Вариационная задача Дирихле для одного класса эллиптических уравнений с вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ*)

М, Г, Гадоев, И, А. Якушев

Одним из методов исследования разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является метод, основанный на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т. д.). Применение этого метода, естественно, требует предварительного изучения свойств соответствующих пространств функций и доказательства необходимых интегральных неравенств. Этот метод ранее применялся в работах Л. Д. Кудрявцева [1], П. И. Лизоркина и С. М. Никольского [2,3], П. И. Лизоркина [4], Н. В. Мирошина [5,6], где исследовалась разрешимость первой краевой задачи для эллиптических уравнений со степенным вырождением на границе ограниченной области. Внешняя часть ограниченной области рассматривалась в работах Н. В. Мирошина [7,8]. В работе С. А. Исхокова [9] изучалась разрешимость однородной задачи Дирихле в произвольной области с различными вырождениями коэффициентов дифференциального уравнения по разным независимым переменным.

Коэффициенты дифференциальных уравнений, рассмотренных в указанных выше работах, имели форму произведения ограниченной

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)» (per. номер 2.1.1/3443).

© 2011 Гадоев М. Г., Якушев И. А.

функции и функции, с помощью которой характеризуется вырождение. В отличие от этих работ здесь мы предполагаем, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым ¿^-пространствам.

1. Формулировка основного результата

Пусть Л — произвольное открытое множество в п-мерном евклидовом пространстве Н„, и пусть П(0) = {х = (х\,..., х„) € Е„ : \х^\ < 1 /2, г = 1, п} — единичный куб с центром в начале координат. Для любой точки £ € Е„ и любого вектора £ = ..,Ь„) с положительными компонентами определим параллелепипед П^£) равенством

Пг( £) = {х € Е„: (X -...,(х„ - £„)/1„) € П(0)}.

Пусть сг(х), дг{х) (г = 1, п) — определенные в П положительные функции. Далее всюду в этой работе, предполагается, что при некотором £ > 0 для всех £ € О параллелепипед £) = (£), где 9(0 = 9(0,... ,9„( £)), содержится вОи существуют положительные числа А, V такие, что

г/-1 < а(х)/а(0 < г/, А"1 < №(ж)/№(£) < А, г = Т^, (1)

для всех х го £).

Класс положительных функций а(х), х € О, удовлетворяющих условию (1), обозначим через Ф£,ц(0).

Пусть 1 ^ р < и г натуральное. Символом Ь™Г(И;а,д),

где целое число т такое, что 0 ^ т ^ г, обозначим класс функций и(х), х € О, имеющих обобщенные по Соболеву производные Цк (х), к = (кх,..., к„) — мультииндекс, \к\ = к± + • • • + к„ ^ г, с конечной полунормой

а символом WгT(fi; а, д) — пространство функций и(х), х € О, с конечной нормой

||и;^;(П ;а,д) | = {|\щь; ДО;а,д) ||р + \\и; Ь0р ДП ;а,д) /р. (2) Пространство Wp(Sl; а, д) банахово с нормой (2), и согласно результатам работы С. А. Исхокова [9], в сделанных выше предположениях при всех р € [ 1, то) и всех натуральпых г множество С^(0) плотно в этом пространстве.

Через (^^(П;а,д))' обозначим пространство ограниченных антилинейных непрерывных функционалов, определенных па ^^(П\а,д), наделенное нормой сопряженного пространства.

На функциях и,у € С^(П) рассмотрим полуторалинейную форму

\к\,тт1

где рк(х) = а(х)д-г'+кг (х)д-т+к2 (х).. .д-т+кп{х) и ак^(х) — комплекс-нозначные функции, удовлетворяющие следующему условию эллиптичности: существует число к >0 такое, что

Ке аы(£1 > К I2 (4)

\к\,И<т \к\=т

для всех х € О и любого набора комплексных чисел £ = {£к}\к\^т-

Задача Б0- Для заданного функционала Г € (W;T(fi;а,д))' требуется найти решение и (х) уравнения

В[и, V = {Г, V) ДЛЯ всех V € С™(П), (5)

принадлежащее пространству Wr(fi; а, д).

