Асимптотика собственных чисел дифференциального оператора четвертого порядка в "вырожденном" случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 82-98.

УДК 517.927.25

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА В «ВЫРОЖДЕННОМ» СЛУЧАЕ

Х.К. ИШКИН, Х.Х. МУРТАЗИН

Аннотация. В статье рассматривается оператор L, порожденный в L2[0, дифференциальным выражением С(у) = у(4) — 2(р(х)у')' + q(x)y и краевыми условиями у(0) = у"(0) = 0, в «вырожденном» случае, когда корни соответствующего характеристического уравнения имеют неодинаковый порядок роста на бесконечности. В предположении степенного роста функций р и q и при некоторых дополнительных условиях типа гладкости и регулярности получено асимптотическое уравнение для спектра, которое позволяет выписать несколько первых членов асимптотического ряда для собственных чисел оператора L.

Ключевые слова: дифференциальные операторы, асимптотика спектра, точка поворота.

Mathematics Subject Classification: 47E05, 34L16, 34L20, 34L40, 34B40

1. Введение

Специфика спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов позволяет пользоваться одним из наиболее эффективных методов, основанных на асимптотических оценках фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения

Су = Ау (1)

(см., например, [1, 2]). Так, если L - некоторое самосопряженное расширение минимального оператора, порожденного в L2(а,Ъ) дифференциальным выражением Су [1], имеет дискретный спектр с функцией распределения N (г), то для исследования асимптотики N (г) (при г ^ можно воспользоваться тауберовой техникой, предварительно полу-

чив ВКБ-оценки [3, с. 92] ядра резольвенты (L — А)-1 (которое выражается через ФСР уравнения (1)) при больших А вдали от спектра L. Но если требуется найти несколько первых членов асимптотического разложения для самих собственных чисел Ага (пронумерованных в порядке возрастания модулей с учетом кратностей) при п ^ то таубе-рова техника уже не применима, поэтому приходится «спускаться» на спектр — изучать асимптотику решений уравнения (1), когда А уходит в бесконечность по множеству, содержащему спектр L (или его часть). В случае, когда оператор L сингулярен [1], последнее обстоятельство приводит, как правило, к появлению точек поворота [3, с. 83], в окрестности которых перестают работать ВКБ-оценки. Метод эталонных уравнений (метод Лангера) [4] позволяет получить приближенное решение уравнения (1), пригодное как в точке поворота, так и вдали от нее, превращаясь в ВКБ-решение. Этот метод одинаково эффективен

Kh.K. Ishkin, Kh. Kh. Murtazin, Asymptotics for the eigenvalues of a fourth order

DIFFERENTIAL OPERATOR IN A «DEGENERATE» CASE.

© Ишкин Х.К., МуртАзин Х.Х. 2016.

Работа поддержана Министерством образования и науки РФ (грант № 01201456408) и РФФИ (грант № 15-01-01095).

Поступила 15 июня 2016 г.

как в самосопряженных, так и несамосопряженных спектральных задачах [5]. К настоящему времени спектральные задачи с точкой поворота достаточно подробно изучены для двучленных операторов [6] — [11].

В статье рассматривается оператор Ь, порожденный в Ь2[0, дифференциальным

выражением

и краевыми условиями

£(у) = у(4) - 2{р{х)у'У + д(х)у

у(0) = у''(0) = 0,

(3)

в «вырожденном» случае, когда корни соответствующего характеристического уравнения имеют неодинаковый порядок роста на бесконечности [2, с. 320]. В предположении степенного роста функций р и д и при некоторых дополнительных условиях типа гладкости и регулярности получено асимптотическое уравнение для спектра, которое позволяет выписать несколько первых членов асимптотического ряда для собственных чисел оператора Ь.

2. Предварительные замечания

2.1. Основные условия на коэффициенты. На вещественнозначные функции р и д наложим следующие ограничения:

1. При х > х0 (х0 > 0 — постоянная) функции р и д имеют абсолютно непрерывные производные, удовлетворяющие неравенствам

а1х

а—1

^ д'(х) ^ А1Ха-1Мх13-1 ^ р' (х) ^ Вхх^-1

(4)

где А1,Ь1, В1,а, [3 — положительные постоянные, причем

а < 2р; (5)

вторые производные функций р и д имеют постоянный знак (почти всюду). 2. Функции р и д суммируемы на [0, ж0].

Замечание 1. Из неравенств (4) следует, что при х > х0 (х1 > х0)

аха ^ д(х) ^ Аха, Ъх13 ^ р(х) ^ Вх13, (6)

где а,А,Ь,В — положительные постоянные. Следовательно [1, с. 353], спектр всякого самосопряженного расширения минимального оператора, порожденного выражением (2), дискретен.

Ниже при некоторых дополнительных ограничениях на функции р и д мы получим двойную асимптотику [3, с. 61] решений уравнения 1(у) = Ху, откуда, в частности, будет вытекать, что индексы дефекта оператора Ь0 равны (2, 2). Последний факт влечет за собой самосопряженность оператора Ь.

