Спектральные свойства вырожденно-эллиптических операторов с матричными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том Б. № 4 (2013). С. 38-Б0.

УДК 517.918

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫРОЖДЕННО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ С МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

М.Г. ГАДОЕВ, С.А. ИСХОКОВ

Аннотация. В работе исследуются некоторые спектральные свойства несамосопряженного эллиптического оператора A в пространстве = £2(0,1)1, ассоциированного с некоэрцитивной полуторалинейной формой.

Рассмотрены такие вопросы, как полнота системы корневых вектор-функций оператора A в H1, описание области определения оператора A, оценка резольвенты оператора A, асимптотическое распределение собственных значений оператора A.

Ключевые слова: Эллиптические дифференциальные операторы, резольвента оператора, распределение собственных значений, система корневых вектор-функций.

Mathematics Subject Classification: 34L20, 34L10, 47E05, 47A10, 46E35

Введение

Настоящая статья является продолжением работы [1]. В ней исследуются некоторые спектральные свойства одного класса несамосопряженных вырожденно-эллиптических операторов A в пространстве = L2(0,1)1, ассоциированных с некоэрцитивными полуторалинейными формами.

Рассмотрены такие вопросы, как полнота системы корневых вектор-фукций оператора A в , описание области определения оператора A, оценки резольвенты оператора A, асимптотическое распределение собственных значений оператора A.

Спектральные асимптотики вырождающихся эллиптических операторов, далеких от самосопряженных, изучались в работах [2-7] в ситуации, когда собственные значения оператора делятся на две серии, одна из которых лежит вне угла | arg z| ^ <^, ip < п, а другая локализуется к лучу R+ = (0, +то). Эта статья, как и [1], примыкает к работам [2, 3, 7], в которых наиболее общие результаты получены в [7], где предполагается, что старший коэффициент оператора A

a(t) = amm(t) Є Cm([0,1]; EndC1) (0.1)

и имеет простые различные собственные значения (с.з.) при каждом t Є [0,1].

Вместо (0.1) мы требуем лишь, чтобы a(t) Є C([0,1]; EndC1).

M.G. Gadoev, S.A. Iskhokov, Spectral properties of degenerate elliptic operators with matrix coefficients.

© Гадоев М.Г., Исхоков С.А. 2013.

Поступила 15 июня 2Q13 г.

§1. Формулировка основных результатов

1. Оператор А, заданный в гильбертовом пространстве Н, мы назовем далеким от самосопряженного, если он не приводится к виду

А = В(Е + Б), В = В*, Б е а^(Н). (1.1)

Здесь и далее, символ а^(Н), обозначает класс линейных вполне непрерывных операторов в Н; В * — оператор, сопряженный к В.

Спектральные свойства эллиптических дифференциальных и псевдодифференциаль-ных операторов, близких к самосопряженным, т.е. приводящихся к виду (1.1), в литературе достаточно подробно изучены (см. [8, 9]). Также подробно исследованы спектральные свойства эллиптических дифференциальных операторов (д.о.) и псевдодифференци-альных операторов (п.д.о.), далеких от самосопряженных в случае, если они заданы на компактном многообразии без края (см. [7, 10-12], где имеется библиография). В случае областей с краями, д.о. и п.д.о., далекие от самосопряженных, изучались в [3, 4, 13-18]; из них вырожденно-эллиптическим задачам посвящены [3, 4, 13].

2. В данной статье изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора в Ь2(0,1), порожденного полуторалинейной формой

_ 1

по п

A[u,v] = ^ <Pi(t)aij(t)u(i)(t),pj(t)v(j)(t) >сi dt. (1.2)

ij=0 0

Здесь

ie+i-m (^ = о m) e<m u(i)(t) = d U(t) ,

dti

Pi(t) = {t(1 - t)}y+i-m (i = 0, m), e<m, u(i)(t) =

aij G Lrxi(J; End C ) (i,j = 0,m),

где J = (0,1). Символ < , >ci обозначает скалярное произведение в C1.

Обозначим через H+ замыкание линейного многообразия C0f(J) по норме

V 1/2

м+ = (/ pm(t)|^(m)(t)|2dt + I Ht)|2dt

Положим

H = L2(J), H1 = H0---0H (l — раз),

H+ = H+ 0 ■ ■ ■ 0 H+ (l — раз).

