Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением и его приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 54-71.

НЕРАВЕНСТВО ГОРДИНГА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С НЕСТЕПЕННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

С.А. ИСХОКОВ, М.Г. ГАДОЕВ, И.А. ЯКУШЕВ

Аннотация. Для эллиптических операторов высшего порядка в произвольной (ограниченной или неограниченной) области n-мерного евклидового пространства Rn с нестепенным вырождением доказывается весовой аналог неравенства Гординга, и с помощью этого неравенства изучается однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле, решение которой ищется в замыкание класса бесконечнодифференцируемых финитных функций. Вырождение коэффициентов оператора по разной независимой переменной характеризуется с помощью разных функций. Предполагается, что младшие коэффициенты оператора принадлежат некоторым весовым Lp-пространствам. Для одного класса эллиптических операторов со степенным вырождением в полупространстве изучается разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями.

Ключевые слова: эллиптический оператор, нестепенное вырождение, неравенство Гординга, вариационная задача Дирихле.

Mathematics Subject Classification: 35J35, 35D05, 35J70, 46E35, 35J40

1. Введение

Из общей теории дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, [1, 2]) известно, что неравенство Гординга [3] играет важную роль в исследовании разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических уравнений методами функционального анализа. Однако исследование краевых задач для эллиптических уравнений с вырождением методами функционального анализа, в основном, проводилось без использования неравенства Гординга (см., например, [4]-[10] ). В случае дифференциальных операторов с вырождением, неравенство Гординга было доказано в работах [11, 12]. Эллиптические операторы, рассмотренные в [11], имеют специальный вид, заданы в ограниченной области П+, расположенной в полупространстве Е++1 = {(х, у) = (хх2, ... , хп, у) : у > 0} и прилегающей к гиперплоскости у = 0. В их определении вместо обычных операторов дифференцирования использовались операторы вида

~ ~ 8\т\ ~ Яг

^т+г _ Л)г £)т _ _—_ Л)г ""

'х~у' дхГ ■ ■ ■ дх^' У (уду)'

и вследствие этого вырождение имело место только на части Г0 границы области , лежащей на гиперплоскости у = 0. Эллиптические операторы, рассмотренные в [12], заданы в произвольной (ограниченной или неограниченной) области и имеют одинаковое вырождение по всем независимым переменным.

S.A. Iskhokov, M.G. Gadoev, I.A. Yakushev, Carding inequality for higher order elliptic operators with a non-power degeneration and its applications. © Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. 2016. Поступила 12 мая 2015 г.

В отличие от работ [11, 12], здесь рассматриваются общие эллиптические операторы высшего порядка в произвольной (ограниченной или неограниченной) области с разными характерами вырождения по разным независимым переменным.

Часть результатов статьи в кратком виде без доказательства анонсирована в [13].

2. Функциональные пространства. Вспомогательные интегральные

неравенства

Пусть Кп - п-мерное евклидово пространство и пусть П(0) = [х = (хг,... ,хп) € Кп : |жг| < 1/2, г = 1,п} — единичный куб с центром в начале координат. Для любой точки £ € Кп и любого вектора Ь = (1г,...,Ьп) с положительными компонентами определим параллелепипед П(£) равенством

) = & € Пп : ((хг - &)Дг, ... , (хп - £а)/Ьп) € П(0)}.

Пусть П — произвольное открытое множество в Rn и пусть Qi(x) (i = 1, п) — определенные в П положительные функции. Положим Пе^(£) = ), где g(£) = (gi(^),... ,gn(£,)).

Далее в работе предполагается, что множество П и функции gi(x) (i = 1,п) связаны условием: существует число £0 > 0 такое, что для всех £ G П параллелепипед П£0,д>(£) содержится в П. Это условие является аналогом условия погружения, рассмотренного в работе П.И. Лизоркина [14]. В [14] также рассмотрены примеры областей П и положительных функций gi(x) (i = 1,п), удовлетворяющих условию погружения.

Пусть а(х) - определенная в П положительная функция. Предположим, что для любого £ Е (0,£о) существуют положительные числа \(е),и(е) такие, что

lim А(е) = lim v(е) = 1

£—^-0 + £—0 +

и

1 ^ а(х) ^ , 1 ^ 9i(x)

(сл ^ ^ ^(£), ТТЙ ^ ^ Х(£), г =1,'а, (2.1)

для всех х € Пе^(£) и всех £ € П.

Класс положительных функций о(х), х € П, удовлетворяющих условию (2.1), обозначим через (£).

Пусть 1 ^ р < и г — натуральное число. Символом Ьр Г(П; а,д), где целое число в такое, что 0 ^ в ^ г, обозначим класс функций и(х), х € П, имеющих обобщенные по Соболеву производные и(к">(х), к = (кг,к2 ... , кп) — мультииндекс, Щ = кг + к2 • • • + кп ^ г, с конечной полунормой

г/р

11«; (П; а, ¿011 = {±2 1 («Ш1-Ш2-г (х) ...дкп-г Ш^ШЧх 1 >1=

а символом Жр (П; а,д) — пространство функций и € Ь1рг(П; а,д) с конечной нормой

| | и; Ш;(П; а, д) | | = {||и; (П; а, д) ||? + | | щ Ь°р,(П; а, д) 11 р}1/р . (2.2)

Пространство (П; а, д) банахово с нормой (2.2), и в сделанных выше предположениях при всех р € [1, то) и всех натуральных г множество С0°(П) плотно в нем [10]. Символом Ьр(П; а) обозначим весовое лебегово пространство с нормой

г/р

| | и; Ьр(П; а) 11 = { ^ ^(х^и^Чх .п

Для любого натурального числа т и любого £ > 0 обозначим через П™^) параллелепипед П£тд(£) при £т = т • е/(т + 1). Заметим, что П^СО С П£0,д(£), £ е (0,£о), для любого натурального числа т.