Замечание 2. Вопрос об условиях, при которых индексы дефекта минимального оператора, порожденного выражением (2), равны (2, 2), был предметом исследования многих авторов [12] — [18].

2.2. Приведение основного уравнения к каноническому виду. Введем обозначения. Пусть х(х) — бесконечно дифференцируемая функция, равная единице на [0,жо] и нулю на [х0 + 1, то). Положим

Р1(х) = р(х)(1 - X(x)), Ц1(%) = Q(x)(1 - X(x)),

I (х,Х,^) (

4 - 2Р1Ц2 + д1 - X,

А

0 1 0 0 \

0 0 10

0 2р1 0 -1

У 21 - А 0 0 0 у

^2

X

( 0 0 0 0 \

0 0 0 0

0 2р 0 0

0 0 0 у

Далее пусть У = (у, у[1], у[2], у[3])т, где у[к] означает к-ую квазипроизводную [1, с. 182]. Тогда уравнение Су = Ху эквивалентно системе уравнений

У' = (А1 + ^2)У. (7)

Характеристический многочлен матрицы А1 совпадает с функцией /(х, Х,у). Корни уравнения /(х, Х, у) = 0 образуют две пары

^1,2 = ±/Л ,Уз,4 = ±/^2,

где и12 = р1 ± л/В, В = р1 + Х — д1, ветвь корня /г выбрана так, что /г > 0 при г > 0. Поскольку и2 = (д1 — Х)/р1, то из неравенств (4) и (5) следует, что при любом фиксированном Х > 0 и для любых 1 ^ 2

у3+2 = о(/Лг), х ^ Ж,

то есть имеет место случай «вырождения». Всюду далее будем считать, что @ < а + 2. Введем в рассмотрение матрицы

Ао = diag(Аol,Аo2),

А01 = /1 diag(1, —1), А02 = ( ^ 0) , (8)

Т = В-1/4( Л diag(MW, Ь),

12 — единичная матрица второго порядка,

Л1 = diag( щ, —Р2), Л 2 = diag( ь>2, — ^1),

п = (1 —1^ , М1 = ^(^-1/4, ^1/4),

В1 = —Т-1Т', В2 = Т-1А2Т. (10)

Элементы матрицы В1 легко выписываются

В1 = (В11 В12), (11)

В21 В22

В11 = о) , В12 = п-1diag( 62, Ьз),

В21 = ^(&з, &2)^, В22 = ^(64, — 64), (12)

1/4

&1 = — ^ — Ь2 = —"1 ^

Ьз

4 V1 2у/В' 2у/В'

1

2/В уЦ4 2у/В'

Далее пусть

X =

1 = ^12 =

^21 = ^22 =

Легко проверяются соотношения

1

/ Хц Х12 \ \ ^21 ^22 )

^11 ^12 Х21 Х22

-1 Лл^п 1

2л/Ъ 1

2^0 00 -64 0

(^01(^12 + В12А02) (В21А01 + ^02^21),

)

Т-1АТ = А00, ХА0 - А0Х = В1

Тогда подстановка

приводит уравнение (7) к виду

У = Т (14 + X )У

V' = (Ао + 2Х)У,

где

= (/4 + X)-1(Б1Х - X' + В2(1' + х)).

13)

'14)

'15)

3. Уравнение для спектра

3.1. Формулировка основного результата. Введем обозначения (а\ нения д(а\) = А):

корень урав-

£(х,Х)

Б

К (1,Х)

| ^211/2 ^

'«л

2/3

sgn(ж - ах),

О''

(е(х, А))-1/2, К(х,Х) = —,

а2х

1К (ахг,Х)1 +

(ахЪ, X)

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1. Пусть при ¡3 < а + 2 выполнены условия 1), 2) и, кроме того, 3. Функция К(Ь, А) ограничена в некоторой окрестности точки Ь =1 вида (1 - 5,1 + $) (5 > 0 не зависит от X) равномерно по X > Л0,Л0 > 0 — постоянная. Тогда собственные числа оператора Ь определяются из уравнения

яп Ф(А) + К(X) сое Ф(А) + 0(Ъ(Х) + Х-&) = 0

16)

X

где

Ф(А) К (А)

Гах тг

у ЬМ)|1/2 ¿1 + ^

4(*(Л) -1У +

1 Гах

+1

2

'о

I I-1/2 11?, и' ^ (, и,

N ' ( ь4 + &4 (^,А) +--\dt,

8Б3/2

:17)

6(А)

'•«Л

|/^21—1/2ех^г / Ы^) X

X

(р 1)2 + К1 ,

Г 1 а \2

+

-/О

+ \х\ N

сИ,

18)

1 а+2-р а+2-р 1

Ш1П < -, -,--1—

2 а 3а а

}

Если функция р имеет абсолютно непрерывную производную на всей полупрямой [0, то), то число 1/2 в определении 5 можно заменить на 3/2, а в интеграле Ь(А) член \ХР\ заменить на 0.

3.2. Эталонные решения. Пусть

1>Х г-х

< (х,\)= и1/2(И, <Э2(х,\)= \ У2\1/2<11.

