CC BY
13Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2
УДК 517.918+516.918
О НЕКОТОРЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДЕННО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С. А. Исхоков, М. Г. Гадоев, М. Н. Петрова
Аннотация. Исследуются некоторые спектральные свойства одного класса вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов А с сингулярными матричными коэффициентами, порожденных некоэрцитивными полуторалинейными формами. Оператор А рассматривается в гильбертовом пространстве где
^ с Мп — предельно-цилиндрическая область, 1 > 0 — целое число. Ключевые слова: спектральные свойства, вырожденно-эллиптический оператор, некоэрцитивные полуторалинейные формы, предельно-цилиндрическая область, резольвента обобщенной задачи Дирихле.
§ 1. Введение
Работа посвящена исследованию резольвенты обобщенной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для некоэрцитивных форм. Полученные результаты применяются для исследования спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными формами.
Ранее обобщенная задача Дирихле и соответствующие ей несамосопряженные операторы в случае некоэрцитивных форм изучались во многих работах (см. [1-11] и имеющуюся там библиографию). Некоторые спектральные свойства несамосопряженных вырождающихся эллиптических операторов с сингулярными матричными коэффициентами исследованы в [12-15]. Из последних работ в этом направлении отметим [16-21].
При исследовании обобщенной задачи Дирихле принципиально новый подход предложен в [16]. В [17,18] исследования проведены с помощью весового аналога неравенства Гординга, доказанного в [16] для вырождающихся эллиптических операторов в произвольной (ограниченной или неограниченной) области п-мерного евклидова пространства К", в результате которого условия эллиптичности в этих работах существенно ослаблены.
В [1,9,10] введен класс вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов А с сингулярными коэффициентами, порожденных некоэрцитивными билинейными формами. Оператор А рассматривается в гильбертовом
© 2016 Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Петрова М. Н.
пространстве Ь2(О)г, I — целое положительное число, где О С К" — ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса. В этих работах получена оценка резольвенты исследуемого оператора
||(А - ЛЕ)-1|| < М|Л|-1/2, (1)
где Л € С — достаточно большой по модулю комплекснозначный параметр, который изменяется в некотором угле с началом в нуле.
В [11] установлена оценка резольвенты оператора А с показателем 1 вместо 1/2, что позволило автору исследовать вопросы суммируемости в смысле Абеля — Лидского системы корневых вектор-функций оператора А.
В настоящей статье с целью получения уточненной оценки резольвенты по аналогии с [11] рассматривается тройка плотно вложенных пространств НI ^ Ь2(О)г ^ Н1_„, зависящих от параметра V > 0. В данной работе устанавливаются также оценки резольвенты расширения : Н\, ^ оператора А, равномерные по V > 0. Из этих оценок при достаточно большом V удается извлечь оценку вида (1) с показателем 1.
§ 2. Обозначения и основные результаты
1. В этом параграфе введены необходимые обозначения, сформулированы основные теоремы и дано краткое описание содержания последующих разделов статьи.
Пусть то, п — натуральные числа, п > 2 и О С К"-1 — ограниченная область, граница которой дО удовлетворяет условию конуса (определение см., например, в [22]) и не является линией уровня многочлена степени < то — 1 по переменным х1 , х2,... , хи-1, т. е. ни один такой многочлен не может тождественно обращаться в нуль на дО.
Пусть ^(4), —то < 4 < то, — ограниченная сверху положительная функция такая, что ^(4) ^ 0, 4 ^ то. Область
О = {х = (х', хп) € К", х'/^(хп) € О},
где х' = (х1,. .. ,хп-1) € К", называется предельно-цилиндрической областью с нулевым радиусом на бесконечности.
Далее всюду в работе предполагается, что О — предельно-цилиндрическая область с нулевым радиусом на бесконечности и
^(х, ГХп) < М ^(х, дО) (2)
для всех х = (х',хп) € О, где ГХп = {(х',х„) € К", х'(хп) € дО}. Отметим, что условие (2) выполняется, в частности, в том случае, если О — (п — 1)-мерный шар с центром в нуле и F(4) € С3(Д) — четная функция, удовлетворяющая при г > 0 неравенствам F'(4) < 0, F''(4) > 0.
Пусть то,? > 0 — целые числа, в € (—то,то). Введем пространство (О) функций и(х), х € О, с конечной нормой
1/2
\12 / 1„,/„Д|2
|и|+ = ( ! Р2%(х)|^аи(х)|2 ¿х + ^ |и(х)|2 ¿с^
|+ 1 / у I Г
'Н=тЬ о
Здесь а = (а,..., ап) € И+ — мультииндекс, |а| = а» — порядок производ-
1=1
ной, Z+ — множество неотрицательных целых чисел,
— оператор дифференцирования, p(x) G Cто(О) — положительная функция такая, что
p(x) < dist(x,dO) < Mp(x), |Dap(x)| < Мар1-|а|(x), a G Z+;
M, Ma — положительные постоянные. Здесь и далее положительные постоянные, значения которых не важны, обозначаются одной буквой M.
О существовании для любой области О С К" функции р(х) с указанными свойствами см., например, [23, гл. 3, § 1.3].
2. Рассмотрим функцию
A(x,C) = (а*в (х)С" ,Св)С (x G О, С = {Са}|а|<т,Са G Cl)
\ а\, \в\ <m
с коэффициентами аа/д(x) G LTO(0;EndC1). Символ (, )c обозначает скалярное произведение в пространстве C1, а символом End C1 обозначено пространство (I х ?)-матриц (a^ß). с нормой a^J = тах_\аЦв \.
В случае 0 + ^ G {1,..., то} дополнительно предполагается, что
Ke(x)| < MpÄ(x), |a| + |в| < 2m, 5> 0. (3)
Здесь и далее нормы в пространствах C, C1, EndC1, L2(0), L2(0) обозначаются одним и тем же знаком | • |, а через B1, где B — линейное пространство, обозначается пространство элементов (г>1;..., v) с координатами vi G B, г = 1,1.