Следующая лемма (см. лемму 2 работы [10]) является обобщением известной леммы Труази [15] на рассматриваемый случай и используется при выводе весовых интегральных неравенств из безвесовых.

Лемма 2.1. [10]. В сделанных выше предположениях относительно области П и положительных функций а(х), дг(х), х е П, г = 1,п, справедливо соотношение эквивалентности

I ИОН«; ЬР(П^ШТ % {а(х)(91(х)д2(х)... дп(х))1/^\и(х)\)Р ¿х, п п

где символ х означает наличие двусторонней оценки с некоторыми положительными константами.

Лемма 2.2. Пусть х^(х; — характеристическая функция параллелепипеда П^!^). Тогда для любого натурального числа т и достаточно малого £ > 0 выполняется неравенство

{щ) П ^ (1 + т) П д-1(Х)д-1 (Х) ■■■дЛх) / ^ ^ Ч П , (2.3)

где А(е) — такое же число как в условии (2.1).

Доказательство. Для произвольной фиксированной точки х е П вводим следующие обозначения

Те,д (х) = {С е Яп : \& - Хг\ < | 91 (£) , ^ =1,п} ,

0£,д(х) = {£ е Кп : - Хг\ < 2 дг(х), г = 1,п} .

Пусть £ е (х). Тогда из условия (2.1) следует, что \£г — хг\ < £ • дг(х)/2Х(е) <

< £9г(0/2, г = 1,п. Следовательно, £ е Т£,д(х) и поэтому Ое^£)-1 д(х) С Т£,д(х) для всех х е П. Аналогично в силу условия (2.1) доказывается, что Т£^(х) С Оец£)^(х) для всех х е П.

Пусть Хе,д(х,0 - характеристическая функция параллелепипеда П£д(£). Так как / Хе,д(х,£,= \Т£,д(ж)\ , где правая часть обозначает объем параллелепипеда Т£,д(х), то из доказанных выше включений следует, что

|^еА(е)-1,д (Ж)| ^У Хе,д ^ \0£^£),д (Х) \ .

Поэтому

{^щ) ^ д-1(х) • д-1(х) ...дп1 (х)]'^ {^т) .

Заменяя в этом неравенстве е через £т = ет/(т +1), получим (2.3). □

Лемма 2.3. Пусть целое число в такое, что 0 ^ в < г. Пусть р > 1, 1 ^ д1 ^ д0 и удовлетворяют условиям:

1 г — в 1

---< — при п — (г — з)р > 0;

р п до

д0 — любое конечное число при п — (г — в)р ^ 0.

Тогда для любого т > 0 и всех V € Шр(П; а,д) справедливо неравенство

у; К, П; а(9г92 ...дп)р -0 ,д

<

_+* _ -

< Т 11^; Щ(П; + сгТ ^ V; ЬЧ1(П; а(дгЯ2 ... дп) р -1,д)

где

г г г

д_ — д0 + зп 1

д_г — р-г + (г — в)п~1

(2.4)

(2.5)

Доказательство. В условиях этой леммы из интерполяционных неравенств для классических пространств Соболева (см. например, [16, §4.7]) следует, что

\и(к); Ьдо(П(0))|| ^ г Ьр(П(0))\\ +

+ г | | и; ЬР(П(0)) 11 + с.т-^ 11 и; Ь91 (П(0)) 11 , (2.6)

где к — любой мультииндекс длины в, и число ^ определяется равенством (2.5).

Неравенство (2.4) выводится из (2.6) применением леммы 2.1 и техникой, использованной при доказательстве леммы 2.2 работы [12]. □

Аналогично лемме 2.3 доказывается, что если число в такое, что 0 ^ в ^ г, и выполняются условия

н н

1 ^ р ^ до < г — в---1— > 0,

Р Яо

то для всех V € Шр (П; а, д) имеет место неравенство

V; Ц0,г (П; о(дхд2 ... дп)*_ъ ,д) ^ М ||и; Ш;(П; а,д)\\ , где число М > 0 не зависит от функции у(х).

(2.7)

Лемма 2.4. Пусть положительные функции а(х), ¡3(х) принадлежат классу (П), Р > 1, Я > 1 и г, í — натуральные числа. Для мультииндексов к, I таких, что Щ < г, |/| ^ Ь, определим числа дг, Хм, 8к посредством следующих соотношений

1

1 г-

п

п>д(1 — |/|),

еъ 0 < £х ^ 1/д, п ^ д(г — Щ),

1

1

1 1 г — Щ

-—>--1----, при п — р(г — Ш) > 0,

лк1 41 Р п

1

-— =--+ £2, где 0 < £2 < 1/р, при п — р(г — Щ) ^ 0,

Лк1 <Ь

11

— > —

8 к Ак1

1

(2.8)

(2.9) (2.10) (2.11)

Пусть положительная функция а ы(х) принадлежит классу (П) и удовлетворяет неравенству

аы(х)а_г(х)(3-г(х) ^

^ сдк11+11 (х)дк22+к (х)... дк-+1п(х)(91 (хЫх)... дп(х))_+1 _+*-4 для всех х € П; положительное число с не зависит от х. Тогда для любого т > 0 справедливо неравенство

11 и(к)ь(1); ЬХы (П; аы) | | ^ | | и; ^(П; /3,д) | | • {|| и; Ш; (П; а,д) | | +

(2.12)

+СоТ

и; Ь3к (П; a, (дгд2 ...дп) р )

(2.13)

11

Ч

где

ч1 - К1 + v-1 + \k\n

(2.14)

(2.15)

ßk Kl - Qi1 - P-1 + (r - \k\)n-1 и положительная постоянная со зависит только от n,p,r, \к\.

Доказательство. Пусть \k\ < г, \/\ ^ t. Так как число qi, определенное равенством (2.8), удовлетворяет условиям

п п

1 ^ q ^ qi < ж, t -\1\---+ - > 0,

Q qi

то, применяя неравенство (2.7), имеем

v(l); Lqi (Ъ; ß (x)g1 (x)glj (x). (x)(gi(x)g2(x)... gn{x))~t+*- ч)

^ M Цу; Wfq(ü; ß,g)\\ ,

где M - положительная константа не зависящая от v(x).

