CC BY
26
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 517.957 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-164-182
О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов
Исхоков Сулаймон Абунасрович — доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН РТ, Зам. директора Института математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан. e-mail: sulaimon@mail.ru
Якушев Илья Анатольевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики Политехнического института (филиала) СевероВосточного федерального университета им. М. К. Аммосова в г. Мирном. e-mail: Yakushevilya@mail.ru
Аннотация
В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле, связанной с интегро-дифференциальной полуторалинейной формой
В[u,v] = £ Bj [u,v], (*)
jeJ
где
П — ограниченная область в евклидовом пространстве Дп с замкнут ой (п — 1)-мерной границей дП, р(х), х € П, — регуляризованное расстояние от точки х € П до дП, к — мультииндекс, и(к)(х) — обобщенная производная мультииндекса к функции и(х), х € П, Ъы(х) — ограниченные в П комплекснозначные функции, .1 С {1, 2, ..., г} и т^, ] € .1, — вещественные числа. Предполагается, что г € J. Вырождение коэффициентов дифференциального оператора, ассоциированного с формой (*), называется согласованным, если существует число а такое, что = а + ] — г при всех ] € J. В противном случае оно называется несогласованным.
Вариационная задача Дирихле, связанная с формой (*), в случае согласованного вырождения коэффициентов хорошо исследована во многих работах, где также предполагается, что форма (*) удовлетворяет условию коэрцитивности. Следует отметить, что случай несогласованного вырождения коэффициентов сопряжен с некоторыми техническими сложностями и рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. В этом случае с помощью теорем вложения пространств дифференцируемых функций со степенными весами выделяются старшие формы В^ [и, у], ] € С J и доказывается, что разрешимость вариационной задачи Дирихле в основном зависит от старших форм.
В работе рассматривается случай несогласованного вырождения коэффициентов исследуемого оператора и, в отличие от ранее опубликованных работ по этому направлению, допускается случай, когда основная форма (*) может не удовлетворять условию коэрцитивности.
Ключевые слова: Вариационная задача Дирихле, эллиптический оператор, несогласованное вырождение, некоэрцитивная форма.
Библиография: 16 названий.
Для цитирования:
С. А. Исхоков, И. А. Якушев. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 164-182.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.
UDC 517.957 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-164-182
On solvability of variational Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic operators
Iskhokov Sulaimon Abuzarovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, corresponding member of the Academy of Sciences RT, deputy director of the Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan. e-mail: sulaimon@mail.ru
Yakushev Ilya Anatolyevich — kandidat of physical and mathematical sciences, associate professor of the department of fundamental and applied mathematics, Mirny Polytechnic Institute, the branch of Ammosov North-Eastern Federal University. e-mail: Yakushevilya@mail.ru
Abstract
The paper is devoted to investigation of unique solvability of the Dirichlet variational problem associated with integro-differential sesquilinear form
В[u,v] = £ Bj [u,v], (*)
jeJ
where
Q — a bounded domain in the euclidian space Rn with a dosed (n — 1)-dimensional boundary dQ, p(x), x G Q, — a regul^ized distance from a point x G Q to dQ, k — a multi-index, u{k)(x) — a generalized derivative of multi-index k of a function u(x), x G Q, bki(x) — bounded in Q complex-valued functions, J C {1, 2, ..., r} mid Tj, j G J, real numbers. It is assumed that r G J. A degeneracy of coefficients of the differential operator associated with the form (*), is said to be coordinated if there exist a number a such that Tj = a + j — r for all j G J. Otherwise it is called uncoordinated.
The variational Dirichlet problem associated with the form (*) in the case of coordinated degeneracy of coefficients is well studied in many papers, where it is also assumed that the form (*) satisfies a coercivness condition. It should be mentioned that the case of uncoordinated degeneracy of the coefficients is fraught with some technical complexities and it was only-considered in some separate papers. In this case with the aid of embedding theorems for spaces of differentiable functions with power weights leading forms Bj[u, v], j G J2 C J, are separated and it is proved that solvability of the variational Dirichlet problem is generally depends on the leading forms.
We consider the case of uncoordinated degeneracy of coefficients of the operator under investigation and, in contrast to previously published works on this direction, it is allowed that the main form (*) does not obey coerciveness condition.
Keywords: Variational Dirichlet problem, elliptic operator, uncoordinated degeneration, noncoercive form
Bibliography: 16 titles.
For citation:
S. A. Iskhokov, I. A. Yakushev. 2018, "On solvability of variational Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic operators", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 164-182.
1. Введение
Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе области.
Пусть Кп — п-мерное евклидово пространство точек х = (х\, ..., хп) и П — ограниченная область в Кп с замкнут ой (п — 1)-мерной грани цей д П. Символ ом р(х) обозначим положительную функцию класса С<Х(П) со следующими свойствами
р(х) < ёиф, 9П} < Мр(х), \р(к)(х)\ < Мкр1-1к1(х),
для любого х € П и любого мультииндекса к = (к\, к2, • • • , кп); М, — некоторые положительные постоянные и \к\ = к\ + к2 + • • • + кп — длина мультииндекса к.
Пусть г — натуральное число и .] — некоторое подмножество множества {0, 1,... ,г}, причем г € Р Пусть т^, ] € ■], — вещественные числа. Рассмотрим дифференциальный оператор
Ци]= ^ (—1) (р(х)2т>Ък1(х)и(к)(х)){1) , (1)
П
ты (х), х € П, являются ограниченными комплекснозначными функциями.
Определение 1. Вырождение коэффициентов оператора (1) называется согласованным, если существует число а такое, что т^ = а + ] — г при всех ] € ■]. В противном случае оно называется несогласованным.
Вариационная задача Дирихле для оператора (1) в случае согласованного вырождения коэффициентов хорошо исследована в работах [1] - [13]. Случай несогласованного вырождения коэффициентов рассмотрен только в работе [14].
