О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.918

О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ОПЕРАТОРОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С НЕКОЭРЦИТИВНЫМИ БИЛИНЕЙНЫМИ ФОРМАМИ

С, А. Иехоков, А. Г, Каримов

1. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, билинейные формы которых удовлетворяют условию коэрцитивности, хорошо исследована в работах С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, Л. Д. Кудрявцева, Н. В. Мирошина и др. (см. обзорную работу [1] и имеющуюся там библиографию).

Случай дифференциальных операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами, впервые был рассмотрен К. X. Бойматовым в работе [2]. Результаты этой работы позже обобщались в работах [3-12]. Вопрос зависимости гладкости решения от гладкости коэффициентов билинейной формы и правой части уравнения рассматривался в работах [8-12]. По сравнению с этими работами в данной работе ослаблены некоторые требования к коэффициентам уравнения и изучен вопрос зависимости класса решений от гладкости граничных функций.

Пусть Л — ограниченная область в евклидовом пространстве М" с достаточно гладкой (п — 1)-мерной границей дП = Г. Пусть г — натуральное число, р, а — вещественные числа, р ^ 1. Символом обозначим пространство функций и(х) (х € О), имеющих обобщенные

© 2008 Иехоков С. А., Каримов А. Г.

производные порядка ^ г с конечной нормой

1 /р

)\\ = \ ик (х |)р + ш 1р

(],х

Здесь и далее к = (к\, ... , кп) — мультииндекс, |к| = к\ + ^ + ... + кп, и^к (х) — обобщенная производная мультииндекса к функции и{х) в смысле Соболева, р(х) — регуляризованное расстояние точки х € П до границы Ж}. Далее, символом Б™(ОН) обозначим пространство О. В. Бесова (определение см., например, в [13]).

Основные свойства пространства Wp,a(Cl) изучены в гл. 10 монографии С. М. Никольского [13]. Некоторые из этих свойств сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 1. Если целое число т таково, что т ^ г, а, в — действительные числа, удовлетворяющие условиям в > — р и г — а ^ т — в, то справедливо вложение ^^„(П) С

Теорема 2. Пусть

11

— < а <г----(1)

р р

и во — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенствам

1 1

г — а--^ во < г — а -|—. (2)

рр

Тогда любая функция и(х) € имеет на границе Г следы

г)ё и 1

— г = ч>а € Бг-а--р-в(Г), 8 = 0, 1,..., 80 — 1, (3) и при этом выполняются неравенства

Бт-°-р-'(Г )|| < С)\\, 8 = 0, 1,...,*, — 1,

д

где дп — производная по направлению внутренней нормали п к поверхности ВИ, константа С > 0 не зависит от функции и{х).

Обратно, если заданы функции € Бг-а-р-в(Г), в = ОД,... , во — 1, то существует функция и(х) € ШрДП), для которой выполнены равенства

Я 8и

= Ув (в = 0,1,... , в0 — 1)

Я ви Япв

и справедлива оценка

я0-1

г — а— — — в

(Г) У,

константа С > 0 не зависит от функций х) (в = ОД,... , во — 1).

Следствие 1. Оператор

Т : и

Яи

и|г 'ЯП

Я80 -

Яп

^-1

является лпнейпым непрерывным оператором из пространства Шр а (о)

в п бР а р v).

я=0

о

Символом Ш р (П) обозначим замыкание класса С^(П) в нор-

о

ме пространства ). Согласно теореме 1.2.1 из [1] Шр,а(0) при

выполнении условий (1) совпадает с подпространством функций из Шра(П), имеющих на Г нулевые следы, т. е.

◦ Г Ячи

Ш р , „(0) = и € Шр „(П) :япв

, в , в — .

