Асимптотическое интегрирование одного класса систем функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© 2013 г. П.Н. Нестеров

Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

nesterov.pn@gmail.com

Поступила в редакцию 01.11.2012

С помощью идей метода усреднения и варианта асимптотической теоремы Н. Левинсона изучается задача асимптотического интегрирования некоторого класса систем функциональнодифференциальных уравнений, содержащих колебательно убывающие коэффициенты.

Ключевые слова: асимптотическое интегрирование, функционально-дифференциальные уравнения, метод усреднения, теорема Левинсона, колебательно убывающие коэффициенты.

1. Постановка задачи

Задаче асимптотического интегрирования линейных функционально-дифференциальных уравнений, а также систем таких уравнений, посвящено значительное число работ. Первые асимптотические теоремы для скалярных уравнений с запаздывающим аргументом были предложены в книге Р. Беллмана и К. Кука [1] (см. также обзор в [2, глава 9]). Существенные результаты были затем получены в работах R.D. Driver [3], J.R. Haddock и R.J. Sacker [4], в цикле работ O. Arino, I. Györi и M. Pituk [5-9], а также в работах S. Ai [10], J.S. Cassel и Z. Hou [11-13]. Одно из направлений в решении задачи асимптотического интегрирования систем функционально-дифференциальных уравнений посвящено получению аналогов известных теорем Н. Левинсона и Хартмана-Винтнера для систем такого типа, а также приведению систем уравнений к такому виду, который позволял бы воспользоваться соответствующими результатами.

В настоящей работе изучается вопрос построения асимптотики решений некоторого класса систем линейных функциональнодифференциальных уравнений, содержащих колебательно убывающие величины. Особенностью рассматриваемого класса систем является их «близость» при t ^-<х> к системам обыкно-

венных дифференциальных уравнений. Данное обстоятельство во многом упрощает процесс построения асимптотических формул, позволяя применять некоторые известные приемы асимптотического интегрирования линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Метод асимптотического интегрирования

В основе используемой авторами методики лежат асимптотические теоремы, полученные J.S. Cassel и Z. Hou в работе [11]. Эти результаты распространяют известные результаты

Н. Левинсона (см. [14, 15]) на случай систем функционально-дифференциальных уравнений, близких в определенном смысле к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с диагональной матрицей.

Рассмотрим следующую линейную систему: х = + R(t,xt). (1)

Здесь х е С” , xt (в) = x(t + в) ( -h < в < 0 ) -элемент пространства Q = С([-й,0],Ст) непрерывных на \—Н, 0] функций со значениями в Ст с нормой

\\ф\i = sup \т\-

-Ь<в<О

Далее, A(t) = (diag/i)(t),...,Äm(t)) - диагональная матрица, элементами которой являются локально интегрируемые на [f0,co) функции со значениями в С ; R(l. •) - линейный ограничен-

Реботе выполнгне при финансовой поддгржкг цглгвой прогреммы «Неучныг и неучно-пгдегогичгскиг кедры инно-веционной России», контрект № 14.B37.21.0247.

ный оператор, действующий из Ch в С” такой, что при любом фиксированном фе Ch функция R(t,ф) измерима по Лебегу при t > t0 и для всех

фе Ch,

I R(t, ф) | <r(t) ||ф| | , НО е A[tc, œ). (2)

Операторы с такими свойствами будем в дальнейшем называть операторами из класса

L [to, ®).

По аналогии с системами обыкновенных дифференциальных уравнений системы функционально-дифференциальных уравнений вида (1) будем называть L -диагональными. Будем говорить, что некоторая функция x(t )

со значениями в С” удовлетворяет системе (1) при t > T, если x(t) непрерывна на множестве [T — h, œ), абсолютно непрерывна на множестве [T, œ) и равенство (1) выполнено почти всюду на [T, œ). При сформулированных условиях для любого фе C и любого T > t0 существует единственная функция x(t), которая удовлетворяет системе (1) с начальным условием хТ = ф (см. [2]). Функцию x(t) будет называть решением системы (1) с начальным условием

x = ф.

