CC BY
9Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2
УДК 517.957
О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО
КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ М. Г. Гадоев, Т. П. Константинова
Аннотация. Исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе, порожденного некоэрцитивной формой. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных с помощью некоэрцитивных форм, ранее рассматривались в [1—3]. В отличие от этих работ мы предполагаем выполнение более слабого условия эллиптичности (см. условие (5)).
Ключевые слова: вариационная задача Дирихле, эллиптический оператор, некоэрцитивная форма.
Пусть О — ограниченная область в п-мерном евклидовом пространстве М" с достаточно гладкой (п- 1)-мерной границей дО. Пусть число г натуральное, а вещественное и 1 < р < то. Символом Урга(О) обозначим пространство функций и(ж), определенных на О, имеющих все обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные с конечной нормой
\Щ *£а(О)|| = { / РРа(х)|и(к) (ж)|Р ¿Е + У /("-^(жЖжЖ ^ \к\=гп п
1 /р
Здесь и далее к = (к1; к2, • • •, кп) — мультииндекс, |к| = к1 + к2 + • • • + кп — длина мультииндекса к,
и(к)(ж)
дхк1 дхк2 • ••дж""
— обобщенная в смысле С. Л. Соболева производная функции и(ж) мультииндекса к, р(ж) — регуляризованное расстояние от точки ж € О до границы дО области О, т. е. бесконечно дифференцируемая положительная функция, удовлетворяющая неравенствам
р(ж) < ^{ж^О} < Мр(ж), |р( к)(ж)| < Мкр1-|к|(ж)
для любого ж € О и любого мультииндекса к, М, Мк — положительные постоянные.
Символом (Уд.а(О)) обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов, определенных на Урга(О), 1/р + 1/д = 1, наделенное нормой сопряженного пространства.
© 2014 Гадоев М. Г., Константинова Т. П.
Основные свойства пространств Ур.а(О) и (Удга(О))' изучены в работах С. М. Никольского, П. И. Лизоркина и Н. В. Мирошина [4], К. Х. Боймато-ва [5], С. А. Исхокова [6]. Из результатов этих работ, в частности, следует, что множество (О) бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в О плотно в пространстве (О) при всех вещественных а и Р, 1 < Р <
Пусть А — вещественное число. Рассмотрим интегродифференциальную полуторалинейную форму
Bx\u,v]= Yj j p2a{x)aki{x)u[k){x)v(~l){x)dx + +\ J p2(a-r) (x)u(x)v(x) dx,
|k|=|1|=ro о
(1)
коэффициенты aki(x) которой являются непрерывными в замкнутой области О комплекснозначными функциями, и связанную с ней вариационную задачу Дирихле.
Задача D\. Для заданного функционала F G (У2Г а(О))' требуется найти решение U(x) уравнения
Bx[U,v] = (F,v), v G C0TO(O),
принадлежащее пространству У2Г.а(О).
Можно исследовать разрешимость задачи D\, применяя метод из работы [7], если предположить, что коэффициенты aki(x) удовлетворяют условиям
arg aki(x)CkÇi <<Р, (2)
|k| = |1|=r
11е{7(Ж) akl(x)(kö}>cY,\(k\2 (3)
|k| = |1|=r |k|=r
для всех x G О и любого набора комплексных чисел Z = {Zk}|k|=r. Здесь и далее функция arg z принимает значения на отрезке (—п,п], p — некоторое положительное число, меньшее 7г, j(x) — некоторая непрерывная в ÎÎ функция, которая не обращается в нуль.
В отличие от условий (2), (3) здесь предполагаем, что
arg £ akl (x)£k£г| <p, (4)
|k| = |1|=r
Re{y(x) £ aki(x)£k£г} > c|£|2r (5)
|k| = |1|=r
для всех x G О, £ G Rn, где использованы обозначения
£ = (£i, £2, ■■■,£«)GRn, e = Ck1 £k2■ , I£I = {£2 + £2 + ••• + en}1/2■
Следует отметить, что для получения вспомогательных интегральных неравенств в [7] используют условия (2), (3) при Zk = u(k)(x) и затем интегрируют полученное неравенство по x G О. В нашем случае этого сделать нельзя, так как в условиях (4), (5) вместо комплексного числа Zk используется вещественное число £k.