аХ

Эталонные решения возьмем в виде

Уо1 = ехр ^^(<1, -<1))

М)

о2

1 2 1 2

ь1 = Ву (£(х,\)), у2 = Ви(£(х,\)),

где у(£), и(£) - вещественные функции Эйри [19, с. 428]. Легко проверить, что У0 удовлетворяет уравнению

V¿

^2

где

3п

A0Vo + Z2Vo,

( \

^ ( 0 Т^)

■(0! )■

19)

0 — нулевая матрица второго порядка. Введем обозначения

3

с1(х, А)

И(х,Х) Т0 (х, А)

diag(1, -1),

1, х > а\, 0, х < а\ '

ехр^^«13, - ЛЗ2З)],

d1ag (1,1, ЬГ^4 , \^Г^)

(20) (21) (22)

о

о

о

где а(х,Х) — характеристическая функция множества [0, ж) (ал(1 — ^),ял(1 + <Ь)), определяются соотношениями

— Я2(ах(1 — 81), Х) = Я2(ах(1 + ¿2), Х) = 1. (23

Положим

Уо(х,Х)=Т-ЧВ-1. (24

Из асимптотических формул для функций Эйри [19, с. 429] следует, что

У0 = diag( 12, У02),

, ^л/, .-3/2м ^ , , _ ^25)

У02 = 1/2 1)[/2 + 0((-1) + 0(^2-3/2)], ( ^ + Ж,

V = ( 8ЬФ ео8М \т 5о-1( 0 М + 1/02 = ^ — ео8Ф 8тФ у) /2 — 72(- V —1 0у1 +

+ 0((-2) + 0( »21 т^2|-3/2^ , (2 ^—ж, (26)

ж

Ф = —(2(х,Х) + 4.

3.3. Интегральное уравнение. Применяя метод вариации произвольных постоянных, для ФСР системы (14) получим уравнение

У = У(х,Х)+У У(х,Х)У0-1(£,Х)г(I,Х)У(I,Х)М, (27)

Г(х)

где

г = ^1 — ^2, (28)

Г(х) — матрица интервалов интегрирования 7^(х) = (7^,х), 0 ^ 7^ ^ ж, — означает, что каждый элемент и^ подынтегральной матрицы и := у-1гУ интегрируется по своему интервалу 7^ в направлении от 7^ к х. Покажем, что при подходящем выборе постоянных 7^ к уравнению (27) можно будет применить метод последовательных приближений, что позволит построить ФСР уравнения (14) с известной асимптотикой при больших Х > 0, равномерной по х > 0. Положим

У = Т-1УВ.

Тогда У удовлетворяет уравнению

У = Уо + А(Х)У, (29)

где

(А(Х)У)(х,Х) = У(х, Х) ! А(х,*,Х)(УВ)(*, Х)В-1(х, Х)(Й =

Г(х)

= У (х,Х)А1(Х)У, (30)

А(х,г,Х) = в(х,х)(в-1у-1 Т0-1гТ0 )(г ,Х).

Теперь мы можем определить Г(х).

Положим 7^ = +ж при (г,]) = (3, 2), (4, 2), (4, 3) и 7^ = 0 при остальных (г,]). Из определения (21) матрицы В легко следует, что при таком выборе все экспоненциальные множители в (30) ограничены.

Введем банахово пространство Z матричных функций В(х) = ((х))4^=1, таких, что Д,- измеримы на (0, +ж) и

||В(х)||2 = 8ПР ||В(х)|| < Ж,

ж>0

где

и*1 II =,/ Е I&12

У 1<Ч?<4

Ясно, что У0 Е Z при всех Л > 0. Покажем, что А(А) сжимающий оператор в Z при достаточно больших А > 0. Для этого нам потребуется оценка нормы матрицы С = TI-~1ZT0. Имеем (см. (15), (19), (28))

С = (и + Х1)-1Т0-1(В1Х - X')Т0 + Т-1В2Т0(и + Х1) - Т0-%Т0, (31)

где

Х1 = Т0-1ХТ0.

Лемма 1. При больших X > 0

Иг = °(а-1 + А-3/4 + А-(2+а-/3)/3а). Доказательство. Из (10)—(13), проведя несложные выкладки, будем иметь

ЦХ1(х,А)Ц = о[(|У2\-а/2 Ь1\£-1/2) (х,Х)

, X > 1,

равномерно по ж > 0. Неравенства (4), (5) показывают, что для всех Ь Е (-8, 8), где 8 > 0 не зависит от А,

|»2Ы1+1),Х)\ > С1А(а-3)/а Щ ,

К2(ах(1+1),Х)\ ^ С2\(а+2-?)/2а Щ2 , (32)

где с1, с2 — постоянные, не зависящие от А. Тогда для функций ^1(А), 82(Х), определяемых по (23), справедливы оценки

1> с-1Л-(а+2-/3)/3а. Отсюда и из (32) при всех х Е (ал(1 - 8), ал(1 + £)) будем иметь

(и-а/2р[0-1/2)(х, Х) = 0 (а-1 + Л-(а+2-^)/3а) .

При х Е (&л(1 - ^),ал(1 + 8)), снова воспользовавшись неравенствами (4), (5), получим

(и-1/2р[0-1/2)(х, Х) = 0 (л-(а+2-^)/2а + А-3/4 + А-(1/4+1/23)) .

