Нахождение собственных чисел возмущенных дискретных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ВОЗМУЩЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Метод регуляризованных следов нахождения собственных чисел возмущенного дискретного оператора обобщен на случай, когда собственные числа невозмущенного оператора имеют произвольную кратность. Повышена эффективность применения метода при больших порядковых номерах собственных чисел. В качестве примера вычислены собственные числа возмущенного оператора Лапласа.

Ключевые слова: дискретный оператор, самосопряженный оператор, собственные числа, поправки теории возмущений.

Введение

Классическим регуляризованным следом порядка р Є N оператора А называется соотношение вида

где Ак — собственные числа дифференциального оператора А, Ар(к) — числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, Вр — явно вычисляемые через характеристики оператора выражения. Первая формула такого вида была получена в работе [1] 1953 года И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном, где в качестве А рассматривался оператор Штурма—Лиувилля на конечном отрезке. С момента получения формул (1) были предприняты попытки применить их для приближенного вычисления первых собственных чисел оператора А. В самом деле, формулы (1) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений

связывающей приближенные значения {Ап}т=і первых т собственных чисел {Ап}т=1 оператора А.

В некоторых случаях из нелинейной системы (2) были найдены приближенные значения первых собственных чисел {А„}т=і операторов, и точность оказалась удовлетворительной. Но этот факт нельзя принимать за обоснование такого метода вычисления приближенных значений первых собственных чисел, поскольку остатки сходящихся числовых рядов отбрасывались, а их оценки не проводились. Кроме того, универсального алгоритма вычисления Ар(п), Вр для широкого класса операторов пока не существует. Известные методы нахождения применяются либо только к спектральным задачам Штурма — Лиувилля и требуют знание асимптотики собственных чисел [2], либо требуют знание повторных функций Грина спектральных задач для операторов с ядерными резольвентами,

(1)

т

(2)

нахождение которых представляет во многих случаях сложные математические задачи [3].

В 1957 году И. М. Гельфандом и Л. А. Диким в работе [4] был предложен новый метод приближенного вычисления собственных чисел оператора Штурма— Лиувилля — в рассмотренной системе регуляризованных следов удерживаются частичные суммы до N-го слагаемого. Но теоретическое обоснование этого метода не дано, а лишь приводится пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С. А. Шкарин в статье [5] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определенного вида. Таким образом, метод Гельфанда — Дикого в предложенной трактовке не может быть использован.

В 1994 году в работе [6] В. А. Садовничим и В. В. Дубровским впервые были сформулированы идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов (метода РС), который основывается на теории регуляризованных следов и теории возмущений.

Идея метода РС состоит в следующем. Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {Ага}^с=1 — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {<^п}£=1 — его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам. Обозначим через {^п}^=1 собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если существует п0 £ N такое, что для всех п > п0 при Ап = Ап+1 выполняется неравенство 2||Р|

|Ап+1 Ап

Т + Р являются решениями системы т уравнений

= —- —- < 1, то первые т > щ собственных чисел {Цп\™= і оператора

= + (т)+(т), ір Є Н, р= 1, га. (3)

к=1 к=1 к=1

Здесь а^\т) = -------гр-Яр / Ар 1 [РН\(Т)]к с1\ — к-я поправка теории возмуще-

2 пік

Тт

ний оператора Т + Р целого порядка р, (т) = ^ (т), Тт — окружность

к=ір+1

|Ат + Ат+11 /л , л ч

радиуса рт = ------- ----- {лт ^ лт+і) с центром в начале координат комплекс-

ной плоскости, Ям (Т) — резольвента оператора Т.

Метод РС основывается на формулах, в которые входят конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов Т и Т + Р. Кроме того, так как поправки теории возмущений а(р)(п0) вычисляются для большого класса операторов, область применения этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Также метод РС замечателен тем, что в отличие от известных численных методов нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов он не является итерационным.