(4)

Пусть т, а — некоторые целые неотрицательные числа. Положим V = тах{т,ст}, ^ = тах{0,т — а}. Символом ^¿"'ДО) обозначим пространство всех функций и(х) (х € О), допускающих представление

и = ш + Ф,

(5)

где ш € Ш И Ф € %г+;ДП). Норму пространства ^¿"'ДП)

Р'^+т V

определим равенством

II р

Р'П

Щ^ПГ'ЦП )||р = ш£ )|р + И; %Р+;М(П )||р},

где инфимум берется по всем представлениям функции и{х) вида (5).

Гладкость решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов хорошо описывается (см. [1,8-12]) в терминах его принадлежности в пространствах типа ^(Л) с весом. Пусть р, в — вещественные числа, р иг — целое неотрицательное число. Символом Ур обозначим пространство функций и(х) (х £ П), имеющих все обобщенные производные по Соболеву до поряд-г

щУ^(Щ\ = {/[Е (Рв-Г+1к1(х)и{к) (х))р] ЛхХ1/Р.

п |к|<г J

г

Ур = )', гДе Я = р/{р — 1) и символ В' для любого норми-

рованного пространства В обозначает множество всех антилинейных В

пространства. Известно (см. [1]), что если выполняется условие

а+1/р £0,2,...,г}, (6)

то с точностью до эквивалентности норм выполняется равенство а (П)|

= й Гр,ат

2. Рассмотрим интегродифференциальную билинейную форму

B[u,v]= J аы(x)Uk (x)v(l) (x) dx,

\k\,\l\^rQ

первоначально определенную на функциях u,v £ C^(0). Предположим, что коэффициенты aki{x) — измеримые в П комплекснозначные функции, удовлетворяющие следующим условиям.

(I) Существуют положительное число М > 0 и вещественное число а такие, что

|akY)(x)| < МрЧ«-r)+\k\+\l\-M(x)

для всех x £ П и всех мультииндексов k, I, j таких, что |k|, |1| ^ r, |y| ^ m (mo — фиксированное целое неотрицательное число).

(II) Существует число е £ (0, п) такое, что

|argA(x,C)| <п - е (ж еП, С = {Cfc}|fc^r С C),

где

A(x,C)= ^ afci( X Cfc Z •

|fc|,|i|<r

(Считается, что функция argz принимает значения из (—п, п].)

(III) Существует комплекснозначная непрерывная отличная от нуля в О функция такая, что

]Г Kfc|2 < Mi ReMx)A(x, С)} (ж еП, С = (Cfc}|fc|^ С C).

| fc| =r

Пусть выполняется условие (1) при p = 2 и so — целое число, определяемое с помощью неравенств (2) при p = 2. Рассмотрим следующую вариационную задачу Дирихле с однородными граничными условиями.

о /

Задача Для заданного функционала F е (W^„(О)) требуется найти функцию u е WJ,a(fi), удовлетворяющую уравнению

B[u,v] + Ä(u,v) = (F,v> Vv е С0ТО(П) (7)

и граничным условиям

d su dns

= 0, s = 0,1,... , so — 1.

г

Здесь и далее символ V) обозначает значение функционала ^ на функции V Если же ^ — обычная функция, то V) — скалярное произведение ^ и V в пространстве ¿2(0).

Сформулируем результат о разрешимости задачи Д>, который следует из результатов работ [4,9,12] на основе равенства (4)

Теорема 3. Пусть выполнены условия (1)-(Ш) и условия (1), (6) прнр = 2. Тогда существует число Ао ^ 0 такое, что при А ^ Ао для любого заданного элемента ^ € V"—), гДе т — целое число такое,

что 0 ^ т ^ то, существует единственное решение и(х) задачи Б®. Это решение принадлежит пространству ШрПРИ этом справедлива оценка

\\и;)\\ < м\\г;ут--;+т(п)\\> (8)

где число М > 0 не зависит от Г н от X.

Следствие 1. Сужение оператора А задачи Б0 в условиях теоре-

о

мы 1 на класс Ш является алгебраическим и топологическим

о

изоморфизмом Ш на У^--«^)-

3. В этом пункте мы исследуем разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями и изучаем вопрос зависимости класса решений от гладкости граничных условий. Здесь мы предполагаем, что числа а, во такие же, как в п. 2.