Пусть для каждой пары индексов ( j, к ) имеет место либо неравенство

t2

|Re(2j(s) — Àk(s))ds < Ki, t2 > tx > to, (3)

t1

либо неравенство

t2

|Re(2j(s) — 4(s))ds > K2, t2 > ti > to, (4)

t1

где Kt. K2 - некоторые постоянные. Кроме того, предположим, что для любого j = выполнено неравенство

t+т

| Re4(s)ds > K t > t0, 0 <т< h, (5)

t

где K3 - некоторая постоянная.

Имеет место следующая теорема (см. [11, теорема 2], а также замечание после этой теоремы).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3), (4) и (5). Тогда при достаточно больших T>t0 и любом j = существует непрерывная

функция Xj (t) : \Т - h, со) —> С”, которая удовлетворяет системе уравнений (!) при t > T и допускает следующее асимптотическое представление при t :

Х (0 = [ej + о(1)] ехР | К | , (6)

О')

где е,. =(0,...,0, 1,0,...,0).

Асимптотика произвольного решения системы (1) при t ^-<х> описывается следующей теоремой [11, теорема 5].

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда, если функция х^) удовлетворяет системе (!) при t > Т, то существуют константы с,..., с такие, что

1 ’ т ’

т

X(t) = Х; (t) + °(еГР' X t ^ (7)

где функции хД?) (] = \,...,т) имеют асимптотику вида (6), а величина ¡ произвольна.

Замечание. Константы с1,...,ст можно рассматривать как линейные непрерывные функционалы с, (/ .■)... ..СИ!(Т, •), которые определены на пространстве начальных функций хт = ф, где ф е Q (см. [11, теоремы 4 и 5], а также [10, Теорема 5]). Кроме того, можно показать, что для любого / = 1..... «7 и для всех достаточно больших Т > ^

|с,.(Т,ф) |< К ||ф||, фЕ С,

где константа К может быть выбрана не зависящей от Т .

В нашей работе исследуется вопрос о построении асимптотики при t ^-<х> решений следующей системы функционально-дифференциальных уравнений:

п

х=Тул*)в1({,х,)+

/=1

+ Е ^(0\(0ву2({’х,)+---+ (8)

1<^ <¿2 ^п 1<^ <.. .</^ <п

В этой системе /1 ^ (/. •) - линейные ограниченные операторы, действующие из пространства Ск в пространство С”, относительно которых предполагается, что либо все эти операторы периодичны по переменной / с периодом о > 0, т.е.

+ Ф^Ск, (9)

либо

N

= ф е Ск. (10)

1=1

В формуле (10) 1У'Л,\ф) - линейные огра-

ниченные операторы, не зависящие от /, и дей- Заметим далее, что

ствующие из С в С”, а Г(‘1'"‘,)(?) - матрицы,

і

элементами которых являются тригонометрические многочлены, т.е.

г1'*1 ‘1\ґ) =

где 0у " ! ' - постоянные, вообще говоря, комплексные (т х т) -матрицы, а \ - вещественные числа. В том случае, если имеет место равенство (9), будем предполагать, что при любом фиксированном ф е ('и функция /1 (/. ф)

измерима по Лебегу и для всех феСк и / е -г

\В.^,ф)\<К\\ф\\, (12)

где К - некоторая постоянная. Очевидно, что неравенство (12) заведомо выполнено, если оператор В ^ (1-ф) имеет вид (10), (11).

Далее, , •) - оператор из класса ¿Н , да). Наконец, V,(/).....\’н(1) - скалярные абсолютно непрерывные на [^, да) функции такие, что 1°. уД?) ^0,У2(0 ^0,...,у„(0 -^-0 при ? —» да ;

2°. ^(ОЛСО,-• -Л(0 е А^о,00);

3°. Произведение V. (0^2 (?).. .г^+1 (0 еД[?0,°°)

для любого набора 1=4 — • • • — ^¿+1 <и.

При сформулированных условиях для любого ф е С и Т > ^ существует функция x(t) , удовлетворяющая системе (8) при t > Т (в указанном ранее смысле) с начальным условием X = ф (см. [2]).

