CC BY
29
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 26-54.
УДК 517.918
СПЕКТРАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ С СИНГУЛЯРНЫМИ МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОТРЕЗКЕ
М.Г. ГАДОЕВ
Аннотация. В работе исследуются некоторые спектральные свойства несамосопряженного эллиптического оператора A в пространстве H1 = ¿2(0,1)1, ассоциированного с некоэрцитивной билинейной формой.
Рассмотрены такие вопросы, как суммируемость методом Абеля со скобками рядов Фурье элементов f Е H по системе корневых вектор-функций оператора A, оценка резольвенты оператора A.
Ключевые слова: Эллиптические дифференциальные операторы, резольвента оператора, суммируемость методом Абеля со скобками, система корневых вектор функций.
Введение
В работе исследуются некоторые спектральные свойства несамосопряженного эллиптического оператора A в пространстве = L2(0,1)1, ассоциированного с некоэрцитивной билинейной формой.
Рассмотрены такие вопросы, как суммируемость методом Абеля со скобками рядов Фурье элементов f Е H1 по системе корневых вектор-функций оператора A, оценка резольвенты оператора A.
Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов, далеких от самосопряженных, изучалась в работах [1-6] в ситуации, когда собственные значения (с.з.) оператора делятся на две серии, одна из которых лежит вне угла | arg z| ^ <р, ip < п, а другая локализуется к лучу R+ = (0, то). Эта статья примыкает к работам [1, 2, 6], в которых наиболее общие результаты получены в [6], где предполагается, что старший коэффициент оператора A
a(t) Е Cm([0,1]; EndC1) (0.1)
и имеет простые различные с.з. при каждом t Е [0, 1].
Вместо (0.1) мы требуем лишь, чтобы a(t) Е C([0,1]; EndC1). Результаты §2-§5 примыкают к работе [7], в которой на a(t) накладываются такие же условия, как в [6]. При минимальных ограничениях на a(t) Е C([0,1]; EndC1) мы обобщаем результаты работы
[7].
M.G. Gadoev, Spectral asymptotics of nonselfadjoint degenerate elliptic operators with singular matrix coefficients on an interval.
© Гадоев М.Г., 2011.
Поступила 10 июня 2011 г.
Результаты §2—§5 являются качественно новыми и даже при более слабых ограничениях на а(£). Здесь изучаются спектральные вопросы замкнутого расширения, которое задается граничными условиями, отличными от граничных условий Дирихле.
Применяемый метод основан на аппроксимации а(Ь) гладкими матричными функциями а& (¿). Однако к соответствующему оператору Аг не применимы оценки резольвенты, установленные в [6], поскольку а& (¿) может иметь непростые с.з. Поэтому некоторая часть работы посвящена оценке резольвенты оператора Аг. При исследовании асимптотики спектра также применяется этот метод.
Результаты данной статьи частично отражены в работах [9-11].
§1. Формулировка основных результатов
1. Оператор А, заданный в гильбертовом пространстве Н, мы назовем далеким от самосопряженного, если он не приводится к виду
А = В(Е + Б), В = В*, Б е а^(Н). (1.1)
Здесь и далее, символ а^(Н) обозначает класс линейных вполне непрерывных операторов в Н; В * — оператор сопряженный к В.
Спектральные свойства эллиптических дифференциальных и псевдодифференциаль-ных операторов, близких к самосопряженным, т.е. приводящихся к виду (1.1), в литературе достаточно подробно изучены (см. [12, 13]). Также подробно исследованы спектральные свойства эллиптических дифференциальных операторов (д.о.) и псевдодифференци-альных операторов (п.д.о.), далеких от самосопряженных, в случае, если они заданы на компактном многообразии без края (см. [6, 14-16], где имеется библиография). В случае областей с краями, д.о. и п.д.о., далекие от самосопряженных изучались в [2, 3, 17, 18, 19-22]; из них вырожденно-эллиптическим задачам посвящены [2, 3, 17].
2. В этой работе изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора в Ь2(0,1), порожденного билинейной формой
т 1
А[п,у]= ^ < Рг(*)аг] (¿)«(г)(£),Р (Ф^ (¿) >С1 (И. (1.2)
ы=0 0
Здесь
ve+i-m (i _ n m) 9<m u(i)(t)_ d u(t)
dti
Pi(t) _ {t(1 - t)Y+l-m (г _ 0, m), 9 < m, u(i)(t) _
aij Є L^(J; End C ) (i,j _ 0,m),
где J _ (0,1). Символ < , >ci обозначает скалярное произведение в C
Обозначим через Н+ замыкание линейного многообразия 00^(3) по норме
М+ = (^ + У |^(^)|2^^)1/2.
Положим:
Н = ¿2(3), Н = Н0---0Н (I - раз),
Н+ = Н+ ® ■ ■ ■ ® Н+ (I - раз).
В дальнейшем скалярное произведение в пространствах Н, Н будет обозначаться одним и тем же символом (, ). Аналогично, нормы в пространствах Н+, Н+ и Н, Н, С1 будут обозначаться соответственно через | |+, | |. Символом ||Т|| обозначим норму ограниченного оператора Т, заданного в Н или Н1.
За область определения билинейной формы А[п^] (1.2) примем пространство Н++. Пусть выполнены следующие условия:
|а„(Ь)\ ^ МЬг(1 — Ь)г (г + ]< 2т), 8> 0, (1.3)
Рз(Ь) е Б (з = 1,1,1 е 3), (1.30
где Б С С — некоторый замкнутый угол с началом в нуле, а (Ь) — с.з. матрицы а(Ь). При выполнении перечисленных выше условий имеет место следующая теорема: Теорема 1.1. Существует единственный замкнутый оператор А в Н1, обладающий следующими свойствами:
(г) О(А) С Н1+, (Ап,у) = А[п,у] (Уп е О(А), V е Н+),
(гг) при некотором г0 е С существует непрерывный обратный
(А — гоЕ)-1 : Н1 ^ Н1.
3. Обозначим через Н- пополнение пространства Н по норме
, , \(п,^)\
|п|- = вир ——:--------.
о=^ен+ \'^\+
Положим Н1_ = Н- ® • • • ® Н- (I - раз). Элемент Г = (¿1,... , Г) е Н1_ порождает
I
,
антилинейный непрерывный функционал над H++ по формуле
< F,v >= lim (ui,v), v E Hl,
/1
где последовательность вектор-функций п1,п2,... е Н выбирается так, что п ^ Г (г ^ +то) в Н_.
Заметим, что если V = (VI,... ^¡) е Н+, то
< F,v >= < Fi,vi >, |F|_ = (£ |Fi|—)1
Г г\2 )1/2
г=1 г=1
Здесь и далее, как при I = 1, так и в случае произвольного I е N приняты одни и те же обозначения: \ \ - , < , > .
Обратно, для любого антилинейного непрерывного функционала д^) (V е Н+) существует единственный элемент Г е Н1_ такой, что д(V) =< >, Уv е Н+. При этом
норма функционала д равна \Г\_.
пттппт:тг>ит:тп /4"лтгхттлттттгито ттит иа тт '7-^ ^
В дальнейшем антилинейные непрерывные функционалы над Н+ отождествляются с элементами пространства Н}_.
4. При выполнении условия (1.3) согласно неравенству Харди имеем
\А[п^]\ ^ М\п\+^\+ (Уп^ е Н+).
Поэтому можно ввести в рассмотрение оператор А : Н+ ^ Н_, действующий по формуле
< Ап, V >= А[п, V] (Уп, V е Н+).
§2. Одна лемма о матричных функциях
1. В данном параграфе сформулируем и докажем аналог леммы Шуры для матричных функций.
Рассмотрим матричную функцию а(Ь) е Ст(,1; ЕиЛС1).
Предположим, что матрица а(Ь), при каждом Ь е 3, имеет I различных собственных значений р1(Ь), ...,рI(Ь). Тогда собственные значения матрицы а(Ь) (Ь е 3) можно перенумеровать так, что рз(Ь) е С(3), (] = 1,1). Имеет место следующая
Лемма 2.1. Существует матричная функция
U(t) G Cm(J; EndC1 )
такая, что
и при этом
U-1(t) Є Cm(J; EndC1)
a(t) = U (t)A(t)U-1(t), (2.1)
где A(t) — диагональная матрица:
A(t) = dzag{^1(t), ...,^i(t)},^j(t) G Cm(J).
Доказательство леммы проведем в пунктах 2 и 3.
2. Пусть to G J. Пусть r G {1,...,/} — фиксированный индекс.
Введем матрицу
P(t) = 2Л1 J (a(t) - zI)-1dz, (|t - to| < e') (2.1'),
ls
где I — единичная матрица, je = {z G C : |z — pr(t0)| = e} — контур, ориентированный против часовой стрелки. Обозначим: De = {z G C : |z — pr(t0)| < e},
A(e') = {t G J :]t — to| < e'}, (A(e')) = {^¿(t) : t G A(e')}.
При достаточно малых e, e' имеем:
^i(A(e/)) П pj(А(є/)) = 0 (i = j),
Рі(А(є')) П D£ = 0 (i = r),
Pr(А(є')) C De.
Учитывая, что
tr z(a(t) — zi) 1 dz = / z(pj(t) — z) 1dz
Ye
i=1
Ye
где i Є EndC1 — единичная матрица, находим
1
pr (t) =-------tr z (a(t) — zi ) 1dz.