Далее предполагается, что для всех x G О и любого набора комплексных чисел С = {£a}|a|<m выполняются неравенства
| arg A(x, С)| <у, (4)
£ |Са|2 < MRe{7(x)A(x,С)}, (5)
\a\=m
где Lp £ (0,7г) и функция 7(ж) G С(Г2) такая, что 7(ж) ^ 0, з; £ S1. Здесь и далее функция arg z, z G C, принимает значения на отрезке (—п, п].
Обозначим через H+ замыкание линейного многообразия Cq° (О) в пространстве Wm(О). На основании неравенства Харди (см. § 3), учитывая (3) и (5), на вектор-функциях u, v G H+ можно задавать полуторалинейную форму
B[u,v] = (Pa(x)ßae (x)D0fu(x),pe (x)Df v(x)) ,
I a|,\ß | <m
гдера(ж) = р(ж)0+|а| m. Матричная функция aa/g(ж) G Lœ(Q;EndСодействует
по формуле
i
Vi(x) = ^2a%p(x)uj(x), i = l,l,
j=i
где vi(x),..., vi(ж) — компоненты вектор-функции v(x) = aa/g(ж)и(ж). Здесь и далее символ (, ) обозначает скалярное произведение в пространстве L2(Q) или L2(0)1.
Обозначим через H- пополнение пространства H = L2(Q) по норме
М- = SUP |(ш; u)|.
шеи+, M+=i
Положим Hi = H- ©• • •®H- (l раз). Элемент F = (F1;..., Fi) G Hi порождает
+
антилинейный непрерывный функционал над H+ по формуле
(^г>) = Иш (иг,г>), V € Н+,
г—>+^
где последовательность вектор-функций и1,и2, ••• € Н1 = Ь2(О)г выбирается так, что иг ^ F, г ^ +то, в Нг_.
Заметим, что если V = («1,...,«;) € Н+, то
г / г \ 1/2
= ]Т), |F= ]Т |^|2
Обратно, для любого антилинейного непрерывного функционала д(г>), V € Н+, существует единственный элемент F € Н^ такой, что д^) = (F, V), V € Н+, при этом норма функционала д равна ^ .
В дальнейшем антилинейные непрерывные функционалы над Н+ отождествляются с элементами пространства Нг_. Нормы в пространствах Н+ и Н1_ будем обозначать соответственно теми же знаками | • |+ и | • . Таким образом, получили тройку плотно вложенных пространств Н+ С Н1 С Нг_, в которой Н+ — позитивное пространство, Нг_ — негативное пространство (см. [25, § 2.0]).
Выше действие функционала F € Нг_ на элемент V € Н+ обозначили символом (^ V). Очевидно, что в случае F € Нг имеем (^ V) = (^ V).
3. Введем оператор ^ : Н+ ^ Нг_, действующий на элемент и € Н+ по формуле (^и, V) = В[и, V], V € Н+. Рассмотрим множество
= {Л | Л € С, йшКег^ — ЛЕ) > 0}.
Легко можно установить, что «,2л является чисто точечным множеством с единственной предельной точкой на бесконечности. При этом если Л € -¿л, то существует непрерывный обратный оператор — ЛЕ)-1 : Н1_ ^ Н+.
Рассмотрим в пространстве Н1 оператор
Аи =^и, Я (А) = {и € Н+ ; € Нг}. (6)
Теорема 1. Оператор A является единственным замкнутым оператором в H1, обладающим следующими свойствами:
(i) (Au, v) = B[u,v], v e H[, u e D(A);
(ii) существует число Ao e C такое, что оператор A — AoE имеет непрерывный обратный (A — A0E) —1 : Hl ^ Hl.
4. Пусть P — самосопряженный оператор в Hl, ассоциированный с симметрической полуторалинейной формой
^[u,v] = (PaDaU,PaDav), D(^) = H|.
|a|=m
Поступая так же, как в доказательстве леммы 3.5 из [24, с. 73], продолжим оператор (P + tE)1/2, t > 0, до непрерывного оператора ¿F(t) : Hl ^ H^. Сужение в H1 оператора ¿F-1(t) : Hl_ ^ H1 совпадает с оператором (P + tE)—1/2.
Теорема 2. Для любого замкнутого сектора S С {z e C : | arg z| > <^}U{0} с вершиной в нуле найдется число а > 0 такое, что справедливы представления:
(я/ — AE) —1 = (P + |A|E ) —1/2X (A)^—1 (| A |), (7)
(A — AE) —1 = (P + |A|E) —1/2X (A)(P + |A|E) —1/2, (8)
где X(A) : Hl ^ Hl — линейный непрерывный оператор, A e S, |A| > а,
sup ||X(A)||h^h <
Aes, |a>
Очевидно, что (8) является следствием (7). Отметим, что из представления (8) вытекает оценка
||(A — AE) —1 ||я,^hi < Ms|A| —1, A e S, |A| > а. (9)
Таким образом, оператор A + ,0E для достаточно больших ß > 0 является позитивным оператором (определения см., например, в [26, гл. 4, § 14]).
5. Приведем краткое описание содержания следующих параграфов статьи.
В § 3 приведены некоторые вспомогательные утверждения и леммы, необходимые для дальнейшего. В § 4 построен правый регуляризатор для оператора
— AE. В § 5 доказана теорема о компактном вложении соответствующих пространств, которая применяется в заключительном параграфе при доказательств основных теорем.
§ 3. Вспомогательные результаты
1. При доказательстве теоремы 2, не нарушая общности, можно считать, что в условиях (4), (5) число tp > 7г/2, а 7(ж) £ Cm(ii). Более того, функцию Y(ж) в (5) можно подобрать так, что
с|А| < Re{—А7(ж)}, ж g Tl, А g S, с = cs > 0. (10)
Например, функцию 7(ж) можно заменить на ег0(х), где
0(ж) = шш{<^ — п/2, | arg7(ж)|}^па^7(ж)).