Лемма доказана.

Из леммы 1 следует, что

ЦСЦ = 0(ЦСаЦ), (33)

где

С0 = Т0-1(Б1Х - X' + В2 - Z2)Tо.

Пусть

да, А) = + М + м (Ы + л-1/21,|). (34)

Лемма 2. При больших X > 0 равномерно по х > 0 справедлива оценка

IIС0 (х,Х)Ц = 0(\щ(х,Х)\-1 (\К (х,Х)\ +9(х,Х))). (35)

Доказательство. Пусть

Сл

/ Сц С12 \ \ С21 С22 )

где С^ имеем

квадратные матрицы второго порядка. Из соотношений (10)

С22

( 0 дЛ

\ 92 0 )

'13), (15), и (28)

(36)

91 = - 1 И^О^КО'О-372 + 8Хр),

I |-*/2 Л,2 , и ЪТ , и2(и2и1 - ^2) XV \

92 = н 7 О + -к + —8О---

(37)

где

к (* ,Л) = - А ^ +5 (91)2

1

1 1

1 и"

+ т-

2

3 (и")

36^2 16 (91 -Л)2 4 (^ -Л) 8 (д1 -Л) и" 4 и-1 16 и2 '

(38)

Отсюда видно, что С22 удовлетворяют оценке (35). Аналогичные выкладки показывают,

что

||Сп|| = 0(и-1/2д(I, Л)), ||С12|| + ||С12| = 0(| -Л|-Ст/4 д(1 ,Л)).

Лемма доказана.

Лемма 3. При выполнении условий теоремы 1 оператор А(Л) ограничен, и его норма ||А( Л)||* допускает оценку

|И( л)||* = о (Л-т), л ^

Г1 2 + а-/}

т = Ш1П < -,->

\4' 2а )

Если дополнительно предположить существование производной р, абсолютно непрерывной на всей полупрямой х > 0, то

т

. Г:

11П < -

I'

3 1 1 2 + а-Р

Ш1П < -, —|---, -

\4'4 2/3' 2а

.

Доказательство. В силу выбору Г(х) все экспоненциальные множители в ядре оператора А(Л) (см. (30)) ограничены, следовательно, (см. (33), (35))

Р( Л)||, = 0

|и2|-1/2 (|к(I,Л)| +д(Ь,Л))сИ) , Л ^

Тогда, рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 1 из [10], используя при этом выражение (38), неравенства (4), (6) и условие 3), получим нужную оценку для ||А( Л)||.

Если функция р имеет абсолютно непрерывную производную, то всюду, где встречается функция р1, можно последнюю заменить функцией р, так что в выражении (34) исчезнет член 1Хр|. Отсюда легко следует второе утверждение теоремы.

Теорема доказана.

1

1

3.4. Доказательство теоремы 1. Из леммы 3 следует, что для ФСР системы (7) справедливо асимптотическое представление

У(х, А) = ТТ0(и + ХЖй + АЙ + О (ЦАхЦ2))0(х, А),

где Т,Т0,Б определены по (9), (21), (23), а \/0 удовлетворяет соотношениям (25), (26). Отсюда мы заключаем, что индексы дефекта оператора Ь0 равны (2.2), и уравнение для собственных чисел оператора Ь имеет вид

det( С0У (0,А)С1Т) = 0,

где

1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 С = у 0 0 1 0 у , 01 = \ 0 0 1 0 у .

Так как Л) = 0, 1^1,2 (0, Л) = ±у/\, то

СА(0, А)С1 = Л-3/8d1ag(1, \Л)02^(0, А)(14 + ^(А)^)(0, \) + О (ЦАЛЦ*) С[, (39)

где

1 1 0 0 . 0 0 1 0 .

С2

Далее, поскольку

(Чт) (0,А)0Т = (^(А)^) (0,А),

то из определения А1(А) (см. (30)) получим

(¿1 ( А)!^) (0, А)

( 0 0

0 0

«31 0

\ «41 «42 )

(40)

причем

агз = I^21-1/2 (\К(г, А)| +д(г,А))ехр(-5<1)^А ^ +то,

при всех (г,Ц = (3,1) и (4,1). Здесь 8 > 0 — не зависящая от А постоянная. Отсюда, учитывая, что при Ь < х0

\К(I, А)| + д(1, А) = — |<-2(*, А) + Ш (|р| + А-1/2

получим

г-х 0 + 1

агЗ

/ г-х 0+1 \

|хрI ехр(-60<1)<И) + О (А-3/4) + О «-2(0, А)) , (г,3) = (4, 2), (41)

\ХРI ехр(-У0Ч1)аь ] + ^ \л ' ] + 21

/0

где 80 — положительная постоянная. Чтобы вычислить а42, заметим, что (см. (26)

det(%2(х, А)) = det(Vа2(то, А)) = 1,

следовательно,

я*-1 = ( ш22 -Ш1Л,

\ -Ш21 Шц у где — элементы матрицы У02. Тогда (см. (36), (37))

«42 = (д 1Ш12Ш21 - д2ш^1) ехр(-2б?(Ь,А)<1^,Х))(И + 0(а(Х)), Л

а(Х) = ЦС -С0Ц ехр(-2ф,А)<2^ ./0

Непосредственные вычисления дают

«(Л) = о (I~ |д1 - А|-1/2 (((р!)2 + в-1/2 + к|).