Разрешимость задачи Ва ранее исследовалась в работе [9] в предположении ограниченности всех коэффициентов х) (|&|, |/| ^ г, х € П). В настоящей работе применением теорем вложения разных метрик для пространств WгT(fi;а,д) и с помощью доказанных в разд. 2 интегральных неравенств установлена однозначная разрешимость задачи Бд в предположении, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым ^-пространствам с весом.

Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (4), н пусть функции о,ы{х) ограничены при |к| = |/| = г. Если \к\, |/| < г, |к| + |/| < 2г — 1, то

аы(х)Ых)д2(х)...дп(х))^/р»' е Ьры(П), (6)

где

если 2(г — |/г|) < п, 2(г — |/|) < п,

п

1

Рк1

I + 4м - £0' если 2(г - 1*1) < 2(г - |/|) > п,

1 1 - £0, если 2(г - \к\) > п, 2(г - |/|) < п,

(7)

2

„ 1 — £о, если 2(г — |к|) > п, 2(г — |/|) > п,

а £ — достаточно малое положительное число. Тогда при условии

\\и;^г(П-а,д) ||2 < МШ,В[и,и] длявсехи е С^(П), (8)

где число М > 0 не зависит от и(х), для любого заданного функционала Е е (^^(П ;а,д)) 'задача имеет единственное решение и(х). При этом имеет место следующая оценка:

;а,д)\\ < М\\Е; ;а,д))'\\, (9)

где число М > 0 не зависит от Е.

Следует отметить, что в некоторых частных случаях условие (8) вытекает из условия эллиптичности (4) (см. замечания 3, 4 работы [9]).

2. Вспомогательные неравенства

Далее, для удобства записи вместо неравенства вида Л(и) ^ СВ(и), где С — положительная постоянная, не зависящая от и(х), будем писать Л(и) С В(и).

Лемма 1. Пусть г — натуральное чнело, 1 ^ р < ж н выполнены условия

пп

1 < Р < Ро < +оо, г-в---1-->0, (10)

рр

где целое число s принадлежит [0,г]. Тогда для любого u G W ^(Cl; a,g) справедливо неравенство

-r+1/p-1 /р0

/ HXgt (x)---gt (х)Ых) ...gn( x) y

/

x\uk (x)\yodxx\ < ||u;W;(Q ;a,g) ||. (11) Доказательство см. в [10].

Лемма 2. Пусть p0,q+ ^ = Тогда справедливо неравенство

/ /■ х1Ло / /■ \1/ро / ^ \ i/qo

/ \u(x)v(x)< ( / \u(x)P^dx] ( / \v(x)Г dx j (12)

fi fifi при всех u(x), v(x), для которых правая часть неравенства (12) конечна.

Доказательство проводится с помощью неравенства Гёльдера.

Лемма 3. Пусть положительные функции a(x),P(x),j(x) принадлежат классу ФПусть p,q r,t — натуральные числа и мультпнпдексы k = (ki,...,kn), l = (¡i,...,ln) такие, что \k\ < r, \l\ < t. Пусть также существуют числа po,qo, удовлетворяющие условиям

n n

г — |/г|---1--> 0, (13)

pp

nn

l^q^qo^oo, t-\l\-- + — >0. (14)

qq

Тогда при выполнении условия

7(x) < a{x)f3{x)gk+h (x)... gh;r+{x) ... gn( x))-r-t+1/p>+1/—^ ,

(15)

где = ^ + имеет место следующее неравенство:

1До

x)|) 0 dx

fi

« ||u;Wpr(íí;a,g)|| ||v;WÍ(n;в,Ю||. (16)

S

Доказательство. Из условия (13) следует условие (10) при в = |к|. Поэтому, применяя неравенство (11), имеем

' /■ 1 /РО

у (а(х)д^ X... дкп~( X ... дп( х))-г+1/р-1 /р° |^ п X |) Ро ¿х\

« \\и;Ш;(П-а,д)\\. (17) Действуя аналогично, в силу условия (14) из неравенства (11) находим