Теорема. Пусть а<г и выполнены условия (4), (5). Тогда найдется число Ао > 0 такое, что при А > Ао для любого заданного функционала Р € (^2Га(О))' существует единственное решение и (ж) задачи Од и при этом справедлива оценка
\\и;^«(О^ < М||Р; (^«(О))'\\, (6)
где число М не зависит от А € [Ао, то) и от функционала Р.
Доказательство. Пусть V — достаточно малое положительное число и ^Pj(x), г]^{х) £ С°°(Г2), j = такие, что
а) ^(ж) + </?|(ж) Н-----Ь (р%{х) = 1, ж € О;
б) функция п/ (ж) обращается в единицу в некоторой окрестности множества эирр (ж) и 0 < ту^ < 1 для всех ж £ О;
в) |7(ж) — гу(у)\ < V для всех ж, у £ suppr|j, ] = 1, N. Рассмотрим полуторалинейную форму
вх1\и^\= £ I Р2а(х)аы] (х)и{к) (жУг) (ж) + Х I (7)
|к|=И=го о
где
4°:/(ж) = (1 - П/(ж))7(ж/Нг(ж/) + п/(ж)7(жНг(ж) (8)
Так как коэффициенты аы{х) непрерывны в замкнутой области О, они ограничены. Отсюда следует ограниченность коэффициентов аку(ж). Применяя неравенство Коши — Буняковского, имеем
К'М < (М° + |А|)\\и; ^«(О)\\ ■ \Н ^(О^ (9)
для всех И, V € (О).
Из условия (5) следует, что
/) £ ак1 (ж/)СкС*} >
|к| = |1|=г
7(ж) Е аы (ж)СкС*} > с|С|2г
|к| = |1|=г
для всех ] = 1, N, х £ О, £ £ К™. В силу этих неравенств из (8) получаем
£ (ж)Ск> с|С|2
к =1 Ц-
= Г
для всех 2 = 1, N, ж € О, С € М".
Это неравенство позволяет применить теорему 3.1 из [8], в силу которой существует число А/ > 0 такое, что при А > А/
Ие В^Ки] > С°\\и; ^а(О)\2 (10)
для всех ] = 1, К, и £ У2га(0).
Рассмотрим полуторалинейную форму
= £ ! р2а{х)аыз{х)и(>кХх)^1){х)<1х + А J р2^-^ и{х)у{х) ¿х,
к|,|1 =г0 о
где ätij (x) = [(1 - nj(х))аы (xj) + nj (x)äki (x)]j(xj). Так как
akij(x) - &kij(x) = nj(x)(Y(x) - Y(xj))äki(x)
и коэффициенты äki (x) ограничены, действуя как при доказательстве неравенства (9), с помощью неравенства Коши — Буняковского получим
K-W] — # j [u,v]| < МЛ|и; L2;*(fi)|| ■ ||v; ¿2;а(О)||
для всех u, v G V2ra(0). Здесь Л = sup |nj(x)(Yj(x) — 7(xj))|, где супремум берется по всем xgii и всем j = 1, Ж.
Применяя это неравенство, из (10) находим
Co ||u; V2ra(0) ||2 < Re (ß J [u, u] J [u, u]) + Re [u, u]
< Re^J [u,u] + ЖЛ|«; L2;a(fi)f. (11)
Поскольку |i/j(x)(7(x) — 7(3^))| < i>, j = 1, N, и v — достаточно малое положительное число, из (11) следует, что
co||u; ^а(П)|2 < Re^J [u,u] (12)
для всех u G V2ra(О).
Введем полуторалинейную форму
¿M\j{u,v}= £ J p2a{x)akij{x)u[k){x)v(~l){x)dx + \ J р2{а-г\х)и{х)фс) dx,
|k|=|l|=ro п
(13)
где äkij(x) = (1 — nj(x))äki(xj) + nj(x)äki(x).