Таким образом, для простоты рассуждений будем считать, что сектор Б расположен в левой полуплоскости, симметричен по отношению к М_ и имеет угол раствора меньше чем п/2.
2. Основным инструментом исследования разрешимости краевой вариационной задачи является обобщенная теорема Лакса — Мильграма о представлении билинейного функционала. Приведем в удобной для нас форме утверждение этой теоремы (см. [25, теорема 2.0.1]) применительно к тройке плотно вложенных пространств Н+ С Нг С Нг_ и полуторалинейным формам, заданным на Н+. Рассмотрим в пространстве Н1 замкнутую полуторалинейную форму В [и, V] с областью определения -О(В) = Н+.
Относительно полуторалинейной формы В [и, V] предполагаем, что она ограничена и Н+ коэрцитивна относительно Н1. Таким образом, пусть выполнены неравенства
|В[и, V]| < М|и|+Н+, и^ € Н+, (11)
Ие В[и,и] > 6|и|+, и € Н+, (12)
с некоторыми М, 6 > 0.
Утверждение 1 (см. [25, теорема 2.0.1]). Существует линейный оператор Л, осуществляющий гомоморфизм пространств Н+ и Н1_ и такой, что
(Ли, V) = В[и, V], и, V € Н+.
При этом любой элемент F € Н1_ допускает представление
(^ V) = В[и, V] = (Ли, V),
в котором элемент и € Н+ определяется единственным образом. Следующая лемма дополняет утверждение 1.
Лемма 1 (см. [24, гл. 2, лемма 3.3]). Пусть выполнены условия утверждения 1. Тогда справедливо неравенство
1
*+ " 8'
где положительное число 6 такое же, как в (12).
Таким образом, если ввести в рассмотрение оператор В : Н+ ^ Н1_, сопоставляющий элементу и € Н+ функционал F € Н1_ по формуле
|Л Чн!-» т <
(^ V) = В [и, V], V € Н+
то В имеет непрерывный обратный В 1 : Н^ ^ Н+, причем В 1 = Л
1
3. Пусть 0 = А € Б, где Б как и выше некоторый замкнутый сектор в
+ '
комплексной плоскости с началом в нуле. На вектор-функциях u, v G H+ задаем
полуторалинейную форму
ВЛ [u,v] = y7(x)(Paßaß (x)Dau(x),pß v(x))C dx H>|ß|<mo
— aJ y(x)(u(x), v(x))ci dx. (13)
о
Докажем, что полуторалинейная форма (13) удовлетворяет условиям (11), (12). В условии (5) вместо = £a(x) положим Dau(x) и затем, интегрируя полученные равенства, в силу (10) имеем
х ' lr'Jau и,, ра1^ "-/С1 ~Г ^ J | "Л*1' Л u"bJ а с 11+ '
|a|=m0 о
ReB^ii] > Y^ J(paDau,paDau)c, dx + C\X\ j \u{x)\dx, u £ Hl+. (14)
Из (14) следует (12). Для доказательства ограниченности полуторалинейной формы, т. е. выполнения условия (11), нам понадобится следующее неравенство Харди (см., например, [27]):
Е /p(x)Ä'+2e-2m+2|a||Day(x)|2dx
a|<m0
- /P(x)261D^y(x)|2 dx + M^ |y(x)|2 dx, y G H+, (15)
a =m
О K
где К С — некоторое открытое множество, в С (—оо; то), 0 + ^ ^ {1,... ,то}, 6' > 0, М = М(6') > 0.
Оценим интегралы в (13) с помощью неравенства Коши — Буняковского и далее применим неравенство (15). В результате получим
1/2
|ВЛ [u, v] | - m{ Е /(Pa(x)|Dau(x)|)2 dxj
|a|<m О J
X{E j (Pß(x)|Dßv(x)|)2 dxj + M|A^|u(x)|2 dx^)
|ß|<mo о
x iy |v(x)|2 dx^ - m| Е J P20 (x)|Da u(x)|2 dx + J |u(x)|2 dxj о N<mo к
X { Wp20W|Dßv(x>|2dx + У Iu(x>|2dxf + MWHM
ß v (x) |2 dx + y |u(x)|2, ß|<mo к
- M|u| + |v|+ + M|A||u||v|.
Таким образом, для любых u, v G H+ справедливо неравенство
|ВЛ[u,v]| - M|u|+|v|+ + M|A||u||v|, (16)
т. е. полуторалинейная форма В'[и, V] удовлетворяет условиям (11), (12).
Поэтому согласно утверждению 1 полуторалинейная форма В'[и, V], 0 = А € 5, порождает линейный непрерывный оператор ¿¡ё\ : Н^ ^ по формуле
'и, V) = В' [и, V], € Н+,
при этом оператор РМ\ (см. лемму 1) имеет непрерывный обратный
: Н- ^ Н\.
4. Пусть Р такой оператор, как в п. 4 § 2. Для и € , I > 1 справедливо
равенство
|(Р + ¿Я)1/2и|н = ( Ь*^и|Нг + ¿|и|Я.) 1/2. (17)
|а|=т
На вектор-функциях и, V € Н1, рассмотрим полуторалинейную форму
Р^[и,у] = -(В'0[и,у}+В1)[у,и}) = -(у ]Г Ыа(аМх)+а;а(х))Ваи,р^у)У
I а|, |в
(18)
Пусть Ро — положительный самосопряженный оператор, ассоциированный с полуторалинейной формой (18). Имеет место равенство
|(Ро + £Я)1/2и|я = (Ив ВО[и,и]+ ¿(и, и))1/2, и € Н| , £ > 1. (19)
Докажем эквивалентность равномерно по 4 > 1 норм (17) и (19). Применяя неравенство (14), имеем
|(Ро + ¿Я )1/2и|н = (Ив ВО [и,и] + ¿|и|Н )1/2
/ 1 \ 1/2
| а| =т
Обратно, применяя неравенство (16), имеем |(Р + ¿Я)1/2и|яг = ( £ |Ра^аи|Нг + ¿|и|Н.) 1/2
Таким образом,
| а| =т
> М(Ив ВО [и, и] + ¿|и|Нг )1/2 > М|(Ро + £Я)1/2и|я.
|(Р + ¿Я)1/2и|яг - |(Ро + ¿Я)1/2и|яг, и € Н. Этот факт используется в § 4.