При этом только в работах [9, 10, 11, 12] рассмотрен случай, когда связанная с оператором (1) интегро-дифференциальная полуторалинейная форма
В[и,ь]=^ Р(х)2^Ък1(х)и(к\х) у(1)(х)йх (2)
|k|=|l|=j€JJ п
не является коэрцитивной. Здесь и далее понятие коэрцитивности формы понимается в смысле определения 2.0.1 работы [7]: если Но — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, -)о и нормой У • ||о, Н+ — другое гильбертово пространство с нормой У • || + , плотно вложенное в Но, то определенная в Н+ полуторалинейная форма Р[и, V] называется Д+-коэрцитивпой относительно Но, если найдутся числа ^о € К, 5о > 0 такие, что
КеР[и, и] + №|Н|2 > ¿о|М| +
для всех и € Н+.
В настоящей работе исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле, связанной с оператором (1) в случае несогласованности вырождения его коэффициентов и некоэрцитив-ности формы (2).
2. Формулировка основных результатов
Пусть ] — натуральное, а^, р^ — вещественные ч исла и 1 < р^ < ж. Символ ом Wpj (О) обозначим пространство функций и(х), определенных на О, имеющих все обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные и(к (х) порядка ] с конечной нормой
Ум; W*..а.(П)|| = \ V / рР*а*(x)lu(k)(x)lpidx + [ lu(x)lP*dx 3. * l|k|=>
Полуторалинейную форму (2) представим в виде
1/Р 3
В[и,у] = ^2 взIй, у], вз[и,у]= ^^ р(х)2^Ък1 (х)и(к)(х) у(1)(х)(1х. зе л |к|=|г
Определение 2. Пусть ¿о — наименьший ненулевой элемент множества 3. Если > ¿о,
то через ,]0 обозначим наибольшее число из множества 3 такое, что ,]0 — > г0 — ъ0. В случае т%0 < г0 через ,]0 обозначим наибольшее число из множества 3 такое, что т^ > т^0г0Ц0. Если же такое число jо € 3 не существует, то обозначим 10 через ¿0- Пусть — наименьший ненулевой элемент множества 3 \ {г0, ]0}. Если п1 > и, то через ]1 обозначим наибольшее число из множества 3 такое, что ]1 —т^ > г1 —т^. В случае т^ < г1 через ,]1 обозначим наибольшее число из множества 3 такое, что т^ > т^г\Ц1. Если же такое число ]1 € 3 \ {г0, ]0} не существует, то обозначим г 1 через Продолжая этот процесс до завершения, представим множество индексов 3 в виде 3 = 31 и 32, 31 П 32 = 0, где 31 = {г0, %1, ..., ц}, 32 = {.]0, .]1, ..., Полуторалинейные формы В^ [и, и] с индексами из множества 32 назовем старшими. Вводим пространство М+ комплекснозначных функций и(х), х € Ос конечной нормой
( * .. 21 1/2 \\щ М+1| = 1^ \\щ (О) . (3)
I т=0 )
Символом М+ обозначим замы каппе С^(О) в метрике простра нства М+, а тер ез М'_ обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов, определенных на М+ со следующей нормой
II р• М' || =чип 1 < ^ и > 1 \\и• М+\\
где верхняя грань берется по всем ненулевым функциям и € М+. Здесь и далее символом < Р, и > обозначено значение функционала Р на функцию и. Обозначим через (■, -)0 скалярное произведение в Ь2(О).
Задача Для заданного функционала Р € М'_ требуется найти решение и(х) уравнения
В[и, V] + Х(и, у)0 =<Р,У> УУ € С0?(О), (4)
принадлежащее пространству М+.
Для каждого т € {0, 1,..., §} вводим функцию
ьзт )= аы(х)(к(I,
1к1=Щ=т
где х £ Q и ( = {(k}|k|=jm — набор комплексных чисел.
Далее будем считать, что функция argz принимает значения на отрезке (-п, к].
Теорема 1. Пусть числа т3, ] € 3, такие, что
т3 > —1/2; шахЦ — т3) > 0. (5)
Пусть т € {0, 1,..., в} и найдутся числа <рт € (0,^), М > 0 и отличны от, нуля в П функция ^т(х) € С(П) т,акие, что выполняются следующие неравенства
1агё (х,С)\ <Vm, (6)
£ К*\2 < МКе {7т(х)Ь3т(х,С)} (7)
|k|=jm
для всех х € П и любого набора комплексных чисел ( = }|^|=^т-
Тогда, найдется число Ао > 0 такое, что при А > Ло для любого заданного функционала, Р € Н_ существует единственное решение и(х) задач,и и при этом справедлива оценка,
Ци;Н+||< Мо ;Н_|| , (8)
где число Мо не зависит, от, А € [Ао, то) и от, функционала, Р.
Решение задачи принадлежит пространству Н+, в котором плотно множество финитных функций. Поэтому, формально, можно считать, что решение задачи удовлетворяет однородным граничным условиям. Далее мы исследуем разрешимость следующей задачи с неоднородными граничными условиями.
Задача ©д. Для заданного функционала Р € Н'_ и заданной функции П\(х) € Н+ требуется найти решение и(х) уравнения (4), принадлежащее пространству Н+ и удовлетворяющее условию
и(х) — Иг(х) € Н+. (9)
Условие (9) означает, что решение и (х) задач и Вд принимает па гр апице д П области П те же значения, что и заданная функция и\(х).
Теорема 2. Пусть выполнены, все условия теоремы 1. Тогда, существует число Ао > 0 такое, что при А > Ао для любого заданного функционала, Р € Н_ и любой заданной функции иг(х) € Н+ задач,и В\ имеет единственное решение и(х). Это решение удовлетворяет оценке
Ци; Н+|| < (Мг + X) ЦЩ; Н+|| + Мг ; Н_|| , (10)
где число Мг не зависит от, А € [Ао, то) и от, выбора, функц ионала, Р и функции иг(х).
3. Доказательство теоремы 1
Далее нам понадобится следующая вспомогательная лемма.