Далее, используя неравенства (4), (6), условие 3) и знакопостоянство вторых производных р и д, после несложных вычислений получим

1 Гх

«42(Л) = - у (д 1 - 92)(И + 0(6(Л)) + о (А-™1) ,

где Ь(А) определена формулой (18),

. ,'2 + а -/ 13 1 2

Ш1 = тт ^---+ -, ^ - + -

3а а 2 2а

Тогда из (39), (40), учитывая (41), будем иметь Л-1/8 ае1(СсУ(0, А)С[) = ^11(0, Л) + а42(Л)^12(0, Л) + О (/(Л) + \\Ал\\* + ^-2(0, Л)) .

Заменив в последнем выражении ш11(0,Л) и ш12(0,Л) их асимптотиками согласно (26), получим (16).

Теорема доказана.

4. Асимптотикл СПЕКТРА

В этом пункте получим асимптотику собственных чисел оператора Ь, когда р и д имеют вид

р(х) = х13, д(х) = ха, 0 <а<3<а + 2. (42)

Будет показано, что вид старшего члена асимптотического ряда для Лк зависит от значения sgn(3 — 2).

4.1. Решение уравнения (16) в первом приближении. Из уравнения (16) следует, что

Ф( Лк) = икк + о(1),к ^ ж при каждой фиксированной паре (а,/), удовлетворяющей (42). Ниже покажем (лемма 6), что Ук = к.

Лемма 4. Асимптотика спектра оператора Ь в случае р(х) = х, д(х) = х2 имеет вид

Л

к =

И* - 0]4/3 - ¿И* - 4)

-2/3

+ 0(к-1).

Доказательство. Легко заметить, что в условиях леммы Ь = Ь\, где Ь1 оператор Штурма-Лиувилля, порожденный в Ь(0, +ж) выражением -у" + ху и краевым условием у(0) = 0. Но асимптотика собственных чисел Ь1 известна [11, лемма 5]. Отсюда следует утверждение леммы. В условиях леммы 4

11т --—— = 1, г = 1, 2,

^г+2(х, Л)

то есть имеет место случай асимптотически кратных корней [3, с. 271]. В этом случае Л(х, Л) = Л и интеграл

/чх

/ |^21—1/2 (1К(I, Л)| +д(1 ,Л))<Н Jo

расходится. Тем не менее, внеся некоторые изменения, теорему 1 можно распространить на случай ( х) = 2( х).

Лемма 5. Пусть д(х) = ха,р(х) = х13, где (а,Р) € П,

П = {(а,/3) : 0 < а/2 < Р <а + 2 или 0 <а/2 = р < 2} .

Тогда

япФ( А) = о(1),А — то, (43)

равномерно по любому компакту К С П.

Доказательство. Пусть Ь\ = (1 + 5)а\, 5 > 0 - не зависит от А. Тогда при указанных а, р утверждение теоремы 7 сохраняет силу, если в определениях пространства Z и оператора А(А) полуось [0, то) заменить отрезком [0, Ь\], следовательно, ФСР системы (7) имеет асимптотику

У = ТТ0\0(и + о(1))0(х,Х), X —У то>, (44)

равномерно по ж € [0, Ь\].

Далее, методом ВКБ легко показать, что при 0 < а < 4 соотношение (44) верно и на полуоси [Ь\, то). Отсюда следует (43). Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть р и д имеют вид (42). Тогда

Ф( Хк ) = кп + о(1),к — то. (45)

Доказательство. Из леммы 5 имеем

Ф( Хк) = щп + о(1), к — то.

Но Хк = Хк(а,Р) непрерывна на П [20, Пример 1], следовательно, ь>к(&,Р) также непрерывна на П. Так как ь>к(2,1) = к (лемма 9), то ь>к(&,Р) = к на П. Лемма доказана.

Замечание 3. При доказательстве леммы 4 используется специальный вид краевых условий (2.2). В случае произвольных самосопряженых краевых условий можно поступить так же, как при доказательстве леммы 5 в [11], заметив, что при р(х) = х, д(х) = х2 подстановка

У = ти,

т = ^ 1 , У = (Уъ У2)Т, У1 = VXy, У2 = -у" + xy,

переводит уравнение С(у) = Ху к системе -V" + хУ = л/М^(1, -1) V, решения которой непосредственно выражаются через функции Эйри.

4.2. Асимптотика спектра.

Теорема 2. Пусть функции р и д имеют вид (2.40). Тогда при 1 < Р < 2 собственные числа оператора Ь имеют асимптотику

2а 2т ( 2а (2/-а)(2-в) (д+2/3)(2-/3) ^ 4(в-а)\

Хк = т2к+а-в - 2+2^а-рсА С1Ш2к+а-в- 2в(2+а-в) + С2Ш- 2в(2+а-в) I + О (к-2+Н)

где

тк = Сэп ( к - 4

^г (| +

С0~* "" 42

3\г(-3+2

г л г

2) V 2а

л/2.