Далее заметим, что при q0 = rpk, s = \к\, q1 = sk, где грк = (Kl - Q-1) , и числа Qi, Kl, Sk определены соотношениями (2.8) - (2.11), выполняются условия леммы 2.3. Поэтому, применяя лемму 2.3, в этом случае получим

(к); ЬРк (ü; адк^gk2... gkn" (g^ ... g,n)-r+1- * ) | ^ r\\u; W;(ü; a, g) || + + Сот ßk u; LSk (ü; a(g^2 ... gn) 1 Sk)

_ sk - Pk 1 + \k\n~1 ßk =

Pk

В силу равенства

uK

где

рк - р~1 + (г - \к\)п~1

(2.16)

(2.17)

1 _ 1 1

Ki Pk qi

и условия (2.12) с помощью неравенства Гельдера доказывается, что

l\u(k)v(l); Ь\ы (ü; akl )|| ^ jv^; Lqi (ü; ßg\ $ ... & (9192 ... 9n)~t+^ ~ «)

(2.18)

x

x

u(k); Lqk (ü; ag\1g22... gknn (gm ... gn)

—+1 - ^ * i ik

(2.19)

Теперь легко можно заметить, что из (2.15), (2.16), (2.19) следует неравенство (2.13). Равенство (2.14) следует из (2.17) в силу равенства (2.18). □

3. Неравенство Гордингл для эллиптических операторов с вырождением Рассмотрим дифференциальный оператор

(Аи)(х)= ^ (-1)111 {рк(x)pi(х)ак1(х)и(к)(х)){1] , ж е ü,

где

(3.1)

(3.2)

рк(х) = а(х)д-г+к (х)д-г+к2 (х)... (х)

и акг(х) — комплекснозначные функции.

Изучение краевых задач для дифференциальных уравнений с оператором (3.1) методами функционального анализа связано со следующей полуторалинейной формой, порожденной этим оператором

В [u,v] = ^^ рк (x)pi (x)aki(x)u(k\x)v(l) (x)dx.

(3.3)

WKr Q

Вариационная задача Дирихле, связанная с формой (3.3), ранее изучалась в работе С.А. Исхокова [10] в предположении, что коэффициенты ак1 (х) удовлетворяют следующему условию эллиптичности

Яе ^ ак1 (х)(к(1 > с ^ Ы2 (3.4)

^М^г 1к=г

для всех х € П и любого набора комплексных чисел £ = [^. Число с > 0 не зависит от х, С,. Здесь в этом разделе вместо условия (3.4) мы предполагаем выполнение более слабого условия

Яе ^ ак1 (х^Ч1 > Г (3.5)

для всех х € П, £ € Кп; = ^£22 • • • £пп, с — положительное число, не зависящее от х, £.

Теорема 3.1. Пусть коэффициенты аы(х) при Щ = |/| = г ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности (3.5) и для любого достаточно малого числа и > 0 существует число £ > 0 такое, что

(у) — аы (г) <р (3.6)

для любого у € П и любого

г € П£^(у) = |г € Яп : — у^ < 1 едг(у), г = 1,п|.

Пусть также коэффициенты аы(х) при |/| ^ г и ^ + |/| ^ 2г — 1 принадлежат, пространству Ьры (П; (дг • д2 ... дп)_г/рк 1), где

дк1 при Щ ^ г — 1, |/| ^ г Ч1к при Щ = г, |/| ^ г — 1,

а числа ды определяются соотношениями:

< Ом ^ -¡гт, если п > 2(г — Щ), п > 2(г —

2г —Щ — т —

п 1

< Як1, 0 < £г < -, если п > 2(г — Щ), п ^ 2(г —

г — Щ — £гп ' 2'

п 1

0 < £2 < —, если п ^ 2(г — Щ), п > 2(г —

г — Щ + £2п 2

=

любое конечное число >1, если п ^ 2(г — п ^ 2(г — Тогда существуют такие постоянные сг > 0 и с2 > 0, что

Яв В [и, и] > сг 11и; (П; а, д) 112 — С211и; Ь°2>г (П; а, д) 112 (3.7)

для всех и € (П; а, д).

Доказательство. В начале рассмотрим случай, когда полуторалинейная форма (3.3) не содержит младшие коэффициенты, то есть когда ак1 (х) = 0 (ж € П) для всех мультиин-дексов к, I таких, что Щ, |/| ^ г и Щ + |/| ^ 2г — 1.

Фиксируя произвольную точку у € П, рассмотрим полуторалинейную форму

Ву [и,ь]= ^ ак1 (у)и{к\х)ь(Г)(х)(1х, и,ь € С0?(Пп).

Применяя неравенство Гординга для сильно эллиптических операторов с постоянными коэффициентами, имеем

^ [ ^(х^дх ^

\к\=г

Rn

^ М [ Re ^ Л

[ \к\=\1\=4п

аы(y)u(k)(x)u(l)(x)dx + J lu(x)l2dx} (3.8)

Rn

для всех и Е C0¡°(Rn). Вводим обозначение

Г ^^ _I

nm(0) = х = (Ж1,Ж2, ...,Xn) Е Rn : |z¿| < —-—, i = l,n \ ,

У 2(m + 1) J

где m — натуральное число.

Берем функцию <рт(х) Е C^(n2m(0)) со следующими свойствами:

1) 0 ^ <рт(х) ^ 1 для всех х Е П(0);

2) фт(х) = 1 для всех х Е nm(0);

3) существует число с > 0 такое, что (ж)| ^ с для всех х Е П(0) и всех мультиин-дексов к : Щ ^ г.