В работе [7] С. И. Кадченко дано теоретическое обоснование метода в случае однократности собственных чисел оператора Т. Получены оценки остатков

п"р+1

\е^{т)\ <рт(?т-^--------

1 — дт

и формула, позволяющая вычислять поправки теории возмущений акр)(т) дискретного оператора для к,т,р Є N

т / к \ \р-1

«ІР) М = І X X ( П Уйп ) ^8Лп ---------------------------,

31,32,-,3к = 1 п=1 \"=1 / ГЇ(А - )

І=1

где Угі _ (Р^ ^), 5 _ | 1 + 1 ^

В данной статье метод РС обобщен на случай, когда собственные числа оператора Т имеют произвольную кратность, а также устранена трудность применения метода при больших т. Для нахождения собственного числа ^т возмущенного дискретного полуограниченного оператора Т + Р с помощью (3) необходимо найти корни системы т уравнений. В статье для вычисления собственного числа ^т оператора Т + Р получена система из д уравнений, где д — кратность собственного числа Лт оператора Т.

1. Нахождение собственных чисел

возмущенных дискретных операторов

Введем последовательность {дга}^^=1 по правилу: д1 — кратность собствен-

ного числа Л1, при п > 2

I 0, Лп—1 Лn,

Яп 1 кратность числа Ап, Ап-1 < Ап.

Для натурального числа т введем числа

ат _ тах{п Є N | дп = 0, т > п},

Ьт _ тіп{п Є N | дп+1 _ 0, т < п}.

Таким образом, для любого натурального числа т ат < т < Ьт, Лат _ ... _ Аьт, д«т _ Ьт — ат + 1 — кратность собственного числа Ат.

Теорема 1. Пусть Т — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если существует по Є N такое, что для

І|Р I

всех п > По выполняется неравенство цп = -------- < 1, то при т > По соб-

ственные числа {^п}п=ат оператора Т + Р являются решениями дат системы уравнений

"р

X ^ = ^ггХт + XРк\т) + и Є Н, р= 1,дат. (4)

к=ат к—1

(_і ) к+1

Здесь (3^\т) = -------------Яр Г АРК\(Т) [РЯ\(Т)]к ¿А — к-я поправка теории воз-

2П 7т

мущений оператора Т+Р целого порядкар, е(р)(т) _ вкР)(т), 7т — окруж-

к="р+1

ность комплексной плоскости с центром в Ат и радиусом

^ • ) Лат Лат — 1 ЛЬт +1 ЛЬт

< П11І1

2 2

Доказательство. Отметим [7], что при выполнении условий теоремы оператор Т + Р является дискретным и внутри окружности 7т при т > п0 находится одинаковое количество собственных чисел операторов Т и Т + Р. Далее,

Р

Эпо € N \/п > щ ---------<1 =>- \/к > щ УА Е 'Ук Н-Р-^лСОН < 1-

^и

В этом случае справедливо соотношение для резольвент

оо

Яа(Т + Р) = Ял(Т) + 5](-1)кЯл(Т) [РДл(Т)]к , Л € 1к, к > По. (5)

к=1

Лрг

Умножая обе части (5) на ------ и проинтегрировав по контуру 7т (т > По),

2п

получим

^ I АрПх(Т + Р)с1А=^ I АрП\(Т)с1А+

7т 7т

~ (-1)к+1 Г ^Мк

( 1 )к+1 г

+ X 1 Ар К\(Т) [Р К\(Т)]К с1А. (6)

к=1 7т

Имеют место соотношения [7]

— Яр АрК\(Т)с1А = У Л:

2п ^ к=Ґ

л, к—ат

7т

/с’

г

27Г

Яр у ЛрДл(Т + Р)^Л _ £ ^ ■

7т к=ат

Таким образом, взяв след от обеих частей равенства (6), получим (4). □

Формулу для поправки (т) теории возмущений оператора Т + Р можно преобразовать к виду

р= ^¿т8р уЛ!'~‘ [ттг^л.