5. Введем пространство Н, V > 0, функций и € Н+ с нормой |и|* = (|и|+ + ^ - 1)|и|2)1/2.
1/vAHI -^HL < о. I <v < 4|Л|, A G S, |А| > Cs- (21)
Пусть H_v, v > 0, — пополнение пространства H по норме
|u|-v = SUP
шея+, =1
Отметим, что множества , H^V2 при v1 > 0, v2 > 0 совпадают, а как нормированные пространства отличаются друг от друга только эквивалентными нормами. Для v =1 имеем H^ = H^, H_LV = Hl_. Пространство , v > 0, является негативным пространством в тройке HV С H1 С H_LV по отношению к позитивному пространству H^; H1 — основное пространство.
Утверждение 2. Для достаточно больших по модулю А £ S справедливо представление
(^ - АЕ)-1 = 7^-1(Я + <Л,А), (20)
где a, S, y — такие объекты, как и выше, J'va : H_LV ^ H_LV — непрерывный оператор,
1
2'
Доказательство утверждения 2 приводится в § 4.
Пусть О — предельно-цилиндрическая область с нулевым радиусом на бесконечности.
Лемма 2. Для t > 1, |<г| < |а| < m выполняется неравенство
|Ра^и|яг < q(t)|(P + t£)1/2u|№, u £ Hi, (22)
где q(t) ^ 0 (t ^ ж). Имеет место также неравенство
||(Р + tE)1/27(P + tE)_1/2||я^я> < M, t > 1. (23)
Доказательство леммы 2 проводится вполне аналогично доказательству леммы 1 в [11] — с помощью соответствующего неравенства Харди.
§ 4. Построение регуляризатора оператора л/ — XE
1. В этом параграфе построим правый регуляризатор для оператора л/ — АЕ, который понадобится ниже для доказательства основных теорем.
2. Полуторалинейная форма BA[u, v] (13) секториальна с вершиной в нуле, т. е. (см. (14), (16))
| arg BA[u,u]|< ф < п/2, u £ Hl+.
При этом ф не зависит от 0 = А £ S.
Рассмотрим m — секториальный оператор ba , 0 = А £ S, в пространстве Hассоциированный (см., например, [28, гл. VI]) с полуторалинейной формой BA[u, v]. Применяя теорему 3.2 из [28, гл. VI], получим представление
B-1 = (Ро + |а|е)_1/2хО(а)(рО + |А|Е)_1/2,
где ||Хо(А)||нг^яг < М, А € Б, |А| > 1. Далее, учитывая эквивалентность равномерно по 4 > 1 норм (17), (19), получим
В-1 = (Р + |А|Е )_1/2Х (А)(Р + |А|Е )_1/2,
где ||Х(А)Ци'—►и1 < М', А € Б, |А| > 1. Очевидно, что оператор Вд совпадает с сужением в Н1 оператора ёёд. Отсюда по непрерывности получаем равенство
1 = (Р + |А|Е)_1/2Х(А)^—1 (|А|), А € Б, |А| > 1. (24)
Используя определение оператора д, имеем
1Ч-) = 1Ч-у] = (и,у>, и € Н—, V € Н+, 0 = А € Б.
Отсюда согласно (13) для и € Н1_, - € Н+, 0 = А € Б
(и,у> = Е (тРайав1и,рв-) - А(^—1и,у). (25)
|Д|,|0|<т
Для и € Н1_ имеем Р = 1 и € Н^. По определению оператора
((^ - АЕ)Р,-> = ]Т (Рааав1и,рв-) - А(Р,у). (26)
| а|, |в| <т
Вычитая из (26) равенство (25), получим (К - АР)^—1и,у) -(и,у> = £ Са,^ 1и,рв
| а|, |в| <т
(27)
для всех и € Н^, у € Н^, А € Б, |А| > 1. Здесь Са,а — некоторые константы, получающиеся из формулы многократного дифференцирования произведения функций; во внутренней сумме суммирование проводится по мультииндексам а, а' € И+ таким, что |а| < |а|, а + а' = а.
Теперь из представления (24), привлекая лемму 2, имеем
1и|иг < д(|А|)|(Р + |А|Р)1/^—1 и|иг
< С1д(|А|^—1(|А|)|и|и1 < 02д(|А|)|и|и. |Л|, и € Н1_ 1,
— |л I
для всех А € Б, |А| > 1, |а| < |а| < т, — 0, 4 — то. Следовательно, правая часть (27) по модулю не превосходит сзд(|А|)|и|_идля всех 1 < V < 4|А|, А € Б и всех и € Н[_, V € Н1+.
Таким образом, оператор д, 1 < V < 4|А|, А € Б, определенный равенством
Хд = (Е - (^ - АЕ) : Н^ - Н^,
удовлетворяет оценке Н^дНи-,,< Мд(А).
Рассмотрим оператор ^ + : Н^ — Н1_, действующий по формулам
(А«) = 5М= Е (Р^/За1^1^)' и,у£Н1+. (28)
| а|, |в| <т
Проводя аналогичные рассуждения для оператора — АЕ, получим
Кег(^ - АЕ) = 0, А е |А| > с^.