о /

Задача Б. Для заданного функционала Г € (ШГ;а(П)) и задан-

Г_а_5_!

ных граничных функций фв € В2 5 (Г), в0 = ОД,... , в0 — 1, тре-

буется найти функцию и(х) £ удовлетворяющую уравнению

(7) и граничным условиям

д ви дпв

= фв, в = ОД,... , в0 — 1.

г

Разрешимость задачи Б изучается при более жестком ограничении на рост коэффициентов ак¡(х), чем в п. 2. Вместо условия (I) требуется выполнение условия

М>

^(х)| < Мра-г+|г|-|^+в(|к|)(х),

где в(|к|) = а—г+ |к|, если в0 < |к| < г, и в(|к|) = в если 0 < |к| < в0 — 1. Здесь в > — ^ — фиксированное число и мультииндекс 7 такой, что Ы < то.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (П)-(1У) и условия (1), (6) при р = 2. Тогда существует число Ао ^ 0 такое, что при А ^ Ао для любого заданного функционала Р € V"-—)> гДе т — целое число такое, что 0 ^ т ^ то, и заданных граничных функций € В а 1 Я(Г), во = ОД, 2.... , во — 1, задача Б имеет единственное решение. Это решение принадлежит пространству ^зО""!!), н справедливо неравенство

80-1 ! 1 Р ^Г-а+т^)\\ + £ Н^ ВГ-а-р-8(Г)П ,

я=0 )

(9)

где константа М > 0 не зависит от Р, (в = ОД,... , во — !)• Доказательство. Сначала докажем одну лемму.

Лемма 1. В условиях теоремы 4 для любой Ф(ж) € ^^¿"„(О) функционал О, определенный равенством

<о,*) = в[ф,*] + а(ф,*), (ю)

принадлежит пространству V"-0+т(^) и удовлетворяет неравенству И^Г--!-"0)\\ < М\\Ф; )\\, (11)

М>

А

и вместо неравенства А (и) ^ СА(м), где С > 0 те зависит от и, будем писать А ^ А- Заметим, что при всех к : |к| ^ г справедливо неравенство

1(ГЛ (X|М(X|)2 ¿ж << )\\2 (Ум € ^¿(П)). (12)

п

Действительно, если мультиипдекс к такой, что 0 ^ |к| ^ во — 1, то |к| < г — а — Следовательно, |к| — в(|к|) = |к| — в < |к| + | < г — а, и в силу теоремы 1 справедливо вложение ^^¿(П) С откуда

и следует неравенство (12). Пусть теперь во ^ |к| ^ г. Тогда в(|к|) =

а — r + |k| и, значит, |k| — |k|) = r — а, |k|) > — Отсюда, вновь применяя теорему 1, имеем WJa(fi) С (О).

Рассмотрим случай 0 ^ m ^ r. Для мультииндексов l : |l| ^ r — m

имеем

1(р"+" '(x,|v< Ч( x |)2 W™-' r-m,+'"<" <x^ dx

n n

<< )||2. (is)

Применяя неравенство Коши — Буняковского и неравенства (12), (13),

имеем

akl x (x)v(.l) (x)dx

Q <

1/2 / с \ 1/2

k \ ] (x)|Ф(k) (x)|)2 d^) ( / (pa-r+ \ l \ (x)|v(k) (x)|)2 dx

Q

< ||ф; W^(fi)|f. (14)

Если же мультииндекс l такой, что |l| > r — m, то его представим в виде суммы двух мультииндексов l' и I" так, чтобы |l'| = r — m. Учитывая это и интегрируя по частям, имеем

Kl(x)$(k) (x))vl') (x) dx

akl x {x)vil) {x)dx

< J2 j pa-r+\l'\+\ k' \\ k \ } (x) |ф(x) ||v° (x) | dx. (15)

k' I <m

Аналогично неравенству (12) с помощью теоремы 1 доказывается неравенство

Е

I k' I ^m

k k' x u k k'

x | u k k x | dx

<< ||uW2r,+mmV)f (Vu £ W2r,+mm^)).