Лемма 1. Пусть р € [1, то), гг > г2 > 0 аг, а2 — действительные числа, больше (-1/р). Пусть г г — аг > г2 — а2 пр и а2 > г2 и а2 > агг2/гг, г2 > 0 пр и а2 < г2. Тогда, для, любого числа, е найдется постоянная С = С(е) такая, что для всех и € (П) справедлива оценка,
Ци; Ш;?а2(П)||< е\\и; ^ (П)|| + С(е)Ци; ЬР(П)Ц. (11)
Доказательство. Если выполняется одно из следующих условий:
1) гг — аг > Г2 — а2\
2) (12 > агг2/гг, Г2 > 0,
то неравенство (11) имеет место в силу [7, теорема 1.1.7]. Далее для доказательства леммы 1 достаточно заметить, что в случае а2 > т2 условие 2) слабее условия 1), а в случае а2 < г2 условие 1) слабее условия 2).
Согласно определения 2 для любого ИНД6КСЕ ^ £ {0, 1, . . . , ~Ъ} нз^дет'СЯ ИНД6КС ]т, т £ {0, 1, ..., такой, что ]т — > гп — при Тгп > гп ИЛИ Тгп > Tjm 1п/]т При > %п. Поэтому применяя лемму 1, имеем
и; (0) < ей; (0) + С (е) ||и; Ь2(0)Ц .
(12)
Замечание 1. Не ограничивая общности, можно считать, что числа и функции 7т(х) в условиях (6), (7) не зависят от т. Поэтому далее будем считать, что
(ро = <Р1 = ••• = <р8 = V, Ъ(х) = ъ(х) = ••• = Ъ(%) = 1(х), х £ 0.
Пусть V — достаточно малое положительное число и пусть фг (х), г]г (х) £ Сгх'(0) (г = 1, N) такие, что:
&)'ф2(х)+ Ф2(х) + ••• + (х) = 1 (х £ 0);
б) функция цг (х) обращается в единицу в некоторой окрестности множества вирр фг (х) и 0 < < 1 для всех х £ 0;
в) 1^(х) — ч(у)1 < V для всех х, у £ вир(г = 1,М). Рассмотрим полуторалинейную форму
В(0)[и,у]= £ В^^щу], В^[и,у\ = £ I р2Т> (х)Ъ^(х)и(к)(х)у(1 )(х)йх, (13) je л ' |к|=Ш=?
где
Ьк°г (х) = (1 — Цг (х))1 (ХГ )Ьк1 (хг ) + яГ (х)^(х)Ък1 (х).
(14)
Учитывая ограниченность коэффициентов Ьы(х), |й| = Щ = ] £ ■], х £ 0, и применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем
В(0)[и,у]
<
<
М2 £ ЦЩ (0)Н • 1«; (0)1 + М2 £ Ни; ^ (0)Н • Ци; ^ (0)Н
т=0
т=0
для всех и,у £ Со°°(0). Отсюда в силу неравенства (12) и определения пространства Н+ (см. (3)) следует, что
в(0)[и,у]\< Мз Ни; Н+Н Ни; н+Н (15)
для всех и,у £ Н+.
Из условия (7) (см. замечание 1) следует, что
Ые I 7(хг) Ьа(Хг)^кСI } > с I2,
|к| = К|=?т
|к| = „
Ые I 7(х) ^ Ьк1 (х)(к(1 \ > с ^ IСк|2
|к|=|г|=т
|к|= „
для всех г = 1,И, х € Пи любого набора комплексы ых чисел {^ }\k\=jm■ Умножая эти неравенства на (1 — г]г(ж)) и г]г(х), соответственно, и подставляя (к = рт^т (х)и(к\х), где и € Со°(П), после интегрирования по ж € П имеем
Re^°jm [и, и] > cjm и; Lf (П)
(16)
1/2
и; Ll? (П)
Здесь с Зт — некоторое положительное число,
£ ^ \и(к)(х)\2с1х\ . (17)
к\=3т )
Далее учитывая ограниченность коэффициентов формы (13), в силу неравенства (16) получим
ВвВ(о) [и, и] Же ^ В^ [и, и] — ^ |^о]т [и, и] > т=о т=о
в 2 1 ^ с,т и; Ь^ (П) — £ Мц т=о
Неравенство (12) можно записать в виде
т=°
и; 4m(П) (и е С£°(П)). (18)
и; ЩТгп (П) < е и; Ь^ (П) + С(е) Ци; Ь2(П)||2 .
В силу этого неравенства из (18) следует, что
5 2
КеВ(о)[и, и] > £ {с3т — М'те) и; Ь^(П) — С(е) Ци; ^Ш2 .
т=о
Подбирая в этом неравенстве число е > 0 достаточно малым, получим
2
ЫеБ^М + Ло Ци; Ь2(П)Ц2 > ^ 53т и; т(П) > ко Ци; Н+Ц2
т=о
где Хо, ко — некоторые положительные числа. Теперь рассмотрим полуторалинейную форму
(19)
B(r°)[u, v]= V [ р2т>(х)ЬЫг(x)u,(k)(x)v(l)(x)dx
I, I rn rJn
|k|=|z|=je J
где bkir(x) = [(1 - r]r(x))bki(xr) + Vr(x)bki(x)]7(xr).
Так как b^(x) — bkir(x) = r]r(x)(j(x) — j(xr))bki(x) и коэффициенты bki(x) ограничены, то, действуя так же как в доказательстве неравенства (15), с помощью неравенства Коши-Буняков-ского получим
1В(г°)[и, v] — B(r°)[u, v]l<M4 Л Ци; H+Ц \\v; H+Ц
для всех u,v е H+. Здесь Л = sup lr]r (x)(^r (x) — 7 (xr ))|, где супремум берется по всем x е Пи всем г = 1, N. В силу этого неравенства из (19) следует, что
к° Ци; H+ Ц2 <ReBi°)[u, и] + Х° Ци; Ь2(П)Ц2 +Л Ци; H+Ц2 .