Дальнейшая цель состоит в том, чтобы, расширяя фазовое пространство системы (8) и приводя ее затем к системе вида (1), получить асимптотическое представление для решений этой системы.

Представим оператор Д ( (/.х;) в следую-

щем виде:

\.л1Ц,х,) =

= \.л, 0X0)~В11..л1 ІЇЛО-Х,).

х(?) — хІ = І х(я)сІ$, -Уі<6< 0.

(15)

(11)

Учтем, что при ? > Т величина х(\) определяется из системы (8). Следовательно,

х(г) -х = 11 Т?* (5)в< х)+

<+6> V 1=1

+ X г;,1(5>,2(5)^2(^х,)+---+

<1 <,2 <

если t > Т + Ь и —Ь <в< 0. Подставим представление (16) во второе слагаемое в формуле (13) и воспользуемся линейностью оператора /1 ¡ ((,ф). Имеем,

і=1

+ I \

п / 1

:ТР\-н

(17)

+\..н |^,х,)Л

V .

Рассмотрим сначала слагаемое

В\-Н

Л

г+6 0

(18)

Будем рассматривать выражение (18) как линейный оператор

л

(19)

(13)

Очевидно, что в силу наложенных на оператор В л^,ф) условий

\..н (І,х(0) = \..н (Г)х(0, (14)

где (т х т) -матрица Д(?) является либо а -

периодической, либо ее элементами являются тригонометрические многочлены, т.е. она имеет вид (11).

—Ь <в< 0,

действующий из пространства

С2Ь=С([—2й,0],Ст) непрерывных на |-2Н.01 функций со значениями в Ст в пространство С”. Здесь, как и ранее, ^(^) = + дг)

(—Ь < < 0) - элемент пространства С .

Покажем, что оператор ,ф) принадлежит

классу ¿Ь [^ + Ь, да). Этот класс вводится точно так же, как и класс ¿Н [^,да), с той лишь разницей, что областью определения операторов из класса ¿¡Ь [^, да) является пространство С2/г. Ясно, что в проверке нуждается лишь выпол-

^=1

нимость условия (2). Учитывая неравенства (2) и (12), легко установить, что

( > Л

\Щ,ф)\<

К |у(э)сЭ II ф

V >-ъ у

||ф|\= 8ир \ф(6)\.

-2 к<6<0

(20)

- ( 0 ^ Щ,ф) = ВК н и,\вА...^р (5 + г,ф,)(к

-к <6< о,

(24)

Осталось заметить, что функция

t

I Т(№

t—Н

принадлежит классу Ц [^ + Ь, да) в силу того, что у(Г) е Ц [^, да). Действительно, меняя порядок интегрирования, получаем,

да ( t Л

Ж =

11 |

>0 V >0 + к

| | у(э)Сг Сэ + | I | у(э)Сг

у >0 +к \

Сэ = (21)

0 ^

= | у(э)(э - го )Сэ + к | у{э)Сэ.

>0 >0 +к

Рассмотрим теперь в формуле (17) слагаемое вида

Л

Имеем

\..н '> 1К (0 • • • • • V, (0 -^ (/)•...• V (/) +

действующий из пространства С2І1 в пространство С”. Здесь, как и ранее, ФХ^\) = Ф(я + ^) (-к < ()] < 0) - элемент пространства Ск.

Оператор В(1.ф) обладает теми же свойствами, что и оператор /1 } (1-ф) в исходной

системе (8). Именно из (24) следует, что если для оператора (1,ф) имеет место тождество

(9), то очевидно для оператора В } (1-ф)

(ф є Си) это тождество остается справедливым. Далее, несложно показать, что если оператор ^ (1-Ф) имеет вид (10), (11), то и оператор

В(і.ф) (ф є Си) имеет аналогичную структуру. Отличие состоит лишь в том, что вместо операторов £{^"л,\ф) в представлении (10) для оператора /1 ^ (1-ф) находятся некоторые линейные

ограниченные операторы '"‘1>(ф), не зависящие от г и действующие из пространства Си в пространство С”. Наконец, из (12) и (24) следует, что для оператора В(1.ф) имеет место неравенство (12), где ф є Сь, а |\ ФII определена в (20).