7т

Формулы (4) являются точными. Но при этом вопрос вычисления собственных чисел возмущенного оператора Т + Р при помощи формул (4) связан с вычислением сумм числовых рядов ^ (т) и с нахождением оценок погрешности

к=1

их вычисления.

_ V ^ \р-і гро

2. Оценки остатков числовых рядов поправок

Лемма 1. Если T — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а P — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H, то оператор J Ap-1 [РЯд(Т)]k dA не более

Ym

чем qam k-мерен.

Доказательство. Докажем, что

dim If Ap-1[PRA(T )]kdA | < qik.

Vl

CO p.

P г

Используя разложение резольвенты оператора Т в ряд R\(T) = ^2 т--------------------г, гДе

=1 Аг — А

г=1

Рг — проекционный оператор, определяемый равенством Рг _ (•, ^г)^г, запишем

Ял (Т)_ Ал + Вл, (7)

91 Р. те Р

где Ад = ^ ------------, В\ = ^ С помощью аналогичного тождеству

г=1 Л1 — Л г=91 + 1 Лг — Л

Гильберта для резольвент равенства

ВЛ — Дг _ (Л — г)ВЛДг можно показать, что разложение Вл в окрестности точки А1 имеет вид

СЮ

Вл _£(А — Л,)”Вп+‘. (8)

п=о

Подставляя (8) в разложение для резольвенты (7), имеем

91 0 те те

йл<г) = Ё дГГд + £<Л - Л>)'“-В“1+1 = £ (А - А,)“с„, (9)

г=1 п=0 п=— 1

где С—1 _ — Р1 — Р2 — ... — Р91, Сп _ вп+1 при п Є {0} и N. Разложим функцию Лр-1 в сумму по степеням Л — Л1

р-1

Лр—1 _ [(Л — А1) + Л1]р-1 _ Срт-1Лт(Л — Л1)р-1-т. (10)

т=0

Используя (9), получим

[РЯл(Г)]

k

Х(А - Ai)nPCn

n=-1

5] (А - A1)jl+j2+-+j* PC* PC„ ...PC*. (11)

jbj2vJk = -1

k

Для произвольного целочисленного набора индексов ^1, ^2, • • • , ,7 к введем в рассмотрение функцию

£(га, п) = ]т + ]т+1 + ...+ ]п, т, п = 1, к, т < п,

£(1, 0) = 0.

Тогда с учетом (10) и (11) получим разложение оператор-функции Лр-1[РЯа(Т)]к

Лр-1[РДа(Т )]к =

в ряд Лорана

р— 1 те

= Е Е C— 1АЇЧА - A1)£<1,k»+p—1—mPCji PC,, ...PCjk.

ї=0 ji,j2,...,jfc=—1 Перейдем к интегралу

J Ap—1[PRa(T)]kdA = 2niResAl (Ap—1[PRA(T)]k) = 2niA—1,

Yl

где A-1 — коэффициент при

Ap-1[PRA(T)]k в ряд Лорана, т. е.

А - А1

в разложении оператор-функции

р—1

A—1 = £ 5] cp— ^PC* PC,2 ...PC,.

Ї=0 jl,J2,...,jfc = —1 £(1,k)=m—p

Пусть зафиксированы индексы ^\,^'2, • • •,^к = — 1, ^ и выполняется условие £(1, к) < 0. Нетрудно показать, что в этом случае существует такой номер ¿о, что £(1, ¿о) = 0 и ^*0+1 = —1, 0 < ¿о < к — 1. Пользуясь этим, запишем

k—1

/

A—1 = Е

to=0

\

Е PCjiPCj2 ■■■PCj.oP

j1j2,---jt0 = —1 \ i(Mo)=0

C— 1X

(

X

p—1

E

Ї =0

E

ЇЇ

Cp—1A1 PCj£o + 2 ‘

PC

jt0 + 2,...,jfc = —1 _ 5(i0+2,fc)=m-p+l

\ 3ra>io+2 (£(to+2,ro) = l V jn+i = — 1)