Таким образом, для достаточно больших по модулю А е Б, 1 < V < 41А|, оператор л/ — АЕ непрерывно обратим и оператор в формуле (20) можно задавать по формулам
Е + А,л = (Е — Хл)- = Е + /¿л + (Л'л)2 + .... Утверждение 2 доказано.
Далее, используя (20), (23), (24), получим
(^ — АЕ)-1 = 7(Р + |А|Е)-1/2X(А)^-1(|А|)(Е + ^.л)
= (Р + |А|Е)-1/2ВД)^-1(|А|)(Е + ^,л)^(|А|)^-1 (|А|),
УХ1(А)УЯ'< М, А е |А| >с,5.
Представление (7) следует из следующего неравенства, справедливого равномерно по А е 5, |А| > с^, V = |А|:
-1(|А|)/^(|А|)и|я' < (|А|)и|-|л| < (|А|НЧл| < М2|и|я'.
§ 5. Об одной теореме вложения весовых функциональных пространств соболевского типа
Компактные вложения, как известно, имеют важные применения в анализе, особенно при обосновании дискретности спектра линейного эллиптического дифференциального оператора.
В данном параграфе докажем одну теорему о компактном вложении весовых функциональных пространств, которая применяется для доказательства основных теорем в § 6.
Пусть Р такой оператор, как в п. 4 § 2.
Теорема 3. Вложение Н+ С Н при в < т, где в + 1/2 е {1, 2,..., т}, компактно.
Следствие. Оператор Р имеет дискретный спектр.
Замечание. Отметим, что подобные теоремы вложения применяются при исследовании спектральных свойств широкого класса несамосопряженных матричных эллиптических операторов (см., например, [11,23]).
Доказательство. Введем вспомогательное пространство У2™ (О) с конечной нормой
(О)|| = { £ /(Ат+|к|(х)|и(к)(х)|2) ¿Л1/2. (29)
|к|<т ^ }
Это пространство является частным случаем пространства Ур(О; 5; г), Р > 1, изученного в [7,29]. Из результатов этих работ, в частности, следует, что множество 60° (О) плотно в У2"0 (О) и норма (29) эквивалентна величине
(Е /(р0(х)|и(к)(х)1)2 ¿х ^(р0-т(ж)|и(к) (х)|)2 ¿с! ' . (30) |к|=то о
Из определения предельно-цилиндрической области О следует существование конечного числа Мо > 0 такого, что
р(х) < Мо, х е О. (31)
Введем также весовое пространство Ьр;а(О), р > 0, с нормой
Ч 1/Р
.
|u; LP;a(ñ)y H / P2a(x)|u(x)|p dx
V
О
Из (31) при в — m < 0 следует, что выполняется неравенство
||u; ¿2(П)У < ||u; L2;e-m(fi)l|. Отсюда следует вложение
У$(П) С ¿2(0). (32)
Докажем, что при в — m < 0 это вложение компактно. Пусть {u,(x)}°=x — произвольная ограниченная в у™ (П) последовательность, т. е.
||uj;V2m0(П)|| <м< j = i,2,.... (33)
Для доказательства компактности вложения (32) покажем, что последовательность {uj(ж)}°=х имеет сходящуюся в ¿2(П) подпоследовательность. Подбираем последовательность вложенных друг в друга ограниченных областей {Пг}^=2 таких, что
(1) {х G tt : d(x) > -^J, \хп\ <r-l}cílrc{ieíí: d(x) > \хп\ < г};
ОО
(2) С П2 С ..., П = и Пг ;
r=1
(3) вложение Wm(Пг) С ¿2(ПГ) компактно при всех r =1, 2,....
Из свойства (1) областей Пг следует, что для любого фиксированного r = 1, 2,... существует Mr > 0 такое, что
Ци : W2m(Пг)¡ < Mr < (34)
для всех j = 1, 2, . . . . Используя эти неравенства, имеем
u( x ) — и,-(x)I2 dx < / (pm-e(x))2(pm-e(x)lu(x) — и,-(x)1a2
/ lu,(x)— Wl2 dx < / ur-(„„V-(x)Mx)— u,t.,,)2 dx
< sup (pm-e(x))2 / (p0-m(x)|u(x) — Uj(x)|)2 dx
< C02r-2(m-e)|uî(x)— u,(x) : V2m0(П\Пг)|2 < C2r-2(m-0) ||ui(x) — u,(x) : V2m0(П^2 < Cfr-2(m-e){|ui(x) : V^(П)|| + ||u,(x) : Vft(П)|}2 < Cfr-2(m-e). (35)
Здесь мы воспользовались неравенством
sup (pm-e(x))2 < const •r-2(m-0),
которое следует из свойства (1) областей , а также применили (33). Из неравенства (35) следует, что
j |uj(x) — Uj(x)|2 dx < j |uj(x) — Uj(x)|2 dx + J |uj(x) — Uj(x)|2 dx
< Cf r-2(m-0) + J |ui(x) — Uj(x)|2 dx. (36)
Неравенство (36) запишем в виде
(/ КМ — ^ 1/2 < О-'-2»' + (/ Ы^ — С,!2 ,37)
О Ог
Так как т — в > 0, существует индекс г1 такой, что
1/2 i , . ч 1/2
|гц(ж) — Uj(x)|2 dx ) < — + Cmi I / |гц(ж) — Uj(x)|2 dx I . (38)
В силу компактности вложения ) С Ь2(ОГ1) из неравенства (34)
следует, что последовательность {и^} имеет сходящуюся в Ь2(ОГ1) подпоследовательность Следовательно, существует натуральное число N такое, что
Г \ 1/2 1 ~
( |г/,г(ж)< -С1* (39)
для всех г, j > N1. Так как {u(1)} С {u^}, из (38), (39) следует, что
1 а 1/2
\u[1]{x) - u^ (х)\2 dx^J < i, i,j > N. (40)
Подбираем индекс r2 < r1 такой, что Cy2r2 (m 20) < 1/8. Тогда из (37) имеем (У \u<i1)(x)-u<j1)(x)\2dx^j ' <1+^1 У |^2)(ж)-wfrfdxj ' ■ (41)
Вложение ЭД^^г^) С Ь2(ОГ2) компактно, и согласно (34) последовательность
{и'1'} ограничена в ). Поэтому она имеет сходящуюся в Ь2(ОГ2) под-
(2)
последовательность {и) }. Следовательно, существует натуральное число N такое, что
Г \ 1/2 1
\ \ч[2\х)-ч{р(х)\^х) (42)
/ 8Ст 2
оГ1
оГ1
для всех г,^ > N2. Так как {и(2)} С {и( }, из (41), (42) следует, что \и[2)(х) -и^(х)\2 1,3 >N2.