В дальнейшем скалярное произведение в пространствах H, H1 будет обозначаться одним и тем же символом (, ). Аналогично, нормы в пространствах H+, H+ и H, H1, C1 будут обозначаться соответственно через | |+, | |. Символом ||Т|| обозначим норму ограниченного оператора T, заданного в H или H1.

За область определения полуторалинейной формы A[u,v] (1.2) примем пространство H+. _ _ Предположим, что amm(t) G Cm(J; End C1), и матрица a(t) = amm(t) при каждом t G J имеет l различных ненулевых собственных значений ^i(t),..., щ(t). Тогда собственные значения матрицы a(t) можно так перенумеровать, что щ(t),^-1(t) G Cm(J),j = 1,l.

Пусть выполнены следующие условия:

|aij(t)| ^ Mts(1 — t) (i + j< 2m), 8> 0, (1.3)

щ(t) G S (j = 1,l,t G J), (L30

где S С C — некоторый замкнутый угол с началом в нуле, а щ (t) с.з. матрицы a(t).

При выполнении перечисленных выше условий имеют место следующие теоремы (см. [І]):

Теорема 1.1. Существует единственный замкнутый оператор А в Н1, обладающий следующими свойствами:

(i) ^(А) с Н+, (Ам^) = А[м^] (Ум є Б(А), V є Н+),

(ii) при некотором г0 Є С существует непрерывный обратный

(А - гоЕ)-1 : Н1 ^ Н1.

Пусть А такой же оператор, как в условиях (і), (іі).

Теорема 1.2. Оператор А имеет дискретный спектр. Система корневых вектор-функций оператора А полна в Н1, т.е. их конечные линейные комбинации плотны в Н1. Порядок резольвенты оператора А не превосходит число 2—. Для числа N (Л) собственных значений оператора А, не превосходящих по модулю Л, с учетом их корневых кратностей, справедлива оценка N (Л) ^ МЛ1/2—, (Л > 1).

Отметим, что сформулированные выше результаты в случае симметрической формы

(1.2) хорошо известны.

3. Обозначим через Н- пополнение пространства Н по норме

і і |(м,^)|

|м|_ = вир — .-----.

о=^єн+ 1^1+

Положим Н1_ = Н_ ф • • • ® Н_ (/ - раз). Элемент Е = (Еь... , Еі) Є Н1_ порождает

і

антилинейный непрерывный функционал над Н+ по формуле

< Е, V >= Иш (мг^), V е Н++,

где последовательность вектор-функций м1,м2,... е Н1 выбирается так, что

мг ^ Е (г ^ +го) в Н_.

Заметим, что если V = (VI,... , V) е Н_, то

I I

< Е, V >= £ < Лл>, >, |Е|_ = (£ |Д|_)1/2.

г=1 г=1

Здесь и далее, как при I = 1, так и в случае произвольного I е N приняты одни и те же обозначения: | |_, <, >.

Обратно, для любого антилинейного непрерывного функционала д^) (V е Н1+) существует единственный элемент Е е Н}_ такой, что д^) =< Е, V >, Vv е Н1+. При этом норма функционала д равна |Е|_.

В дальнейшем антилинейные непрерывные функционалы над отождествляются с элементами пространства Н}_.

4. При выполнении условия (1.3) согласно неравенству Харди имеем

|А[м, V]! ^ М|м|+^|+ (Ум^ Є Н+).

Поэтому можно ввести в рассмотрение оператор А : Н+ ^ Н_, действующий по формуле

< Ам, V >= А[м, V] (Ум, V є Н+).

Пусть А такой же оператор, как в теоремах 1.1, 1.2. Имеет место следующая Теорема 1.3. Для достаточно больших по модулю Л Є Б существуют непрерывные обратные

(А - ЛЕ)-1 : Н_ ^ Н_, (А - ЛЕ)-1 : Н1 ^ Н1,

и выполняется равенство

(А- ЛЕ)-1м = (А - ЛЕ)-1м (Ум є Н1).

При этом Аи = Аи (Уи е Б (А)), и Б(А) = {и е Н+ : Ам е Н1}.

