Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических операторов в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957

И. А. Якушев

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов в полупространстве, коэффициенты которых принадлежат некоторым весовым - пространствам. Используется метод, основанный на элементах теории весовых нормированных пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных. Применяется весовой аналог неравенства Гординга для эллиптических уравнений с вырождением.

Ключевые слова: вариационная задача, полупространство, эллиптический оператор, вырождение, неравенство Гординга.

I. A. Yakushev

Variation Dirichlet problem homogeneous boundary conditions for a class of degenerate elliptic operators in the half-space

Solvability of the variation Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic operators in the half-space is investigated in the work. Coefficients of the considered operators belong to some weighted Lp -spaces. A method based on the elements of differentiable functions of many real-valued variables weighted normed spaces theory is used, as well as. Garding inequality weighted analogue for elliptic equations with degeneration.

Key words: variation problem, half-space, elliptic operator, degeneration, Garding inequality.

Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов в полупространстве, коэффициенты которых принадлежат некоторым весовым пространствам. Аналогичная задача ранее рассматривалась в работах С. А. Исхокова [1, 2]. В отличие от этих работ, мы применяем весовой аналог неравенства Гординга, что позволило существенно ослабить условие эллиптичности, имеющееся в работах [1, 2]. Применяемый нами метод основан на элементах теории весовых нормированных пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных. Другие классы вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве этим методом исследовались в работах Ю. В. Рыбалова [3, 4], И. И. Матвеевой [5, 6], С. А. Исхокова [7] и др.

Пусть Яп - п -мерное евклидово пространство точек X = ( X , X,,..., X ) . Обозначим

\ Р 2’ ’ п'

Я+ ={х I х = (х',х )е Я ,х >0}.

N 1 4 П ' П П 1

Пусть функция такая, что

0 <^( t ) < 1 для любого t Є

;l

t > 1; фО — 1 для любого t Є

О;

и (/){t) = 0, когда 1'

2

. Для любых

двух вещественных чисел а, в определим функцию

ЯКУШЕВ Илья Анатольевич - старший преподаватель кафедры общей математики МПТИ(ф) СВФУ E-mail: [email protected]

p(t) = mt~a + (1 -V(t))tp (t >0)

в

Пусть р € (1; +<^) и г - некоторое целое неотрицательное число. Символом ) обозначим

р 9 (Л ^ в N

пространство функций и(х), определенных в

полупространстве Я+, имеющих все обобщенные по Соболеву производные г/К ^ (х) до порядка V включительно, с конечной нормой

(я;)|| = {^Г (аа^(хп)хи-г+ш \ и(К(х) I)* А .

[Ш<Г « ]

Обозначим через WR.a R (R+ ) пространство функ-

p,ix,PY n

ций U(x) (X Є RN ) с конечной нормой

{м; L;-ae

0 (D+ліі ;}/;

IHww, (к )||={м; (к: )|| +|\и; і?;.^ (к:)

где r

l

! ~]Ур ° +

и ^ «>1 = ■!:£ £, (X) I) чА . и £ ™ Гря.е.№ трме ‘ Каф^п > ■

На функциях и, V € С0(&) рассмотрим полутора-Если п - некоторое весовое пространство функ- линейную форму

ций, заданных в К+ , то через О обозначим попол- В[и, у] = / рк (х)р1 (х)ак1 (х)и(к\х)у(\х)йх,

N О

1 \к\,\1\<г п

нение класса СГ (Я+ ) в метрике пространства О,

О М /\ / \ — Г-+1)^1 / \

где Рк (х) = °ав(Хп ) Хп и ак1(-*) - ком-

а символом О обозначим пространство ограниченных антилинейных непрерывных функционалов, плекснозначные функции, определенные в полу-

определенных на О, наделенное нормой сопряжен- пространстве 1 Я+ .

ного пространства. Задача Д . Для заданного функционала

А

Свойства пространств VГ а(Я+) , а (Я+ ) ^ ЛК+ ) ) требуется найти решение и (х)

рав п 7 п:а,р,уу п ' ' 2,и,р п > V '

г ^ 4 уравнения

ранее изучалась в работах С. А. Исхокова [1, 2],

С. А. Исхокова и М. Ш. Ганиева [8]. В этих работах, Б[17,V] + Л\ +С'2 в(X )Х~2ги(х^(х)ёх =

аа в п п

в частности, установлены следующие результаты. п

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2)

1 =< ^, V > (V € С-(К+ )),

-а + — ^{1,2,^, г}ф+ + ^

р принадлежащее пространству ^2-а ^п ).