2
2
2
Так как (х)(7(х) — 7(хг))| <и Уг € {1, 2,..., N} и V— достаточно малое положительное число, то, фиксируя некоторое значение V, имеем
ЫеВ(0)[и, и] + Хо ||и; ЫШ2 > кг ||и; Н+||2 (20)
для всех и € Ы+; к\ — некоторое положительное число. Вводим следующую полуторалинейную форму
Вг[и, ь]= ^ [ р2т1 (х)Ъыг(х)и(к)(х)у(1)(х)йх, (21)
|k|=|l|=je з-' п
где Ък1Г(х) = (1 — ~Пг(х))Ъы(хг) + Цг(х)Ьы(х).
Заметим, что В(г°^[и, у] = ^(хг)ВГ[и, у]. Поэтому из неравенства (20) следует, что
Ые{7(хг)ВГ[и, и]} + Хо ||и; Ь2(П)Ц2 > к Ни,; Н+||2 (22)
для всех и £ H+.
Не нарушая общности, можно считать, что число р = рт (см. замечание 1) в условии (6) такое, что р > ж/2.
В силу (6) неравенство (7) будет выполняться также и в том случае, если j(x) = Jm(%) (см. замечание 1) заменить на ехр(г0(ж)), где д(х) = min [р — ж/2, |arg7(ж)|} (sign arg 7(х)). Поэтому из неравенства (22) следует, что
Re[exp(i0r)ВГ[и, и]} + Хо Ци; Ь2(П)\\2 > к Ни; H+||2 (23)
для всех и £ H+; к — некоторое положительное число. Здесь и далее 6r = 0(xr), г £ [1, 2,..., N}.
Поступая также, как в доказательстве неравенства (15), ввиду ограниченности коэффициентов bkir доказывается неравенство
|Вг[и, и]| < м5 Ни; H+НН^; H+Н
для всех u,v £ H+. Так как
1(и, и)о| < Ни; Ь2(Щ Ни; ¿2^)Н < Ни; H+Н Н^; H+Н , то отсюда следует, что
|Вг[и, у] + Хо(и, у)о| < (М5 + Хо) Ни; H+Н Ни; H+Н (24)
для всех u,v £ H+; М5 — некоторое положительное число.
Неравенства (23), (24) позволяют нам применить теорему Лакса-Мильграма [7, теорема 2.0.1]. Согласно этой теореме существует оператор Kr(X) : H'_ ^ H+ такой, что:
exp(idr )Br [Kr (X)F,v] + (Kr (X)F,v)0 = {F,v} (25)
для всех F £ H_ и всех v £ H+;
НК(X)F; H+Н < M6 ||F; H_ || (26)
для всех F £ H'_. Здесь Л > Ао и число Mß не зависит от F и от А.
Символом обозначим оператор vмножения на функцию фr (х) и введем оператор
N
K(X) = ^ exp(idr )^r Kr (X)^r. (27)
r=1
Из (26) следует, что X) является ограниченным оператором, действующим из Н'_ в Ы+. Аналогично неравенству (15) доказывается, что
Щи, < М7 £|и; Т](П)| \\ь; Т](П)| < М8 \\и; Н+|| Цг;; Н+\\. зе з
Отсюда и из ограниченности оператора X) : Н_ ^ Н+ следует, что оператор М( X), X > Х0, определенный равенством
(М( X) Р, у) = В[К(Х)Р, V] + Х (Я(Х)Г, ь)0 (Уу е Н+), (28)
есть ограниченный оператор, действующий из Н'_ в Н'_.
Согласно нашим построениям функции ^(х), г = 1,М, образуют разбиение единицы области П. Поэтому для всех Р е Ь2(П) и всех и е Н+ выполняются следующие равенства
г N г N
{Р, V) = (Р, и)о = Р(х)уЩ(1х = V ф2(х)Р(х)уЩ(1х = У^(фгР, фг)о. (29)
ЗП г=1
Так как bkir(х) = (1 — rjj(х))bki(хг) + rjr(х)bki(х) и фупкция т]г(х) обращается в единицу в некоторой окрестности множества supp фг, то функции bkiг(х) и bki (х) на множестве supp фг совпадают. Поэтому из (2), (27) и (28) следует, что
{R( X)F, v) =
= exp(idr)| У f р2т>(х)bklr(х) Dk(фгRr( X)^rF)(х)у(1)(х)йх
r=i i|k|=|«|=jeJ 0
+ X J (Rr (X)^rF)(х)Фг(х)и(х)dх| (30)
Здесь и далее символ Dk обозначает дифференцирование мультииндекса к. Пусть F £ L2(Q)■ В равенстве (25) заменим F на фг-F, a v — на фгу.
exp(i0r)Br [Rr(X)^rF, Фгv] + X (Rr(X)^rF^rv)0 = ^rF^rv)0.
Отсюда в силу равенства (18) следует, что
(фrF, ФгV)о =
= exp(i9r) < ^ J p2rj(х)bkiг(х) Dk(Rr(X)^rF)(х)&(фг(х)ь(х))<х +
|k|=|z|=je J
+ X (Rr (X)^rF )(х)фг (х)у(х)<х Jo )
.
Суммируя это равенство по г от 1 до N и применяя равенство (29) имеем {F, v) = (F, v)c =
= У exp(idr)| ^ J p2Tj(х)bkir(х)Dk(Rr(X)^rF)^)Dl(фг(х)ь(х))<х +
r=1 I|k|=|i|=je J'
+ XJ (Rr(X^r-F)^^(х)и(х)<хj
Отсюда и из (30) следует, что
{Щ\)Р,у) — № V) = §Х[Р, у] + Т у], (31)
где
N т , _
§ \[Р, V] = ' ск' Р2т' (х)Ьк1г(х)ф(к')(х)и{г,к^) (х)у(1 )(х)йх, (32)
3 г=1 3
Тх[Е,ь] = вхфвг) ^2 СГ [ р2т>(х)Ък1Г(х^^Р^П^х, (33)
зг=1 3
иг,х(х) = (Кг(\)ъг^)(х), г € {1,2,..., N}.