С1 = — Г Г3/2 (> + ^Л) -3/^л/2Ь3/2 + (13 +

1

С2 = Р [ Г1/3(1 - ¿)-5/4+1/23(1 + ¿)-3/4+1/23 ((Р - 1)/Р + 31 /4 - 213 + ¿4) ¿1. 8

При 0 < Р ^ 1 имеют место аналогичные формулы.

0

Чтобы из (45) и (16) получить асимптотику Лк, необходимо изучить поведение при больших Л > 0 функций Q2(0, Л), К (Л), 3 (Л), когда р ид имеют вид (42).

Лемма 7. Если 0 < 3 < 2, то при Л ^

п— 1

)

^(0, Л) = Л(2+^)/2" С0-1 + 5] акЛ-№-а)к/а) + О (Л-(2^-"

V к=1

где п = п(3) € N определяется неравенствами (47), ак = ¡к1к, ¡к и 1к определяются по формулам (46) и (49),

1п Л, 3 = 2/(4п +1),

Л-{1/4-1/2^}, при остальных 3,

{х} означает дробную часть числа х.

Доказательство. Подстановка х = а\Ъ преобразует ^2(0, Л) к виду

Р(Л)

-^2(0, Л) = Л(2+а-^/2а (1 - Г)1/2[^ + + е(1 - 0)1/2

0

= Л(2+«-^)/2«/(£).

где е = Л-(213-а)/а. Так как функция

/(*) = (1 + (1 + г)1/2) аналитична в единичном круге, то

-1/2

М =

-1/2

№ = ¿2, N < 1

к=1

причем /0 = 1/\/2. Пусть п — натуральное число, удовлетворяющее неравенствам

1 1 1 3

23 - 4 ^п< 23 + 4 ■

Положим

п— 1

где

Имеем [22, с. 183]

Яп(е) = 1(е) - ^ Мк£к, к=0

1к = Га -ха)к+1/2х-(4к+1)^/2дх. 0

Г ("2*) Г (^^)

Так как

аГ ( + М4ШМ )

-1/2

^ + у/№ + е(1 - = Г?/2f (е(1 - Г)/№)

то в силу равномерной сходимости ряда (46) в круге | z| ^ г < 1 для функции

гп(1, е) = + V12р + е(1 - I») справедлива оценка

-1/2

п— 1

■ (1 -

к=0

|гп(1,е)| ^ Спеп1 -(2™+1/2)^, 1е [(1 + 6)е1/2/3, 1],

_ ¿а)к+-(2к+1/2)Р£к

(46)

(47)

(48)

(49)

к

где М, 8 — положительные постоянные, не зависящие от е. Далее, поскольку при t е (0, (1 + 8)е1/2ß)

|rn(t, е)1 ^ М'п£п-1 t-(2n-3/2)ß, где М' > 0 не зависит от t и е, то

f1 r(1+S)el/2ß

Rn(e) ^ МеЧ t-(2n+1/2)ßdt + М'еп-Ч t-(2n-3/2)ßdt.

J(1+S)e1/2ß Jo

Согласно (47)

-2ß < -(2n + 1/2)ß + 1 ^ 0, 0 < -(2n - 3/2)ß ^ 2ß,

так что

R (,_ /0 (en ine), ß = 2/(4n + 1), 0

Rn(£) _ \ 0 (en-(1/4-1/2ß}) , 1/2ß - 1/4 е N, £ ^ +0.

Отсюда и из соотношений (48), (49) следует утверждение леммы.

Лемма 8. При 1 < ß < 2 и X ^ справедлива оценка

К(X) _ C2X-(ß+2)/4ß + О (x-(2+«-ß)/2« + X-3/4) . (50)

Доказательство. Так как ß > 1, то р' абсолютно непрерывна на [0, +то), поэтому в выражениях (17) и (12) можно вместо р1 и q1 взять р и q соответственно, а х = 0. C учетом этого из (17) и (12) получаем

К(X) _ К1(Х) + К2 (X) + 0 (X-3/4) , 1 гах

К1(Х) _ - 2у и-1/2К (t ,X)dt,

™ _ ¿/V2 (£ +4 (' + ^^)*.

Непосредственными вычислениями убеждаемся, что (см. (38))

К1(Х) _ -8 Г 1/2^ + 32 Г ^ (-)2dt + 0(X-(2+«-3)/2«) _

8 J0 Щ 32 J0

_ Ки(Х) + К12(Х) + 0(Х-(2+а-/3)/2а).

Интегралы К11(Х), К12(Х), К2(Х) — однотипны, их асимптотика легко находится. Имеем

Кц(Х) _ -ßX-1/2 Г k(t,X)dt + 0 (x-(2+«-ß)/2«) , 80

k(t,X) _ tß/2 (V + Vi23+Ä)-1/2 [ß - 1 + (2ß - 1)tß(t2ß + X)-1/2 -ßt2ß(t2ß + X)-1 ] . Сделав замену переменных t -—> s _ (1 + t-2ß)-1/2, получим

Кц(Х) _ -ßx-(ß+2)/4ß Г s-1/ß(1 - s)-(5ß+2)/4ß ((ß - 1)/ß + S(1 - s)) ds + 0 (x-(2+«-ß)/2«) . 80

Проделав аналогичные выкладки для К12(Х), К2(Х) при 1 < ß < 2, получим (50). Лемма доказана.