Заметим, что [u, v] = y(xjj[u, v], где Aj = A7-1(xj). Поэтому из
неравенства (12) следует, что при достаточно больших A
2
co||u; V2U(n)|2 < Re(7(xj[u,u]} (14)
для всех u G VJ.a(О).
Не нарушая общности, можно считать, что в условии (4) р > п/2. В силу (4) неравенство (5) будет выполняться также и в том случае, если 7(x) заменить на exp(iö(x)), где 0(x) = min{p — п/2, | arg7(x)|}(sign7(x)). Поэтому из (14) имеем
co||u; V2ra(0)||2 < Re{exp(z6>j)3SXj[u,u]} (15)
для всех u G У2га(0). Здесь и далее 6j = 6(xj), j = 1, N.
Поступая так же, как при доказательстве неравенства (9), находим
№xj[u,v]| < (Mo + |A|)||u; ^а(П)| ■ |v; ^(О)! (16)
для всех u, v G V2ra(0).
На основе неравенств (15), (16), применяя теорему Лакса — Мильграма (см. [4, теорема 2.0.1]), построим оператор
(A) : (^а(П))' - V2;a(0)
такой, что
exp(^- )Mxj Wj (A)F, v] = (F, v) (17)
для всех F € (V2ra(0))' и всех v €
И(A)F; ^(0)|| < Mi||F; (^а(0))'|| (18)
для всех F G (V2ra(0))'. Здесь число Mi не зависит от F и от Л, А > Ао = max А,- и числа Aj такие же, как в (10).
3 = 1,N
Символом Фj■ обозначим оператор умножения на функцию (ж) и введем оператор
N
¿?(A) = £exp(i0j- j- (Л)Ф,-, (19)
j=i
который действует из (^2га(0))' в V2ra(0).
Так как коэффициенты aw(ж) (|k| = |1| = r) ограничены, с помощью неравенства Коши — Буняковского доказывается, что
< Mo|u; VMII ■ ||v; VL(ft)|
£ Р2а{х)аы{х)и{к\х^1){х)г1х |к|.|£|=г О
для всех и, V € У2га(О). Отсюда
|Вд [и, V] | < (М° + А)\\и; ^а(О)\ ■ \Ь ^2;а (О)\\
для всех и, V € У2га(О). Следовательно, оператор М(А), определенный равенством
(М(А)Р» = Вл[^(А)*>], V € ^„(О), (20)
действует из (у£.а{£1))' в (у£.а{£1))'. _
Согласно нашим построениям функции ж), ] = , образуют разбиение единицы области О. Поэтому для всех Р € Ь2(О) и V € ^2га(О) выполняются равенства
N „ N
(F,v) = (F,v) = J F(x)v(x)dx = J2 J <f2j(x)F(x)v(x) dx = ¿(^-F, (21)
о
j=1О j=1
Здесь и далее символом (■, ■) обозначено скалярное произведение в пространстве
¿2(О).
Поскольку ам/(ж) = (1 — п/(ж))аи(ж/) + п/(ж)аи(ж) и функция п/(ж) обращается в единицу в некоторой окрестности множества вирр ^, функции ак/ (ж) и (ж) на множестве вирр^ совпадают. Поэтому из (1), (19) и (20) следует, что
+ ^ J Р2а~2г (х) ((ж)^- (ж)«(ж) ¿ж|. (22) о
Здесь и далее символ обозначает дифференцирование мультииндекса Пусть Р € Ь2(О). В равенстве (17) заменим Р на ^Р, а V — на ^V:
ехр(г0/[^(А)Ф/Р, ^V] = (^Р, ^V),
откуда с учетом равенства (13) вытекает, что F,^j v)
= exp(i6j)< f А)Ф^)(ж)1)г(^(ж)г;(ж)) dx
^ in /I— „•I
\k\,\l\=rl
+ A J p^-r^xji^jiX^jFjix^jixHxjdxy
Суммируя это равенство по j от 1 до N, в силу (21) имеем (F,v) = (F,v)
= £eXp(^)j £ [ p2a{x)aklj{x)Dk{^J{^JF){x)Dl^J{x)v{x))dx
j = l V\k\,\l\=ri
+ А J p2{a-r) (x) Щ (А)Ф,F) (x)(pj (x)v(x) dx J. n
Отсюда и из (22) следует, что
(R(A)F, v) - (F,v) = Ka[F,v| + La[F,v|, (23)
где
N (1) Г / » _
KA[f>] = ]TeXP(^) Ct" I p2a(x)aklj(x)<pf 1 {x)U%x \x)v^(x) dx, (24)
j=1 n
N (2) , _
La[F,v| = £exp(z0j C" p2a(x)akij (xj (x) j) (x)v(l")(x) dx, (25)
j=i n
Здесь символ £(1) обозначает
суммирование по мультииндексам k, Z, k , k та-(2)
ким, что k = k'+k'', k' = 0, |k| = |Z| = r, а символ £( ) обозначает суммирование по мультииндексам k, Z, Z', Z'' таким, что Z = Z' + Z'', Z' = 0, |k| = |Z| = r.