2пг I
Te
Так как а(Ь) е Ст(3; Еи(С1), следовательно рз-(¿) е Ст(3)(] = 1,/). Пусть у^(¿) = (у^(Ь),...,у1и(¿)) — собственный вектор (с.в.) матрицы а(Ь) отвечающий с.з. р^(¿), т.е.
(2.2)
(aij (t))i,j=1 ,
X] aij (t)yjv (t) = Pv (t)Viv (t) (i = 1, 0-
v=1
Легко проверить, что матрица U (t) = (yj (t))ij=1 удовлетворяет равенствам
I
(а(і)и(г))Рд = X аря(і)У»я(і) = Ря(і)Уря(і),
и=1
I
(и т^гя = X Уря (і)^я Р» СО = Ря (і)Уря (і),
^=1
где 8ия обозначает символ Кронекерра-Капели. Следовательно а(і)и(і) = и(і)Л(і). Так как столбцы матрицы и(і) составлены из линейно независимых с.в. матрицы а(і), то имеем
ёе1 и(і) = 0 (і Є А(є')). (2.3)
Учитывая, что
(а(і) — гі)-1 = и(і)(Л(і) — г/)-1и-1(і), (і Є А(є')),
получим
Р(І) = 2^и(і)(/ (Л(і) — г/)-1^)и-1(і) = и(і)Ти-1(і),
Те
Т = а^{^г ,...,5гг }. (2.4)
Из этих равенств легко выводится, что область значений оператора Р(і) : СО ^ СО одномерная и содержит в себе с.в. уг(і), (і Є А(є')). Поэтому, матрица Р(і) действует по формуле
Р(і) к =<к,рг(і) >сі уг(і), (Vh Є С1 ,і Є А(є')), (2.5)
где рг(і) Є О1, Vі Є А(є'). Полагая к = а(і)к1 (к1 Є С1) и принимая во внимание равен-
ства
Р(і)а(і)к1 = а(і)Р(і)к1 =< а(і)к1,рг(і) >сі уг(і) =
=< къа* (і)ірг (і) >с і Уг (і) = Рг (і) < Ь,рг (і) >с і Уг (і), в силу произвольности к1 Є О1, находим
а*(і)^г (і) = Рг (і)Рг (і).
Согласно (2.4), ігР(і) = ігТг = 1. Поэтому < уг(і), рг(і) >сі = 1.
Используя (2.5), легко найти элементы матрицы Р(і):
(Р (і))іі = Уіг (і)Р^г (і) где р3>(і) (і = 1,/) — компоненты вектора рг(і).
Отсюда и из (2.1') следует, что
Уіг(і)Р~Щ Є Ст(А(є')) (і, і = М). (2.6)
Заменяя число є', если нужно, на более меньшее положительное число, мы можем найти индекс ш Є {1,...,/} такой, что р,шг(і) = 0 (V Є А(є')). Далее заменяя, если нужно,
Уг(і), рг(і) соответственно на р—1 (і)Уг(і), Р—1 (і)Рг(і) без ограничения общности можно считать, что р^ (і) = 1 (і Є А(є')).
Полагая в (2.6) і = ш, получим уіг(і) Є Ст(А(є')), і =1,..., /.
В силу (2.5) имеем
U-1(t) G Cm(A(e'); EndC1).
3. Пусть A1, A2 С J — замкнутые отрезки, mes A = 0, A = A1 П A2.
Пусть так же, как выше, построены матричные функции
Uj (t) G Cm(Aj; EndC1 ) (j = 1, 2)
такие, что
Uj“1(t) G Cm (A j ; EndC1) (j = 1, 2),
a(t) = Uj(t)A(t)Uj_1(t) (t G Aj), (j = 1 2).
Построим матричную функцию
U (t) G Cm (A1 U A2 ); EndC1)
такую, что
U-1(t) G Cm(A1 U A2); EndC1),
a(t) = U(t)A(t)U-1(t) (t G A1 U A2).
Столбцы матриц U1 (t), U2(t) (t G A) составлены из с.в. матрицы a(t) и поэтому колли-
неарны. Следовательно
U1(t) = U2(t)Q(t), Q(t) = diag{w1(t),..., w^(t)}, t G A,
где Wj(t),w-1(t) G Cm(A) (j = 1,/). Продолжим функции Wj(t) (t G A),j = 1,/ до функций Wj(t) G Cm(A2) так, что W-1(t) G Cm(A2) (j = 1,/).
Положим
Q(t) = diag{tü1(t),..., W7^(t)} (t G A2).
Легко проверить, что матричная функция
U(t) = / U1(t)’_t G A1 U (t) \ U2(t)Q(t),t G A2
удовлетворяет перечисленным выше условиям. Доказательство леммы завершается применением метода склейки.
§ 3. Дифференциальные операторы с матричными коэффициентами
1. В пространстве Hr = L2(J)r, r g{1,...,/} рассмотрим билинейную форму
Q'[u, v] = J р2в(t) < Q(t)u(m)(t),v(m)(t) >cr dt, D[Q'] = h;, j
где p(t) = t(1 — t),0 < m. Пространство такое же, как в §1, матричная функция Q(t) имеет вид
(q(t) 1 0. . . 0
0 q(t) 1. . . 0
Q(t) = 0 0 q(t) . . 0
1 °- 0 0. . . q(t)
Q(t) E Cm(J; End Cr ),q(t) E Cm(J),q(t)E S (Vt E J), где S С C — некоторый замкнутый сектор, расположенный в левой полуплоскости с вершиной в нуле.
Обозначим через HV, v > 0 пространство функций u E H+ с нормой
\ 1/2
р2д(t)|u(m)(t)|2dt + v J |u(t)|2dt| .
Очевидно, что HV = H+, Vv > 0, и нормы в этих пространствах эквивалентны. Пусть Hr_V, v > 0, обозначает пространство элементов F E Hr_ с нормой
|F|-V,r = sup | < F,v > |.
vG H+
\v\v <1
Введем оператор QV,r : HV ^ H^V, v > 0, по формуле
<QV,ru,v>= Q'[u,v], Vu,v E HV.
Имеет место следующая
Лемма 3.1. Найдется достаточно большое число С > 0 такое, что при A E S, |А| > С и v E [1, 21А|] существует непрерывный обратный
(Qv,r - AE)-1 : H-v ^HV,
норма которого не превосходит некоторого числа M, не зависящего от A, v.
Доказательство. Для простоты рассуждений будем считать, что сектор S расположен в левой полуплоскости и симметричен по отношению к R_ и имеет угол раствора меньше, чем п/2.
Так как q(t) — непрерывная функция, то существует сектор S, который тоже расположен в левой полуплоскости и симметричен по отношению к R_ = (-то, 0) и имеет угол раствора меньше, чем п/2, так что S С IntS, и q(t)ES.
Пусть b+ — биссектриса угла, образованного сторонами секторов S и S из верхней полуплоскости, а в+ — угол от биссектрисы до мнимой оси.
Очевидно, что в+ < п/2, и имеет место неравенство Re Ае_гв+ ^ 0, для каждого A E S (|А| > 1) и Re Ае_гв+ q(t) > 0 для всех t, таких, что Imq(t) > — . Аналогично для
Imq(t) < ^ находим число в_ такое, что имеют место неравенства
Re Ае_гв- ^ ^, VA E S (|А| > 1); Ree_i>3-q(t) > 0.
Теперь покрываем отрезок [0,1] интервалами I1,... , Ik так, что правый конец 1г пересекается с левым концом !г+1, и
mes (!г П ¿¿+0 = 0, i = 1, к — 1, кратность покрытия равна 2 и для каждого фиксированного i
либо Imq(t) > — , Vt E Ij,, либо Imq(t) ^ , Vt E Ij,.
Построим неотрицательные функции p1(t), p2(t),. . . , pk(t),^i(t),
^2(t),. . . ,^k(t) E C^(J) такие, что
k
X Pj(t) = 1 (t E J) j=i
и
ф (t) = 1, Vt E supp <fj, supply С Ij.
Поэтому
ReAeiaj < 0, Req(t)e%aj > 0, Vt G supp^j, где aj равен — ß+ или —ß—.
Поскольку q(t) — непрерывная функция на [0,1], и supp^j — компакт, то имеем
Reeiajq(t) > Cj > 0, Vt G supp^j,
и значит,
Reeiajq(t) >c> 0, где c = mincj,j = 1,k.
Умножая, если нужно, исходную билинейную форму на число 8, можем получить следующее неравенство
Reeiaj q(t) > 8.
Далее, для завершения доказательства леммы нам понадобится ряд утверждений. Поэтому оставшуюся часть доказательства приведем в п. 6 настоящего параграфа.
Имеет место следующая
Лемма 3.2. Пусть выполнены перечисленные выше условия и
Reeiajq(t) > 8. Тогда для любого вектора h G Cr имеет место неравенство
Re < eiajQ(t)h,h >Cr> 7|h|Cr.
Доказательство. Имеем
< e^jQ(t)h, h >cr = hI2 + eiajhkhk+l + |hfc+i|2) +
k=1
+| h 112 + ^ Ihr |2.
Отсюда с учетом неравенства Reeiaj q(t) > 8 получаем
Г— 1
Re < e%aj Q(t)h, h >cr > ^^(4|hk|2 — 1 hk ||hk+1| + 4|hk+1|2) +
k=1
Г—1 1 1 +4(|h1|2 + |hr |2) > У ](4|hk |2 — 2 1 hk |2 — 2 |hk+1|2 + 4|hk+1|2) + k=1
7 r—1
+4(|h1|2 + |hr |2) = 2[X(|hk|2 + |hk+1|2)] +
k=1
r 13
+4(|h1|2 + |hr |2) = 7(X 1 hk|2) + “2“(|h1|2 + |hr |2) > 7|h|Cr.
k=1
Лемма 3.2 доказана.