Здесь символ обозначает суммирование по мультииндексам к, I, к', к'' таким, что
_(2)
к = к' + к!', к! = 0, Щ = |£| = ^ а символ ) обозначает суммирование по мультииндексам к, I, I', ¿''таким, что I = I' +1", I' = 0, Щ = |/| =
Ниже доказывается, что при А > А^, где Ао — некоторое большое число, для всех Р € Ь2(&), V € Н+ выполняются следующие неравенства
|§ х[р,у^< 5г(X) ; Н_|| Н+Н , (34)
|ТА[^, и]| < 52(Х) ; Н_|| Ни; Н+Н, (35)
где положительные функции 5^\), г = 1, 2, такие, что 5^Х) ^ 0 при А ^ те. Доказательство неравенства (34). Далее нам понадобится следующая Лемма 2. Пусть В\г — самосопряженный оператор в пространстве Ь2(0), порожденный симметричной формой
В\г [и,у] )Вг [и,у] + ехр(—19г)Вг [и,-и] | + А сов 9г (и, у)0, (36)
в(ВГг) = Н+.
Тогда при А > Х0, где А0 — некоторое положительное число, для любого мультииндекса к такого, что Щ = ] € 3, и любого г = 1, N оператор рТз ИкВ_12 является ограниченным оператором в Ь2(0), а, если мультииндекс к такой, что |А;| < ] € 3, то существует положительная функция д(Х) такая, что д(Х) ^ 0 при А ^ те и
^Ц^и; ¿2(П)| < д(твЦ2и; Ь2(П)Ц (37)
для всех и € Н+
Доказательство. По определению оператора В\г для всех и, у € Н+ выполняется равенство
(в^щВ1/^^ = ВХг [и, у]. (38)
Следовательно,
НВ^щ Ь2(П) Н2 = Яе {ехр(гвг)Вг[и, и]} + АН«; Ь2(П) Ц2 (39)
и в силу неравенства (23)
Нв1Г2и; Ь2(Щ> соЦи; Н+Н (А > Ао) (40)
для всех и € Н+. Отсюда следует, что
р]Вкщ Ь2(П) < м9ЦвЦ2щ Ь2(П)Ц, (Щ = 3, г = т;й,и € Н+).
Отсюда следует ограниченность оператора рт^ ИкВ_/2.
Рассмотрим случай |й| < ] е ■. Применяя лемму 1 имеем
рт^О~ки; ¿2(П)| < £\\и;Ш11 Т] (П)\\ + С(е) \\щ Ь2(П)\\ ,
где е — произвольное положительное число и величина С(е) неограниченно растет при е ^ 0. Поэтому в силу (40) для всех и е Н+ имеет место неравенство
\р^Б^и; Ь2(П)\\ < е\\В1х/г2и;Ь2(П)\ +С(е) \\и; Ь2(П)\\ .
Применяя равенство (39) имеем
2
рт^Оки; Ь2(П) < £2Ке [ехр(1 9/ )В/ [и,и]} + (X2 + С^Ци; Ь2(Щ2. Отсюда и из (21) при X = 1/е следует, что
рт^Бки; Ь2(П)
<
< £2Ке
ехр(г9/) I ^ р2тз (х)Ьк1/(х)и(к)(х)и(1)(х)с1х\ > + \|кН*И'е з]п ) )
+ р(е) 1и(х)12йх, зп
где непрерывная положительная функция р(£) такова, что р(£) ^ то при е ^ 0. Обратную относительно р(£) функцию обозначим через д, и положив е = д(\) в последнем неравенстве, получим
рт^Бки; Ь2(П)
<
< д( \)2Ке < ехр(19/) I ^ (х) Ьк1/(х)и{к)(х)и(1)(х)йх\\ +
М=щ=е з
+ ^ / 1и(х)12йх, зп
где непрерывная положительная функция д(X) такая, что д(X) ^ 0 при X ^ то. Отсюда в силу равенства (39) следует (37). Лемма 2 доказана.
При X > X0 билинейная форма ехр(г9/)В/[и, у] удовлетворяет неравенствам (см. (23), (24)):
кз\\и; Н+\\2 < Ие |ехр(г )В/ [и,и]} + X \\и; Ь2(П)\\
для всех и е Н+;
1В/[и, v]+X(и, ь)оI < (Мз + 1X1 )\\и; Н+\\ ■ \\ь; Н+\\
(41)
(42)
для всех и, V е Ы+. Числа К2, Мз > 0 в этих неравенствах не зависят от и(х), и(х).
Согласно неравенствам (41), (42) билинейная форма ехр( г9/)В/[и, у] + X(и, у)о замкнута и секториальна. Поэтому в силу [15, гл. 6, теорема 2.1] существует такой т - секториальный оператор А/ (X), что
ехр(г9/)В/[и, ь] + X(и, ь)о = (А/(X)и, ь) (Уи е В(А/(X)) С Н+, Уь е Н+) . (43)
2
2
Пусть / € Ь2(П). Тогда Кг(X)/ € Н+ и согласно равенству (25) ехр(1вг)В г [К (Х)/,у]+ X (К (Х)/,у)о = {/,У)
для всех V € Н+. Отсюда и из (43) в силу [15, гл. 6, теорема 2.1] следует, что Аг(Х)Кг(X)/ = f, V/ € Ь2(П), то есть
Кг (X)/ = Аг (Л)_7 (44)
для всех f € Ь2(П).
Используя равенство (38) при и,(х) = ь(х) с учетом равенства (36) получим
в{/2и;Ь2(П) =Ее{ехр(г0г)Вг[и,и]} + X Ци; Ь2(П)Ц (X > Хо > 0). Отсюда в силу неравенства (23) следует, что
вА/2 и;Ь2(П)Ц > К2 Ни; Н+Н (А > Ао > 0)
1 /2
для всех и € Н+. Отсюда следует обратимость оператора Вх'г при А > Ао > 0. Применяя [15, гл. 6, теорема 3.2 ], получим представление
Аг(А)_г = В_/2Хг(Х)В_!/2 (X >Хо > 0), (45)
где Хг(А) : р2(П) ^ р2(П) — некоторый ограниченный оператор и его норма ЦХг(А)Н не
превосходит числа Мг > 0, не зависящего от А € [Ао, те).