о
Продолжая этот процесс, получаем цепочку последовательностей
Г (!)1то -Л Г (2) ^ Г (^)тте
К" >^-=1 2 К- 1^ = ! 2 ' ' ' 2 },.= ! 2 ...
таких, что
- ^^2(0)11 < г,з>Ми,и= 1,2,.... (43)
Теперь рассмотрим последовательность диагональных элементов {-IV}^=1, где "V = идг) + 1. Не ограничивая общности, можно считать, что N < N2 < .... Поэтому из (43) следует, что для любого заданного числа е > 0 существует натуральное число N(е) такое, что
к - "м : ¿2(О)11 < е, V, ^ > N(е). (44)
Действительно, если задано число е > 0, то существует число V такое, что < е. Тогда в силу обозначения г^ = неравенство (44) следует из
(43) при N(е) = N + 1. Ввиду полноты пространства Ь2(О) из (44) следует сходимость последовательности {г^}^=1 в этом пространстве.
Таким образом, доказали, что в условиях теоремы любая ограниченная в У2т(О) последовательность имеет сходящуюся в Ь2(О) подпоследовательность. Это означает компактность вложения
У2т(О) С ¿2(О). (45)
Для завершения доказательства теоремы ниже покажем (см. лемму 3), что при условии 9 — то < 0, в + ^ ф {1,2,..., то} с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство
Ут(О) = Н+. (46)
Поэтому из компактности вложения (45) следует компактность вложения Н+ С Н.
Лемма 3. Пусть то е N. Тогда при
то — (9 > О, (9 + ^ £ {1,2,...,то} (47)
имеет место равенство (46), которое понимается с точностью до эквивалентности норм.
Доказательство. Сначала покажем, что для целого неотрицательного числа г е [0,то] выполняется неравенство
||и; ¿£;в_т+г(О)|| < М||и; (О)||, и е 60° (О). (48)
Число M > 0 в неравенстве (48) не зависит от u(x). Применяя неравенство (48), имеем
||u; VmN1 < ||u; ¿2,е-шФ)|| + ||u; L^H < M^u; L^|| < M^u; wm(fi)||, т. е.
||u; V2me(fi)|| < Mi|u; W^ || (49)
для всех u G cq° (fi).
Так как p(x) < const < x G fi, m — в > 0, существует число Co <
p0-m(x), x G fi. Поэтому
||u; L2(fi)y < M2||u; L2;20-m(fi)|| < M2|u; (fi)||, u G C0TO(fi). Следовательно,
||u; W^(fi)|| < Ms|u; (fi)|, u G C0(fi). (50)
Равенство (46) следует из (49), (50). Неравенство (48) получается повторным применением неравенства
||u; L2;v-i(fi)| < M ||u; L2,v(fi)|, V +1/2=1, u G C0(fi), (51)
достаточное число раз.
Докажем неравенство (51). Из результатов работы [30] следует неравенство
J(7v-1(y)|u(y)|)2 dy < CiJ(yv(y)|Vu(y)|)2 dy, u G C0(fi). (52)
G G
Здесь Y(y) обозначает расстояние от точки y G G до dG. Пусть m — положительное число. Положим
ад= mg, y(м;0 = dist(£,dGM), С g G(M).
Используя равенство
y(м,му)= my(1, y) = MYы, u G G,
получаем
i (yV-1(m;C))2dC = M2(v-1)+n-11(7v-1(y)|u(My)|)2dy G(M) G
для любой функции u G C0(G(m)). Отсюда и из (52) следует, что
J (yV-1(m;C)|u(C)|)2 dC < J (yV(m;C)|Vu(C)|)2 dC. (53)
G(M) G(M)
Согласно определению предельно-цилиндрической области fi, если x = (C,t) G fi, то С G G(w(t)) и p(x) < C7(w(t); С). С другой стороны из условия (2) следует, что 7(w(t); С) < p(x), x = (C,t) G fi . Следовательно, 7(w(t); С) ~ p(x) для всех x = (С, t) G fi. Учитывая это соотношение и применяя неравенство (53), получим
J (^-1(с,*)кс,;)|)2dc < м J (pv(c,t)|Vu(c,t)|)2dc
G(^(t)) G(^(t))
для всех u(C,t) G C0(fi). Интегрируя полученное неравенство по t, получаем неравенство (51). Лемма 3 доказана, что и завершает доказательство теоремы 3.
§ 6. Доказательства основных теорем
В этом параграфе докажем теоремы 1 и 2.
Пусть А — сужение оператора в Н1 (см.(6)). Тогда свойство (1) для оператора А сразу следует из определения оператора л/. Согласно (20) при
А е 5, |А| > ся,
Кег(А - АЕ) = 0.
Отсюда с учетом (6), (7) следует, что существует непрерывный обратный
(А - АЕ)-1и = (^ - АЕ)-1 и, и е Н1, А е 5, |А| > ед. (54)
Докажем единственность оператора А.