Аналогичный результат для д.о. в частных производных, имеющих скалярные коэффициенты, получен в работе [19]. Отметим, что первая часть утверждения теоремы 1.3 может быть установлена по схеме статьи [19] лишь в том случае, если дополнительно предположить, что при некоторой непрерывной в .] функции 7(£), которая не обращается в нуль, и для достаточно малых - > 0 выполняется условие

п___е —

I агд {7(£) < а(£)к, к >С1 }| < —-— (V е 7, 0 = к е С1). (1.4)

Здесь и далее, мы считаем, что функция агдг принимает значения на отрезке (—п,п].

Из (1.4), в частности, следует, что

п — е - ___

| агд 7(^ | ^ -—-- (^е = 1,1).

5. Доказательства теоремы 1.2 приведена в §2. Отметим, что в §2 получена также сле-

дующая оценка резольвенты оператора А в секторе Б:

||(А — ЛЕ)-1|| ^ М|А|_\ (Л е Б, |А| > с(Б)),

где с(Б) > 0. Суммируемость рядов Фурье элементов f е Н1 по системе корневых вектор-функций оператора А методом Абеля со скобками установлена в [1]. В данной работе доказана полнота системы корневых вектор-функций оператора А в Н1.

В §3 работы дано описание области определения оператора А. В §4 исследуется асимптотическое поведение собственных значений оператора А.

Результаты данной работы частично анонсированы в [20].

§2. Оценка резольвенты оператора А

1. Пусть Р - самосопряженный оператор в Н, ассоциированный с полуторалинейной формой

Р [и, V] = (р0 и(т),р0 Vм), Б[Р' ] = Н+, где р(£) = £(1 — £),£ е [0,1], 9 — такое же, как в (1.2).

Обозначим (см.[1, стр. 32]) через Н£, V > 0 пространство функций и е Н+ с нормой

\ 1/2

р20(£)|и(т)(£)|2^ + V ! |и(£)|2^! .

Пусть ^, V > 0, обозначает пространство элементов Б е с нормой

|Б|_^ = вир | < Б, V > |.

veH+

\v\-v <1

При VI, ^ > 0 множества совпадают, а как нормированные простран-

ства отличаются друг от друга только эквивалентными нормами. Для V =1 имеем = Н+, . Пространство , V > 0, является негативным пространством в

тройке С Нг С и по отношению к позитивному пространству . (см., например, [21, стр. 51]).

В дальнейшем нам понадобится следующая (см. [1, стр.36])

Лемма 2.1. Существует непрерывный обратный оператор : Н_ ^ Н, ^ > 1, такой, _1

что и = (Р + ^Е) 2 и, Уи еН , причем ТБ| ^ М|Б_ (^ > 1, V е [1, 2^),УБ е ),

где число М > 0 не зависит от ^, V.

2. Пусть Тш - такой же оператор, как в лемме 2.1, 7^ : Н ^ Н_ - оператор, обратный к оператору Тш : Н_ ^ Н. Так же, как в лемме 2.1, доказывается, что

7м_ ^ М|м| (У^ > 1, V є [1, 2^), Ум Є Н),

где число М > 0 не зависит от ^, V. При этом, если м Є Н^, то

7^ м = (Р + ^Е) 1 м.

Введем операторы Т^ : Н1_ ^ Н1, 7^ : Н1 ^ Н1_ по формулам:

Т, = ^ад{Тш, ...,ТШ}, 7^ = ^ад{7^,..., 7^}.

Положим Рі = ^іад{Р,..., Р}. Имеет место следующая

Теорема 2.1. Для Л Є Б, |Л| > а, где а > 0 - достаточно большое число, справедливы

представления

(А - ЛЕ)_1 = (Рі + |Л|Е)_1 Ф(Л)ТА (2.1)

(А - ЛЕ)_1 = (Рі + |Л|Е)_2Ф(Л)(Рі + |Л|Е)_1, (2.1')

где Ф(Л) : Н1 ^ Н1 - ограниченный оператор

вир ||Ф(Л)|| < +то. (2.2)

Лей1, |Л|>ст

Доказательство. Докажем, что если V = |Л|, то для достаточно больших по модулю Л є Б,

|(Рі + |Л|Е)2(А - ЛЕ)_17|Л|м| ^ М|м| (Ум є Н1).

Для этого используем равенство (см. [1], §4, (4.6), (4.7))

(А - ЛЕ)_1 = (Л)Г,(Л).