Переходим к доказательству оценки (34). С этой целью равенство (32) перепишем в виде
N
§а[ Р, у] = ££ехр(гдг) ^ (р^ЬЫгФР), Рт>ь(1)) , (46)
г=1
где иг,\(х) = (Кг(Х)*гР)(х), г € {1, 2,..., N}. Пусть Р € Ь2(П). Используя равенства (43) (46), имеем
N
§х[Р, V] = ЕЕЕ- ехр(г0г )Ср(рЪ Ъ^Р Ок" Аг (Х)-1*^, =
¿ез г=г
N (1)
= Е Е Е ■ ) ехр^0г)С%'(рЪЪк1гф(к')Пк''в_!/2Хг(Х)В_!/2*гР, рт^
зез г=г
Применяя неравенство Коши - Буняковского, получаем
N
|§а[ ^>]| < Мго ЕЕЕ( ) (Х)¥г,\; Ь2(П)Ц ■ Р^вА/Цу;Ь2(П) , (47)
зез г=г
где
®к«,гЛX) = рт'Ок"вА!/2, ^г,А(х) = Хг(Х)ВА!/2(ФгР)(х), Р,г,3 = РТ]О1ВА!12. (48)
Докажем, что при А > Ао справедливо неравенство
Н^г,А;Ь2(П)Н<Мп ; Н'_ | . (49)
< М12
В_!2(Ф/Р );Ь2(П)
Пусть X > X0. Тогда
\\^/,х;Ь2(Щ < М[2 \\в^/1/2(ф/Р);Ь2(П) Норму в пространстве Ь2 (П) можно задавать с помощью равенства
\\¡;Ь2(П)\\ =тр |( ¡, у)о I,
(50)
(51)
где супремум берется по всем и е Ь2(П) таким, что \\ь;Ь2(П)\\ = 1. Так как С^(П) плотно в Ь2(П), то в равенстве (51) можно считать, что супремум берется по всем и е С^°(П), таким, что \\V; Ь2(П)\\ = 1.
При X = X0 го равенство (38) имеем (^В-^и, В—^у^ = В\0т[и, у].
С другой стороны
В,еВ-0/[и, и] > щ \\и; Н+ \\2 , В-03[и, V] | < (М13 + Xо) \\и; Ш+\\-\\ь; Н+\\ для всех и, у е С§°(П) и согласно теореме Лакса - Мильграма, уравнение
В-0/[и,у] = (ш,у) У?еС^(П) имеет решение для любого и> е Ь2(П). Поэтому из (51) следует, что
\\¡;Ь2(П)\\ =ыр1(В1/22 /,В1/2^)(
1/2
где супремум берется по всем ш е С^°(П) таким, что В1 ш; Ь2(П)
=1
1/2
классе Сц°(П) нормы \\г>;Ы+Ц и В^.у;Ь2(П)
эквивалентны. Поэтому
В-1/2(Ф/Р );ЫП)
= 8Ир
(ф/Р,В1/2у
<
< М14 вир 1(ф/Р, V) | < М15 \\ф/Р; Ы_\\ < М16 \\Р; Ы_ \\ , (52)
=1
1/2
где первый супремум в этой цепочке берется по всем V е С0ю(П) таким, что В-/^ш; Ь2(П) а второй супремум — по всем V е С^°(П) : \\V; Ы+\\ = 1. Из (50), (52) следует (49).
Согласно лемме 2 оператор (см. (48)) Р^^^ = рТз И1В- 12 является ограниченным, и из (24) (38) следует, что
В-/2у;Ь2(П) 2 = ^/[V, у]КМП \\у; Ы+\\2
е Ы+
Р ^В-[2у ;Ь2(П) <\\г;; Ы+\\
(53)
Согласно второй части утверждения леммы 2 существует положительная функция е1(X) такая, что
р^пк''В-Хг1/2
< £1(X)
и е1(X) ^ 0 при X ^ то. Следовательно, (см. (48)) |\Юк'':7(X)\ = 0. Ввиду этого равен-
ства из (47), (49), (53) получим оценку (34).
о
Доказательство неравенства (35). Для удобства записи интегралы составляющие форму ТА[ Р, и] обозначим ч ерез [Р, у}1. Согласно равенствам (44), (45)
Кг (х) = Л (Л) = вАг1/2Хг (х)в--/2 (х >\о > 0).
Поэтому
Яау-[?, V] = (рт>ьЫгВквА1/2Хг(\)ВАг1/2*гР, Рт>41']о1".
— 1/2
Далее, исполь3уя обозначение (см. (48)) Fг,А(ж) = Хг(Х)Ва1Г 1 и равенство
ПОЛУЧИМ
Обозначим
1-у-[ р, V] = (в-Ц2^^*)р^ Ък1грТ]ОкВАг/2¥г,а, В-/2У)о . Чг,А0,1" = Ьк1гРт>41' )я1"в-\/2.
Тогда
Ь*3,г,А0,1" = В-Ц2^"^)РТ] Ък1г и равенство (54) примет следующий вид
1-у [р, V] = (ь*3,г-о,1"Р'
~зПкВ_1/2¥ X В1/2у
и пАг ^Ч-, пА0ги
1/2
Вводя обозначение Gjг—0,к = рт?БкВА 12, имеем
I-;, [ Р, У] = (Ь%-г,-0
j,г,А0,l"<&1,г,А0,кП-0гПАг *г,А, О-^.
1/2 1/2
в!/:В_:/2¥г.А, в!/у
1/2
Так как В-г — самосопряженный оператор, ассоциированный с формой ВАг [и, у] (см. лемму 2), то
(54)
(55)
(В-2 + (Х — Хо)1/2Р) и; ЫП)
<
2
{
В-^щ Ь2(П) + (Х — Хо) Ни; Ь2(П)Ц^ < < Мг8{ [В-/2и, В-2и) + в'г (X — Хо) (и, и)о} =
= МХ 8
В-0г [и, и] + в'г (X — Хо) (и, и)о
= Мг8В-г[и,и] = Мг8 (в-/2и, В-^и^ = Мх8 Цв-^и; Ь2(П)
где в'г = 11еехр(г9г). Следовательно, существует число М\8 > 0 такое, что
< Мх8 (X > Хо).