Рассмотрим теперь в формуле (22) слагаемое вида

(22)

щАі, \в (8,Х,)<Ь

V !+е .

Исследуем сначала в выражении (22) член вида

в

\-н

V 1+в

I >

В ?, Г В . (5,х )<Ь

'1-4 ’ J А-1ру ’ *'

г+6 0

(23)

:\.л\Цва...Л5 + ^х^

которое мы будем считать оператором

Щ, Ф) = \..н [ I, {s + t)■...■VJ (5 + ?)

(25)

Будем рассматривать выражение (23) как оператор

действующим из пространства С в пространство С”. По-прежнему ф!! (в1) = 0(5 + в1) (—Ь < в1 < 0) - элемент пространства С . Из

>0 + к V > - к

0

6

неравенства (12) и представления (25) следует. что

= м, (э +1) - V, (г) + V, (г №%+,(< + г) -

( о -*

\Ш)\<\к\іу^Слг + о----^ (лг + о-

V -к Р о

(?)•...-V. (?)|Лф||, феС2к, ^(1^(* + 0-^(011^+1(* + ?)| +

■1р } -к

-V. (I) •... • V

л

+ \ V, (г)\К,+1(э + г) - V і(г )\С

где К - некоторая постоянная, а РфР определена в (20) Наконец, используя ограниченность функ-

Справедливо следующее утверждение. ций (?) (свойство 10), заключаем, что

Утверждение 1. Функция 0

Г IV (5 + 0-...-V. (5 + 0Л 1 р (26)

-ул(0-...-у^(01 (Ь

{іу^ + О-.-.-г^ + О-

принадлежит классу + й,со). - А 11 (5 + 0 ^ (01 ^ +

Доказательство. Воспользуемся индукцией 0

по параметру р . Сперва заметим, что классу +^> Г | у (.V + /) - у (?) I

2.) ^+1 /р+1 ’ 1Л |/(| + й, со) принадлежит функция ~к

о

| I У;(5 + ?) -У;(?) | Л, /' = 1,...,И.

(27)

где К}. К2 - некоторые постоянные. Принадлежность классу Ц [^ + Ь, да) интегралов в пра-

Действительно, пользуясь абсолютной не- вой части (27) уже установлена. , Утверждение доказано.

прерывностью функции V (() и меняя порядок Т/Г

Из утверждения 1 следует, что оператор ¡,(1.ф). определяемый формулой (25), принад-|1(я +1) — () 1 Ж = лежит классу ЦЬ [^ + Ь, да).

Используя далее формулы (13), (14), (17), | | ^(т)с1т\с15<^ | \^(т)\с1тс15= (19), (20), свойство 3° функций V! (?),..., у„(?) и

5+/ -/25 + / равенство

1 т~г 1 ( I \

| | \уХт)\с18с1т<к\\уХт)\с1т. вн.... (?, |у,1(5)-...-у,^(5)й,1 ^{8,Х,)сЬ

11 ' ’ 1+6 У

интегрирования, имеем

0

-к

О I

г -к -к

Для доказательства того факта, что интеграл _ ,, (ЛВ(1 (!)) + ¿Г? (!))

в правой части этой цепочки неравенств при- ' ■'р

надлежит классу /л | +й,со), достаточно заме- перейдем от исходной системы (8) к следующей тить, что функция у,(?) принадлежит классу системе Функционально-дифференциальных

Ll[го, ж) (свойство 2°) и воспользоваться преобразованиями (21). 1>, (ОД (0Х(0

.=1

Пусть принадлежность классу Ц [го + к, <х>) функции (26) установлена для всех р < Р . Покажем, что утверждение справедливо и при р = Р +1. Обозначим

уравнений:

п

' ...............+

+ X (0Ву2(^х,) +...+

11 ‘2 У2 (28)

Имеем

+ Е г;11(о-----\(о^...,,(?,х()+

1<^ <.. .</£ <«

К (?) =у. (?)•...-V. (?). ч

■'р47 -Л4' ■'р47 +л(?,х().