Здесь оператор А^ : Н ^ Н1_^ определен по формуле

< А^м,v>= А[м, V], (Ум, V є Н).

Ясно, что

Остается показать (см. [1], §4, (4.6), (4.7)), что

|(Рі + |Л|Е)2Х|л|(Л)7|Л|м| ^ Мз|м|, (м Є Н1). (2.3)

Используя (4.3), (3.13) из [1], сведем доказательство оценки (2.3), так же, как выше, к

доказательству следующего неравенства:

|(Рі + |Л|Е)1 Д*,|л|(Л)7]л|v| ^ ^^41V|, (V є Н).

Справедливость этого неравенства для достаточно больших по модулю Л Є Б вытекает из

представления (3.12) работы [1]. Таким образом, имеем

(А - ЛЕ)_1 = (Рі + |Л|Е)_2Ф(Л)Т|1л|, (Л Є Б, |Л|> а) (2.4)

где где Ф(Л) : Н1 ^ Н1 - ограниченный оператор, удовлетворяющий оценке (2.2). Заметим, что

(А - ЛЕ)_1Р = (А - ЛЕ)_1Р. (У V > 1,Р є Н__). (2.5)

Для м Є Н1 имеем

Т1Л|м = (Рі + |Л|Е)_1 м, (А - ЛЕ)_1м = (А - ЛЕ)_1м, что вместе с (2.4), (2.5) доказывает (2.1), (2.1'). Теорема доказана.

3. Из представления (2.1') следует оценка

II(A — ЛEГ1!! ^ M|Л|-1. (Л Є S, !Л! > а)

1

(2.6)

Так как порядок резольвенты оператора Рі равен 2—, то из (2.1') вытекает, что порядок резольвенты оператора А не превосходит числа 2—. Отсюда и из (2.6), применяя теорему 6.4.1 из [10], устанавливаем, что система корневых вектор-функций оператора А полна в Ні.

Отметим, что суммируемость методом Абеля со скобками рядов Фурье элементов f Є Ні по системе корневых вектор-функций оператора А установлена в [1].

4. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство. Обозначим через ат(Н), т > 1 класс операторов Ь Є а^(Н), сумма 5-чисел которых в степени т сходится ([22]):

Е s? (L)

< +то.

j=l

(Нижняя грань чисел т, таких, что Ь Є ат (Н), называется порядком оператора Ь.)

Обозначим через v1(^), ^(і),... последовательность с.з. оператора Ь Є ате(Н), занумерованных в порядке невозрастания их модулей, с учетом их корневых кратностей. Отметим, что

V, ((Ь*Ь)І) = 8,(Ь), і = 1,2,... .

В дальнейшем нам понадобятся следующие, хорошо известные (см., например, [22]) неравенства

(VL Є ^(H))

I^j(t)I ^ j=1

IILL'IIp ^ IILIIpIIL'II, IIL'LIIp ^ iil'

если L Є ар^),p > 1, L' - ограниченный оператор;

IIL1...Lr IIP ^ H^Ui ...IILr IIf

если Lj Є ак. (H), 1 ^ p ^ Kj (j = 1, r), к

~l _ l

. Из (2.9) при L1

Lr

k0

r (j = 1, r) следует неравенство

j=l

IILrIIl « IILII

(2.7)

(2.8)

(2.9) L Є ffl(H),

(2.І0)

Из (2.Т) следует сходимость ряда

spL = Vj (t), VL Є a1(H).

,=1

5. В заключении этого параграфа докажем утверждение теоремы 1.2 об оценке спектра оператора А.

Обозначим через Л1,Л2,... последовательность с.з. оператора А, занумерованных в порядке неубывания их модулей, с учетом корневых кратностей.

Используя (2.1'), (2.8) - (2.10), находим

1 Г

II(A — ЛEГIIl ^ II(Pl + IAIEГ2Ф(Л)(Я + IAIEГ1 Цг ^ MII(Pi + IAIEГ2IU,

1 2r

(Л G S, |А| > а)

где r = 4m, а > 0 - достаточно большое число. Известно, что

N0(t) = 1 ~ const ■ 12^ (t ^ +го),

(2.11)

т

p

г

p

где ^1,^2,... обозначает последовательность с.з. оператора Р. Поэтому

| | (Р + |Л | Е)_2|С = + |Л | Г4- = / < М|А|^_4- (|Л |> 1).