2. В этом пункте приведем формулировку теоремы 2.0.1 из [23] в нужной для нас форме. В пространстве HV рассмотрим билинейную форму
m
B[u, v] = y^/(aijpjiu(%),pjjv(j))b2(j)r, i,j=0
где aij,pi — такие же объекты, как в §1, r g{1,. ..,/}.
Утверждение 3.1. (см. предп. 2.0.1 статьи [23]) Пусть билинейная форма B[u,v] удовлетворяет неравенствам
|B[u,v]| ^ M|u|h+ |v|h+ , (3.1)
ReB[u,u] + A0(u,v) > $|u|Hr. (3.2)
Тогда:
1) существует линейный оператор Л, осуществляющий гомеоморфизм пространств 'Щ, и 71ги такой, что
V — V '
< Ли,у >= Б[и,у] + Ло(и, у), Уи,у Е Н,
где символом < ¡,у > обозначено действие функционала f на элемент у;
2) всякий антилинейный непрерывный функционал 1(у) над Н допускает представление
1(у) = Б[и0,у] + Л0(и0,у) =< Ли0,у >, Уи Е Н—и, где и0 — некоторый элемент из Н+.
Последнее означает, что оператор Л—1 существует и имеет конечную норму
|Л 1|н-, < +^.
Следующая лемма дополняет утверждение 3.1.
Лемма 3.3. Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда справедливо следующее неравенство
|Л—1|„-,^н+„ « 1, 6> 0. (3.3)
Доказательство. Последнее неравенство означает, что
&1Л—1у1Н1, ^ |у|н_* Уу е Н—и. (3.4)
Так как < Ли, V >= Б[и, у] + Л0(и, у)н, то
Кв < Ли, и >> ^|и|Н+^, Уи Е Н+.
Но по определению нормы функционала,
|Яв < Ли,и> | ^ | < Ли,и> | ^ |Ли|н— |и|н+.
Поэтому
|Ли|Н-^ |и|н+^ >
и
|Ли|н-^ > Щп+„, Уи еН+.
Подставляя V = Ли, получим (3.4). Лемма 3.3 доказана.
Введем функцию ^ (¿) совпадающую с д(Ь) на интервале ^, и гладко изменяющуюся вне
1у ,] = 1,к
Легко видеть, что имеет место следующее неравенство (см. лемму 3.2)
Кв < вга (1)Н,Н>сг > с0|К|С, У£ Е [0,1], (3.5)
где 0 < с0 < 7, а матричная функция 5^ (¿) получается из 5(Ь) заменой ^(¿) на ^ (¿).
Введем билинейную форму
50 [и, у] = J р2в (t) < (^и(т)(^, у(т)(^ >сг ^, и,у Е Н.
J
Имеет место следующая
Лемма 3.4. Для любого и Е Н справедливо неравенство
Еввга>^0[и,и] > С0|и(т)Ц2^г, 0 < С0 < 7. (3.6)
Доказательство. Подставляя К = ре(^и(т)(^ в неравенство (3.5), получим
Яв < вга53(^рви(т)(^,рви(т\г) >сг>
> С0 Ри(т) (*)|Сг, 0 ^ t ^ 1.
Интегрируя теперь по t от нуля до 1, получим (3.6), что доказывает лемму. Так как КвЛвга’ ^ — с|Л|, то из леммы 3.4 следует, что
Кв [вга’50[и,и] - Лвга’ (и, и)] >
> с/|и|Нг = с/|и|Н+ + , (1 ^ V < 2|Л|, |Л| > 1).
ч
Введем оператор Ьз,и : НГГ ^ Нг_и по формуле
< Ь]>г/и,ь >= Q0[u, ь], Уи,ь Є Н.
Применяя неравенство Коши-Буняковского, легко можно показать, что билинейная форма Qjj [и, ь] удовлетворяет неравенству
[и,ь]| ^ М|и|н^Мн.
Далее на основе леммы 3.4 заключаем, что выполнены все условия утверждения 3.1. Следовательно, существует непрерывный обратный
(Л) = (вга!3 - ЛгіаіЕ)-1 : Н% ^ Н,
(Л Є Б, |Л| > 1, V Є [1; 2|Л|),
и
|П>(Л)| ^ Г1,
0 <8 — некоторое число, не зависящее от Л^.
Для Я Є Нг_„ ,ь Є НІ имеем
< 4ч г,^ у >= (/ («)5(«)в^ от'к,.„ (\)Ф, г,ре эт(уР, ))-
—Лв“’ (, (Л)ф, К^у), (3.7)
где ^. Здесь и далее в этом пункте (, ) означает скалярное произведение в Ь2(-1 )г. Введем оператор
к
п(Л) = X щвга!3Фз : Н% ^ Н, (Л Є Б, |Л| > 1, V Є [1, 2|Л|]). (3.7')
3 = 1
Легко заметить, что
к
< ^ - ЛЕ)П(Л)Я,ь >=^2 ега Ш)рв(і)&?<РзП>(Л)фзЯ, ре(і)у(т)(і))
3 = 1
к
Л^еіа‘ (щ П,„ (Л)фз Я,ь).
з=1
Учитывая (3.7) и равенство
к
X < ф3Я, Ъзь >=< F,v>,
з=1
находим
< ^ - ЛЕ)П(Л)Е,ь>=<Е,ь> +Хл(Я,ь) + Ул(Я,ь), (3.8)
где
к
Хл(*» = X е<а‘ { X С-™ (Р^дГПі* (Л)Фз Ър'ь^З')}, (3.8')
3 = 1 2=т
ш2=0
Yл(Р,v) = X е“’ { X С'тіт (р^<еТ)в?3 (Л)ф Г,рвь1т))}. (3.9)
3 = 1 ші+ш2=ш
ш2 = 0
Здесь Ст 1,т2, С т2 - некоторые постоянные числа, зависящие только от т1, т2. Интегрируя один раз по частям, получаем
к
Хл(*» = - X Є™’ { X Сті,т2 (Рвдт-'(3 (Л)фз Я),
3 = 1 ші + Ш2=ш
ш2 = 0
р-8д*^*(Ф2%(т1)Щт2)))}. (3.10)
3. Пусть Р — самосопряженный оператор в Н ассоциированный с билинейной формой
Р '[и,ь] = (рв и(т),рв ь(т)), Б[Р' ] = Н+.
В дальнейшем нам понадобится следующая
Лемма 3.5. Существует непрерывный обратный оператор Тш : Н- ^ Н,и > 1, такой, что Тши = (Р + иЕ)-1/2и, Уи Є Н, причем
\ТШЯ| ^ М^ — (Уи > 1, V Є [1, 2и),УЯ Є Н_*),
где число М > 0 не зависит от и, V.
Доказательство. Пусть Я Є Н-и. В силу плотности пространства Н в Н_, найдутся элементы и1,и2,... Є Н такие, что и3Р (з ^ +то). Далее имеем
|((Р + иЕ)-1/2(и3 - ик),ь)| = |(и - ик, (Р + иЕ)-1/2ь)| ^
^ |и3 - ик — |(Р + иЕ)-l/2v|v ^ М- ик— для всех ь Є Н+. Так как Н+ плотно в Н, следовательно
|(Р + иЕ)-1/2(и3 - ик)| ^ М|и3 - ик —.
Поэтому последовательность (P + uiE) 1/2Uj ,j = 1, 2,... - фундаментальна в H, и мы
имеем
(Р + шЕ)—1/2щ^п9 (j ^ +w), где g — некоторый элемент из H. Положим ТшF = g,F G H. Очевидно, что |g| ^ M lim |uj|—v = M|F|—v, VF G H—v и ТшF = (P + шЕ) —1/2F, VF G H. Лемма дока-
j^+те
зана.
4. Ближайшей нашей целью является доказательство неравенства (см.(3.8') — (3.10))
|XÄ(F,v)| + |YÄ(F,v)| ^ M|A|—£'|F|—v|v|v (3.11)
(VF GH— ,v GH+ ,A g S, |A| > 1, v G [1, 2|A|)), с некоторым e' > 0. Заметим, что билинейная форма
P-Ä[u,v] = eiaj (рвQu((m) ,рвQ(m)) — Aeiaj (u, v), (u,v G H+),
где A G S, |A| > 1, плотно определена в Hr, замкнута и секториальна. По известной теореме (см. теорему 2.1 из [24, Гл.VI, §2]), существует m-секториальный оператор PjÄ в Hr такой, что D(Pj,Ä) С H+, причем
(Pj,Äu,v) = Pj,Ä[u, v] (Vu G D(Pj,Ä), v G H+).
Аналогично, найдется положительный самосопряженный оператор P^ в H такой, что
D(Pjy = H '
и
(Pj,XU,v) = ^(Pj,\[U,v] + P'jÄv,U]), Уu,v е H+.
Применяя теорему 3.2 из [24, Гл.VI, §3], получим
Р_л = (Р!л)-1/2Пл(Р“л)-1/2.