0 Здесь Д (?) - это либо а -периодические

1 (’■'>' + О ! С? + ?) - матрицы, либо матрицы вида (11); Д , (?,ф) -

1-"7

операторы той же структуры, что и операторы /1 (?, ф) в исходной системе (8), но действу-

| I V, (э + 0%+! (э + г) - V, (г)\+! (г) \ С = ющие из пространства С2к в пространство Ст;

0

к

О

к

0

к

R{t,xt) - некоторый оператор из класса

I?[t0+h,cc).

Дальнейшие действия состоят в том, чтобы проделать указанную процедуру в общей сложности к раз, где параметр к определяется свойством 3° функций . Преоб-

разуем на 5 -м шаге алгоритма операторы /1 , где х, є Csh, согласно формуле

х,) = (fMt)(t,x(t)-xt)

и используем равенства (15) и (16), в которых -sh<0< 0, а операторы (/.•) и R(l.-) суть

операторы из исходной системы (8). В результате последовательности таких преобразований мы приходим к системе функционально-дифференциальных уравнений следующего вида:

(30),

где

хТ = ф (фе Ch )

x(t) при

*=[^(04(0+

+ X v,1(?>,2(04i,2(0 + --- +

<1 <¡2 <

Л

x(t ) +

Т < t < Т + кк является решением системы (8) с начальной функцией хт = ф.

Дальнейшая задача заключается в том, чтобы систему уравнений (29) привести к виду (1) и построить асимптотику ее решений, используя теоремы 1 и 2. Для достижения этой цели мы сначала воспользуемся техникой усредняющих замен переменных, предложенной в работе [16] применительно к задаче построения асимптотики решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Обобщение результатов этой работы на случай систем вида (29) приводит нас к следующей теореме.

Теорема 3. Система (29) при достаточно больших / заменой

х =

і+yj, (t (t )+

_ i=1

+ I V'M)V0+...+

(31)

(29)

+ X ^«•••••\(041.Л(0

1</, <.. .</» <п

1 к у

+Rl(t, X).

В системе (29) (т х т) -матрицы ^ (?) -

это либо о -периодические матрицы, либо матрицы вида (11). Далее, Я1 ^, •) - линейный ограниченный оператор, действующий из пространства С(к+Х)к =С([-(£ + 1)й,0],Ст)

непрерывных на [—(к + 1)Ь ,0] функций со значениями в Ст в пространство С” и принадлежащий классу Ц+1)Ь [^ + кЬ, да).

Системы уравнений (8) и (29), вообще говоря, не являются эквивалентными. Можно утверждать лишь следующее: пусть функция х(0 является решением системы (8) при

t > Т > ^ с начальным условием хТ = ф, где ф е С , тогда функция х^) при t > Т + кЬ является решением системы уравнений (29) с начальным условием хт+кк = ф , где ф е С(к+1)к и

ф(в) = х(Т + кЬ + в), -(к + \)Ь<в <0. (30)

Таким образом, множество всех решений системы уравнений (8), определенных при t > Т > ^, образует при t > Т + кЬ в пространстве всех решений системы (29) некоторое подмножество. Это подмножество решений определяется множеством начальных функций вида

+ X

1</j <■ . ,<ijç ъп

приводится к виду

(

y-

X4v,(0+ x

y

1</, <■ . .</; <tï

y(t ) + (32)

+^(t, y, )

с постоянными матрицами А и оператором

Я (t, у) из класса Ц+1)Ь [^ + кЬ, да). В замене

(31) I - единичная матрица, а матрицы У (?) с нулевым средним значением либо являются о -периодическими (если таковыми являются матрицы А (?) в системе (29)),

либо их элементами являются тригонометрические многочлены.

Для доказательства этой теоремы необходимо почти дословно повторить соответствующие рассуждения, приведенные в [16, теорема 1].