,■=1 0 (£ +|Л|)

Отсюда и из (2.7), (2.11) заключаем, что

^ |(Л, — Л)_4-| ^ М|Л|2т_4- (Л е Б, |Л| > а).

,=1

Выберем число е (—п; п] так, что луч Г = {Л = : £ > 0} будет биссектрисой угла

Б. Тогда

|*| + |Л| ^ ф — Л| (Уг £ Б, Л е Г), (2.12)

где число с' > 0 зависит только от раствора угла Б. Для достаточно больших ] > имеем Л, е Б. Очевидно, что

£ £

NИ = I <№(т) « (го4-1 ^ (го4- + ^N1)- =

0 0 0

= (2£)4— £(|Л, | + «)-4-,

,=1

где N(£) = саг^{? : |Л,| ^ £}. Следовательно, (см. (2.12))

N(£) ^ М1 + М2£4- ^ |Л, — £е^|_4- ^ М2£2т (£ > 1).

,=,0

Тем самым, нами полностью завершено доказательство теоремы 1.2.

§3. Описание области определения оператора А

1. Пусть А - такой же оператор, как в теореме 1.1; коэффициенты

а,(£) е С(7; Еп^С1) (г,^ = 0,т). (3.1)

Имеет место следующая

Теорема 3.1. Область определения Б (А) оператора А описывается как класс вектор-функций и е Ж22-с(7) П Н+ таких, что

-

/ = ^(—1)7 ЫФ, (£)а,(£)иМС0)О) е Н

г,,=0

При этом / = Аи.

Доказательство. Пусть и е ^|—с(7) П Н+ и вектор-функция /(£) е Н1. Тогда для произвольной вектор-функции v(^) е С0°(7) путем интегрирования по частям получим

-

(/,,у) = ^ (Рг(£)аг, (£)и(г)(£),Р, ^.

г,,=0

Эти равенства по непрерывности справедливы для всех V е Н+. Поэтому, согласно теореме 1.1, и е Б(А), / = Аи.

Обратно, пусть и е Б(А), /1 = Аи. Тогда

т

(/l,v) = ^(Ргаг,и(г),Р,^), Vv е С(Г(7^

.V) = 2^(Ргаг,и ',р,-V"

г,,=0

так что элемент

т

/2 = ^ ( —1)^ ЫФ, (£)аг, (£)и(,)(£))(,),

г,,=0

понимаемый в смысле распределений, принадлежит Н1. При этом имеем /1 = /2. Далее из общей теории эллиптических уравнений следует, что и е Ж2^(7)г.

2. В связи с теоремой 3.1, отметим, что пространство Н+ при — 1 < 9 < т— 1 описывается (см. [23]) как класс вектор-функций м(£) е Н1 с конечной нормой

|и| + = |р20(£)и(£)|2^ + J |м(£)|2^| < +то, (3.2)

которые имеют нулевые следы

м(,)(0) = и(,)(1) = 0, 3 = 0,1,..., з0 — 1;

здесь ^0 - целое число, такое, что т — 9—2 ^ ^0 < т—9 +1. Если 9 ^ — 1 или т— 1 ^ 9 < т,

то пространство Н+ состоит из вектор-функций и(£) е Н1 (см. [23]) с конечной нормой |м| +

(3.2).

3. Наряду с теоремой 3.1 имеет место следующая Теорема 3.2. Пусть выполнено (3.1) и

|а(к)(£)| ^ М{£(1 — (к = ° 1,...,з).

Пусть, кроме того, 9 + 1 £ {1, 2, ...,т}. Тогда область определения оператора А описывается как класс вектор-функций и е Ж2210с(7) П Н+ таких, что

т

Ро(£)и(£), ^ (—1)-7(р(£)р,(£)аг,(£)и(,)(£))(,) е Н1.