Дальнейшая часть доказательства основной теоремы состоит из оценки правой части равенства (23). Эту оценку сформулируем в виде двух вспомогательных утверждений.
Утверждение 1. Существует положительная функция ш1(А), A > 0, такая, что
|K[F,v|| < ui(A)||F; (V^))'|| ■ ||v; (26)
для всех F G L2(0), v £ V2ra(0), и wi(A) ^ 0 при A ^ ж.
Доказательство. Прежде чем приступить к доказательству утверждения 1, докажем лемму 1.
Лемма 1. Пусть — самосопряженный оператор в пространстве порожденный симметричной формой
1
Г
hj[u,v] = —{exp(i6j)i$\j[u, f] + exp(—i6j)i$\j[v, и]}, (27)
) = ^„(О).
Тогда при А > Ао, где Ао = тах А.,- и А^- — такие же конечные положительные
3 = 1,N
числа, как в (10), для любого мультииндекса к такого, что |к| = г, и любого ] = оператор раИкВхограничен в 1/2(0), а если шультииндекс к такой,
что |/г| < г, то существует положительная функция д(А) такая, что д(А) ^ 0 при А ^ то и
||раОи; ¿2(О)У < д(А)\вЛ/2и; ¿2(О)\ (28)
для всех и € У2Га(О).
Доказательство. По определению оператора ВЛ/ для всех и, V € ^2Га(О) выполняется равенство
(вД/2и,вД/2v) = ^Л/ [«.V]. (29)
Следовательно,
\\вЛ/2и; ¿2(О)\2 = И,е{ехр(г6>/[и, и]} (30)
и в силу неравенства (15)
\\ВЛ/2и; ¿2(О)\ > с°\\и; ^(О^, А > А°, (31)
для всех и € У2Га(О). Тем самым
\\раоки-ь2(Щ\ < М0\\вЦ2и-Ь2(Щ, \к\ = г, 3 = 1^,
что влечет ограниченность оператора раОкВА/1/2.
Рассмотрим случай |/г| < г. Из леммы 2.2 в [8], в частности, следует, что для любого т > 0 и всех и € С0 (О) справедливо неравенство
||рв-Г+тОки; ¿2(О)Ц < т\\и; ^(О)\ + с°т||рв-Ги; ¿2(О)||,
где т = |/г|, ^ = т/(г — то). Обозначая в этом неравенстве в — г + то через а, приходим к неравенству
||раОЧ Ь2(О)|| < т\\и; ¿2;а+г_т(О)\\ + с°т||ра-ти; ¿2(О)|.
Так как г — т > 1 и О — ограниченная область, то рГ-т(ж) < Сд для всех ж € О. Поэтому из полученного неравенства в силу (31) для всех и € ^2Га(О) следует, что
||раОи; ¿2(О)|| < т\\вД/2и; ¿2(О)\ + с°т-^|ра-ти; ¿2(О)||,
где т = |/г| < г, ^ = |&|/(г — |/г|) > 0 и т — произвольное положительное число. Отсюда в силу равенства (30) вытекает, что
||раОи; ¿2(О)|2 < т2 Ие{ехр(^[и, и]} + сдт||ра-ти; ¿2(О)||2.