Учитывая это, из (15) находим

)ф(к) (ж)Д') (ж) ¿ж

<< И;шй?т(п)|| IIV(16)

Согласно теореме 1 Ш^а+т^) С ^-(П). Поэтому из (14), (16) следует неравенство

V| << И;)|| ||«; )|| ),

которое завершает доказательство леммы в случае 0 ^ т ^ г. Теперь пусть т > г. Тогда из (10) следует, что

О(ж) = £ (-1 )|г|(аы(ж)Ф^(ж))0)•

|й|,|г|<г

Далее, используя условию (IV), непосредственными вычислениями мож-| но показать, что О(ж) € Лемма 1 доказана.

Переходим к доказательству теоремы 4. Пусть задан набор гра-

г — а — — —в

ничных функций Ж € В 2 (дП). Тогда согласно теореме 2 существует функция Ф(ж) € ШГа+т^) такая, что д«Ф дпя

и справедливо неравенство

«О- 1 х

И;паттп)|| << £ |к;В- а -5-«(до)||. (17)

я=0

Определим функционал О то формуле (10). Так как О(ж) € согласно теореме 3 при А ^ Ао > 0 существует единственное решение И € Ш -.а(П) уравнения

= в = од, • • • , во - 1,

ЩИ, «] + А(И, V) = (Р - О, V« € )•

О

Это решение принадлежит пространству Ш и справедливо

неравенство

||И Ш^П)|| << ||Р )|| + ||О; ^„Г-а(П)| (18)

Далее, легко можно заметить, что функция и(х) = и + Ф(х) является решением задачи В. Оценка (9) следует из (11), (17), (18). Теорема 4 доказана.

Следствие 2. Сужение оператора РМ задачи В в условиях теоремы 2 на класс является алгебраическим и топологическим изоморфизмом Ш2г+тт(П) на У^--«^)-

Рассмотрим оператор Р = {РМ, Т), где РМ — итератор задачи В и Т — оператор следа (см. п. 1). Каждой функции и £ Ш2 (П) оператор Р сопоставляет вектор-функцию с во + 1 компонентами

ди

и|г ,дП

дпв -

Т

Р

в° - г — а—1—в

оператором, действующим из Ш|а(П) в У-Га(П) х ^ Вг 2 (Г).

в

Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 4, целые числа т, о такие, что 0 ^ т ^ то, 0 ^ а ^ то. Тогда сужение оператора Р = (Р$;Т) па класс ^^¿"'^(П) есть алгебраический и топологический изоморфизм пространства на У^-ОТт ) х п Вг+ст-а-в-/2(Г).|

в

Доказательство. Для удобства записи введем обозначения

в-

Г = ^^(П), Г = У2--+™т^) х П ВГ+а-а-в-1 %).

в

Р

.

Пусть и £ Тогда (см. (5)) и = ^ + Ф, где ^ € Ш ф €

И V = тах{т, о} ^ = тах{0, т — а}. Из теоремы 1 следует, что Ш+;М(П) С ^+^(0). Поэтому (см. лемму 1) РМи £ Утт-а(П) и справедливо неравенство

;Утт^)\\ << \\и;Ш!+тт(П)\\. (19)

С другой стороны, так как ш € Ш Га+т(^)> Т0

д «и дп«

д «Ф дп«

в = О, 1, • • • во - 1-

(20)

Используя (19), (20) н представление (5), имеем

|

||Р«;Г||2« Ци;^"" «+ Е

«

д«

дп«

;Д

г+а- а-«-1 /

(Г)

« Ишш^+т^ )|г + И; ш+тдп )|г • (21)

При получении последнего неравенства мы воспользовались оценкой (3) и вложением Щ-а-^(^) С Шг+тДО). Так как неравенство (21) верно для любых ш, Ф, удовлетворяющих равенству (5), то

||Ри;Г ||<||и;Г ||, (22)