где
число М не зависит от Л Є Б (|Л| > 1). Отсюда очевидным образом выводится, что
Р_Л = (Р + |Л|Е )-1/2^,.л(Р + |Л|Е )-1/2,
где Р — такой же оператор, как в лемме 3.5, а
11^”7,ЛІІНГ^ M', (Л Є Б, |Л| > 1).
Докажем, что
3(Л) = (Р + |Л|Е)-1/2^3,лТ|л|, (Л Є Б, |Л| > 1, V Є [1, 2|Л|)). (3.12)
Из определения операторов П3-,^(Л), Р3,л следует
Р__л1и = П,>(Л)и (Уи Є Н+,Л Є Б, |Л| > 1, V Є [1, 2|Л|)).
Поэтому
3(Л)и = (Р + |Л|Е)-1/23Т\л\и (Уи Є Нг).
Так как операторы П3-^(Л), (Р + |Л|Е)-1/2^},лТ\л\ непрерывны из Н£ в Нг_и, и пространство Нг плотно в Нг_и, следовательно
3 (Л)Я = (Р + |Л|Е )-1/2Fз•л7|л\Р,
(УЯ Є Н_„, Л Є Б, |Л| > 1, V Є [1, 2|Л|)),
что и доказывает (3.12).
Теперь мы можем легко завершить доказательство неравенства (3.11). Заменим в формулах (3.9), (3.10) Пк,и(Л) на правую часть (3.12). После этого нам остается только показать, что для Л Є Б, |Л| > 1, выполняются неравенства
||рЧті(Р + |А|Е)-1/2||„^„ « М|Л|-*' (т! < т),
ИрМдт1 (р + |Л|Е)-1|н_н « М|ЛГ',
|р<5_’д^р^ь^фт^Ы* ^ М|ь|+, (т-1 + т-2 = = 0),
где є' ,8 > 0 — достаточно малые числа. Первые два из этих неравенств выводятся из известных мультипликативных неравенств (см. напр. [25]). При этом число 8 может быть произвольным из интервала (0,1). Последняя оценка следует из неравенства Харди:
^ ] |р ь |НГ ^ Мд |ь| + (Уь Є Н+
ті+т2=т
ь(ті)|н* ^ Мё|ь|+ (Уь Є Н+).
Если 9 = 1,... ,т — 1, то это неравенство справедливо также для 5 = 0.
6. Из неравенства (3.11) согласно (3.8) следует, что
5 — ЛЕ)Пи(Л) = Е + (Л), (Л Е Б, |Л| > 1, V Е [1, 2|Л|)),
где (Л) : Н—и ^ Нг_и — непрерывный оператор,
11^(Л)||н-^^ М|Л| £ , £' > °.
Выберем число а0 > 0 так, что М|Л|—£ ^ 1 для всех |Л| > а0. Тогда
5 — ЛЕ)П„(Л)Си(Л) = Е, ау(Л) = (Е + аи(Л))—1,
II(Е — С'и(Л)Ннт< 1
Покажем, что ker (Qv — AE) = 0, VA G S, |A| > a1, где a1 — достаточно большое число, v G [1, 21A|). Тогда при A G S, |A| > a' = max{a0, a{}, v G [1, 21A|) мы будем иметь равенство
(Qv — AE )-1 = Rv (A)GV (A). (3.13)
Рассмотрим оператор Q*,v : Hr ^ Hr_v, v > 0, действующий по формуле
< Q*,vu,v >= (peQul'm),pev(m)), (Vu,v G HV).
Так же, как и выше, строятся операторы
R*,v (A) : H-v ^ HV, G*,v(A) : H-v ^ H-v,
такие, что
(Q*,v — Ae )R*,v (A) = E + G*,v (A), (3.14)
\\G*,v (A)llH-v ^ 2 (A G S,> |A| > a1,v G [1, 2|A|)). (3.14')
Пусть u G Hr_v такой элемент, что (Qv — AE )u = 0. Пусть кроме того,
|A| > a' = max{a0,a1}. Тогда
< (Qv — AE)u,v >= 0, Vv G Hv,
т.е.
(peQu(m),pev(m)) — A(u, v) = 0 (Vv G Hv).
Следовательно,
< (Q*,v — Ae)v,u >= (Q(t)pe(t)v(m\t),u(m\t)) — A(v,u) = 0.
Положим v = R*,v(A)F, F G H-v. Тогда в силу (3.9),
< (E + G*,v(A))F,u>=0, VF G H-v.
Поскольку при A G S, |A| > a',v G [1, 21A|) оператор
(E + G*,v(A)) : H-v ^ Hv
имеет непрерывный обратный, следовательно, < F1,u >= 0, VF1 G Hr_v. Полагая F1 = 0, получим u = 0. Тем самым установлено равенство (3.13), откуда следует оценка
ll(Qv — AE )-1\h-v ^HV ^ 2\Rv (A)IIh-v ^HV .
Применяя теперь (3.7'), (3.12) и лемму 3.5, мы завершаем доказательство леммы 3.1.
Замечание. Результаты этого параграфа имеют место также в том случае, когда матрица Q(t) диагональная и выводятся еще проще ввиду отсутствия единицы.
§ 4. Доказательство теоремы 1.1.
1. Рассмотрим билинейную форму A[u,v] (1.2). Пусть выполнены все условия теоремы 1.1. В этом разделе мы предполагаем, что матрица a(t) имеет вид
a(t) = U (t)A(t)U-1(t), (4.1)
где матричные функции U (t),U-1(t) G Cm(J; End С1), а A(t) — жорданова матрица сле-
p
дующей структуры. Найдутся числа r1,...,rp такие, что r = I, и если комплексное
i=1
/-мерное пространство С1 представить в виде Cri х • • • х СГр, то
A(t) = diag {Q1 (t),... ,Qp(t)},
где Qг(t) является гг х гг-матрицей вида
(дг^) 1 0 ... 0 ^
0 дг^) 1 ... 0
V 0 0 0 ... 5г(0)у
или
Qг (t) = diag {дг (t),... , qг(t)} (г г -раз). (4.2)
Увеличивая если нужно число блоков, можно добиться того, что в случае (4.2), гг = 1, и тогда речь идет о скалярном случае (т.е. одномерной матрице).
Очевидно, что {дг(0} — это собственные значения матрицы а^).
Согласно лемме 2.1 такие же представления имеют место, в частности, в том случае, если с.з. матрицы д(і) в координатной плоскости все различны на концах отрезка. Потому, что тогда по непрерывности они будут различны в некоторых малых окрестностях концов отрезка.
Введем оператор QV,г : Н^ ^ Н_^ (V > 0, і = 1,р) по формуле
< Qv,гu,v >= QV,г[u,v] = (рвQг(t)u{m),рвь(т))І2(^г (и,ь Є Н^).
В прямой сумме НІ = Н^1 ф НІ2 ® • • • ® НІР, введем оператор
в {Qv,l,..., Qv,p} : Н1 ^ Н_^,
где Н1_и = Н—, ф Н-2, ф • • • ф Н__,. Норма ^— элемента Я Є Н1_и равна верхней грани чисел | < Я, ь > |, по ь Є Н таким, что |ь|^ = 1.
По лемме 3.1 при г Є {1,...,р},Л Є Б, |Л| > с'^ Є [1, 2|Л|), где с' > 0 — достаточно большое число, существуют непрерывные обратные
(^и,т - ЛЕ) 1 : Н—І ^ Н1, г = 1,р.
Ясно, что
(В1 - ЛЕ) 1 = {(^,1 - ЛЕ) 1, . . . , (^1,р - ЛЕ) 1} : Н_^ ^ НІ
непрерывный оператор. Положим
XV (Л) = и в - ЛЕ )-1и-1, (4.3)
где и обозначает оператор, действующий в Н1_и по формуле
< иЯ,ь >=< Я, и * (ф^) > (У Я Є Н^, ь Є Н^).
Ясно, что и : Н1 ^ Н1 ,и : Н ^ Н.
Отметим, что если
Я = (Я1, ...,Яі) Є Н^, ь = (ьь... ,ьі) Є НІ, V > 0,
то
^|_ = (£ т—)1/2. М„ =(^ |ьг|V)1/2,
г=1 г=1
і
< Я, ь >= < Яг, ьг > .
г=1
Аналогично, если Я = (Я1,... , Яр), где Яг Є Н1_І, ь = (ь1,... , ьр) Є НІ, V > 0, то
|Я|_ = £ |Яг|_1 )1/2, М„ = (£ |ьг|V)1/2,
г=1 г=1
< Б, у >= X < рг,уг > .
г=1
Для Б Е Н1 имеем < Б, у >= (Б, у), Уу Е Н1и.
Из представления (4.3) согласно леммы 3.1 вытекает, что при достаточно больших по модулю Л Е Б, имеет место неравенство
|Xv(Л)Нн-„^ М, (4.3/)
где число М не зависит от Л^ Е [1, 21Л |).
Для Б Е Н1_и,у Е Н1и в силу (1.2) выполняется равенство
Л[Хи(Л)Б, у] = хх(Б,у) + ух(Б,у),
где
т г’
хх(Б,у) = ЕЕ<рг аг,д\Ху(Л)Б,р,у(,)), г, = тт{т, 2т — — 1},
,=0 г=0
уА(*>) = (р8 а^Х* (Л)Б,р8 у(т)).
Заметим, что ух(Б,у) = у^1)(Я,у) + у^2)(Я,у), где
у^ВД = (р8 иЛОГВ — ЛЕ) —1и—^,р8 у(т)),
т— 1
у?(Б, у) = £ с,(р8аШ^1 и)д,(Б„ — ЛЕ)—1и—1Б,р8у(т));
,=0
с, — постоянные числа, зависящие только от т, ].