Пусть А' — некоторый замкнутый оператор в Н1 такой, что
О(А') С Н+, (А'и,-) = В[и,"], V е Н+, и е О(А'),
и существует непрерывный обратный (А' - АоЕ)-1 для некоторого Ао е С. Очевидно, что О(А') С {и е Н+ : $ и е Н1} = О(А) и оператор А является расширением оператора А'. Следовательно,
(А - АоЕ)(А' - АоЕ)-1и = и, и е Н1. (55)
Так как .О(А') С Н+, из теоремы 3 (см. §5) следует, что оператор А' имеет дискретный спектр. Поэтому, не нарушая общности, можно считать, что в (55) А0 е 5, |А0| > с^, и, следовательно,
(А - АоЕ)-1 = (А' - АоЕ)-1.
Таким образом, А = А', что и доказывает теорему 1. Из (7) и (54) следует (8), что завершает доказательство теоремы 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бойматов К. Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными билинейными формами // Докл. АН. 1994. Т. 339, № 1. С. 5—10.
2. Бойматов К. Х. Обобщенная задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН. 1992. Т. 327, № 1. С. 9-15.
3. Бойматов К. Х. Обобщенная задача Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой // Докл. АН. 1993. Т. 330, № 3. С. 285-290.
4. Бойматов К. Х., Седдики К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // Докл. АН. 1997. Т. 352, № 3. С. 295-297.
5. Бойматов К. Х., Седдики К. Некоторые спектральные свойства дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными формами // Докл. АН. 1997. Т. 352, № 4. С. 439-442.
6. Исхоков С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Докл. АН. 1995. Т. 342, № 1. С. 20-22.
7. Исхоков С. А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 4. С. 641-653.
8. Исхоков С. А. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Докл. АН. 1995. Т. 345, № 2. С. 164-167.
9. Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1997. Т. 241. С. 107-134.
10. Бойматов К. Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных // Функцион. анализ и его прил. 1995. Т. 29, № 3. С. 55-58.
11. Бойматов К. Х. О базисности по Абелю систем корневых вектор-функций вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 46-57.
12. Гадоев М. Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических операторов с сингулярными матричными коэффициентами на отрезке // Уфим. мат. журн. 2011. Т. 3, № 3. С. 26-54.
13. Гадоев М. Г., Исхоков С. А. Спектральные свойства вырожденно-эллиптических операторов с матричными коэффициентами // Уфим. мат. журн. 2013. Т. 5, № 4. С. 38-50.
14. Гадоев М. Г., Конобулов С.И. Коэрцитивная разрешимость эллиптических операторов в банаховых пространствах // Сиб. журн. индустр. математики. 2003. Т. VI, № 2. С. 26-30.
15. Гадоев М. Г. Асимптотика спектра несамосопряженных вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на отрезке // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 31-43.
16. Исхоков С. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 2. С. 201-216.
17. Гадоев М. Г., Якушев И. А. Вариационная задача Дирихле для одного класса эллиптических уравнений с вырождением // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 25-35.
18. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Якушев И. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением // Докл. АН. 2012. Т. 443, № 3. С. 286-289.
19. Исхоков С. А., Нематуллоев О. А. О разрешимости однородной вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области // Докл. АН Республики Таджикистан. 2012. Т. 55, № 8. С. 617-621.
20. Гадоев М. Г., Константинова Т. П. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. С. 8-21.
21. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Константинова Т. П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными формами // Докл. АН. 2015. Т. 462, № 1. С. 7-10.
22. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
23. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.
24. Егоров И. Е., Гадоев М. Г. Со-полугруппы и спектральные свойства эллиптических операторов. Новосибирск: Наука, 2013.
25. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4-30.
26. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустылник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.
27. Бойматов К. Х. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических операторов в предельно-цилиндрических областях // Докл. АН СССР. 1989. Т. 308, № 1. С. 11-14.
28. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
29. Бойматов К. Х. О плотности финитных функций в весовых классах // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 6. С. 1296-1299.
30. Лизоркин П. И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. Мат. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 235-251.
Статья поступила 14 января 2016 г.
Исхоков Сулаймон Абунасрович
Институт математики им. А. Джураева
Академии наук Республики Таджикистан,
ул. Айни, 299/4, Душанбе 734063, Республика Таджикистан;
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,
политехнический институт (филиал) в г. Мирном,
ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия)
зи1а1шоп@ша11.ги
Гадоев Махмадрахим Гафурович
Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,
политехнический институт (филиал) в г. Мирном
ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия)
gadoev@гaшb1eг.ги
Петрова Мария Николаевна
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, политехнический институт (филиал) в г. Мирном, ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия) зип1и@ша11.ги
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2
UDC 517.918+516.918
ON SOME SPECTRAL PROPERTIES OF A CLASS OF DEGENERATE ELLIPTIC DIFFERENTIAL OPERATORS S. A. Iskhokov, M. G. Gadoev, M. N. Petrova
Abstract. Some spectral properties are investigated for a class of degenerate-elliptic operators A with singular matrix coefficients generated by noncoercive sesquilinear forms. Operator A is considered in the Hilbert space L2(Q)1, where Q c Rn is a limit-tube domain and I > 0 is an integer.
Keywords: spectral properties, degenerate-elliptic operator, noncoercitive sesquilinear form, limit-cylindrical (x) domain, resolvent of generalized Dirichlet problem.
REFERENCES
1. Boimatov K. Kh., "Matrix differential operators generated by noncoercive bilinear forms," Dokl. Math., 50, No. 3, 351-359 (1995).
2. Boimatov K. Kh., "The generalized Dirichlet problem for systems of second-order differential equations," Dokl. Math., 46, No. 3, 403-409 (1993).
3. Boimatov K. Kh., "The generalized Dirichlet problem associated with a noncoercive bilinear form," Dokl. Math., 47, No. 3, 455-463 (1993).