(В-2 + (Х — Хо)1/2Р)В
1/2 Аг
1 Зависимость и] от г, к, 1,1', I" в данном контексте не существенны, поэтому в обозначении эти сим-
волы не используются.
о
2
2
2
В силу этого неравенства из (55) следует, что
|1-;АР, V]| < М19
1
Ь*1,/,—о,1''<3,/—о,кВ—/// (в-о2 + ^ - ^^Е)
х\Е/,—;Ь2(П)\\■ В-/У ;Ь2(П)
Ниже докажем, что
Нш
—^го
Используя равенство
Ь*з,/,—0,1''<&],/,—0, кВ—/2/ (уВ—/2г. + ^ — Хо)1/2Е^
_1
В1/2 В1 В- В-
0.
1
(56)
(57)
имеем
где
В2 + (X -Xо)1/2E) _ =(Е + (X -Xо)1/2В_1J2) _ Ь3,гМ,1"О3,/,—0,кВ—£ (в—!2 + (X — Xо)1/2E) _ = А (Е + (X — Xо)1/2H^ _ , (58)
А = Т* 3,/,—0,1" о, к, н = В
_ 1/2 - .
Так как 11"| < ] — 1, то итератор Ь 0,[« вполне непрерывен. Поэтому из ограниченности оператора С.,-,.,.,—0,к следует вполне непрерывность оператора А. Далее, применяя [16, гл. 5, лемма 7.1], из (58) получаем (57).
Из (56) в силу соотношения (57) следует, что
ЫР, *>]| < б3(X) \К,—; Ь2(П)\\ ■ В—//у; Ь2(П)
(59)
где 53(X) ^ 0 при X ^ 0.
Далее заметим, что (см. (42), (48))
,—; Ь2(П)\\ < \\Х/(X)Ц В^Ч/Р; Ь2(П)
< М12 \\Р; Ы'_|
В—/2у; ¿2(П)\ <М2о \\у; Ы+\\. В силу этих неравенств из (59) следует (35).
Теперь, используя доказанные выше неравенства (34), (35), продолжим доказательство теоремы 1. В силу этих неравенств из (31) следует, что
|{М( X)Р, V) — {Р, < (5г(\)+ б2(X)) \\Р; Ы_\\ ■ \\г;; Ы+\\
для всех Р е Ь2(П), V е Ы+. Так как ^ 0, 52(X) ^ 0 при X ^ то, то существует число X0 > 1 такое, что
|{М( X)Р, V) — {Р, у)К 2 \\Р; Ы_\\ ■ \\г;; Ы+\\ (60)
для любого X > Xо и всех Р е Ь2(П), V е Ы+. Так как Ь2(П) плотно в Ы'_, то оценка (60) верна для всех Р е Ы'_.
Из оценки (60) следует, что при X > Xо оператор М^) представляется в виде М^) = = Е + Р^), где норма оператора P(X) : Ы'_ ^ Ы'_ не превосходит 1/2. Поэтому оператор : Ы'_ ^ Ы'_ непрерывно обратим и М_1( X) = ( Е + Р( X))_1.
Оператор X), определенный равенством (25), действует из Н'_ в Н+. Поэтому из (27) следует, что оператор X) также действует из Н'_ в Н+. Следовательно, для любого функционала Р £ Н'_ функция и(х), определенная равенством
и = ЩХ)Ш-1(Х)Р (Х >Хо), (61)
принадлежит пространству Н+.
и( х)
(61), удовлетворяет уравнению В[и, у] + Х(и, ь)о = (Р, у) Уу £ то есть является решением задачи 0\. Так как при X > Хо оператор К-1(Х) ограничен, то из (26) и (27) следует, что функция (61) удовлетворяет оценке (8).
Для доказательства единственности решения задачи рассмотрим сопряженную задачу: для заданного функционала Р £ Н- найти решение и1 £ Н+ уравнения
В[у ,и1 ] + Х(у ,и1 )о = (Р, V) У у £ Н+. (62)
Поступая как выше, можно построить операторы Х), М*( Х) такие, что функция и1 = = Х)М*( Х)-1Р (Х £ [Х*, те)) принадлежит пространству Н+ и удовлетворяет уравнению
(62).
Пусть функция и £ Н+ такая, что
В[и, у] + Х(и, и)о = 0(Уу£ Н+), (63)
где Х > Х0 = тах{Х*, Хо}, и пусть Р — произвольный элемент пространства Н'_. Так как и1 = К*(Х)^*(Х)-1 Р принадлежит пространству Н+, то, полагая V = и1 в (63), получаем В[и, и1] + Х(и, и1)0 = 0, то есть В[и,и1] + Х(и,и1)0 = 0.
С другой стороны, функция и1 = К*(Х)№*(Х)-1Р удовлетворяет (62). Поэтому (Р,и) = 0 для всех Р £ Н+. Учитывая вложение Н+ ^ Н'_ и полагая Р = и, имеем (и, и) = 0, то есть и = 0. Единственность решения задачи доказана. Теорема 1 доказана полностью.
4. Доказательство теоремы 2
Пусть задана функция и1(х) £ Н+. Определим функционал С\, где Х — вещественный параметр,
<Сх,у>= -В[иь у] -Х(иъ и)о Уу£с^(П). (64)
Учитывая ограниченность коэффициентов Ьы(х), \к\ = \1\ = ] £ ■], х £ и применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем
\В[ иь и]\ < М21 £ \\IJ1 (П)|| ■ Ни (П)\\ +
т=0
+ М21 £ (0)\\>(П)\\
< ^ ' гт ' гт
т=0
для всех и,у £ С0°°(П). Отсюда в силу неравенства (12) и определения пространства Н+ (см. (3)) следует, что
\В[и1, у]\<М22 \р1; Н+\\\\у; Н+\\ для всех у £ Н+. Так как (см. (3)) \\и; Ь2(^)\\ < \\и; Н+\\ для всех и £ Н+, то
\(и1, У)0\<\\и1; Н+\\ \\и; Н+\\ .