Далее, учитывая, что
у^ВД — Л(и—1Б,и*^)) =< и—1Г,и*(ф^) >=< Б,у >,
находим
где
АХ(Л)Я,ь] - Л(ВД =<Я,ь> +Kл(Р,v)+ Тл(Я,ь),
т Г’
Кх (Б,у) = ££(Ргаг, дХ (Л)Б,р,у(,)) (4.4)
,=0 г=0
т— 1
Тх(Б,у) = £ с,(р8а(^и(т—,)д,(Б„ — ЛЕ) —1Б,р8у(т)). (4.5)
,=0
Здесь и(т—,') = дт—,и. Используя формулы (3.7'), (3.12), (3.13), (4.3) и повторяя рассуждения, проведенные в §3, мы устанавливаем, что при Л Е Б, |Л| > с', V Е [1, 21Л|), где с' > 0 — достаточно большое число, существует непрерывный обратный
(Л* — ЛЕ)—1 = XV (Л)(Е + Г (Л)), (4.6)
||Г„(Л)||ии^ ^ М|Л|—£, е' > 0. (4.7)
Здесь оператор Л^ : Н ^ Н1_„ определен по формуле
< Л^и,у >= Л[и,у], (Уи,у Е Н).
2. Пусть amm(t) Е Ст(3; ЕпЛ С1), и выполнено неравенство (1.3). Предположим, что с.з. матрицы а(Ь) = атт(1)^ Е 3) расположены вне некоторого замкнутого сектора Б С С с вершиной в нуле. Пусть найдется число е Е (0,1/2) такое, что имеет место представление
а^) = и±(^Л±^)и— 1^), dвtU±(t) = 0(t Е Д±), (4.8)
где
и±(і),и-1(і) Є Ст(Д±; ЕпЛС1), Д+ = [0,є), Д_ = (1 - є, 1],
(4.8')
а Л±(і) при каждом фиксированном t Є Д± является жордановой матрицей следующей
структуры. Найдутся числа г+,
,г+ ,гі ,
,г_ такие, что £ г,
г=1
+
^2 г_ = /, и ес-
3=1
ли комплексное /-мерное пространство С1 представить в виде СТі х • • • х СТр и в виде Ст- х • • • х СТ- , то
Л+(t) = diag {Q+(t),
Л-(t) = diag ^-(і), где Q±(t) является г± х г±-матрицей вида
/®±(і) 1 0 .
0 д±(і) 1 .
(t)}, ,Q_ (t)},
0 0
V 0 0 0 ... Чі СО/
д±(і) Є Ст(Д±; Е'пЯ СТ±),
или
Qi (t) = {д± (і),...,ді (t)} (г± - раз)
(4.9)
Продолжим функции д+(і) с интервала (0, є) на весь отрезок [0,1] так, что
5+(0 Є С т(3; ЕпЛ С1),о+(і) Є Б .В соответствии с этим продолжением, матрицу Л+ (t)
продолжим до матрицы Л +(і) так, что жордановые клетки не меняют своей структуры. Аналогично продолжим матрицу и+ (і) так, что и+(і) Є Ст(3; Е^ С1) и
det ¿/+ (і) = 0, і Є 3 .
В соответствии с этим мы получаем продолжение матрицы а (і) с интервала (0, є) на весь
3:
а+(і) = и+(і)Л+(()й_1(і). (.)
Аналогично строится матрица а_(і), которой соответствуют матричные функции а_(і),и_(і) и ТІ_(і):
а- (і) = и_(і)Л_(і)и/_1(і), і є з.
Введем оператор Q±г : НІ± ^ Н-І (V > 0, і = 1,р) по формуле
< <^±,іи,ь >= $1,г[и,ь] = (рв<3±(і)и(т),рвь(т))Ыз) (и,ь Є НТ± ).
7 Т± Т± т±
В прямой сумме НІ = Ні1 ф Ні2 ф • • • ф Н / введем оператор
(**)
В± = diag } : НІ ^ Нг_ь
где
Н1_і = н-±
Т±
НТД
Т±
нТр
Н — V •
По лемме 3.1 при г Е {1,... ,р}, Л Е Б, |Л| > с', V Е [1, 21Л|), где с' > 0 — достаточно большое число, существуют непрерывные обратные
^±Т - ЛЕ)
1
2 2 н Тії ^ ні2
г = 1,р.
Ясно, что
(В± - ЛЕ)-1 = diag {^± - ЛЕ)-1,... ((^±р - ЛЕ)-1} : ^ Н
непрерывный оператор.
Осуществим разбиение единицы отрезка [0,1].
Существуют неотрицательные функции фj (t) Є C^(J ),i = 1, 2,..., обладающие следующими свойствами:
ГО
!) Е ф2(t) = 1(t Є R).
j = -ro
2) все функции фj (t) получаются "сдвигом"от одной функции.
СО
3) кратность покрытия [0,1] = (J suppфj равна 2.
j=i
Для любых t,T Є suppфj(^,5), где 5 > 0 — некоторое число, имеет место неравенство
|t — т| ^ c|A|-£, с > 0. (4.10)
ГО
Из 2) следует, что Y1 Ф](ЦАІ-Є) = 1.
j=-ro
Положим
ГО R0(A,t,T) = X фj(^5)Rj(A^j(•,5),
j=-ro
где Rj (А) — п.д.о. с символом
Rj(s,A) = (р2в(Tj)a(Tj)s2m — AI)-1,Tj Є suppф0,5).
Так как норма п.д.о. оценивается через нормы его символа, то можно показать, что
|Rj(s, A)| ^ M(р2в(ti)s2m + |A|)-1,
где M > 0,ti Є suppфj(•,5),A Є S.
Построим теперь операторную функцию Xv (A), удовлетворяющую соотношениям типа (4.6), (4.7). Фиксируем неотрицательные функции ф+ (t),ф-(t),ф(t) Є Cro[0,1], обладающие следующим свойством
ф+ (t)+ ф-(t)+ ф2(t) = 1, ф-(t) = ф+(1 — t) (t Є J),
3
ф+ (t) = 0 (4 e<T< ^ ф+(т ) = 1 (0 ^ T<e/2).
Оператор Xv (A) введем по формуле
Xv (A) = ф+и+(Б+ — AE ))-1U+V+ + R0(A,t,T) + ф-І^Б- — AE ))-1UrV_,
где ф±(^ обозначает оператор умножения на функцию ф±(ї), а U± : Hl_ ^ Hl_ — непрерывный оператор такой, что (U±u)(t) = U±(t)u(t), Ун Є Hl, (A Є S, |A| > d,d > 0 — достаточно большое число).
Представим Xv (A) в виде
з
Xv (A) = X Xvk (A), (4.11)
k=1
где
Xv,1(A) = ф+и+(Б+ — AE )-1и-1ф+,
Xv,2(A) = фRo ф,
Xv,3(A) = ф-и-(Б- — AE )-1іи^1ф-.
В последующих пунктах а), б), в) получены представления для Av[XvjF, v] при i = 2,1, 3 соответственно.
а)для F Є H-v ,v Є Hi имеем
m
Av [Xv,2F,v] = X ('Piaij (t)dl(Xv,2F ),Pj v[j)(t))L2 = i,j=0
= хл(Я,у)+ ух(Б,у), (4.12)
где
т г’
хл(Б,у) = (Рг аг,д1(Х„,2(Л)Р),р,у(,)), г, = тт{т, 2т — ] — 1},
,=0 г=0
ул(*>) = (р28 а(()дт(Х„3(Л)Е ),у(т)).
Здесь и далее опускаем индекс Ь2(е, 1 — е).
Для дальнейшего исследования нам понадобятся некоторые вспомогательные леммы. Пусть НV — замыкание С^(Кп)1 по норме
|и|„ = (|и(т)М|^ + V \и\12 )1/2.
Обозначим Н—^ — пополнение пространства Ь2(.]) по норме
^ | —^ = 8Пр .
'€ = 0 |у|тН*,
Элементы из Н1_„ отождествляются с соответствующими антилинейными непрерывными функционалами над НV.
Таким образом мы получили тройку плотно вложенных пространств
П/1 Т 1 /— 1
Н С ¿2 С Н—V.
В этом вложении Н, — позитивное пространство, а Н1_и — негативное пространство (см. [23, §2.0]).
Ясно, что имеют место вложения
п/1 ,— Т 1 /— п/1 /— /1у1
НV С Н С ¿2 С Н—V С Н—V.
Лемма 4.1. Справедливо неравенство
|БН < |Б|и
■Л .
-V
Доказательство. Очевидно следующее неравенство
Mhi > |v|HV.
Используя это неравенство, имеем
|F!нг = SUP l(^j,v)l ^ SUp l(^j,v)l = |F|h* .
H-V v=0 MhV v=0 |v|HV V
Лемма доказана.
О '
Введем оператор Pv, действующий следующим образом:
(Pv u,v) = (u(m),v(m)) + v(u,v), (u,v G HI),
с областью определения
D(Pv) = H.
Определим оператор PV : HV ^ L2, по формуле
Pv= (P V )1/2, D(P„) = D((P„)42) = HV.