4. Boimatov K. Kh. and Seddiki K., "Boundary value problems for systems of ordinary differential equations associated with noncoercive forms," Dokl. Akad. Nauk, 352, No. 3, 295-297 (1997).
5. Boimatov K. Kh. and Seddiki K., "Some spectral properties of ordinary differential operators generated by noncoercive forms," Dokl. Akad. Nauk, 352, No. 4, 439-442 (1997).
6. Iskhokov S. A., "On the smoothness of solutions of the generalized Dirichlet problem and the eigenvalue problem for differential operators generated by noncoercive bilinear forms," Dokl. Math., 51, No. 3, 323-325 (1995).
7. Iskhokov S. A., "On the smoothness of the solution of degenerate differential equations," Differ. Uravn., 31, No. 4, 594-606 (1995).
8. Iskhokov S. A., "The variational Dirichlet problem for degenerate elliptic equations in a halfspace," Dokl. Math., 52, No. 3, 356-359 (1995).
9. Boimatov K. Kh. and Iskhokov S. A., "On solvability and smoothness of a solution of the variational Dirichlet problem associated with a noncoercive bilinear form," Tr. Mat. Inst. Steklova, 214, No. 3, 101-127 (1996).
10. Boimatov K. Kh., "Some spectral properties of matrix differential operators that are far from selfadjoint," Funct. Anal. Appl., 29, No. 3, 191-193 (1995).
11. Boimatov K. Kh., "On the Abel basis property of the system of root vector-functions of degenerate elliptic differential operators with singular matrix coefficients," Sib. Math. J., 47, No. 1, 35-44 (2006).
12. Gadoev M. G., "Spectral asymptotics of nonselfadjoint degenerate elliptic operators with singular matrix coefficients on an interval, Ufim. Mat. Zh., 3, No. 3, 26-54 (2011).
13. Gadoev M. G. and Iskhokov S. A., "Spectral properties of degenerate elliptic operators with matrix coefficients," Ufim. Mat. Zh., 5, No. 3, 38-50 (2013).
14. Gadoev M. G. and Konobulov S. I., "Coercive solvability of elliptic operators in Banach spaces," Sib. Zh. Ind. Mat., 6, No. 2, 26-30 (2003).
© 2016 S. A. Iskhokov, M. G. Gadoev, M. N. Petrova
15. Gadoev M. G., "Asymptotics of the spectrum of second-order nonselfadjoint degenerate elliptic differential operators on an interval," Sib. Zh. Ind. Mat., 9, No. 2, 31-43 (2006).
16. Iskhokov S. A., "Garding's inequality for elliptic operators with degeneracy," Mat. Notes, 87, No. 1, 189-203 (2010).
17. Gadoev M. G. and Yakushev I. A., "Variational Dirichlet problem for a class of elliptic equations with degeneracy," Mat. Zamet. YaGU, 18, No. 1, 25-35 (2011).
18. Iskhokov S. A., Gadoev M. G., and Yakushev I. A., "Garding's inequality for higher order elliptic operators with nonpower degeneration," Dokl. Math., 85, No. 2, 215-218 (2012).
19. Iskhokov S. A. and Nematulloev O. A., "On solvability of the homogeneous variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators in a bounded domain," Dokl. Akad. Nauk Resp. Tadzh., 55, No. 8, 617-621 (2012).
20. Gadoev M. G. and Konstantinova T. P., "On solvability of variational Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic operators," Mat. Zamet. YaGU, 21, No. 2, 8-21 (2014).
21. Iskhokov S. A. Gadoev M. G., and Konstantinova T. P., "Variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators generated by noncoercive forms," Dokl. Math., 91, No. 3, 255258 (2015).
22. Triebel H., Interpolation theory, function spaces, differential operators, Veb Deutscher Verlag Der Wissenschaften, Berlin (1978).
23. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclassical operator-differential equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2000).
24. Egorov I. E. and Gadoev M. G., Co-semigrops and spectral properties of elliptic operators [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2013).
25. Nikol'skii S. M., Lizorkin P. I., and Miroshin N. V., "Weighted function spaces and their applications to the investigation of boundary value problems for degenerate elliptic equations," Soviet Math. (Iz. VUZ), 32, No. 8, 1-40 (1988).
26. Krasnosel'skii M. A., Zabreyko P. P., Pustylnik E. M., and Sobolevski P. E., Integral operators in spaces of summable functions, Springer-Verlag, Berlin (1976).
27. Boimatov K. Kh., "Eigenvalues of elliptic differential operators in limit-cylindrical domains," Soviet Math. Dokl., 40, No. 2, 269-272 (1990).
28. Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verl., Berlin; Heidelberg (1995). 2-nd ed.
29. Boimatov K. Kh., "On the denseness of the compactly supported functions in weighted spaces," Soviet Math. Dokl., 40, No. 1, 225-228 (1990).
30. Lizorkin P. I., "On the theory of degenerate elliptic equations," Proc. Steklov Inst. Math., 172, 257-274 (1987).
Submitted January 14, 2016
Sulaimon Abunasrovich Iskhokov Tadzhikistan Academia of Sciences, A. Dzhuraev Mathematical Institute Aini st., 299/4, Dushanbe 734063, Tajikistan; M. K. Ammosov North-East Federal University, Polytechnic Institute (filial) in Mirnyi, Tikhonova st., 5/1, Mirnyi 678170, Yakutia, Russia sulaimon@mail.ru
Makhmadrakhim Gafurivich Gadoev
M. K. Ammosov North-East Federal University,
Polytechnic Institute (filial) in Mirnyi,
Tikhonova st., 5/1, Mirnyi 678170, Yakutia, Russia
gadoev@rambler.ru
Maria Nikolaevna Petrova
M. K. Ammosov North-East Federal University, Polytechnic Institute (filial) in Mirnyi, Tikhonova st., 5/1, Mirnyi 678170, Yakutia, Russia sun1u@mail. ru