Пусть и(х) — произвольная функция класса Сте(П(0)). Продолжая функцию vm(x) = и(х)рт(х) вне множества П(0) нулем, получаем функцию vm Е C™(Rn). Так как vm(x) = и(х) для всех х Е Пт(0), то из неравенства (3.8) для функции vm(x) следует, что

^ У lu(k)(x)l2dx ^ М0 i ReВу[Vm,Vm]+ J |м(ж)|2^ж1 . (3.9)

\к\=гпт(0) [ П(0) )

Форму Ву[vm,vm] представим в виде

Ву [Vm, Vm] = Biy) [Vm, Vm] + B{2) [Vm,Vm], (3.10)

где

Biy)[Vm,Vm]= ^ J akl (y)^2m(x)ui-k) (x)u(l) (x)dx,

\к\=\1\=гП(0)

B{2)[Vm,Vm\ = By [Vm,Vm] — B^ [Vm, Vm].

Так как во всех интегралах, составляющих полуторалинейную форму B<y2^[vm,vm], порядок хотя бы одной из производных и(к\х), u(l)(х) не превосходит г — 1, то, применяя соответствующие теоремы вложения для пространств Соболева без веса, а также неравенство Юнга с малым параметром, получаем: для любого достаточно малого числа г > 0 существует конечное число М(т) > 0 такое, что

^[Vm ^ ^ Т ^(x^dx + М {Г)j Hx^dx. (3.11)

\к\=гП(0) П(0)

(2)

Действительно, интегралы, составляющие форму By)[vm,vm], имеют следующий общий вид

Im (и) = / акг (y)^22^)(x)u(k-^^(x)^22^)(xy¡i^){x)dx,

у ' Jn(0)

где + \и \ = 0, ив силу свойства 3) функций (рт и ограниченности коэффициентов аы, \к\ = \/\ = г, для них имеет место неравенство

(и) < Мо ! \ ^^(х) \ • \ ^'-"Ч*) \ & ^

^ Мо ||«(к-11); ¿2(П(0))У • \\и^;; Ь2(П(0))|| . Далее, применяя неравенство Юнга

\аЪ\ ^ 8\а\2 + 1\Ь\2,

где 8 - достаточно малое положительное число, а также интерполяционное неравенство (2.6), можно показать, что (и) не превосходит правую часть неравенства (3.11).

Учитывая свойство 2) функций рт(х), представим форму Ву1 [ит,ут] в виде

В(у1) [Ьт, Ут] = В^т [и, и] + В^т [и, и], (3.12)

где

^ аы (у)и(к) (x)u(l')(x)dx,

\к\=\1\=гпт(о)

В™ [и,и}= ^ У ак1(у)^т(х)и(к)(х)и(1)(х)^х, \к\=\1\=гп(™) (о)

П(т)(0) = П(0) \ Пт(0) = {X е Вп : 0/ < М < 1,1 = 1п

У 2(т +1) 2

Так как коэффициенты акг (\к\ = \/\ = г) ограничены, то, применяя неравенство Коши-

Буняковского и принимая во внимание, что \П(т)(0)\ ^ 0 при т ^ <х>, получаем

\в£т![и,и]\^ »тНи;ц(П(0))Н2, (3.13)

где

1/2

Ни; Ьг2(П(0))Н = ^ у \ и(к)(х) \2 ¿х (\к\=гП(о)

и положительные числа ^т стремятся к нулю при т ^ ж.

Из представлений (3.10), (3.12) в силу неравенства (3.9) имеем

Ни; Ьг2 (Пт(0))Н2 — Мо\В(у2)[Ут,Ут]\ — Мо\В(у1^[и, и]\ ^ Мо Яе [и,и].

Далее, подбирая натуральное число т достаточно большим и применяя неравенство (3.11) 1

при т = —, а также неравенство (3.13), приходим к неравенству т

Ни; 1/2 (Пт(0))Н2 —

— Ст Ни; Ьг2 (П(0))Н2 — Ст \\и; Ь2 (П(0))Н2 ^ Мо ЯеВ^^и] (3.14)

для всех и е Сте(П(0)), где ст, Ст — положительные числа, не зависящие от и(х) и ст ^ 0 при т ^ ж.

Пусть V — произвольная функция из класса С£°(П) и у — произвольная фиксированная точка области П. Отображение г ^ х, определенное равенствами хг = (гг — уг)/(едг(у)), г = 1,п, отображает параллелепипед П£ ,д(у) = [х е Вп : \гг — уг\ < < едг(у)/2} в единичный куб П(0), а параллелепипед (у) — в Пт(0). При достаточно малых е > 0 параллелепипед Пед(у) содержится в области П, и поэтому функция ьу(ж) = и(хг£дг(у) + уг) определена для всех х е П(0) и принадлежит классу Сте(П(0)).

Неравенство (3.14) для функции и(х) = ьу(х) примет вид

£ М Н'Ч^х — ст ! Н'Чх^х } е2г д2к1 (уЫ'2 (у). ..д2пк" (у) — 1к1=г |пт(0) П(0)

Ст ] ^у (х^Чх ^ Мо Яе £ е2гдк1+11 (у)дк2+2 (у)... дк-+1- (у)х

П(0) ^Н^

х j аы (у)ь{ук)(х)уУ1)(х)дх.

Пт(0)

В интегралах этого неравенства, переходя к новым переменным интегрирования ^ = Хг£дг(у) + уи получим

£ У ^(г)^ — Ст у |v(k)(z)|2dz\s2—g21kl_г(y)x

х _г(у). ..д1кп_г(у) — Ст I № ^¿ге^д-1^-1^). ..д_г(у)<!г ^

Пе,ц (У)

^ МоЯе | ^- £ д^+^^д^12-1^)...дкп+1п_1(у)х

Щ = Щ=г

аы (у)ь(к)(г )ь(1)(г)(1г

п^(у)

22

Обе части этого неравенства умножим на &2(у)(д1(у)д2(у)... дп(у)) 2г, и результат проинтегрируем по у € П. В итоге имеем

£ i АуШуЫу) ...дп(у))_2г е2г _пх

Щ=г

х д2к1_1(у)д1к2_1(у) ...д1кп_1(у)\ I' , ^ШЧг) ¿у—

уп1^ (у) )

ст £ / Лу)ЫуЫу) ...дп(у))_2ге2г_пх

Щ=г

хд2к1_1(у)д1к2_1(у). ..дТ^Ъ)! [ ^(г)^) ¿у—

—€т[ а2(у)(31 (уЫу)... дп(у))~2г~1 £~ ПП ^(г )№) ду ^ ^П уп£,д (у) }

^ Мо£2г_п Яе В£т[у,у], (3.15)

где

\-2r-1.