Лемма 4.2. Пусть a(t) Є Cm(J; End Cl), T : L2(J) ^ L2(J) — ограниченный оператор. Тогда для любых F Є Hl_V,v Є HV справедливо неравенство
| < a(t)TF, vj > | ^ sup |a(t)||| Pv T*||L2^L2 |F — |v|v.
teJ
Доказательство. Поскольку Ь2(,1 ) плотно в Н1_и, то, не нарушая общности, полагать, что Б Е Ь2(,1 ). Тогда имеем
| < а(^ТР,у(,) > | = |(а^)Т^>(,))| =
= Ка^Т Ру (Р„Г^,^^ ^
^ (вир |а(t)|)| Ри Т*||Ь2 ||(РV) —1Е||Ь2 И». teJ
Утверждение леммы следует отсюда, если учесть, что
НА)—1Б^|н < ^|нЧ.
н — V — V
Докажем теперь следующее неравенство (см.(4.12))
МВД| ^ М(|Л|—£' + V—£")^|—^,
где М > 0,е' > 0,е'' > 0, V Е [1, 2|Л|], Л Е Б.
Используя формулу Лейбница, имеем
т Г’
хл(Б,у) = ££(Рг аг, д\(Ху,2(Л)Р ),Р,у(,)) =
,=0 г=0
т— 1 т— 1
= £ (ргр, аг, д^(Х^,2(Л)Я ),у(,)) + £(РгРт ^(Х^ (Л) Б ),у(т)) +
г,,=0 г=0
т— 1
+ £(Р, Ртат, дт(Х„,2(Л)Р ),у(,)) = х1(Р,у) + х2(Б,у) + хз(Б,у).
,=0
Далее
т— 1
х1(Б,у) = £ (РгР,аг,д1(£ ффк(-,$)Як(Л)ффк(^,8)Б),у(,)) =
г,,=0 к=1
т—1 =££
(РгР,аг,д\(ффк(■, ¿)Як(Л)ффк(■, 8)Б), у(,)) =
к=1 г,,=0
т—1 =££
(РгР,аг,ффк(■,8)дг1.(Як(Л)ффк(^,8)Б), у(,)) +
к=1 г,,=0 т—1 г—1
+ ££ (РгР,аг,(£ С‘дг"'(ффк(■, Л))д1(Як(Л)ффк(-,^),у(,)) =
к=1 г,,=0 1=0
т—1 =££
(РгР, аг, ффк (-,Я)д£ (Як (Л)ффк 0,£)Е ),у(,)) +
к=1 г,,=0 т—1 г—1
+ £ £ £(РгР,аг,Сдг~‘(ффкМ))д(Як(Л)ффк(■, ¿)П у(,)) =
к=1 г,,=0 1=0
т—1 =££
(РгР,аг,ффк(■,8)д1(Як(Л)Б)ффк(■, ¿), у(,)) +
к=1 г,,=0 т—1 г—1
+ £ £ £(РгР,аг,ффк(■, ¿)СПдг-п(ффк(■, 5))ЗП(Як(Л)Б), у(,))+
к=1 г,,=0 п=0
можно
(4.13)
т—1 і— 1
+ЕЕ Е<№а« с а‘—‘ «’Л (■• № (л)ф’к (■• ^«и)
к=1 і,,=0 1=0
т—1
= ЕЕ ІРіР, а, ффк (■•6)ягк (Л)^ффк (■•6),у(з)) + к=1 і,,=0 т—1 і—1
+ ЕЕ ЕіРіРз аз, ффк (■• і)СПві—"(ффк (■• 5))(Яг(Л)ґ)• з
к=1 і,,=0 п=0 т—1 і—1
ді_І Л/.л/. ^ £\\и>1
+ Е Е Е(РгР,аг,С!дг—'(ффкЫ))Як(Л)БффкЫ),у(,))+
к=1 г,,=0 1=0 т—1 г—1 1—1
+ ££££(РгР, аг, С дг—1 (ффк Ы))С’ (ффк Ы))д (ффк (-,Л))Я’к (Л)Б,у(,))
к=1 г,,=0 1=0 п=0
+аэ т— 1 1
◦ ◦ —1
= £ £(РгР,аг,ффк0,6)Як(Л) РV (Р^ Р)ффкМ),уС?)) +
к=1 г,,=0
+аэ т— 1 г— 1 1
◦ ◦ —1
+ Е Е Е(РгР, аг,ффк (•.^СПУ-'Чффк (-,Л))(Яг(Л) Р„ (Р„ Р), у(,)) +
к=1 г,,=0 п=0
т— 1 г— 1 1
◦ ◦ —1
+ Е Е Е(РгР,аг,Сд^1 (ффкЫ))Як(Л) Р„ (Р„ Б)ффк(',6),у(,)) +
к=1 г,,=0 1=0
т—1 г—1 1—1
+ £ £ ££(РгР,аг,Сгдг—1 (ффк0,6))
к=1 г,,=0 1=0 п=0
◦ ◦ —1
■С(ффк(■,6))д1(ффк0,6))Я’’(А) Р„ (Р„ Б), =
= Л + ^2 + /3 + ^4,
где через Як обозначено дt(Яk (Л)).
Теперь, полагая в I, (^ = 1, 4)
Т+ = ффк. Як (Л), Т2+ = ффк ЯП(Л), Тз+ = ффк (■, 6)Як (Л), Т4+ = ффк Як (Л)
соответственно, а потом привлекая лемму 4.2, а также учитывая, что
^ Mv’—т|у|^, 6 = |Л|—£',
приходим к неравенству
| х 1 І^»| ^ М вир |рір, а, ||^ |н*_ ^ V ^ |^ II РV Т
ÍЄJ *
м=1
Теперь займемся оценкой || Р^ Т^||,ц = 1,4. Имеем
| РV Т*|Ь2 < ||дтТ,:|^2 + V 1/2цт;||12, ц = 174.
Теперь, используя легко проверяемое неравенство
зг+т ,. ,_£ т — г
^ М|Л| , где е = —-------> 0,
получим (при ß =1)
II Pv T*!l2 ^ ||ömT1*|La + V1 ^
si+m _ i
^ M sup( —--------— + v1/2^-ttt) ^ M|A|-£ , где e' = --------------- > 0.
s s2m + |A| s2m + |A| 1 1 ’ 2m
О ___
Аналогичные оценки существуют для || Pv T* ||,ß = 2,4:
|| Pv T*|| ^ M|A|-£//, где e'' = n-m > 0,
2m
|| Pv T* || ^ M|A|-£///, где e''' = l-—m > 0,
3 2m
|| Я T*|| ^ M|A|-£lV, где eIV = 1^mm> 0.
2m
Таким образом, имеет место оценка
4
X II Я T;|| ^ M|A|-£1, где ei = mm(e',e'',e''',eIV). м=1
Следовательно
A) |xi(F,v)| ^ M|A|-£2|F|-v|v|v, где e2 > 0.
Действуя аналогично, получим оценки для x2(F, v), x3(F, v):
B) |x2(F,v)| ^ M|A|-£3|F|-v|v|v, e3 > 0,
C) |хз(F, v)| ^ MvJ2mr|F|-v|v|v.
Теперь из A),B),C) легко следует (4.13).
Представим теперь матрицу р2"(t)a(t) в виде
р2в(t)a(t) = р2"(tj)a(tj) + р2"(t)a(t) - р2"(tj)a(tj),
где tj G suppIpj(-,8).
Тогда (см. (4.12))
yx(F,v) = (р2" (t)a(tW^Ro(A^F),v(m>) =
= (р2" (tj )a(tj WWMAH-F ),v(m>)+
+([р2"(t)a(i) - р2"(tj)a(ij)]atm(t/>Ro(A)V'F),v(”“>) =
= y(/>(F,v) + V?(F,v),
где
P?>(F,v) = (р2" (tj )a(tj )Sr»Ro(A№F),v(m>), v(2>(F.v) = ([р2"(t)a(t) - р2"(tj)a(tj)]3,m^Ro(A^F),v(m>).
Далее, используя формулу Лейбница, получим
»i1>(F,v) = (-1)m £(р2" (tj )“(‘j )d?'Wj M)Rj (A)^j (-,8^F],v) =
a(
j=1
"2"^j )a(j )ФФ.? V,8)(ut Rj (
(-1)m£ (р2" (j )a(tj Wj (•,8)(S,2mÄj (A)W#j M)F,v)+
j=1
2m-1
+(-1)mЕ(р2"(‘j)a(tj) X Ckm(S2m-‘(ффк(;8))(6kRj(A))ффj(-,8)F,v) j=1 k=1
= T1(F,v)+ Ti(F,v),
(4.14)
(4.15)
где
Т1(*» = (-1Г £(р2" (, )а(г, )фф, (•,6)(д,2тЯ, (Л))фф, Ы^у),
,=1
2т—1
Т2(б,у) = (-1)т £(р2"(г,)а((,) £ с2т(д2т—к(ффкы»
,=1 к=1
■(дк (Я, (Л))фф М^у).