г,,=0

§4. Асимптотическое распределение собственных значений оператора А

1. Пусть А такой же оператор, как в теореме 1.1. Предположим, что собственные значения ^1 (£),...,^(£) матрицы а(£) расположены в комплексной плоскости следующим образом:

^1(£),..., р.га(£) е Д+ = {г е С : Дег > 0, /тг = 0}, р.га+1(£),..., ^(£) £ Ф,

где 1 ^ п ^ /, Ф = {г е С : |агдг| < ^},^ е (0,п). Тогда, согласно теореме 1.3, в любом замкнутом секторе Б С Ф\Д+, с началом в нуле, содержится конечное число с.з. оператора А. Отсюда нетрудно вывести, что

Иш агдЛ, = 0,

где Л1, Л2,... обозначает последовательность с.з. оператора А, расположенных в углу Ф и занумерованных в порядке неубывания их модулей, с учетом корневых кратностей. Имеет место следующая Теорема 4.1. Для функции

N(£) = саг^{з : |Л, | ^ £},

при і ^ справедлива асимптотическая формула

1 і г в

N (і) ~ сі 2^, с = — Р- т (і)^- 2т (і)^і.

^=1 0

Аналогичный результат для дифференциальных операторов второго порядка установлен в [4, 13]. Отметим, однако, что схема работ [4, 13] не может непосредственно применяться в случае т > 1, даже если выполнено условие (1.4). Существенным моментом методики данной работы является то, что мы "выделяем" в явном виде главный член "обобщенной резольвенты" как оператор, действующий из Нг_^ в Н.

Отметим, также, что аналогичный результат для одного класса несамосопряженных эллиптических систем второго порядка установлен в [24].

В сочетании с применением некоторых других аналитических приемов, это позволяет вычислить главный член асимптотики функции зр(А — гЕ)-1 при г ^ по некото-

рым лучам Г С Ф\Я+, с началом в нуле. Установленные на этом пути асимптотические формулы даже в случае т =1 относятся к более широким классам операторов, нежели в работах [4, 13].

2. Для доказательства теоремы 4.1 используем (4.6), (4.7) из [1], при V = |А|. Пусть Р,, Т,, Т, такие же операторы, как в п.1, §2.

Обозначим через щ2,... ортонормированную последовательность собственных вектор-

функций оператора Р,. Пусть рщ, = ^^ ^2 ^ ... . Так как мг,м2,... - ортонорми-рованный базис в Н1 и (А — АЕ)-1,Щ = (А — АЕ)-1,щ Vv > 1, то

5р(А — АЕ) 1 = ^((А — АЕ) 1щ ,щ ) = ^((Л^ — АЕ) 1щ ,щ ) =

І=1 І=1

= £(Х„(Л)«,,«,) + £(Х„(Л)Г„(А)-щ,щ,), (А ё 5, |А| > о = о(5)), (4.1)

,= 1 , = 1

где 5 С Ф\Р+ - произвольный замкнутый угол с началом в нуле. Учитывая, что

(р, + |А|Е )±2 щ = (^- + |А|)±1 щ,

получим

£(Х„(А)Г„(А)щ,, и) = £(Х„(А)Г„(А)(Р + |А|Е)1 щ, (Р, + |А|Е)-2щ,) =

і=1 ,=1

= £((Р‘ + |А|Е)-1XV (А)ТЛ|Г|Л|Г,, (А)Т|Х|«^ ,щ,). (4.2)

,= 1

Имеем при V = |А|,щ ёН1, согласно (4.6) (см. [1], §4),

|Т|х|ГV(А)7]х|щ| ^ МГ(А)Т|х|щ|_|х| ^ М1|А|-£'|7|х|и|-|х| = М2|А|-£/|щ|.

Таким образом, оператор Т|х|ГV(А)Т]х| индуцирует ограниченный оператор в Н1, норма которого не превосходит М2|А|-£/. Отсюда, согласно (4.1), (4.2), находим

г (А) = |8Р(А — АЕ )-1 — £(Х„ (А)щ,щ, )| « М |А|-'/ ||(Р, + |А|Е)-2 Х„ (А^Пь

,= 1

Здесь, хотя Т|х| - неограниченный оператор в Н1, оператор XV(А)7|х| индуцирует в Н1 ограниченный оператор. Применяя (2.3), находим

г (А) ^ М |А|-£/ |(Рг + |А|Е)-111 ^ М1|А| 2т-1-£/.

Далее имеем (см. [1], §4, (4.3)),

£(Х„ (А)щ, ) = £(и (В — АЕ)-1и-1щ, щ) = £((В* — АЕ)-1щ, ) =

, = 1 ,= 1 ,= 1

1

= 5Р(С; — АЕ) 1.