С 1 /№

] (р(х)& X . ..д'п ХЫх). ..ди( х))-*+1/д-1 /до (0 X 0 ® ¿х\

п

« -13,д)\\. (18)

Далее, в силу условия (15), применяя лемму 2, имеем

1До

(чх и п XV1Ч XI) 0 ¿х

п

(р ^ 1/Ро

« |у (аХ)дП1 X... дкп( X... дЛ X)-г+1/р-1 /р° и п X О ро ¿х

п

X11 (вхд1!1 X... д1п( х)Ы(х)... д„( X)-%+1/д-1 /д° V1XI)® ¿х

Отсюда и из (17), (18) следует неравенство (16). Лемма 3 доказана.

Теорема 2. Пусть положительные функции ах> РХ)> IX принадлежат классу ФПусть р,д т,1 — натуральные числа и мультпнпдексы к, I такие, что |к| ^ г, И ^ ¿> |к| + |/| ^ г + t — 1. Определим число Хщ с помощью равенства

I I _ г+г-\к\-\Ц

р Ч п

1 г — \к

р ■ я „ , если р(г - \к\) < п, д(г - \1\) < п,

£о, еслир(г — |к|) < п, — |/|) ^ п,

1 = р п . -и, - 1-1/ - -.V- п/ - (1д)

ы если р(г - \к\) ^ п, - \1\) < п,

£о, если р(т — |к|) ^ п, д{Ь — |/|) ^ п,

где £о — достаточно малое положительное число. Тогда прн выполнении условия

^(х) < а(х)в(х)дк1+к (х) ... дкг+1п(х)

х ых...ди(х))(20)

для всех функций и € Wp(Cl;а,д), V € Wtq(il;р,д) выполняется неравенство

Г' \

х)|) к1 ¿х

п

« ||и;%г(П-а,д) | ||и;^(П-в,д) ||. (21)

Доказательство. Рассмотрим случай |к| < г, |/| < Ь. Определим числа ро,Чо с помощью следующих равенств соответственно:

1 г — | к р п

Ро I £0, если п ^ р(т — |^,

1 _ 1 р ~ если п> Р(г ~

(22)

п > если п > </(£ — |/|), до [ £о, если п < ч(Ь — |/|),

где £о — достаточно малое положительное число. Нетрудно заметить, что определенные выше числа ро, Чо-, удовлетворяют условиям (13), (14) и число Хк1, определенное формулой (19), удовлетворяет равенству

1 1 _ 1 Ро Чо Ак1

Поэтому неравенство (21) следует из (16).

Рассмотрим случай |к| = г. Тогда из условий теоремы 2 на муль-тииндексы к и / вытекает, что |/| ^ Ь — 1. Поэтому при до, определенным равенством (22), для всех V € ; в, д) выполняется неравенство (18). С другой стороны, так как |к| = г, непосредственно из определения нормы пространства ;а,д) получим, что

/

1а(х)аГ ■ (х) ...дкГ-г(х)

I (а{х)дк -г х... дкгЧ х) М к (х) |)Р ¿х^

<< ||и;^Т(П;а,д)||. (23)

Нетрудно заметить, что в силу леммы 2 из неравенств (18), (23) следует неравенство (21).

Случай |/| = Ь, |к| < г — 1 рассматривается аналогично. Теорема 2 доказана.

где

3. Доказательство теоремы 1

Полуторалинейную форму Б[и, V] (см. (3)) представим в виде

Б[и,у} = Б^и,^ В2[и,у] (и,ю е С~(П)), (24)

В1[и,ь]= рк(х)р1(х)аы(х)и(к)(х)у(1Цх)<1х,

\к\ = \1\=г1

В2[и,/и\ = j Рк(х)Р1(х)ак1(х)и^ (Х)У^НХ) ^Х, п

и символом обозначено суммирование по всем мультииндексам к, / таким, что Щ, |/| < г, |к| + |/| < 2г — 1. Так как коэффициенты ак;(х) ограничены при |к| = |/| = г, применяя неравенство Коши — Буняков-ского, имеем