1

+----£ (1,2,...,г},в — Г ^-7- (1) В силу плотности класса С^ (Яп ) в прост-

Р г + п '

Тогда с точностью до эквивалентности норм имеет ранстве ^2;а,в() граничные условия в задаяе место равенство формально считаются однородными. Ниже мы также

г /г>+\ Тт/ г (г>+\ рассмотрим случай, когда однородные граничные

* р;а,в ' ~ ™ р\а,/3,7и условия пишутся в явном виде.

Заметим, что в случае достаточной гладкости

Теорема 2. Пусть р >1 и числа а, в, у удовлетворяют условиям теоремы 1 Пусть также коэффициентов (х) и правой части ^ уравнения (2)

- Г +--< а <-------, Г +--т ^ в, % — в + решение и (х) задачи О; удовлетворяет дифферен-

Р Р Р

1

< ^ + 1,/+ ^ <—,

р р “ р \Щ11 <г

циальному уравнению

+ \< S0 + 1,/+ 50<^7, /+ S0 ^X (-1)1Л ^Рк (Х) Р1 (х}ак1(+

где р = р/(р -1) и - целое число, удовлетворяю- +^<уа р(хп)хп2Ги(х) = Р(х) , Xе К+.

щее неравенствам г + а — 1/р < £0 < г + а — 1/р +1 . Применяя теорему 2 работы [9] при

^ Г П = Я+ Мх) = }хг(и_1),

Тогда для всех функций и € Ь я(Я ) справед- п а,Р п п

ливо неравенство Р’ ’Р п

Г + (а„ г(х„) I м(х) I)Чх = *1(х) = *2(х) = • • ■= е"(х) = х~ пол^^чаем сле-

Кп '

дующий результат о р^решимости задачи .

: = + (СГар( Хп) I и('к) (х) I) р ёх. Теорема 3. Пусть выполнены условия:

|к\=г Кп I) коэффициенты ак1 (х) при I к 1=111= Т

Следствие 1. В условиях теоремы 2 полунорма в ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности

пространстве эквивалентна на функциях ^ ^

Яе X % (х)^ > с \%\2г

для всех X Е я , £е Я (с-положительное число, п ~ п 1

не зависящее от Х,$), и для любого достаточно малого V > 0 существует число £ > 0 такое, что

ак1(- ак1(У^\<У

для всех X, V Е Я+ таких, что

’ ^ Л ’

Тогда справедливо утверждение теоремы 3 при

Л=о.

Доказательство. В условиях теоремы 3 имеет место аналог неравенства Гординга [9], согласно которому существуют такие постоянные С > 0 и с2 > 0 , что

1

ЯеБ[у,у] > с

| х. - у-1< — єу , і = 1, п;

і ^ і 2 п ’ 5

II) коэффициенты А^і (X) при I к 1,111< Г

I к I + 11 !< 2г — 1 и принадлежат пространству

Ь ( К+; х П'Рк 1 , где

Я )

С2 і* + (^ав \ ) х- " 1 х) 1 )2 йх

(5)

Рк1 К п п

Ра

I ди прій I к 1< г -1,1/1< г, [д1к при I к I = г, I /1< г -1,

а числа д^ определяются соотношениями:

п п

< дк1 <-, если п > 2(г- I к I), п > 2(г- I11);

J2JR+ V а,в п ' п п

для всех V Е С0° (Я+ ) .

Согласно результатам работы [2] норма

пространства У^а р(Я+) эквивалентна величине

X ^ ^ (Х) }ёХ +

\\к \= г п

2г-\ к\ -11\ г-11\

п 1

--------------< цк1,0 < £1 <—, если п > 2(г -1 к I), п < 2(г -111);

г— I к I +£1п 2

п

------------, 0 < е2 < — если п < 2(г- I к I), п > 2(г-IІ1),

г—\ І \+Є2п 2

+

(6)

Поэтому из неравенства (5) следует, что

ЯеВ^М > Сі V; !2 (Я+п )

любое конечноечисло,если п < 2(г — I к I), п < 2(г — IІI).

а,в п

С2Ь +(аав(Хп)Х7 |у( Х)' 1йх

П

(7)

Тогда существует число > 0 такое, что при Л >

для любого заданного функционала Е Е

задача имеет единственное решение и (х) и при

для всех V Е С0 (Яп ) .

В силу условия (4) из неравенства (7) следует, что

2

-1 1

< (і + с2 ■ с01 1)ЯеВ[л^, V]

(8)

этом выполняется оценка

для всех V Е С0° (Я+ ) .

0 ' п

Так как величина (6) эквивалентна норме

(3) пространства Уо-а ) , то из неравенств (4), (8)

где число М >0 не зависит от Е.

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и пусть также существует такое

2;а ,в п

следует, что при некотором М > 0 для всех

0

V Е С0° (Яп ) имеет место неравенство

положительное число Ср , что

с0\кАаа,в(\)хп 1 *)|)2 йх < КеВ&М

М

(4)

К+) ^ КеБ[у’ V]. (9)

для всех V Е СГ(Я+ ) .