/

Тогда с учетом того, что

dim (AB1C) < dimB1, dim (B1 + B2) < dimB1 + dimB2,

где A, C — ограниченные операторы, B1, B2 — конечномерные операторы, получаем

dim If Ap-1[PRa(T )]k dA | = dimA-1 < ^ dimC-1 = ^ k,

\Yi

to=0

1

так как ё1шС-1 = ё1ш(Р\ + Р2 + • • • + Р91) = д1.

Доказательство справедливо для любого собственного числа, поэтому

аіт I / Лр-1[РЯл(Т)]к^Л I < дат к.

□

Лемма 2. Пусть Т — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда для поправок теории возмущений вкр)(т) оператора Т + Р справедливы оценки

|вкр)(т)| < РЯат (Ат + ^т)р-1^т^т-Доказательство. Используя лемму 1, можно записать

в(р)(т)

(—1)к р

Яр / Ар-1[РЯл(Т)]к^А

7т

<

<

рда

2п

Ар-1[РЯл(Т )]к ^А

7т

<

< ^(Ат + //т)р-1тах||[РДл(Т)]к|| 2жит <

2п л€7т

<рдат(Ат + ЦР^тах ^ £(Г))) =рда™(Хт +

Здесь использован тот факт, что ||Дд(Т)|| = ——————

а(Л, о(Т))

стояние от точки Л до спектра Б (Т) оператора Т.

[8], где ^(Л, Б(Т)) — рас-

□

С учетом леммы 2 легко получается Теорема 2. Пусть Т — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если существует п0 Є N такое, что

для всех п > п0 выполняется неравенство

Р

< 1, то для ір-х остатков

(т) числовых рядов ^ в! (т) поправок теории возмущений оператора Т + Р Р к=1 справедливы оценки

|е(р)(т)| < рдат (Лт + ^т)р

"р + 1 Цш

1 — ^т

, т > п0.

т

3. Вычисление поправок теории возмущений

Пусть Р, — проекционный оператор, определяемый равенством Р,^ _ ^. Тогда

Г 0, 3 _ 3к,

(РРл РРі . . . РРік ) _ А у з _ з

І П , 3 _ 3к,

I *=1

где угі _ (Р^ ^), 5 _ { * + 1, | _ к

те Рг

Используя равенство Я\(Т) = ^ ------------ и определение матричного следа,

г=1 Лг - Л

получаем формулу для вычисления поправки

$\т) = ^¡Г^р/а*"1 \РЫТ)]кЛХ

1т

І І

І1,І2,---,Ік=1 \^=1 /

7т П (А — АІ ) І—1

I Е (12)

і1>і2>->ік=1 \*=1 / П (А — А,)

І—1

С помощью (12) для любого натурального к можно записать формулу для вычисления в(р)(т). Например, формула для третьей поправки взР)(т) имеет вид

^1—ат ^2—ат ^3—ат

І1=ат І2=ат ,3 — 1 лІ1 =лІ2 =ліз

лІ1 =лІ2 =лІ3

+з Е Е Е А

І1=ат І2 — 1 із = 1 лІ1 =лІ2 > лІ1 —ліз

П у,.,.

І=1

где

-3

І1 ,

А

Ар-2

ЛЛ

Аі1 Аіз

р-1-

Аз

Л

р-1

І1

(АІ1 — АІ )(ЛІ1 — Ліз )

Л

І1

(ЛІ1 — Ліз)_

4. Задача

Рассмотрим спектральную задачу

Т^ = Л<£, р

дП

где П = [0, а] х [0, Ь] С К2, Т = —А = —

52 д2

Известно, что Акт 2

п

2

<9ж2 ду2

к2 т~ .