Заметим, что
т2 Ие{ехр(^л/[и, и]} + сдт||ра-ти; ¿2(О)|2
2(
= т211е| ехр(г%)( £ / р2а(х)акИ (х)и{к'> (ж)г/,« (ж) ¿х
+ а / ^-мм^ *)} + ^р2(а-т) нм^*
о о
<т211е |ехр(^-)^ Е ! р2а{х)а,щ{х)и('к\х)^){х)(],х
+ ) / р2<а-Г>(ж)|»(ж)|2 *
' 1к1?1г1=г о
^ р2(а-г) (
о
где К°(А, т) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию А+сдт-2^-2 < К°(А,т). Поскольку ^ + 1 = г/(г — т), то К°(А, т) ^ 0 при т ^ 0 или А ^ то. Поэтому из полученных выше неравенств при А = 1/т следует, что
||раОк и; ¿2(О)||2
< т211е |ехр(^-)^ £ ! р2а{х)а,щ{х)и('к){х)и(-1){х)(],х
' 1кМг1=г о
+ Р(т) ^Р2(а-Г)(ж)|и(ж)|2 (32)
о
где непрерывная положительная функция р(т) такова, что р(т) ^ то при т ^ 0. Обратную к р(т) функцию обозначим через д и, положив т = д(А) в равенстве (32), получим
||раОк"и; ¿2(О)||2
< д(А)2Ке | ехр(г%)( ^ [ р2а(х)ащ {х)и(>к) (ж)г/,М (ж) ¿ж
+ А / p2(а-r)Cx,|u,x)|2 *)},
о
где непрерывная положительная функция д(А) такова, что д(А) ^ 0 при А ^ то. Отсюда в силу равенства (30) следует (28). Лемма 1 доказана.
Билинейная форма ехр(г0/[и, V] удовлетворяет неравенствам (см. (15), (16)):
с°\\и; У2Га(О)\\2 < И,е{ехр(г6>/[и, и]} (33)
для всех и € У2Га(О),
[и, V]| < (М° + |А|)\\и; *2а(О)\\ ■ ¡V; У2;а(О)\\ (34)
для всех и, V € У2га(О). Числа с°,М° > 0 в этих неравенствах не зависят от и(ж), v(ж).
Согласно (33), (34) билинейная форма ехр(г0,[и, V] замкнута и секто-риальна. Поэтому в силу теоремы 2.1 из [9, гл. 6] существует то-секториальный оператор ла, такой, что
ехр(^- УМХЗ [и,и] = (Лх, и,«), и е Б(ЛХз) С У^П), V е У^). (35)
Пусть / е Ь2(О). Тогда (А)/ е У2га(О) и ввиду равенства (17)
ехр(^- )тХ1 [Я, (А)/, V] = /»
для всех V е У2га(О). Отсюда и из (35) в силу теоремы 2.1 из [9, гл. 6] следует, что ла^-(А)/ = /, / е ¿2(П), т. е.
я, (А)/ = ла/ (36)
для всех / е Ь2(О).
Пусть Б а, — самосопряженный оператор, введенный в лемме 1. Для всех и, V е У2га(О) выполняется равенство
(б^бЦ/ 2v) = ^ [«.V],
откуда при и(ж) = v(ж) с учетом равенства (27) получим
||Б^2и; ¿2(О)|2 = И,е{ехр(г6>,-[и, и]}, А > Ао > 0.
Применяя (15), находим, что
||Б1/2и; ¿2(П)| > О||и; У^^Ц, А > Ао > 0,
для всех и е У2га(О). Отсюда следует обратимость оператора Б^2 при А > Ао > 0. Применяя теорему 3.2 из [9, гл. 6], получим представление
Л-,1 = Б-7/2Х-(А)БА-1/2, А > Ао > 0, (37)
где X, (А) : Ь2(О) ^ Ь2(О) — некоторый ограниченный оператор и его норма ||Х,(А)У не превосходит числа Мд > 0, не зависящего от А е [Ао, те).