В практических приложениях обычно требуется вычислить лишь матрицы первого приближения Д, а также матрицы второго приближения Д . Приведем здесь явные формулы для нахождения этих матриц. Имеем,

Д=М[Д(?)], / = 1,...,и,

1 г (33)

(М[^«)] = Нт- |>{з)сЬ). ( )

Т ^да Т •

и

n

п

Далее,

А = М [ А ^) + Д ^ ^ а) + Д ^ )7. (0], 1 < г < у < и,

И

д, =м[Д,. (0+4(0^(0], /' = 1,- ■ -,п. (34)

Матрицы (?) с нулевым средним значением определяются как решения матричных дифференциальных уравнений вида

(35)

Система уравнений (32) не содержит, вообще говоря, осциллирующих коэффициентов в главной части, и в этом смысле она проще системы (29). В частности, можно воспользоваться известными результатами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений для приведения этой системы к виду (1).

Предположим, что в главной части системы (32) можно выделить так называемый ведущий член, и этим членом является матрица

4 , (0' • • ■' (0 • Это означает, что систему

V" 5 1 5

(32) можно записать в виде

У = {А.Л + ЩФ,■.(})• — -V,(0Я0 +

1 * 1 * (36)

+Яг& у,),

где (тх т) -матрица Ж(0~>0 при ?—»со и жСОеД^о,»). (Мы пишем, что матрица ^(t) принадлежит классу Ц [^, да), если \Р(t) | Е ^[,0 ,да) и |-| - некоторая матричная норма.) Справедлива следующая лемма (см., например, [14, 15, 17]).

Лемма 1 (о диагонализации переменной матрицы). Пусть все собственные числа матрицы А различны, а матрица Ж(0 —>0 при V" 5

?—»со и Ж(0 еД[?0,со). Тогда при достаточно больших / существует невырожденная матрица С(0 такая, что:

(0 по столбцам этой матрицы расположены собственные векторы матрицы А . +Ж(0 и С(0->С0 при ?—»со. Постоянная матрица С0 составлена из собственных векторов матрицы А ; ;

(и) производная С(0 еХ1[?0,со) ;

(ш) она приводит матрицу А ; + Ж(0 к диагональному виду, т.е.

с-'(0Ц , +^(0]С(0 = л(0,

где Л(0 = (с11авД(0,...Дт(0) м ^(0

(7 = 1,...,тя) - собственные числа матрицы

А., +*г(0-

В системе (36) осуществим замену

У(,) = С(,) г^), (37)

где С (t) - матрица из леммы 1. Приходим к Ь -диагональной системе вида (1):

г = А(0^ (0' • • •' V, (0г(0 + Я (!, г,), (38)

1 5

где

Л3(?,г() = -С-1(0С(0^(0 +

+с)я (t, с(, + в) г).

В силу свойств (0 и (и) матрицы С(0 оператор Я (^ г) принадлежит классу

/'* 1|/(| + кЬ.со). Если теперь для элементов Я/(0 = Л^И(0-"--^(0, 7 = 1,•••,»? (39) матрицы Л(/)у (0 •... • V. (0 выполнены условия

*1 *5

(3), (4), то для построения асимптотики решений системы (38) можно воспользоваться теоремами 1 и 2. Заметим, что условие (5) в нашем случае заведомо выполняется в силу свойства 1° функций У1(0,---,Ул(0 . Будем в дальнейшем предполагать, что теоремами 1 и 2 мы вправе воспользоваться.

Возвращаясь затем к системе (28) при помощи замен (31) и (37), получаем асимптотическое представление для ее решений при t ^ да вида (7). В этом представлении функции х. (?)

( / = 1..... /7?) описываются асимптотическими формулами типа (6):

ху (0 = [Ру + 0(1)]ехр (5-)<* |, (40)

где р - у -й вектор-столбец матрицы С (см. лемму 1), т.е. собственный вектор матрицы 4 , , отвечающий собственному числу

1"’ 5

/.; = Пт'-, (О• а функция /.;(7) задается формулой (39). Поскольку, как отмечалось ранее, решения исходной системы (8) при достаточно больших / являются решениями системы (28), то эти решения также описываются асимптотическими формулами (7). Но, тем не менее, возникает следующий важный вопрос. Существуют ли у системы уравнений (8) при достаточно больших / и всех у = 1,...,т решения хДО,

имеющие асимптотику вида (40)? Действительно, такие решения существуют у системы (28) и вовсе не обязаны быть у исходной системы (8), множество решений которой является всего лишь подмножеством множества всех решений системы (28). Остановимся на этом моменте более подробно.