Й=1

Здесь операторы 0;, к =1,1 определены в пространстве Н следующим образом:

^(0;) = {V ё Н+ : ^,А:V ё Н}, Vv > 1,

°А:^ QV,fc^, ё ^(°А:).

Операторы ^,; введены в [1, §4, п. 1]. Напомним, что

(В — АЕ) 1 = ^шд{(^,1 — АЕ) 1,..., (Qv, 1 — АЕ) 1}.

Определенные выше операторы <51,..., С?1 не зависят от числа V > 1.

Воспользуемся теоремой 1.3 применительно к такой ситуации, когда / = 1, А = 0,, і = 1, /. Тогда мы получим, что оператор 0,, і = п + 1,/ в угле Ф имеет конечное число с.з. Так

как (і) ё Д+(і = 1,п), то 0, = <5* > 0, (і = 1,п). Таким образом, имеем

1

зр(А — АЕ)- 1 = ££(А*Л — А) 1 + 0(|А|2т 1 (А ё |А| > о(5)), (4.3)

і=1 ;=1

где є' > 0,5 С Ф\Л+ - замкнутый угол с началом в нуле, а А1,;, А2,;,... обозначает последовательность с.з. оператора 0;, занумерованных в порядке неубывания их модулей. Пусть ф ё (0, <^),

С = {г ё С : агдг = ±ф} и {0}

- контур, огибающий Л+ слева. Выберем числа с, 8 > 0 так, чтобы выполнялись следующие условия:

(i) |(агдА,) ± <^| > 8, |(аг^А,,;) ± <^| > 8, если, соответственно, |А,| > с или |А,,;| > с,

(і = 1,2,...,к = й), __________

(ii) А,,; ё Ф, (к = п + 1, /), если |А,,;| > с.

Здесь А1, А2,... обозначает последовательность с.з. оператора А, занумерованных в порядке неубывания модулей.

Тогда, в случае |А,| > с, |А,,;| > с, для А ё С имеем |А — А,|-1 ^ М|А,|-т|А|Т-1,

|А — А,,;|-1 ^ М|А,,;|-т|А|Т-1, где т ё (^, 1) . Поэтому

£ |А, — А|-1 ^ М1г(д)|А|Т-1, (4.4)

^Х' |

г(5) = £ |А' |-Т ^ 0, (« ^ +<»). (4.5)

5<|х:,|

Здесь мы использовали утверждение теоремы 1.2 об оценке спектра оператора А.

Далее имеем

— [ | + А) 1(А - А') 1 | ^А = £ + А') \ (4.6)

£ \“<1Л^ К<? / а<|А' |<д

где символ £' обозначает, что при суммировании берутся только такие ), для которых |аг$А^ | <

Учитывая, что (см. (4.4), (4.5))

Иш г(д) [ |А|Т-1|£ + А|-1 ^А = 0,

д^+те у

£

и, переходя в (4.6) к пределу при д ^ +то, находим

+ А) 1 ( £ (А - А) 1 ) ^А = £ (^ + А) 1. (4.7)

2пі „ . ,

с \“<|х: | / “<|х: |

Аналогично имеем

2^/(^ + А) 1 ( £ (А - А^>к) 1 | ^А = £ (^ + А.7>) 1, к = 1 ^ (4.8)

£ \1а<|Х^',к| } а<|Х^',к|

где символ £/; обозначает, что при суммировании берутся только те индексы , для которых |аг$А./)к| ^ ^.

Операторы <5п+1,..., 0?г имеют конечное число с.з. в углу Ф. Отсюда и из (4.3), (4.7), (4.8) заключаем, что

+те +те п

£(^ + А) 1 = ££(^ + ^) 1 + °(^2т 1 ^ ^ ^ +^.

.7=1 .7=1 к=0

—> 0 (•? —> +оо), то А1А1-1 —> 1 (•? —>

Так как агдА^- ^ 0 (^ ^ +го), то А^|А^ | 1 ^ 1 (^ ^ +то). Поэтому для д = 1, 2,... имеем

£ |(^ + А) 1 - + |А?|) 11 ^

.7=9

+^ Г I \ I \ I I ^ +те I ч I +те

< 2 « + |А,I)2 } < С9 £ (« + |А| )2 ^ Сд £(* + |А°

где с9, с9 ^ 0 (д ^ +то). Отсюда нетрудно вывести, что

11

У~1(і +А,) 1 ~ X/(і +| А,| ) 1 (і ^ +то). ,=1 ,=1

Для с.з. оператора С;, к = 1, п известна оценка

I ^ п

£(і + А,,;)-1 - / ,=1 І

^N0- (т) , .