Переходим к доказательству оценки (26). Равенство (24) перепишем в виде
N т ' "
КаV] = £ехр(^-) ^ О&" ^ ^а , (38)
где = ] = 1, Ж. Пусть ^ € Используя равенства
(35)-(38), имеем
N (1) '
КаV] = ехр(г0,)О&" (р^-^ )Бк"Л^Ф,
,=1
N (1) '
= Е Е ехр(г0,)Ок" ^ VБ^Х, (А)БА//2Ф,. ,= 1
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем
N (1)
|Ка[*>]| « ££ ЦТк'Ч (а)у,,а ; ¿2(П)У • ||8,-, Бд02 V; Ь2(П)|, (39)
,=1
где
Tk'j (Л) = BA-j1/2, V,A(x) = Xj (A)BA-j1/2(^j F )(ж),
; 1/2 (40)
Докажем неравенство
IIV-a;Ы0)|| < M||F; (^а(0))'||, (41)
которое справедливо при Л > Ло. Пусть Л > Ло. Тогда
||BAj1/2(^j F); ¿2(0) | « |BAof(^j F); ¿2(0)||. (42)
Норму в пространстве L2(0) можно задавать с помощью равенства
If; ¿2(0)1 =sup |(f,v)|, (43)
где супремум берется по всем v G L2(0) таким, что ||v; L2(0)|| = 1. Так как C0°(0) плотно в L2(0), в равенстве (43) можно считать, что супремум берется по всем v G 60°(0) таким, что ||v; L2(0)|| = 1.
При Л = Л0 из (29) имеем (B^u, B^v) = ^Aoj [u, v]. С другой стороны,
2
^Aoj [u,u] > ||u; ^a(0)| ,
^Aoj[u,v]| < (Mo + Ло)|u; ^a(0)| ■ ||v; V^H
для всех u, v G Cq°(0). Поэтому согласно теореме Лакса — Мильграма уравнение
«^Aoj M] = (w,0), 0 G CoTO (0), имеет решение для любого w G L2(0). Следовательно, функцию v G Cg0 (0) в (43) можно представить в виде v = B^jw, т. е.
||f; L2(0)| =sup|(/,BAo?w)|,
111/2 II
где супремум берется по всем w G C^(0) таким, что 11Baojw; L2(0)|| = 1. С другой стороны, в классе C^(0) нормы ^v; V2ra(0)! и ^B^2v; L2(0)^ эквивалентны. Поэтому
HBAofto F); L2(0)| = sup | (B-1j/2(^j- F), w) |
= sup | (Ba^2^F), B^o2v) | « sup |(^jF, v)|
<< Ь"F; (Vr«(0))'|| « ||F; (^а(0))'||, (44)
где первый супремум в этой цепочке берется по всем w G Cq°(0), ||w; L2(0)|| = 1,
1/2
второй супремум — по всем v G C^(0), 11 Bao j w; ¿2(0)|| = 1, а третий супремум — по всем v G C^(0), ||v; V2ra(0)|| = 1. Из (42), (44) следует (41).
Согласно лемме 1 оператор Sj,; = p^D'B-^2 (см. (40)) ограничен, и из (16), (29) следует, что
||B 1ojv; L2(0)||2 = |«#Aoj [v,v]| « ||v; V^f
для всех v £ Поэтому
IISj.iBi/Jv; ¿2(П)| << ||v; (45)
Согласно второй части утверждения леммы 1 существует положительная функция £i(A) такая, что
||paDk' BAj1/21 < £i(A)
и e1(A) ^ 0 при A ^ те. Следовательно, lim ||Tk»j(А)|| = 0 (см. (40)). Ввиду
л—
этого равенства из (39), (41), (45) получим оценку (26). Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Существует положительная функция ш2(А), А > 0, такая, что
L[F,v]| < ^(A)||F; (V^))■ 11v; (46)
для всех F £ L2(Q), v £ V2ra(0), и w2(A) ^ 0 при А ^ те.