Завершение доказательства теоремы 2. Согласно (18)

га\

где

Ь(Л) = Ъг(Л) + ехр г |^|1/2 (1 62(Л)

М Л) 62 ( Л)

ЛЙЛ/2 / гг

I ехр (г у |т/2|1/2^ г«л / г«л

/«л/2

|//2|1/2^ ) 5(г,Л)сИ,

ехр ( -г I |т/2|1/2^ 5(^, Л)(И,

В (I, Л) = | ^21-1/2 Интегрируя по частям, имеем

(л/В)

+

р" + |дЦ

/О

где

= т1п

Ьг(Л) = 0 (Л-ё1) , Л м +ж,

а + 2 - 3 4 - 3 4 + 2 3 - а

2 а 4 3 2 а Теперь оценим Ь2. Пусть Q(х, Л) = /"л |^2|1/2 Так как

}

гах

Q(х, Л) = -3/2 \ (д')-Ч-1/2е ((Л - #/2)

и функции и 1 монотонны, то

А^-"-^2 3/2 ^ А2а\-а-13/2, х € [ал/2, ал], Л » 1,

(51)

( Л - д(х))3/2

где А , А2 — положительные постоянные, не зависящие от Л. Далее, при каждом к = 0,1,...

д к

дхк

2 2

((р')2 + д'{ V V /о )

+

(х, ах) = 0 (х 2 к) , х > ах/2

у/О ) у/О

равномерно по Л > Л0 ^ 1. Тогда

( Л - д(1))-1В(I, Л) = Q(t, Л)-2/3Л-, Л), х € [ал/2, ал], Л > 1,

где 7 = 2(а + 2 - 3)/3а, функция ф и их производные (по х) удовлетворяют оценкам

ф(к)(х, Л) = 0(х-к), х > ах/2, (52)

равномерно по Л > Л0 ^ 1. Сделав в интеграле д2 замену х м- Q = Q(х, Л), получим

Г А(\)

62 (Л) = Л-Ч e-гQQ-2/3Ф(Q,Л)dQ, 0

гле А(Л) = Q(ах/2, Л), а функция Ф^, Л) = ф(1^), Л) в силу (52) удовлетворяет оценкам

д к

дQt

*т ,л),л)

<

Вь

| щ(1 А^аГ

г € [аЛ/2,аЛ], Л > 1,

Вк > 0 (к € К) не зависят от I, Л. Отсюда следует, что

ЫЛ) := [ e-гQQ-2/3 (Л-^Ф^, Л)) dQ = 0 (Л-^) , Л м +ж.

0

г

Далее, из неравенств (51) видно, что при Q(t, Л) > 1 |, Л)Ь| > СЛ(а+2 РУ3а, где С > 0 не зависит от Ь, Л. Отсюда и из (53) следует, что при некотором п € N ,А(А)

dQ = 0 (Л"7) , Л м +ж, (г =1,2).

-2/3

дЯ'

:*т ,Л),Л)

Поэтому, интегрируя в Ь22 := Ь2 - Ъ21 по частям п раз, учитывая неравенства (53), получим

&2(л) = 0 (л~7), л м +ж.

Ь(Л) = 0 Л(2+«-^)/2« + Л" ^/4) , л м +ж.

(54)

Подставляя теперь полученные выражения для К (Л), Q2(0,А), Ь(Л) в уравнение (16) и решая его относительно Л^ с учетом (45), получим утверждение теоремы.

Замечание 4. В случае 0 < 3 ^ 1 в формулах (17) и (12) мы уже не можем пренебрегать членами, содержащими срезающую функцию Это приводит к появлению дополнительных членов в формулах (50) и (54). Кроме того, появляются дополнительные трудности, связанные с неинтегрируемостью функций р'2 и р" в 0, вследствие чего для интегралов, входящих в выражение для К (Л), разложения вида (48) будут зависеть от конкретного значения 3. Именно по этой причине мы ограничились в формулировке теоремы 1 случаем 1 < 3 < 2.

При 3 > 2 асимптотика интегралов Q2(0,А), К (Л) исследуется так же, как при 3 < 2. При 3 > 2 формулы для указанных интегралов аналогичны случаю 3 < 2, формальное различие обусловлено тем, что

3 + 2 2 + а -3 (3 - 2)(23 -а)

4 3

2 а

4 а3

>0

при 3 > 2. В случае 3 = 2 формулы для Q2(0, Л) и К (Л) имеют свою специфику. Опуская промежуточные выкладки (аналогичные случаю 3 < 2), мы приведем окончательный вид асимптотических формул при Л м

(0 А) = / С1Л(^+2)/4^ - С2Л(2+"-^)/2" + 0 (А(2«±2-ЭД^) ^(0, Л) I СэЛ1/21п А + С4А1/2 + 0 (Л(«-2)/4) + 0 (А(3«-8

3> 2,

3«-8)/2«^ 3 = 2

К( Л)