Ве>т[ь,ь]= V / п

у,у]= У , °2(у)(91(у)92(у) ...дп(у)) 2г

\к\=\1\=ги п

Уп^(у) )

х дк1 +1 (у)д12+12 (у)... дПп+1п (у) , , аы(у)ь(к)(г)ьЩг№] ¿у. (3.16

Далее, применяя лемму 2.1 и неравенства (2.1), оценим интегралы в левой части неравенства (3.15). Для первого интеграла с помощью неравенств (2.1) имеем

£ / а2(у)(91(у)д2(у)... дп(У))-2г-1 х п

\к\=г '

х д2к1 (у)91к2 (у)... д2пкп (у){ I' ) \у(к)(г)\^] йу >

> е2г-пи-2(вт)\-п(ет) V / а2(г)(91(г)92(г)... дп(г))-2-1х

п

\к\=г '

X д2к1 (*)д?2 (г)...д2пк" (?) (/^(г; у^ \у(к)(г)\2с!г,

где £т = те/(т +1).

Далее, применяя лемму 2.1, получим

~2г-п^ / °2(у)(31(у)д2(у)... дп(у))-2г-1х п

\к\=г '

Xд2к1 (у)д222(у)... д2пкп(у) / к(к)(г)\2с!г dy >

> е2ги-2(ет)Х-2п(бт)2-^ 1 + ^ ||у; 12,^(П;а,д)\\2 . (3.17)

Теперь оценим второй интеграл в левой части неравенства (3.15). Применяя неравенства (2.1), имеем

£ / Ау)(91(у)92(у) ... дп(у))-2ге2г-пд2к1-1(у)дТ2-1(у)... д^-1(у)х

\к\=г п

х([ \ У(к)Ш2 ¿г) йу^

^ е2г-п и2(е)Х-п (е) £ / а2(г) д2к1-2г-1(г) д2^2-2-1(г)... д^-2г-1^)\у (к)(г)\2х

п

\к\=г '

х (У (г;у)с1уЛ)

Далее, применяя лемму 2.1, получаем следующую окончательную оценку

Е / °2(У)(91(У)92(у) ... 9п(у))-2ге2г-пд2к1-1 (у)д21к2-1(у)... д?*-1 (у)х

\к\=г П

х(/ ^(г^дг^ду ^ £2ги2(£)2_п ^ Ь\г (П; а^д)! . (3.18)

(у) ) '

Переходим к оценке третьего интеграла в левой части неравенства (3.15). Применяя неравенства (2.1), имеем

\ —2г—1 _—п

I Лу)ЫуЫу) ... 9п(у))_2г_1£~п ( [ |ф)|2^ ) ду ^

'п упе,ц(у) )

^ е~пи2(е)\~2гп~п(е)х

х / °2^)(д1 (г)д2(г)... дп(г)) 2г г|v(z)|Ч / Хе,д(у)ду)дг.

пп

Теперь, для оценки внутреннего интеграла применяем лемму 2.1 и приходим к следующему неравенству

I °2(у)Ыу)д2(у). ..дп(у)) _2г _ ^ ( [ Ш^) ду ^

'П упе,а(у) )

^ и2(е)\~2гп(е)2_п ||и; Ь0>г(П; а}д)Ц2 . (3.19)

В силу полученных неравенств (3.17) - (3.19) из (3.15) следует, что

(1 — ст(е)) (П; а,д)Ц2 — ст(е)е~2г |Ь Ь°2>г(П; а,д)Ц2 ^

^ е~пМт(е) Яе В,^[у, У], (3.20)

где полуторалинейная форма В£,т[у,у] определена равенством (3.16) и

^ ^ / 1 \ а £'Щ/

ст Ст^ (£т)^ (^т) ( 1 + )

\ т/

/ ' т . 1

т ) т +1

1

Ст(е) = Ст^(е)\-2гп(е)\2п(£т)(1 + 1) , (3.21)

\ т/

Мт(е) = Мои2(£т)Х2п(£т)2П( 1 + .

\ т/

Вводим новую полуторалинейную форму

[и,ь]= £ [( ! Х{Г)(^; У)ак1(у)дЛ х пп

1Ц = Щ=г п

х(д1(г)д2(г)... дп(г)) 1рк(г)рг(х)и{к)(х)у(1)(г)дг, где функции рк(г) определены равенством (3.2).

Учитывая ограниченности коэффициентов акг(х) при Щ = |/| = г, имеем

[У,У] — В£,т[и,У]\ ^

^ м Е / ( / №(*;у)

1Щ = Щ=г п

1

Рк (У)Р1 (у) д1(г)д2(г) . .9п(г)

Рк(г)Р1 (г) 91(у)д2(у) . . 9п(у)

X

х рк(£)рг(г)(91(гЫг)... дп(г))_г|y(k)(г)Цу1 (г)№) ду. (3.22)

В силу условии (2.1) для достаточно малых е > 0 существует положительное число ^]_(е) такое, что

ги. (чп'ги (и) Пл (?)пп ( ?) а.. (у )

^ ^(е) (3.23)

1

Рк (У)Р1 (у) .9п(г)

Рк(г)р1 (г) 91(У)92(У) . . 9п(у)

для всех у, г € П, удовлетворяющих условию У) = 0; ^1(£) ^ 0 при е ^ 0.

