & Ladygin V. M. (2015). Defining the elastic properties and the tensor of the pore-pressure transfer in rocks using the averaging method // Moscow University Geology Bulletin. Т. 70. № 4. Pages 354-361.
13. Frolova Y. V. (2010). Patterns of transformations in the compositions and properties of Icelandic hyaloclastites during lithogenesis // Moscow University Geology Bulletin. Т. 65. № 2. Pages 104-114.
14. Frolova Y. V. (2015). Skal'nye grunty i metody ikh laboratornogo izucheniya [Laboratory Methods for the Study of Hard Rocks] // Moscow: KDU [in Russian].
15. Zhabko, A. V. (2013). Calculation theory of stability offoundations and slopes // Proceedings XV International ISM Congress 2013, Pages 85-97. 16-20 September 2013, Aachen, Germany.
16. Zhabko, A. V. (2015). Calculation of stability of inhomogeneous and anisotropic slopes / A. V. Zhabko, V. A. Gordeev // Mez 278 2015 XXII. konference Spolecnosti dulnich mericu a geologu. Zasedani odbornych komisiISM. Praha. 24-26 cervna 2015.
17. Zhabko, A. V. (2012). Raschet ustoichivosti otkosov [Calculation of the stability of slopes] //Marksheideriya Inedropolzovaniye. - № 2, Pages 55-59 [in Russian].
18. Melnikov, N. N. (2015). Izmenenie geodinamicheskogo rezhima geologicheskoy sredy pri vedenii krupnomasshtabnykh rabot na glubokikh karyerakh [Changes in the geodynamic regime of the geological environment during the conduct of large-scale mining operations in deep quarries] / Melnikov, N. N. & Kozyrev A. A. // Gorny informatsionno-analiticheskiy byulleten (nauchno-tekhnicheskiy zhurnal). - 2015. -№ 56. "Glubokiye karyery". Pages 7-23 [in Russian].
19. Kasparyan, E. V. Geomekhanicheskiye problem pri otkrytykh gornykh rabotakh [Geomechanical problems in open mining] / Kasparyan, E.V. & Kozyrev A.A. // Gorny informatsionno-analiticheskiy byulleten (nauchno-tekhnicheskiy zhurnal). - 2015. - № 56. "Glubokiye karyery". Pages 134-143 [in Russian].
20. Podyminogin, G. M. & Chanyshev, A. I. (2015). Estimate of maximum permissible height of pit wall based on a rigid-plastic model // Journal of Mining Science, - 2015, T. 51,- № 3, Pages 448-455.
21. Podyminogin, G. M. & Chanyshev, A. I. (2015). Determination of ultimate pitwall parameters in axisymmetric rigid-plastic model of rocks // Journal of Mining Science, - 2015, T. 51,-№ 4, Pages 679-688.
© A. H. Hiaubwee, f. M. noduMunozun, O. A. flyKbRMKO, 2018