что и означает непрерывность отображения Р : ^ ^ •

Теперь докажем, что оператор Р обратим и выполняется обратная

€

гда ^ = (Р, с, С, • • • , с«0-), где Р € ^"-аФ)> С € В+а-а-«-1 /2(Г).| Пусть во — наименьшее натуральное число такое, что — ^ < а + ^ — г — V + во < ^ Заметим, что V — ^ = а Поэтому во ^ во^ Рассмотрим систему функций {С«}«^-1 такую, что сД« = ^^и в = ОД, • • •, во — 1 и С« = 0 при в = во, во + 1, • • •, во — 1 • Тогда согласно теореме 2 существует функция Ф € такая, что

д«Ф

дп«

= с«

в = 0,1, • • • , в0 — 1,

и справедливо неравенство

«-

)|| « ]Т Нс«; В

«

-+а-а-«-1/2(г ^

(23)

(24)

Так как С Щ2,атт(П), то из леммы 1 следует, что

2,а+т

^т--а2+т(0), И в силу (11), (24)

«-

^Та+т^)|| << £ ||с«5 В

«

г+а- а- «-1 2

СПИ

(25)

Следовательно, Г — € Vт—а+т(П), и ввиду теоремы 3 существует

о

единственный элемент ш € ^2~«тт(^) такой, что

= Г — (26)

и имеет место неравенство 12

Нш^+т+Ф )1Г « )|г + и* ^т—а+т^ )1Г •

Теперь рассмотрим функцию и = ш + Ф. Из равенства (26) следует,

о

что «^и = Г. Так как ш € ^ £,«++(0), то согласно (23)

д ви дпв

дяФ дпв

= в = ОД, • • • , в0 — 1.

(28)

Используя (25), (26), (28), имеем

\\РЩГ ||2 = Н»

во - 1

Ти-Ц &

— а -в — 1/^ 2

(Г)

я=0

я0—1

— а — в — 1/2

(Г)||- = \\^;Я\2 • (29)

я=0

Из неравенств (24), (27) и равенства (29) следует, что \\и; ^\\ С \\Ри; ^\\.| Теорема 5 доказана.

Сформулированный в теореме 5 результат является обобщением соответствующих результатов работы [14] на случай некоэрцитивных билинейных форм.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирашин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4-30.

2. Войматов К. X. Обобщенная задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1992. Т. 327, № 1. С. 5-9.

3. Войматов К. X. Обобщенная задача Дирихле, порожденная некоэрцитивной формой // Докл. РАН. 1993. Т. 330, № 3. С. 285-290.

4. Войматов К. X. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными формами // Докл. РАН. 1994. Т. 339, № 1. С. 5-10.

5. Войматов К. X., Седдики К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 3. С. 295-297.

6. Войматов К. X., Седдики К. Некоторые спектральные свойства дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными формами // Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 4. С. 439-442.

7. Войматов К. X. Граничные задачи для некоэрцитивных форм // Докл. АН РТ. 1998. Т. 41, № 10. С. 10-16.

8. Исхоков С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Докл. РАН. 1995. Т. 342, № 1. С. 20-22.

9. Войматов К. X., Исхоков С. А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107-134.

10. Войматов К. X., Исхоков С. А. о собственных значениях и собственных функциях матричных дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Вести. Хорогского Ун-та. Естественные науки. 2000. № 2. С. 13-24.

11. Войматов К. X., Исхоков С. А. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на многообразиях различных измерений // Докл. АН РТ. 2000. Т. 43, № 3. С. 53-60.

12. Исхоков С. А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с нестепенным вырождением, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Докл. РАН. 2003. Т. 392, № 5. С. 606-609.

13. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977.

14. Вайдельдииов В. Л. Об одном аналоге первой краевой задачи для эллиптического уравнения порядка 1т со степенным вырождением на границе // Докл. АН СССР. 1983. Т. 270, № 5. С. 1038-1042; 1984. Т. 170. С. 3-11.

г. Душанбе

12 января 2005 г.