£,9

Учитывая это обстоятельство и применяя лемму 2.1, а также неравенство Коши-Буняковского из (3.22), получим

\ В^ [ь, V] — В£,т[у, г^ ^ еп1и(е) || ^^ (П;а,д)\\2 (3.24)

для всех V е С£°(П).

Рассмотрим новую полуторалинейную форму

в{йг у]= £ / ( х^^; У) (1у\ аф)рк (*)р1(г)х

\к\ = \1\=г п^п '

х (91(г)д2(г)... дп(г))-11/к)(г)у(1)(г)с1г, (и,ь еС^(П)).

В силу условия (3.6), леммы 2.1, действуя стандартным образом с помощью неравенства Коши-Буняковского, доказывается, что для любого достаточно малого положительного существует число еи > 0 такое, что

\ В« [у, V] — ВЫ [V, ь]\ ^ епи || у;Ь22^г (П;а,д)Ц2 (3.25)

для всех V е С™(П) и любого е е (0, £„).

Лемма 3.1. Для любой вещественнозначной функции Ф(г) е Ь1(П) при достаточно малых > 0 справедливо неравенство

Сп,т I / Х^&У^У) (д1(г)д2(г)... дп(г))-1ф(г)йг ^ пп

^ Хп(£т)£п [ ФШг + £п [Хп(£т) — Х-п(£т)] / Ф-(г)с1г, (3.26)

пп

где

Ф-(г) = (\Ф(г) \ — Ф(г))/2, сп,т = 2п (1 + .

\ т/

Доказательство. Определим также функцию Ф+(г) = (\Ф(^)\ + Ф(г))/2. Заметим, что Ф(г) = Ф+(г) — Ф-(г) и функции Ф+(г), Ф-(г) неотрицательны. В силу леммы 2.1 имеем

£п2-пХ-п (£т)^1 + < (д 1(г)32 (г)... 9п(г))-1 ¡^"¡(ъуШ

(д 1(г)д2(г)... 9п(z))-1 ^ Х^(*; У)*У ^ ^ (1 + 2-пАп(вт).

Обе части первого неравенства умножим на Ф-(х), а второе неравенство - на Ф+(г) и затем интегрируем по е П. Из полученных неравенств на основе равенства Ф( ) = Ф+(г) — Ф-(г) получим (3.26). □

Применяя неравенство (3.26) при

Ф( г) = Яе £ ан(г)рк (г)рг(г) ь(к\г) ь(1)(г),

\к\ = \1\=г

имеем

сЩт йе В^т [V, V] ^ хп(£т)£п Яе В [у, г;] +

+ £п[Хп(£т) — Х-п(£т)] I Ф-^. (3.27)

п

Так как коэффициенты акг(г), \к\ = \/\ = г, ограничены, то

<

^ 1к1=щ=г п

^М || у;Ь1г (О;а,д)\\2.

Отсюда и из (3.27) следует, что

Яе В(% [V, V] ^ £пМ {Яе В[у, у] + ¡л2(е) || V; Ьг2>г (О; а,д)\\2} , (3.28)

где М — положительное число, не зависящее от £ > 0 и у(х), и

р т

¡2(е) = Ап(ет) - А-п(ет), £т = ——. (3.29)

т +1

Используя неравенство (3.20), имеем

(1 - ст(£)) ||V; Ьг2>г(О; а,д)\\2 - ст(е)е-2г ||V; Ь%г(О; а,д)Ц2 ^

^ е-пМт(е)КеВ21 [у, + £-пМт(е)\Ве>т[ь, у] - В(Ц[у, г;]| +

+ е-пМт(е)\В^ [у, ь] - В^ [У, ь]\.

Отсюда в силу неравенств (3.24), (3.25) следует, что (1 - ст(е)) ||ь;Ь22г(П;а,д)\2 - Ст(е)£-2г ||у; Ь02г(О;а,д)!2 ^

^ е-пМт(е)ЯеВ(% [у, у] + ц(е)Мт(е) || (П;*,^2 +

+ Мт(е)и уу;Ь2 Далее, применяя неравенство (3.28), имеем

+ Мт(£)и ||у;Ь22Г(О;*,^

(1 - ст(£)) ||V; г(О; а,д)Ц2 - Ст(е)£-2г ||V; Ь02>г(О; а,д)Ц2 ^

^ Мт(£)М{ЯеВ[V, ь]+^(е) ||V;г(П;а,д)||2} +

+ ^(е)Мт(е) ||у;Ь^г(П;а,д)|| + Мт(е)и ||у; г(П;а,д)|| .

Отсюда следует, что

[1 - ст(е) - ¡2(е)Мт(е)М - ¡1(е)Мт(е) - Мт(е)и] ||у; И%г(О; а, д)|| -

- €т(е)е-2г уу;Ь°2г(О;а,д)|2 ^ Мт(е)МЯеВ[у, у], (3.30)

где числа ст(е), <Ст(е), Мт(е) такие же, как в (3.21), ¡\(е) — такое же, как в (3.23), а число ¡ 2( ) определено равенством (3.29).

Подбирая число т достаточно большим, а числа £,ь> — достаточно малыми, из (3.30) получаем неравенство

И,еВ[у, у] > сз ||у; Ь2 г(О; а^Ц2 - С4 ||у; Ь°2 г(О; а, д)||2 (3.31)

для всех V Е С^°(О); с3, с4 — положительные постоянные, не зависящие от у(х).

Таким образом, неравенство Гординга для вырождающегося эллиптического оператора, ассоциированного с полуторалинейной формой В[и, у], определенной равенством (3.3) в случае ак1 = 0 при Щ + |/| ^ 2г - 1, доказано.

Теперь перейдем к доказательству неравенства Гординга (3.7) в общем случае. Положим

В0 [и, у]= V Рк (х)р1 (х)ак1(х)и{к)(х)

У(1)(х) ¿х, Вх[и, у] = В[и, у] - В [и, V].