вли^] к<{ (рп(х) ип х ^7 ых) V « х |)2}х,/

\к\=гп \1\=ГП

< \\щЪ2^1 ;а,д)\\ \[и;Ьг2г(0,;а,д)\\

<< \\и;^(П;а,д)\\ \к^(П;а,д)\\. (25)

Для удобства записи число Хк1, определенное равенством (19) при р =

д = 2, Ь = г, обозначим через и заметим, что ——I—— = 1, где

рк1 дк1

числа рк1 определены равенством (7). Применяя неравенство Гёльдера,

имеем

\B2[u,v]\ < Jpkix)Pi{X\aki(X\ \u(k (ФW X\ dx fi

< E'/(Ых)...дп(X)^/pklWi(XI)

x ((gi(x) .. . gn(xj) 1/Pklpk{x)pi{x)\u{k){x)v(l){x)\dx

i (Г V /pkl

^ E y ■ ■ ■ gni x) ^/p ki м x D pki dx\

i/qki

x ((gi(x) .. .gn{x))1lpklpk{x)pl{x)\u{k\x)v(l){x)\)^ dx fi

, f f _ ï 1/lkl

«E (Ы*) ■■■9n(x))1/™pk(x)pl(x)\u(k\x)vW(x)\)™ dx\

4 J (26)

Здесь мы воспользовались условием (6) теоремы 1.

С другой стороны, применяя теорему 2 при p = q = 2, a(x) = f3(x) = a(x), t = r и j(x) = (gi(x) ■ ■ ■ gn(x))1/pklpk(x)pi(x), имеем

__i/яы

((9l (x)... дп{х))11рк1рк{х)р1 {x)\u{V (a>(0 (x) 1)®=' dx \

'fi

« ||u;W2r(Q;a,g) || ||v;W2r(Q;a,g) |

Отсюда и из (26) следует, что

\B2[u,v] \ « ||u; WJ(Q\a,g) || ||v;W2r(iî;a,g) || (27)

для всех u,v G WJ (Q; a, g)■

Ввиду равенства (24) из (25), (27) получим

B[u,v] « ||u;WJ(Q;a,g) || ||v; WJ(Q;a,g) || (28)

для всех u,v G WJ (Q; a, g)■

Подставляя в неравенстве (4) = pk(x)v(k (x), где v{x) — любая функция из C^(Q), и интегрируя полученное неравенство по x G О, имеем

Il 112

ReB[v,v] ^ к ||v;Lrr(0;a,g) |Г■

Отсюда в силу условия (8) и плотности класса C^(0) в WJ(fi;a,g) следует, что

ReB[v,v] » ||v;W2r(n ;a,g) ||2 (29)

для всех v G WJ(fi; a, g).

Неравенства (28), (29) позволяют применить теорему Лакса — Мильграма (см., например, [11]), согласно которой существует оператор Л, являющийся гомеоморфизмом пространств WJ(fi;a,g) и (WJ(fi;a,g))при этом выполняется определенное единственным образом представление B[u, v] = (Au, v) для всех u,v G WJ(fi; a, g). Следовательно, для любого заданного функционала F G (WJ(fi;a,g))' функция U = Л"1F единственным решением задачи Dq. Из

ограниченности оператора Л-1 следует неравенство (9).

Теорема 1 доказана.

Авторы благодарят профессора С. А. Исхокова за постановку задачи и помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. миан СССР. 1959. Т. 55. С. 1-182.

2. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод // Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157. С. 90-118.

3. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 161. С. 157-183.

4. Лизоркин П. И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 235-251.

5. Мирошин Н. В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области // Дифференц. уравнения. 1976. Т, 12, № 6. С. 1099-1111.

6. Мирошин Н. В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 3. С. 455-464.

7. Мирошин Н. В. Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора // Изв. вузов. Математика. 1988. №8. С. 47-55.

8. Мирошин Н. В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением // Тр. МИАН СССР. 1992. Т. 194. С. 179-195.

9. Исхоков С. А. о гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 536-1542.

10. Исхоков С. А. о существовании и гладкости обобщенного решения нелинейного дифференциального уравнения с вырождением // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 232-245.

11. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4-30.

г. Якутск

11 декабря 2010 г.