Легко заметить, что
Т1(Б,у) — Л(фф,(■,6)Я,(Л)фф,(■,6)Б,у) =< ф2Б,у > . (4.16)
Произведем оценку |T2(F, у) |. Поступая так же, как при доказательстве неравенства (4.13), воспользовавшись очевидными неравенствами
||д2т—п(фф(■,6)|Ь2 ^ М|Л|£,(га—2т),
пП I
получим
или
||дпК,(Л)РІІІ2 ^ вир - +|Л| ^ М|Л|—^ ^|—V•
N¿2 ^ V—1/2(|дт^ + V 1/2Мь2) ^ Mv—1/21^• ^ м^—1/2|Л|£,(га—22т)—^|р|—VК•
НВДи)!^ ^ М|Л|—£"^|—V|V|V• (4.17)
где
„ т — 2тє(и — 2т) + 1 2т
Докажем оценку (см.(4.15)
|уі2)(Р»| ^ М|Л|—£'^|—V|V|V• м> 0^ Є [1 : 2|Л|]5 Л Є Б. (4.18)
у\ \ ’ /| ^ 1У± К'| | |—V ^|^
По теореме Лагранжа имеем
|р2*(г)а(г) — р2в(г,)а(,)| ^ М1|г — г,I
Если г € 8ПРРф,, то \Ь — г,| ^ с|Л|—£,, следовательно
|р20(г)а(г) — р2в(г,)а(,)| ^ М2|Л|—£^. (4.19)
Используя (4.19) и повторяя рассуждения, приведенные выше, мы устанавливаем неравенство (4.18).
Теперь из (4.13), (4.16), (4.17) и (4.8) следует
А[Х^^у] — Л(фф,Я,фф,Б,у) =< ф2Б,у > +Т(Б,у), (4.20)
где оператор-функция Т(Б, у) удовлетворяет оценке
||Т(ВДЦ^ ^ М|Л|—£^^|—V|у|^, М> 0, V € [1, 2|Л|], Л € Б.
б) для Б € Н—^ ,у € Н имеем
т
А [Хи,1(Л)Б,у] = £ (Ргаг, (^дКХ^Б ),р, у(,))ь2 = г,,=0
= xл(F,у) + ул(Б,у),
Очевидно, что
где
т г’
хл(Б,у) = £ £(Ргаг,(«)д,г(Х„, 1 (Л)Б), р,у(,)),
,=0 г=0
г, = тгп(т, 2т — — 1),
ул(Еу) = (р2" (()а(г)3,т(Х,л1(Л)Пу(т)) =
= (р2" (г)а(«)ат(ф+и+(е+ — ЛЕ ),у(т)).
Продолжая по непрерывности матрицу а(г) до а+(г) (см.формулу (*)), получим Ул^, у) = (р2" (г)а(()д,т(ф+С/+(е+ — ЛЕ )-1r^-1ф+F ),у(т)).
yл(F, у) — Л(ф+&+(й+ — АЕГ’^+’ф+Е’), у) =< ф+ F, у > . (4.21)
Далее рассуждения, приведенные в §3, приведут нас к следующей оценке для хл(Б, у):
|хл(Б,у)| ^ М|Л|—£|Б|—^|у|,. (4.22)
Таким образом, имеем
А [Х^у] — Л(ф+£+(В+ — ЛЕ)—^ф+Б ),у) =
=< ф+ Б, у> +хл(Б,у). (4.23)
в) аналогично, как в предыдущем пункте, для Б € , у € имеем
т
А^[Х^з(Л)Б,у] = £ (ргаг,(^(Х^Л^), у^)^—£,1) = г,,=0 = Хл(Б,у) + ул(Б,у),
где
хл(р,^) = ЕЕ(РіР, аі, (0д^(Х^з(Л)Е ),^(,)),
,=0 і=0
г, = mm(m, 2т — — 1),
Ул(Р.у) = (р2* (()айдт(Хлз(Л)Пу(т)) =
= (р2* (^)а(£)дт'(ф_ ^_(В— — ЛЕ )_1(t1ф>_í’ )^у(т)).
Заменяя матрицу а (і) на а— (і) (см.формулу (**)), получим
ул(Р.у) = (р2* (і)а(£)дт1(ф'_^/_(В— — ЛЕ)—1Е— ^ф— Е) • у(т)).
Ясно, что
Ул(*» — Л(ф— ¡7— — ЛЕ)—1г7—1ф—Р),у) =< ф— >
а хл^ у) удовлетворяет неравенству типа (4.22). Таким образом,
А [Х^у] — Л(ф— ¡7— — ЛЕ)—1г7Г1ф—Р ),у) =
=< ф— у> +жЛІF,у). (4.24)
г) из представлений (4.11), (4.20), (4.23) и (4.24) получим
Av[XV(Л)*>] — ЛІXv(Л)*» =< (ф+ + ф2 + ф— )*> > +:Т(Р^)у) =
=< у > +Т(Е, у), (4.25)
где о.-ф. Т(Е, у) удовлетворяет оценке
ЦП*»! ^ М|Л|—£/|Р|—V|у|v. (4.26)
3. Из неравенства (4.26) согласно (4.25) следует, что
(А — ЛЕ)Х,(Л) = Е + Г(Л), (Л € Б, |Л| > 1, V € [1, 2|Л|),
где Г^(Л) : Н—у ^ Н—у — непрерывный оператор,
ЦГ*(Л)|н—V—V ^ М(|Л|—£" + V—£), е > 0, е" > 0.
Выберем число 70 > 0 так, что М(|Л| —£ + V—е”) ^ 2 для всех |Л| > 70. Тогда (А — ЛЕ )Х, (Л)Г^ (Л) = Е, Г^ (Л) = (Е + Г (Л))—1,
IIЕ — Г' (Л)||н—V—V < 1.
Покажем, что кег(А — ЛЕ) = 0,УЛ € Б, |Л| > а1, где а1 — достаточно большое число,
V € [1, 2|Л|). Тогда при Л € Б, |Л| > а1 = таж(а0, а1}, V € [1, 2|Л|) мы будем иметь равенство
(А — ЛЕ) —1 = Х^ (Л)Г^ (Л). (4.27)
Рассмотрим оператор А : Н ^ Н—^, V > 0, действующий по формуле
т
< А и, у >= £ (а,Рги(г), Р, у(,) ), Уи,у € Н. г,,=0
Так же, как и выше, строятся операторы
Х^(Л) : Н—V ^ Н, (Л) : Н—V ^ Н—V,
такие, что
(А — Ле)х;; (Л) = е + с: (Л), (4.28)
ИС:(Л)||„—„ « 1, (Л € в, |Л|> <7^ € [1,2|Л|). (4.29)
Пусть и € такой элемент, что (А — ЛЕ )и = 0. Пусть, кроме того,
|Л| > 71 = таж(а0,а1}. Тогда
< (А — ЛЕ)и, у >= 0, Уу € Н,
т.е.
т
(аг,ргр,и(г),у(,)) — Л(и,у) = 0, Уу € Н.
г,,=1
Следовательно,
т
< (А — ЛЕ)у,и >= ((а*гргр,у(,),и(г)) — Л(у,и) = 0.
г,,=0
Положим у = XV(Л)Б, / € Н—^. Тогда
< (Е + (Л))Б, и >= 0, У/ € Н—^.
Поскольку при Л € в, |Л| > а;, V € [1, 2|Л|) оператор
(Е + С(Л)) : Н—^ ^ Н—^
имеет непрерывный обратный, следовательно < Б, и >= 0, У/ € Н—^. Полагая Б = 0, получим и = 0. Отсюда следует, что
кег(А — ЛЕ) = 0.
Из (4.27) следует оценка
||(А — ЛЕ)—1|н—V^ 2|Х(Л)||н—V.
4. Для доказательства теоремы 1.1 положим V = 1, А = А1. Ясно, что оператор
А = Аи, ДА) = {и € Н+; Аи € Н1},
удовлетворяет условию (г) теоремы 1.1. Так как оператор (A — AE) 1 взаимно-однозначно отображает H' в D(A), то существует обратный
(A - AE)-1 u = (A - AE)-1u (Vu eH', A G S, |A| > c).
Из (4.3/), (4.6), (4.7), при v =1 находим
|(A — AE)-1u| ^ |(A — AE)-1u|+ = |(A — AE)-1u|+ ^ M|u|- ^ M|u|,
откуда следует, что (A — AE)-1 : H' ^ H'(A G S, |A| > c) — непрерывный оператор.
Докажем единственность оператора A, обладающего свойствами (г), (гг) теоремы 1.1. Пусть A(1), A(2) — два оператора, обладающие указанными свойствами. Так как в < m, то вложение H+ С H' — компактно. Следовательно, операторы A(1), A(2) имеют дискретные спектры. Поэтому найдется достаточно большое по модулю A G S такое, что существуют непрерывные обратные (A(1) — AE)-1, (A(2) — AE)-1. Для
u GH', F = (A(1) — AE)-1u — (A(2) — AE)-1u
имеем (A — AE)F = 0. Отсюда и из (4.6) следует, что F = 0. Таким образом,
(A(1) — AE )-1 = (A(2) — AE )-1, т.е. A1 = A2.
5. Формула (4.6) в случае v = |A| нам понадобится далее в §5.
§5. Суммируемость в смысле Абеля-Лидского системы корневых
вектор-функций оператора A
1. В этом параграфе в предположении того, что a(t) G C(J; End C'), получены следующие результаты
а) оценка резольвенты оператора A;
б) оценка обобщенной резольвенты (т.е. случай, когда оператор A действует из Н- в
H+);
в) суммируемость в смысле Абеля-Лидского системы корневых вектор-функций оператора A.
В специальном случае, когда матрица a(t) G Cm(J; EndC'), а на концах отрезка имеет место представление
a(t) = U+ (i)A(i)U-(i),
мы получаем интегральное представление для резольвенты и обобщенной резольвенты.
Эти условия выполняются, например, в случае, когда a(0), а(1) имеют простые собственные значения.