Доказательство. Для удобства записи интегралы, составляющие форму Ьл[F, v], обозначим через 1л[F, v].1' Так как (см. (36), (37))
(А) = Aj = Bл-1/2Х^ (A)B—j1/2, А > Ао > 0,
форму 1л [F, v] можно записать в виде
1л [F,v] = (paofey Dk B-j1/2Xj (A)B—F,paj 'd1 "v). Далее введем обозначение
Vj, л (x)= Xj (А)В-//2Ф; F (47)
и, используя равенство D1 v = D1 B-j^B^v, получим
1л [F,v] = (B-fD1 ''j 'p^ßfeij paDk B—//2j ,B1/2v). (48)
Положим
Тогда
Tj, л 0,i" = Okij p>f 'D1' 'Bj
* _ TD — 1/2ПI" fj-1'' rO-n
j,ло,1 ' ' = B лoj D ^j p OkIj
и равенство (48) примет вид
1л[F,v] = (T*j, лo,i''PaDkB—j1/2Vj-^, B 1/2v). Введем обозначение
Pj-.л o,k = pa Dk B—o1/2. Тогда ( )
1л [F,v] = (T* j, »P^o,*B1/J2B—j1/2j Xg v). (49)
Зависимость V] от ,1" в данном контексте несущественна, поэтому в обо-
значении эти символы не используются.
Так как Вл/ — самосопряженный оператор, ассоциированный с формой «^л/[и, V] (см. лемму 1), то
\\(ВД02 + (А — А°)1/2Е)и; ¿2(О)\\2 < 2{\вД02и; ¿2(О)\2 + (А — А°)||и; ЫО)||2} < М°{(вД/2и, вД/2и) + 0/(А — А°)(ра-Ги, ра-Ги)} = м°[«#л„/[и, и] + (А — А°)(р2а-2Г и, и)] = М° [и, и]
= М° (ВД/2и, ВД/2и) = м°\\вД/2и; ¿2(О)\\2. Следовательно, существует число МЛ > 0 такое, что
\\ (ВД„2 + (А — Ао)1/2E)BA_1/2\ < мЛ (50)
при А > А°. Здесь 0/ = Кеехр(г0/).
Используя неравенство (50), из (49) получаем
|1лV]| < М2\\Т%-л„,г"Р/,л„,кВД„2(ВЛ„2 + (А — Ао)1/2Е)-1\\
х ||^-,л;ЫО)|Ь \\вД„2V;¿2(О)\\. (51)
Докажем, что
Ит \\Т*/1л„,г"Р/,л„,квД„2(вД„2 + (А — А°)1/2Е)-1\ = 0. (52)
Используя равенство
ВДЙ (ВД„2 + (А — Ао)1/2Е)-1 = (Е + (А — Ао^^В-Д/2)-1,
имеем
Т*/,л„,г" Р/,л„,к ВД„2 (ВД„2 + (А — А°)1/2Е)-1 = Т(Е + (А — А°)1/2Н)-\ (53)
где Т = Т*/,л„,г"Р/,л„,к, Н = В-/2. Так как |1''| < г — 1, оператор Т/,л„,г» вполне непрерывен. Поэтому из ограниченности оператора Р/,л„,к вытекает вполне непрерывность оператора Т. Далее, применяя лемму 7.1 из [10, гл. 5], из (53) получаем (52).
Из (51) в силу (52) следует, что
№>]| < 5*(А)||^,л; ¿2(О)|| • \\ВД/>; ¿2(О)\, (54)
где (А) ^ 0 при А ^ 0.
Заметим, что (см. (47), (34))
||^,л; ¿2(О)| < ||Х,-(А^ЦВ-/^; ¿2(О) \ << \\Е; (^«(О))'\\,
\\В Д/2V; ¿2(О)\ << \\V; ^*(О)\\.
В силу этих неравенств из (54) вытекает (46). Утверждение 2 доказано.