, (і ^ +^),

т + і

0

где

1 1 Г 9

N (т ) = — т 2^ р - т (і)^- 2т (і)^і.

Таким образом, имеем

-Ш (t-^

0 0

где

n

N (г) = ^ (г).

j=l

Применяя соответствующую тауберову теорему, получим формулу

n

N(t) - ^ Nj(t), (t — +то), j=l

что и доказывает теорему 4.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных вырождающихся эллиптических операторов с сингулярными матричными коэффициентами на отрезке // Уфимский математический журнал. Т. 3, № 3. 2011. С. 26-54.

2. Бойматов К.Х. Асимптотическое поведение собственных значений несамосопряжённых операторов // Функциональный анализ и его приложения. Т. 11, № 4. 1977. С. 74-75.

3. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем // Математический сборник. Т. 181 , № 12. 1990. С. 1678-1693.

4. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Распределение собственных значений несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка // Вестник МГУ. № 3. 1990. С. 24-31.

5. Розенблюм Г.В. Спектральная асимптотика нормальных операторов // Функц. анализ и его приложения. Т. 16. 1982. С. 82-83.

6. Розенблюм Г.В. Условная асимптотика спектра операторов, близких к нормальным // Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория. Ленинград: Изд-во ЛГУ. 1986. С. 180-195.

7. M.S. Agranovich and A.S. Markus On spectral properties of elliptic pseudo-differential operators far from self-adjoint ones // Zeitshrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1989. Bd., 8(3). P. 237-260.

8. Бирман М.Ш. Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве //Л. Издательство ЛГУ. 1980. 264 с.

9. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления. Т. 64. 1988. С. 5-248.

10. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, ВИНИТИ, М. Т. 63. 1990. С. 5-129.

11. Агранович М.С. Некоторые асимптотические формулы для эллиптических псевдодифферен-циальных операторов // Функциональный анализ и его приложения. Т. 21. № 1. 1987. С. 63-65.

12. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптических систем // Функциональный анализ и его приложения. Т. 11. № 4. 1977. С. 82-83.

13. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Математические заметки. Т. 51. № 4. 1992. С. 8-16.

14. Бойматов К.Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // Функциональный анализ и его приложения. Т. 29. № 3. 1995. С. 55-58.

15. M. Faierman An elliptic boundary problem involving an indefinite weight // Proc. of the Roy. Soc. of Edinburgh. 130A. № 2. 2000. P. 287-305.

16. A.N. Kozhevnikov Asymptotics of the spectrum of Douglis-Nirenberg elliptic operators on a compact manifold // Math. Nachr. Bd. 182. 1996. P. 261-293.

17. S.G. Pyatkov Riesz’s bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Journal of Differential Equations. 1995. V. 1. No. 2, P. 179-196.

18. M. Sango A spectral problem with an indefinite weight for an elliptic system // Electronic Journal of Diff. Equations. № 21. 1997. P. 1-14.

19. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле, порожденная некоэрцитивной формой // Доклады РАН. Т. 330, № 3,1993. С. 285-290.

20. M.G. Gadoev, S.A. Iskhokov Spectral properties of degenerate elliptic operators with matrix coefficients. // Centre de Recerca Matematica (Barcelona). Preprint series number 1078, December, 2011. - 14 pages.

21. Бойматов К.Х. О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденноэллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами // Сибирский математический журнал. Т. 47, № 1, 2006. С. 46-57.

22. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

23. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика. № 8. 1988. С.4-30.

24. Гадоев М.Г. Об асимптотике спектра одного класса несамосопряженных систем // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН. 2007. С. 78-84.

Махмадрахим Гафурович Гадоев,

Мирнинский политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К. Аммосова, ул. Тихонова, 5/1,

678170, г. Мирный, Респ. Саха (Якутия), Россия E-mail: gadoev@rambler.ru

Сулаймон Абунасрович Исхоков,

Мирнинский политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К. Аммосова, ул. Тихонова, 5/1,

678170, г. Мирный, Респ. Саха (Якутия), Россия E-mail: sulaimon@mail.ru