+ ~пг ) , к,т

а2 Ь2

1, оо, — собственные числа опе-

ратора Т, а <^кг,

. кп . тп

эт —х эт у — ортонормированные собственные функ-

аЬ а Ь

ции, соответствующие этим собственным числам. Пронумеруем собственные числа (А^т}^°т=1 и собственные функции {^кт}^°т=і одним индексом в порядке возрастания величин Акт с учетом кратности и обозначим через {Ага}^с=1 и {^п}^^=1.

Описанным в статье методом нахождения собственных чисел возмущенных дискретных операторов вычислены первые собственные числа оператора Т+Р .В качестве Р взят оператор умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию р (ж, у), определенную на прямоугольнике П.

Результаты численных расчетов собственных чисел возмущенного оператора Лапласа методом Галеркпна — Бубнова (рт(п)), по формулам (3) (~Цт) и по формулам (4) (Дт) приведены в таблице. Все вычисления проведены при а

п

п

3

Ь = —, п = 15, р (х, у) = ху.

Приближенные собственные числа возмущенной задачи

0

т 1 2 3 4

■^т 18 45 45 72

1^т 18.273410519 45.238300953 45.309460091 72.274211528

= 3 Мт Мт | (¿т (¿т | І Мт — Мт 1 18.273410516 18.273412545 0.2 * 10~8 0.2* 10~5 45.238296598 45.229032913 0.4 * 10~5 0.9* 10-2 45.309464441 45.318802106 0.4* 10-5 0.9* 10-2 72.274211531 72.273592315 0.3* 10~8 0.6* Ю-з

= 4 Мт Мт | (¿т (¿т | І Мт — Мт 1 18.273410518 18.273410494 0.4 * 10~9 0.2 * 10~7 45.238300923 45.238468648 0.3* 10~7 0.1 * 10~3 45.309460119 45.309291124 0.2* 10~7 0.1 * 10~3 72.274211527 72.274223440 0.1 * 10~8 0.1 * 10~4

13 14 15

180 225 225

180.274475251 225.230999735 225.317424287

180.274376115 - 0.000213378/ 180.274355320+0.019892892/ 0.2* 10~3 0.1 * иг1 225.230998689 225.231281667 0.1 * ю-5 0.2* 10~3 225.317425311 225.317144567 0.1 * ю-5 0.2* Ю-з

180.274477774 180.274386487+0.011221723/ 0.2* 10-5 0.1 * 10“1 225.230998866 225.231003279 0.8* 10~6 0.3* Ю^5 225.317425135 225.317420770 0.8* 10~6 0.3* Ю^5

Анализ расчетов показывает, что вычисления собственных чисел по формулам (4) дают точность выше, а времени занимают меньше, чем вычисления по формулам (3).

Список литературы

1. Гельфанд, И. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан // ДАН СССР.- 1953.- Т. 88, № 4.- С. 593-596.

2. Садовничий, В. А. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма—Лиувилля / В. А. Садовничий, В. Е. Подольский // Докл. РАН.— 1996.— Т. 346, № 2.- С. 162-164.

3. Дородницын, А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых видов дифференциальных уравнений второго порядка /

A. А. Дородницын // Успехи мат. наук. - 1952.- Т. 7, № 6.- С. 3-96.

4. Дикий, Л. А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма — Лиувилля / Л. А. Дикий // ДАН СССР.— 1957.— Т. 116, № 1.— С. 12-14.

5. Ш^карин, С. А. О способе Гельфанда — Дикого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма — Лиувилля / С. А. Шкарин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика.— 1996.— № 1.— С. 39—44.

6. Садовничий, В. А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В. А. Садовничий,

B. В. Дубровский // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.— М. : МГУ, 1994.— Вып. 17.- С. 244-248.

7. Кадченко, С. И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Уравнения соболевского типа.— Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2002.— С. 42—59.

8. Садовничий, В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий.— М. : Высш. шк., 1999.- 368 с.