Поступая так же как в 3 работы [10], получаем следующее неравенство

2

п

2

п

вм £ мз и-,каф(к) • ^каф(ю (Ю)

для всех и, V € У^а р( К+ ) .

Полученные неравенства (9), (10) позволяют нам применить теорему Лакса-Мильграма (см., например, [11]), согласно которой существует линейный оператор А, осуществляющий гомеоморфизм пространств

Ка.в К) и V

и при этом выполняется

определенное единственным образом представление

В[и, V] =< Аи, V > для всех и, V Є У-2а Я ) '

Следовательно, для любого заданного функционала

^ Є (^2.,а,Р(Яг )) функция и = А~^Г является

единственным решением задачи Из ограничен-

.-1

ности оператора А следует неравенство (3).

Далее исследуем существование решения вариационной задачи Дирихле в пространстве ТУ 2а ,р,у(Кп ) .

Задача .

/ 0

1 о

ла Ее

и (х) уравнения

V

Для заданного \

+

функциона-требуется найти решение

У

Ч,ав Ю = ™Г2;аф,г( Я )•

Поэтому утверждение теоремы 5 следует из теоремы 4. ~

Обозначим через С д (К+) множество бесконечно дифференцируемых функций, финитных сверху, то есть обращающихся в нуль при больших значениях хп .

Символом Ш \ ^+) обозначим замыкание мно-

жества С о (Я+ ) в метрике пространства ^ Й (Я+).

При некоторых дополнительных ограничениях на параметрах а,в,у можно выписать граничные условия задачи Од в явном виде. Пусть выполнены условия (1) при р = 2 и пусть

г + 2< а< г +1 > в, г — в +1/2 < ^,

2 2 2 0

у+ < 1/2, у+ Ф-1/2, (12)

где - целое число, удовлетворяющее неравенствам г + а -1/2 < ^ < г + а +1/2. Тогда в силу следствия 1 полунорма в пространстве Я+) эквивалентна

о

на функциях и еШ Г%аф,г(К) норме |\и;Ща,р,, (К)||.

В[1!,у]= X ^+Рк(х)Рі(Х>аи(х)и{к)(х)у{1)(х)йх =

=< ^, V > (V є С~ (К+)),

принадлежащее пространству W ^ |(К+ ) .

Теорема 5. Пусть

— а + 2 £ (1,2,..., г}, в + 2£ (1,2,..., г}, в - г >у (11)

и пусть выполнены все условия теоремы 4. Тогда для

( °

любого заданного функционала ¥ е

™га,р,г(Я)

задача О0 имеет единственное решение и (х) и при этом выполняется оценка

и -К,аЛГ ( Я )

(

< М ¥;

Поэтому из результатов П. И. Лизоркина [12] следует, что в рассматриваемом случае условие

с

задачи можно заме-

нить на эквивалентное ему условие

и (х) є ) е І х__0=0, з = 0,1.-1.

Эх

где число М > 0 не зависит от ¥.

Доказательство. Согласно теореме 1 при выполнении условий (11) имеет место следующее равенство:

Л и т е р а т у р а

1. Исхоков С. А. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады Академии наук (Россия). - 1993. - Т. 330, 4. - С. 420-423.

2. Исхоков С. А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31, 4. - С. 641-653.

3. Рыбалов Ю. В. О краевой задаче в полупространстве с граничными условиями на бесконечности // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, 12. - С. 2193-2204.

4. Рыбалов Ю. В. Краевые задачи в полупространстве с граничными условиями в точке // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, 5. - С. 834-845.

5. Матвеева И. И. О первой краевой задаче для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т.12, 7. - С. 1267-1281.

6. Матвеева И. И. О вариационном методе решения вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Дифференц. уравнения. -1977. - Т. 13, 3. -С. 489-496.

7. Исхоков С. А. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады Академии наук (Россия). - 1995. -Т. 345, 2. - С. 164-167.

8. Исхоков С. А., Ганиев М. Ш. Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве // Доклады АН Республики Таджикистан. - 2011. - Т. 54, 4. - С. 97-104.

9. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Якушев И. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высокого порядка с нестепенным вырождением // Доклады Академии наук (Россия). - 2012. - Т. 443, 3. - С. 286-289.

10. Гадоев М. Г., Якушев И. А. Вариационная задача Дирихле для одного класса эллиптических уравнений с вырождением // Математические заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 18, вып. 1. - С. 25-35.

11. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. - 1988,

8. - С. 4-30.

12. Лизоркин П. И. О замыкании множества финитных функций в весовом пространстве Wl ф // Доклады АН СССР. 1978. - Т. 239, 4. - С. 789-792.