0 (а(«+2-^)/2«) , 3> 2,

0(А-1/21п А), 3 = 2, ( Л) = ( К( Л)),

(55)

(56)

где

С1 С4

/0 у/¥ + у/г2р +1:

С = + 1 [1

С2 = 2 + уI 11

л/^ТТ^+Г л/2(г +1)

а —^

^/2} 0

Г-/3/2М 1 + /1 -г1 г-1а

С3

4 а

4л/2<

а

1 + у/\-Г°

(57)

(58)

Теорема 3. Пусть функции р и д имеют вид (42). Тогда спектр оператора Ь имеет, асимптотику а) при 3 > 2

А;, = т™ +

6 = тах

4 3 С 4^а-(^-2)(2^-а) 43 С2 -(2+3)а-

т

2 + 3 С/' **

+ 0(к&),

{

(3 - 2)(23 + а) 2а

а(3 + 2) '3 + 2

}

оо

оо

0

б) при 3 = 2

Xk

(-1)

exp ( ] Ф2(^)

(

14 ——

к--2- (in к)

-1 +-

^ +

1 \ -8

к \ -

Vinky

где

m-k =

ж (4к - 1) 40, :

»k

ж (4к - 1) exp (С4/2С3)

8 С3

постоянные Сг,г = 1,4, определены по (57), (58), Ф(и) - функция, обратная к функции <р(ц) = ^ которая при больших ^ имеет асимптотическое разложение (59).

Доказательство. Пусть ¡3 = 2. Из уравнений (16), (45) с учетом (55), (56) находим

c3xk/2 in Xk + Qxf + о (xk~2/4 + xk3k-8)/2k

)='( к-4)

откуда

X

k =

Ч- Dф2 (1+о(

X

(к—4)/4 k

in Xk

+

X

(к —4)/к k

/3 / \ \ \ ш Ak ln Xk Функция Ф(») при больших » > 0 имеет асимптотическое разложение [21]

Ф(»)

in »

\ m=0,k=1

Ckm (in in »)k (in»)

(59)

где коэффициенты Ckm вычисляются явно. Отсюда и следует утверждение б).

Пункт а) доказывается аналогично.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

2. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

3. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: Наука„ 1983.

4. R.E. Langer The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to the Stokes'phenomenon// Bull. Amer. Math. Soc. V. 40. 1934. P. 545-582.

5. Евграфов M.A., Федорюк M.B. Асимптотика решений уравнения w"(z) + 'p(z, X)w(z) = 0 при А ^ те в комплексной плоскости z// Успехи мат. наук. Т. 21, вып. 1. 1966. С. 3-50.

6. M. Giertz On the solution in L2 of y" + (A - q(x))y = 0 when q is rapidly increasing// Proc. London Math. Soc. V. 14. № 53. 1964. P. 53-73.

7. Аленицын А.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля в случае предельного круга// Дифференц. уравнения. Т. 2. № 3. 1976. С. 428-437.

8. Любишкин И.А. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля в случае предельного круга Вейля// Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 6. С. 167-194.

9. F.V. Atkinson, G.T. Fulton Asymptotic formulae for eigenvalues of limit circle problems on a half line// Ann. Math. Pure and Appl. V. 135. 1983. P. 368-398.

10. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма--Лиувилля// Матем. сб. Т. 110(152). № 1. 1979. С. 135—149.

11. Ишкин Х.К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингулярных дифференциальных операторов высшего порядка// Дифф. уравнения. Т. 31, № 10. 1995. С. 480-490.

12. W.N. Everitt On the limit-point classification of fourth-order differential equations// J. London. Math. Soc. V. 44. 1969. P. 273-281.

13. M.S.P. Eastham The limit-2 case of fourth-order differential equations// Quart. J. Math. V. 22. 1971. P. 131-134.

14. A. Devinatz The deficiency index of certain fourth-order ordinary self-adjoint differential equations// Quart. J. Math. V. 23. № 91. 1972. P. 267-286.

15. A. Devinatz On limit-2 fourth-order differential equations // Quart. J. Math. V. 2. 1973. P. 135146.

16. W.D. Evans On non-integrable square solutions of a fourth-order differential equations and the limit-2 classification// J. London. Math. Soc. V. 7. 1973.

17. D. Hinton Limit point criteria for differential equations// Canad. J. Math. V. 24. № 2. 1972. P. 293-305.

18. Аникеева Л.И. Об асимптотическом поведении 'решений уравнения у(4) —а(х^у')'+Ъхау = \у при х ^ те// Вест. МГУ. Мат., мех. № 6. C. 44-52.

19. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974.

20. Kh.K. Ishkin On continuity of the spectrum of a singular quasi-differential operator with respect to a parameter// Eurasian Math. J. V. 2, № 3. 2011. P. 67-81.

21. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. M.: Наука, 1987.

22. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977.

Хабир Кабирович Ишкин,

Башкирский государственный университет,

ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]

Хайрулла Хабибулович Муртазин, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]