Применяя неравенства (26), (46), установленные в утверждениях 1 и 2 соответственно, из (23) получим
|<М(А)^» — <*»| < МА) + ^(А))\\Е; (У2Га(О))'\ • \\V; ^а(О)\\
для всех Р £ Ь2(О), V £ У2га(О). Так как ^(А) ^ 0, ш2(А) ^ 0 при А ^ те, существует число Ао > 1 такое, что
|(М(А)Р1, у) — (Р, у) | < ^^(^(О))'!! • ||т;;У2Га(П)|| (55)
для любого А > Ао и всех Р £ Ь2(О), V £ У2га(О). Так как Ь2(О) плотно в (У2га(0))', оценка (55) верна для всех Р £ (У2га(О))'.
Ввиду (55) при А > Ао оператор М(А) имеет вид М(А) = Е + С(А), где норма оператора С(А) : (У2Г а(О))' ^ (^2га(О))' не превосходит 1/2. Поэтому оператор М(А) : ^(О)/ ^ <У2га(О))' непрерывно обратим и М -Х(А) = (Е + <С(А))-
о ^
Оператор (А), определенный равенством (17), действует из (^2а(О))
о
в W2.а(О). Поэтому из (19) следует, что оператор ¿?(А) также действует из (^(О))' в У2га(О). Стало быть, для любого функционала Р £ (^2га(О))' функция и (ж), определенная равенством
и = ^(А)М -1 (А)Р, А > Ао, (56)
принадлежит пространству У2га(О).
Далее будем считать, что А > Ао и Ао —достаточно большое число. Тогда из (20) следует, что Вд[^?(а)м- 1(А)Р, V] = (Р, V) для всех V £ С°(О). Поэтому при А > Ао функция и (ж), определенная равенством (56), удовлетворяет равенству Вд [и, V] = (Р, V), V £ С0 (О). Тем самым функция (56) является решением задачи Од. Так как при А > Ао оператор М- 1(А) ограничен, из (18) и (19) следует, что функция (56) удовлетворяет оценке (6).
Для доказательства единственности решения задачи Од рассмотрим сопряженную задачу: для заданного функционала Р £ (У2га(О)) найти решение и1 £ ^Га(О) уравнения
Вд№] = (Р,v), V £ ^(О). (57)
Так как коэффициенты билинейной формы Вд [V, и1] удовлетворяют условиям теоремы, поступая, как выше, можно построить операторы ¿Й*(А), М*(А) такие, что функция и1 = ¿?*(А)М*(А)- 1Р, А £ [Ао, те), принадлежит пространству У2га(О)) и удовлетворяет уравнению (57).
Пусть функция и £ У2га(О) удовлетворяет равенству
Вд[и, V] = 0, V £ У2Га(О), (58)
где А > Ао = тах{Ао,Ао}. Пусть Р — произвольный элемент пространства (^(О))'. Так как и1 = ¿?*(А)М*(А)-1Р принадлежит пространству У2га(О), в (58) полагая V = и1, получаем Вд [и, и1] = 0, т. е. Вд [и, и1] = 0.
С другой стороны, функция и1 = ¿?*(А)М*(А)-1Р удовлетворяет (57). Поэтому (Р, и) = 0 для всех Р £ У2га(О). Учитывая вложение У2га(О) ^ (^2га(О))' и полагая Р = и, имеем (и, и) = 0, т. е. и = 0.
Теорема доказана полностью.
В заключение авторы выражают свою искреннюю признательность профессору С. А. Исхокову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Исхоков С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Докл. АН. 1995. Т. 342, № 1. С. 20-22.
2. Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107-134.
3. Бойматов К. Х., Седдики К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // Докл. АН. 1997. Т. 352, № 3. С. 295-297.
4. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4-30.
5. Бойматов К. Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 6. С. 1296-1299.
6. Исхоков С. А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 536-542.
7. Бойматов К. Х. О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 46-57.
8. Исхоков С. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 2. С. 201-216.
9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
10. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.
Статья поступила 24 апреля 2014 г.
Гадоев Махмадрахим Гафурович, Константинова Туйаара Петровна Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, политехнический институт (филиал) в г. Мирном ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия) gadoev@rambler.ги