1к1 = Щ=г I

2

Согласно вышедоказанному результату для полуторалинейной формы Во[и, у] имеет место неравенство вида (3.31), то есть существуют числа с5 > 0, с6 > 0 такие, что

И,е Во[и,и] > с5 Ци; Ьг2г(П; а, д)Ц2 — с6 Ци; Ь°2г(П; а, д)Ц2 (3.32)

для всех и е СЦ°(П).

Полуторалинейную форму В1[и, у] представим в виде

В1 [и, у] = Вп [и, ь]+ В12 [и, у], (3.33)

где

Вц[и, у]= ^ /рк (х)рг(х)ак1 (х)и(к)(х) ю(Г) (х)йх,

^^ККг п __(3 34)

В12[и, у]= ^ ¡Рк (х)р1(х)ак1(х)и(к)(х)у (1)(х)(1х.

\к\=г,\1\<г П

Используя неравенство Гельдера с показателями , Хк1, в силу условия Цак1;Ь,к1 (П;(д ^ ... дп)-1/т )|| < +ж, \к\ + \1\ ^ 2г — 1,

имеем

£ Ци^у^;^(П;ак1)Ц .

\к\<г,\1\^г

Далее, применяя лемму 2.4 при р = д = 2, получим

\Вп[и, у] ^М Н у;Ш22 (П;а,д)Н {т НщЩ (П;а,д)Н + с0т-» Ци; Ь0^ (П;а,^)||} , (3.35) где ^ = и числа ^к определяются равенством (2.14); т — достаточно малое поло-

\к\<г

жительное число.

Так как (см. (3.34)) полуторалинейная форма В12[и, у] содержит и(к\х)у(1\х) при \/\ < г, \к\ = г, то, меняя ролями и(х) и у(х), и действуя так же, как в доказательстве неравенства (3.35), имеем

\Ви[и, у] ^М Ни;Ш2: (П;а,д)Н {г Н (П;<г,д)Н + Со т-» || у;^ (П;а,д)Ц} . (3.36) Используя неравенства (3.35), (3.36) при и(х) = у(х) и равенство (3.33), получаем

\В1[и,и] ^М Ни;Шг2 (П;а,д)Н {т Ни;Шг2 (П;а,д)Н + Сот-» Ци; (П;а,д)Ц} . (3.37) Так как В[и, у] = Во[и, у] + В1 [и, у], то, используя неравенства (3.32), (3.37), находим

КеВ[и,и] > КеВо[и,и] — \В1[м,м]\ >

> (с5 — т) ^Ь^г(П;a,g)ц2 — (т + Сот-2^ + с6) ^х; Ь\г(П;a,g)ц2 . Далее, фиксируя достаточно малое число > 0, получим

ЯеВ[и, и] > с7 Ци; Ьг2 г(П; а, д) ||2 — с8 ||и; Ь°2 г(П; а, д) ||2 . (3.38)

Так как

Ни;Ш2: (П;а,д)Н = {Ц^ (П;а,д)Ц2 + Ци; Ь*, (П;;0,д)Ц2}1// ,

то из полученного неравенства (3.38) следует неравенство (3.7). □

Теорема 3.1 доказана.

4. О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ОПЕРАТОРОВ С НЕСТЕПЕННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

В этом разделе сформулируем результат о разрешимости вариационной задачи Дирихле, который доказывается с помощью полученного выше неравенства Гординга и обобщенной теоремы Лакса-Мильграма (см., например, [8]).

Пусть ( (П;а,д)) - пространство ограниченных антилинейных непрерывных функционалов, определенных на (П;а,д), наделенное нормой сопряженного пространства.

Рассмотрим следующую вариационную задачу Дирихле, связанную с полуторалинейной формой (3.3).

Задача Ид. Для заданного функционала Р е (П;а,д))' требуется найти решение и (х) уравнения

В [и, у] + [ а2(х) (д 1(х)д2(х) • •• 9п(х))-2г и (х)ф)(Ь = (Р, у),у е С™(П), (4.1) п

принадлежащее пространству (П;а,д).

Заметим, что в случае достаточной гладкости коэффициентов аш(х) и правой части Р уравнения (4.1), решение и(х) задачи Их удовлетворяет дифференциальному уравнению

(Аи)(х) + Аа2(х) (д^х)д2(х) • • • дп(х))-2г и(х) = Р(х), х е П, где А такой же дифференциальный оператор как в (3.1).

Теорема 4.1. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда существует число Ао > 0 такое, что при X > Хо для любого заданного функционала Р е (П;а,д))' задача имеет единственное решение и(х), и при этом выполняется оценка

ННи; —(П;а,д)Н ||Р; (—(П;а,д))'Ц , где положительное число М не зависит от Р.

5. О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В силу плотности класса Со^(П) в (П;а,д) теорема 2 позволяет установить разрешимость вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для конкретных видов областей П С Вп (например, ограниченные области, дополнения к ограниченным областям, полупространство и т.д.), а для изучения разрешимости таких задач с неоднородными граничными условиями требуется предварительно доказать теорему вложения разных метрик для соответствующих весовых пространств, элементы которых, в общем случае, не аппроксимируются с помощью функций из класса СП). В этом разделе без доказательства сформулируем результат о разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для одного класса эллиптических операторов в полупространстве со степенным вырождением.

Пусть В+ = {х\х = (х',хп) е вп,хп > 0} и пусть функция р({) е СГХ(В++) такая!, что 0 ^ ^ 1 для любого Ь е [|; 1 и р({) = 0, когда Ь > 1; 'р(Ь) = 1 для любого Ь е [0; 2]. Для любых двух вещественных чисел а,[3 определим функцию

оаф(I) = ф)Га + (1 — р(1))^ (I > 0).