На самом деле мы не сможем ответить на

(41)

поставленный вопрос Тем не менее справедлив следующий результат, который вместе с асимптотическим представлением (7) дает полное качественное описание поведения решений системы (8) при ? —> со .

Теорема 4. Пусть 1 = \,...,т фиксировано, натуральное число к определяется свойством 3° функций ^ (?),..., ул(?) и действительное число Т достаточно велико. Тогда существует решение х,(?) системы (8), которое определено при t > Т — кЬ и допускает асимптотическое представление вида (7):

X, (?) = с1 х1 (?) + ...+ с1 х1 (?) +

+ --- + стхт(0 + о{е-р'), где с ^ 0. В представлении (41) функции х (?) (у = 1,.. .,т) являются решениями системы (29) с асимптотикой вида (40) при t ^ да и ¡3 -произвольное действительное число.

Доказательство этой теоремы приведено в

работе [18]. В этой же работе с помощью

изложенной выше методики получены

асимптотические формулы при t ^да для

решений дифференциального уравнения с

запаздыванием

.. аэ тЯ? . 7Ч „

х + хл-------х(? — /?) = О,

где яДё!, р> О и А > О.

Заключение

В настоящей работе предложен метод асимптотического интегрирования систем функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами, близких в определенном смысле при t ^ да к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие изложенных в этой работе идей связано с разработкой метода построения асимптотических формул в той ситуации, когда «предельная» система, как и исходная, является системой функциональнодифференциальных уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России», контракт N 14.B37.21.0247, а также при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-01-31004_мол_а.

Список литературы

1. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциальноразностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

3. Driver R.D. Linear differential systems with small delays // J. Differential Equations. 1976. Vol. 21. P. 148-166.

4. Haddock J.R., Sacker R.J. Stability and asymptotic integration for certain linear systems of functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1980. Vol. 76. P. 328-338.

5. Arino O., Györi I. Asymptotic integration of delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1989. Vol. 138. P. 311-327.

6. Arino O., Györi I., Pituk M. Asymptotically diagonal delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 204. P. 701-728.

7. Arino O., Pituk M. More on linear differential systems with small delays // J. Differential Equations. 2001. Vol. 170. P. 381-407.

8. Györi I., Pituk M. L -Perturbation of a linear delay differential equation // J. Math. Anal. Appl. 1995. Vol. 195. P. 415-427.

9. Pituk M. The Hartman-Wintner theorem for functional differential equations // J. Differential Equations. 1999. Vol. 155. P. 1-16.

10. Ai S. Asymptotic integration of delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 165. P. 71101.

11. Cassel J.S., Hou Z. Asymptotically diagonal linear differential equations with retardation // J. London Math. Soc. 1993. Vol. 47. P. 473-483.

12. Cassel J.S., Hou Z. L -Perturbation of linear functional differential equations // Monatsh. Math. 1999. Vol. 128. P. 211-226.

13. Hou Z., Cassel J.S. Asymptotic solutions for mixed-type equations with a small deviation // Georgian Math. J. 1998. Vol. 5, No. 2. P. 107-120.

14. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновеннных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

15. Eastham M.S.P. The asymptotic solution of linear differential systems. Oxford: Clarendon Press, 1989.

16. Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №6. С. 731-742.

17. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

18. Nesterov P. Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients // Monatshefte für Mathematik. DOI: 10.1007/s00605-012-0437-2 (в печати).

ASYMPTOTIC INTEGRATION OF ONE CLASS OF FUNCTIONAL DIFFERENTIAL SYSTEMS

P.N. Nesterov

We use the method of averaging and the extension of the Levinson asymptotic theorem to study the problem of asymptotic integration of a class of linear functional differential systems that contain oscillatory decreasing coefficients.

Keywords: asymptotic integration, functional differential equations, method of averaging, Levinson's theorem, oscillatory decreasing coefficients.