Из последних неравенств имеем
| <С—,у> К (М22 + И) ЦЩ; Ы+\\ \\у; Ы+\\
для всех у е С(Ц°(П). Следовательно функционал С— по непрерывности продолжается на все Ы+ Ы
\\С—; Ы_\\ < ( М22 + |X|) ЦЩ; Ы+\\, (65)
где число М22 не зависит от выбора функции и1(х).
Р е Ы
требуется найти решение и* уравнения
В[и*, v]+X(U*, и)о =<Р + С—,у> УьеС^(П), (66)
Ы+
Согласно теореме 1 существует число X0 > 0 такое, что при X > X0 вспомогательная задача
и* ( х)
\\и*; Ы+\\<М2з \\Р + С—; Ы_\\ . (67)
и* ( х)
и (х) = и*(х) + и1(х). (68)
и( х)
Так как и(х) — и1(х) = и*(х) е Ы+, то она удовлетворяет также и условию (9). Следовательно, функция и(х), определенная равенством (67), является решением задачи В—. Из единственности решения вспомогательной задачи следует единственность решения задачи В —. Оценка (10) теоремы 2 следует из (65), (67), (68). Теорема 2 доказана.
5. Заключение
Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов в ограниченной области с несогласованными вырождениями коэффициентов на границе. Интегро-дифференциальная полуторалинейная форма, ассоциированная с исследуемым оператором, представляется в виде конечного числа полуторалинейных форм и вводится понятие "старшая форма". Условия, обеспечивающие существование и единственность решения вариационной задачи Дирихле, ставятся только на коэффициенты старших форм.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никольский С. М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1979. Т. 150. С. 212-238. *
2. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением. Вариационный метод // Труды Математического института им. В. А. Стек-лова АН СССР. 1981. Т. 157. С. 90-118.
3. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 161. С. 157-183.*
4. Байдельдинов Б. Л. Об аналоге первой краевой задачи для эллиптических уравнений с вырождением. Метод билинейных форм // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1984. Т. 170. С. 3-11.
5. Лизоркин П. И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 235-271.
6. Мирошин Н. В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 6. С. 1099-1111.
7. Никольский С. \!.. Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия Вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4-30.
8. Исхоков С. А., Кужмуратов А. Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов // Доклады Академии наук (Россия). - 2005. Т. 403. № 2. С. 165— 168.
9. Бойматов К. X. Обобщенная задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка // Доклады АН СССР. 1992. Т.327. № 1. С. 9-15.
10. Бойматов К. X. Обобщенная задача Дирихле, порожденная некоэрцитивной формой // Доклады Академии наук (Россия). 1993. Т. 330. № 3. С. 285-290.
11. Исхоков С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Доклады Академии наук (Россия). 1995. Т. 342. № 1. С. 20-22.
12. Бойматов К. X., Исхоков С. А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой //Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107-134.
13. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Константинова Т. П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными формами // Доклады Академии наук (Россия). 2015. Т. 462. № 1. С. 7-10.
14. Мирошин Н. В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 6. С. 1099-1111.
15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.
16. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.
REFERENCES
1. Nikol'skii S. М. 1981, "A variational problem for an equation of elliptic type with degeneration on the boundary", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 150, pp. 227-254.
2. Lizorkin P. I., Nikol'skii S. М. 1983, "Coercive properties of elliptic equations with degeneration. Variational method", vol. 157. pp. 95-125.
3. Lizorkin P. I., Nikol'skii S. M. 1984, "Coercive properties of an elliptic equation with degeneration and a generalized right-hand side", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 161, pp. 171-198
4. Baidel'dinov B. L. 1987, "An analogue of the first boundary value problem for elliptic equations with degeneration. The method of bilinear forms", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 170, pp. 1-10.
5. Lizorkin P. I. 1987, "On the theory of degenerate elliptic equations", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 172, pp. 257-274.
6. Miroshin N. V. 1988, "The variational Dirichlet problem for an elliptic operator that is degenerate on the boundary", Differential Equations, vol. 24:3, pp. 323-329.
7. Nikolskii S. M., Lizorkin P. I., Miroshin N. V. 1988, "Weighted functional spaces and their application to investigation of boundary value problems for degenerate elliptic equations", Soviet Math. (Izv. VUZ), vol. 32, No. 8. pp. 1-40.
8. Iskhokov S. A., Kuzhmuratov A. Ya. 2005, "On the variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators" Dokladv Mathematics, vol. 72, no. 1, pp. 512-515.
9. Boimatov K. Kh. 1993, "The generalized Dirichlet problem for systems of second-order differential equations" Russian Acad. Sci. Dokl. Math., vol. 46, no. 3, pp. 403-409.
10. Boimatov K. Kh. 1993, "The generalized Dirichlet problem associated with a noncoercive bilinear form", Russian Acad. Sci. Dokl. Math., vol. 47, no. 3, pp. 455-463.
11. Iskhokov S. A. 1995, "On the smoothness of a solutions of the generalized Dirichlet problem and the eigenvalue problem for differential operators generated by noncoercive bilinear forms", Dokladv Mathematics, vol. 51, no. 3, pp. 323-325.
12. Boimatov K. Kh., Iskhokov S. A. 1996, "On the solvability and smoothness of a solution of the variational Dirichlet problem associated with a noncoercive bilinear form", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, no. 3(214), pp. 101-127.
13. Iskhokov S. A., Gadoev M. G., Konstantinova T. P. 2015, "Variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators generated by noncoercive forms", Dokladv Mathematics, vol. 91, no. 3, pp. 255-258. DOI: 10.1134/S1064562415030011.
14. Miroshin N. V. 1976, "A generalized Dirichlet problem for a certain class of elliptic differential operators that are degenerate on the boundary of the domain. Some spectral properties", Differ. Uravn., vol. 12:6, pp. 1099-1111.
15. Kato T. 1967, "Perturbation theory of linear operators", Springer-Verlag, 592 p.
16. Gokhberg I. Ts., Krein M.G. 1965, "Introduction to the theory of non-selfadgoint linear operators", Nauka: Moscow, 448 p.
Получено 22.04.2018 Принято к печати 10.10.2018