Обозначим через (В+) пространство функций и(х) (х е В+) с конечной нормой

11 щЩ^ № )Н = {II и;Ьгр;а/3 (к+)Н Нр + Н Нщь0^ (в^Н Н?}1/р,

где

1/Р

+ (а»,Р(х У \к\=гК+

\\(П+)\\ = { V / (а«,,(хп)1и(к)(х)1)Чх

Пусть С0?(Н,+) множество бесконечно дифференцируемых функций в К+ финитных сверху, то есть обращающихся в нуль при больших значениях хп. Символами

Ш р;а,Рг((Н+), Ур;а,Рг(№) обозначим замыкания классов С0^(Кп+) и С0^(К+) в пространстве (К+), соответственно.

Рассмотрим полуторалинейную форму

Щи, и] = ^ (хп)ак1(х)и{к)(х)у(1)(х)(!х (5.1)

\к\,\1\<:гК+

и связанную с ней вариационную задачу Дирихле.

Задача И. Для заданного функционала Р Е (^Ш 2-а/з-у(Н+)) и заданного элемента Ф(х) € Ш 2-,а,р,~/ (Н+) требуется найти решение и (х) Е Ш 2-,а,р,~/ (Н+) уравнения

В[и, ь] =< Р,ь >, УьЕС™(Н+),

удовлетворяющее условию

и(х) - Щ(х) (Н+). (5.2)

Предположим, что коэффициенты ак1 (х) полуторалинейной формы (5.1) удовлетворяют условиям:

I) при Щ = |/| = г коэффициенты ак\ (х) ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности

Яе £ ак1(х)^1 >с|£|2г

\к\ = \1\=т

для всех х Е Н+, £ Е Кп (с — положительное число, не зависящее от х, £), и для любого достаточно малого и > 0 существует число е > 0 такое, что

| ак1 (х) - аы(у)1 < V

для всех х,у Е Кп+ таких, что

. . 1 _

|Xí - У г I < 2£Уп, г=1,Щ

II) при Щ + |/| ^ 2 г - 1 коэффициенты ак1 принадлежат пространству — ЪРЫ (Е+;аак1 ,ры(хп)), где числа акг,Ры,Ры определяются соотношениями:

а) если Щ < г, |/| < г, то

п п

ак1 = -- +---+пдк - г+ Щ,

2 рк1

п п

/Зк1 = 2г -Щ-Щ- (п - 1)6к + ---,

2 Рк1

± = 1 - 4- (1 -^Щ ,

Рк1 \2 п ) +

где числа 8к, £\ из интервала (0,1/2) удовлетворяют условиям

п 1 х • / 1 т'-1к1 1

0 < о - ^ - £1 < тт^ о, - Г

2 [2 п )

и (0)+ = в, если в > 0, и (0)+ = 0 в противном случае;

б) если Щ = г,

^ г — 1, то

ак1

П и

--г + II

Pkl

п

Pkl =--+ Г —

Pkl

± = 1 _ -(1--Рк1 2 £° V 2

(1

+

а £0 — достаточно малое положительное число;

в) если Щ ^ г — 1,

г, то

®ki

2 — h,

1

Ры = г -Щ- 2 + к,

— = о - ^ • Рк1 2

В этих условиях число 8к такое, что

1 1 ^ 1

---^ 8к < -•

2 п к 2

Теорема 5.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть существует такое положительное число со, что

Г 12

Со {&а,13(хп)х1ггIv(х)|) dx ^ ReB[i>,v]

iRi

для всех v Е C0?(R+). Пусть также

а< — 1, —а + 1 Е {1, 2,..., г}, P + 1 Е {1, 2,..., г], р — r>r

Тогда для любого заданного функционала Р € \ Ш 2;а,13,-/№+)) и любого заданного элемента Ф € (К+) задача И имеет единственное решение и(х) и при этом выполняется оценка

\\U;Wг2;аЛ1 (R+)\\ ^М

где число М не зависит от F и Ф

{ F; (W 2(R+))'

+ \№w 2;аЛ1

(R+)\\},

Замечание 5.1. Условие (5.2) означает, что на гиперплоскости хп = 0 решение и(х) задачи И имеет такие же следы, как и заданная функция Ф(х). При дополнительных ограничениях на параметры так же, как в работе [9], можно выписать граничные

условия на гиперплоскости хп = 0 в явном виде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

2. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1985. 166 с.

3. L. Garding Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations // Math. Scand. 1953. Bd.1, No. 1. P. 55-72.

4. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. Т. 55. С. 1-182.

5. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением. Вариационный метод // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1981. Т.157. С.90-118.

6. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 161. С. 157-183.

7. Мирошин Н.В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 3. С. 455-464.

8. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия Вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4-30.

9. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 641-653.

10. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 536-542.

11. Киприянов И.А. О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов и его приложениях // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1969. Т. 105. С. 77-88.

12. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Математические заметки. 2010. Т. 87. № 2. С. 201-216.

13. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением // Доклады РАН. 2012. Т. 443, № 3. С. 286-289.

14. Лизоркин П.И. Оценки смешанных и промежуточных производных в весовых Lp- нормах // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1980. Т.156. С. 130-142.

15. M. Troizi Theoremi di inclusione negli spazi di Sobolev con peso // Ric. mat. 1969. No. 18. P. 49-74.

16. V.I. Burenkov Sobolev Spaces on Domains. Teubner-Texte Math. V. 137. B.G.Teubner, Stuttgart. 1998. 312 p.

Сулаймон Абунасрович Исхоков,

Институт математики им. А. Джураева АН РТ,

ул. Айни, 299/4,

734063, г. Душанбе, Таджикистан Мирнинский политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К. Аммосова, 678170, г. Мирный, Россия E-mail: [email protected]

Махмадрахим Гафурович Гадоев, Мирнинский политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К. Аммосова, ул. Тихонова, 5/1, 678170, г. Мирный, Россия E-mail: [email protected]

Илья Анатольевич Якушев, Мирнинский политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К. Аммосова, ул. Тихонова, 5/1, 678170, г. Мирный, Россия E-mail: [email protected]