Пусть матрица a(t) G C(J; End C'), ее собственные значения лежат вне сектора S; условия на ajj (t), г + j < 2m — прежние (см. §1). Для любого $ > 0 можно построить матрицу a^(t) такую, что:
1) a5(t) G C4m(J; EndC');
2) |аг(t) — a(t)| < $, 0 ^ t ^ 1;
3) аг(t) = и±г)(t^t)^)-1, t G A±, длина A± зависит от $;
4) аг(t) = a(0), t G A+,
аг(t) = a(1), t G A-;
5) Собственные значения аг (t) лежат вне сектора S.
Ввиду 4) в 3) матрицы [/±_г)(г), Л±Р(г) от 6 не зависят:
и+г)(і) = и+(0) і є Д+ и—г)(і) = и—І1), і є Д—• Л+5)(і) = Л+(0^ і Є Д+
и
1
< А(<чу >=, Е Р(і)аі,(і)уи(і) >°л+
л—г)(г) = Л—(1), г € Д—.
Пусть А(г) : Н ^ Н1^ — оператор, порожденный формой
1
< Р,(г)аг,(г)и^' (г),р,(г)у'" (г) >с
г+,< 2т0
1
+ У < р"(г)аг(г)и(т)(г),р"(г)у(т)(г) >сг ^г.
0
Мы будем брать 1 ^ V ^ |Л|. Как в п.3 §4, можно показать, что при достаточно большом |Л| > сг имеет место представление
(А(г) — ЛЕ)—1 = Я(г)(Л)(Е + ^ (г)(Л)),
и
|и(г)(Л)|н—V—V ^ 0, при Л ^ в секторе Б.
Здесь регуляризатор Я(г)(Л) состоит из трех слагаемых
Я(г)(Л) = ф+ (В+,г — ЛЕ)—1ф+ + фЯ0г)(Л)ф + ф—(В—,г — ЛЕ)—1ф—.
При достаточно большом Л' = Л'(6) при |Л| > Л', Л € Б будет
и(Я(Л)||н—V—V < 1/2. V = |Л|.
Аналогично
||Я(г)(Л)Ннl_н• < М(1 + |Л|)—1, Л € 5’, Л > М
М' от 6 не зависит.
Заметим, что ввиду 4), В±,г от 6 не зависит. Поэтому
||(В±,г — ЛЕ)-1||„^„, < М"(1 + |Л|)-1. |Л| > М", Л € Б,
где М" от 6 не зависит.
Легко проверить по явному виду о.-ф. Я(г)(Л), что
||фЯ(г)(Л)ф.|н—,,_н1„ < М(1 + |Л|)-1, |Л| > М'", Л € Б.
Поэтому
l|Я(г)(Л)НнL„-н!_„ « М(1 + |Л|)-1, Л € й, |Л| > Мь
где М1, М''' от 6 не зависят.
Теперь докажем, что
(А — ЛЕ )(А(г) — ЛЕ)—1 = Е + Гг (Л),
где
||Гг(Л)||н_^ М6, Л>Л'(6), Л € Б. (5.1)
Для и, у € Н—V имеем
< (А — ЛЕ)(А(г) — ЛЕ)—1и, у >=< и, у > +
+ < (а(г) — аг(г))р"(г)дт(Аг — ЛЕ)—1и,р"(г)д4ту > .
Второе слагаемое по модулю не превосходит
i||(A(ä) - AE)-1«B„, |v|H, < Mä|u|„_v|v|„<, А > A'(ä), Л є S,
что доказывает (5.1). Аналогичное утверждение верно и для самосопряженной билинейной формы, откуда следует, что
ker (A- AE)-1 = 0, |A| >M, А є S.
Таким образом, для А є S, |A| > M :
(A - AE)-1 = (A(<5) - AE)-1(E + Г(A))-1 =
= (A(<5) - AE)-1(E + Г0(A)),
где
l|rS(A)||„«_v^w_ v ^ M i,
4 < v < 2|A|, A є S, |A| >A'(i).
На основании этого равенства и по прежней схеме докажем, что сужение A на оператора A обладает следующими свойствами:
(i) A — есть единственный замкнутый оператор такой, что
D(A) с H+, (Au,v) = A[u,v], Vu є D(A), v є ,
(ii) Il (A - AE ГІн ^ ^ M (1 + |A|)-1, A є S, |A| > M.
Применяя теорему 6.4.2 из [23], на основании оценки (ii), получаем следующий результат
Теорема 5.1. Ряд Фурье любой вектор-функции f є H по системе корневых вектор-функций оператора A суммируется к f методом Абеля со скобками порядка y = + є
с достаточно малым є > 0.
С понятием суммируемости методом Абеля можно ознакомиться по работам [14,26]. Этот метод был введен Лидским [26]. Отметим также работы [21, 22, 27-30],(см. также [31,Гл.2.§1.3, 32]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бойматов К.Х. Асимптотическое поведение собственных значений несамосопряжённых операторов // Функ. анализ и его приложения. Т. 11, № 4. 1977. С. 74-75.
2. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем // Математический сборник. Т. 181 , № 12. 1990. С. 1678-1693.
3. Бойматов К.Х., Костюченко А.Г. Распределение собственных значений несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка // Вестник МГУ. № 3. 1990. С. 24-31.
4. Розенблюм Г.В. Спектральная асимптотика нормальных операторов // Функц. анализ и его приложения. Т. 16. 1982. С. 82-83.
5. Розенблюм Г.В. Условная асимптотика спектра операторов, близких к нормальным //В кн.: Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория. Ленинград: Изд-во ЛГУ. 1986. С. 180-195.
6. M.S. Agranovich and A.S. Markus On spectral properties of elliptic pseudo-differential operators far from self-adjoint ones // Zeitshrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1989. Bd., 8(3). P. 237-260.
7. Бойматов К.Х., Седдики К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // ДАН России. Т. 352. № 3. 1997. С. 295-297.
8. Бойматов К.Х., Седдики К. Некоторые спектральные свойства дифференциальных операторов порожденных некоэрцитивными формами // ДАН России. Т. 352. № 4. 1997. С. 439-442.
9. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических систем дифференциальных операторов во всем пространстве // Доклады АН Республики Таджикистан. Т. 36. № 1. 1993. С. 5-9.
10. Бобокалонова Д.Ф., Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика ш-секториальных дифференциальных операторов II порядка в неограниченных областях, удовлетворяющих условию конуса // Доклады АН Республики Таджикистан. Т. 41. № 9. 1998. С. 5-12.
11. Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика задачи Неймана для врожденно-эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка // Материалы IV-го Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, ИНПРИМ-2000, Новосибирск. 2000. С. 48-49.
12. Бирман М.Ш. Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Л. Издательство ЛГУ. 1980. 264 с.
13. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления. Т. 64. 1988. С. 5-248.
14. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях //В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, ВИНИТИ, М. Т. 63. 1990. С. 5-129.
15. Агранович М.С. Некоторые асимптотические формулы для эллиптических псевдодифферен-циальных операторов // Функциональный анализ и его приложения. Т. 21. № 1. 1987. С. 63-65.
16. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптических систем // Функциональный анализ и его приложения. Т. 11. № 4. 1977. С. 82-83.
17. Бойматов К.Х. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Математические заметки. Т. 51. № 4. 1992. С. 8-16.
18. Бойматов К.Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // Функциональный анализ и его приложения. Т. 29. № 3. 1995. С. 55-58.
19. M. Faierman An elliptic boundary problem involving an indefinite weight // Proc. of the Roy. Soc. of Edinburgh. 130A. № 2. 2000. P. 287-305.
20. A.N. Kozhevnikov Asymptotics of the spectrum of Douglis-Nirenberg elliptic operators on a compact manifold // Math. Nachr. Bd. 182. 1996. P. 261-293.
21. S.G. Pyatkov Riesz’s bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Journal of Differential Equations. 1995. V. 1. No. 2, P. 179-196.
22. M. Sango A spectral problem with an indefinite weight for an elliptic system // Electronic Journal of Diff. Equations. № 21. 1997. P. 1-14.
23. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика. № 8. 1988. С.4-30.
24. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.
25. Мирошин Н.В. Обобщённая задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свой-ст,ва // Дифференц. уравнения. Т. 12. № 6. 1976. С. 1099-1111.
26. Лидский В.Б О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды Моск. мат. об-ва. Т. 11. 1962. С. 3-35.
27. Агранович М.С. О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряжённой главной частью // Функциональный анализ и его приложения. Т. 28. Вып. 3. 1994. С. 1-21.
28. Бойматов К.Х. О спектральной асимптотике и суммируемости методом Абеля рядов по системе корневых вектор-функций негладких эллиптических дифференциальных операторов далеких от самосопряженных // ДАН России. Т. 372. № 4. 2000. С. 442-445.
29. M.S. Agranovich Nonselfadjoint elliptic operators in nonsmooth domains // Russian J.Math.Phys. No. 2. 1994. P. 139-148.
30. S. Yakubov Abel basis or root functions of regular boundary value problems // Math.Nachr. V. 197. 1999. P. 157-187.
31. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск. 2000. 342 с.
32. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов пучков линейных самосопряженных пучков // Математический сборник. Т. 185. № 3. 1994. С. 93-116.
Махмадрахим Гафурович Гадоев,
Мирнинский политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К. Аммосова, ул. Тихонова, 5/1,
678170, г.Мирный, Респ. Саха (Якутия), Россия E-mail: gadoev@rambler.ru
