Об обратимости одного класса вырождающихся дифференциальных операторов в лебеговом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

УДК 517.957

ОБ ОБРАТИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЛЕБЕГОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ М. Г. Гадоев, Ф. С. Исхоков

Аннотация. Строится правый регуляризатор для одного класса дифференциальных операторов с частными производными недивергентного вида в произвольной (ограниченной или неограниченной) области ^ п-мерного евклидова пространства с нестепенным вырождением на границе области, на его основе доказывается существование обратного оператора в пространстве Ьр

Ключевые слова: дифференциальный оператор с частными производными, нестепенное вырождение, правый регуляризатор, обратный оператор, разбиение единицы.

Введение

Одним из основных моментов в исследовании разделимости дифференциальных операторов (см., например, [1-7] и имеющуюся в них библиографию) является построение правого регуляризатора и доказательство обратимости исследуемого оператора. Большая часть работ по разделимости дифференциальных операторов посвящена исследованию обыкновенных дифференциальных операторов. Случай вырождающихся операторов с частными производными высокого порядка в основном исследовался в [3-7]. В этих работах сначала задается область О, в которой рассматривается дифференциальный оператор, и затем в этой области определяются функции, которые характеризуют вырождения коэффициентов дифференциального оператора. В отличие от этого в настоящей работе область О и функции, характеризующие вырождения коэффициентов дифференциального оператора, задаются в паре друг с другом и предполагается выполнение «условия погружения», введенного П. И. Лизоркиным в [8]. При этом дифференцируемость функций, с помощью которых определяется вырождение исследуемого оператора, не требуется.

1. Формулировка основного результата

Пусть О — произвольное открытое множество в п-мерном евклидовом пространстве Кп, и пусть

П(0) = |х = (жьж2,. .. ,хп) е Нп : \xj\ < -, ,7 = 1,2, ... ,71

© 2016 Гадоев М. Г., Исхоков Ф. С.

— единичный куб с центром в начале системы координат.

Для любых точки £ = (£1, £2,■■■,£«) € Кп и вектора Ь = (Ьь Ь2, ■ ■ ■, с положительными компонентами определим параллелепипед П^(£) равенством

Пусть = 1,п, — определенные в О положительные функции. Поло-

жим

Пе,5 (£)= Пе5-(С)(£),

где е > 0 и д(£) = Ы£), ЫО, ■ ■ ■ ,д«(£)).

Далее в работе предполагается, что множество О и функции д,(ж), j =

1, 2, ■ ■ ■, п, связаны следующим условием.

(А) Существует постоянная ео > 0 такая, что для всех £ € О и е € (0, ео) параллелепипед Пе ^(£) содержится в О.

Условие (А) является аналогом условия погружения, введенного П. И. Ли-зоркиным в [8]. В этой работе также рассмотрены примеры областей О и положительных функций д.,-(ж), j = 1, 2, ■ ■ ■, п, удовлетворяющих условию погружения.

Отметим, что вырождающиеся эллиптические операторы дивергентного вида в случае, когда область О и функции д,(ж), j = 1, 2, ■■■,«,, характеризующие вырождение коэффициентов исследуемого оператора, удовлетворяют сформулированным выше условиям, ранее изучались в [9-11]. В этих работах в основном исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле и изучались свойства ее решения. В отличие от этого здесь мы исследуем эллиптические операторы высокого порядка недивергентного вида и доказываем их непрерывную обратимость в пространстве Ьр(О), 1 < р < Рассмотрим дифференциальное выражение

£(ж,Дх)= ак(ж)я£, ж € О, (1)

|&|<2г

где г — некоторое натуральное число, к = (к1, к2, ■ ■ ■, кп) — мультииндекс, |к| = к1 + к2 + • • • + кп — длина мультииндекса,

х угдж^ \г дж2 / \гдж„

и г — мнимая единица.

Символом В(т, д, О), где т — положительное число, обозначим класс символов

¿(ж, а) = а&(ж)зй (ж € О, в € Дп)

|&|<2г

с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими следующим условиям:

(I) М р |£(ж,*)| = 5 = 0;

(II) (х)вк | < тд- к1 (х)д2 к (х) ... дпк" (х)|Ь(х, в)| для всех х € О, в € Кп, к = к' + к'', к'' = 0, |к| < 2г;

(III) £ |(ак(х) — ак(у))вк| < т|Ь(х,в)| для всех в € и всех х, у € О

|к|<2г

таких, что |xj — уj | < e2gj(х), j = 1, 2 ..., п, е € (0, ео).

Теорема 1. Пусть существует число Л > 0 такое, что

Х-1<91Щ<Х ¿ = 1,2,...,п, (2)

" ЯМ _

для всех у € О и всех х € ^(у), и пусть при некотором К > 0 выполняется неравенство

|ак(х)вк|< К|Ь(х,в)| (3)

|к|<2г

для всех х € О, в € Кп.

Тогда найдется число то = то(п, г,р, К) > 0, 1 < р < такое, что если

т € (0, то) и Ь(х, в) € В(т, д, О), то замыкание Ьр оператора Ь = £(-, №), №(Ь) = 60ю(О), в пространстве Ьр(О) существует и имеет непрерывный обратный.

Теорема 2. Пусть 1 < р < выполнены все условия теоремы 1 и то — такое же число, как в теореме 1. Тогда если т € (0, то) и Ь(х, в) € В(т, д, О), то имеет место неравенство

||и; ЬР(О)|| < СоУЬ(р)и; ЬР(О)||, и € №(Ь(Р)), (4)

где число Со > 0 зависит только от г, п,р, К и нижней грани функции |Ь(х, в) |, х € О, в € Кп.

2. Вспомогательные леммы

Следующая лемма доказывается аналогично лемме 1 из [10].

Лемма 1. Пусть область О и положительные функции gj (х), j = 1, 2,... ,п, удовлетворяют сформулированным выше условиям.

Тогда существуют неотрицательные функции фх, ф2,... из класса С™(О)

такие, что

+^

(1) £ Ф1(х) = 1, х € О;

т= 1

(2) покрытие {виррфт}т=1 области О имеет конечную кратность Л(п, Л), где Л — константа из условия (2);

(3) для любого мультииндекса к существует конечное число Мк > 0 такое,

что

|№фт(х) | < Мкд2к1 (х)д2пк2 (х) .. . д-кп (х), х € О;

(4) для всех х, у € 8ирр фт, т = 1, 2, 3,..., выполняется неравенство

|xj — у?| < е2gj(x), j = 1,2,..., п;

(5) для любой функции f £ Li(fi) справедливо соотношение Е Xm (x)f (x) dx ^ 0, N ^ + ГО,

___лг J

-Nh

где Хт (ж) — характеристическая функция множества вирр фт. Лемма 2 (см. лемму 2.2 из [4]). Пусть оператор Т имеет вид

Т XmT,

mTmXm

где Xm ,m = 1, 2, 3,..., — характеристическая функция множества supp фт, а Ti, Т2, Т3,... — последовательность непрерывных операторов в Lp(0) таких, что

Л = sup ||Tm||p <

m=1,2,3,...

где p £ (1, Тогда Т — ограниченный оператор и выполняется неравенство

||Tm||p < Л1/р(п, А)Л,

где Л(п, А) — кратность покрытия {supp ^m}m<=1 области О.

Будем говорить, что Т — псевдодифференциальный оператор с символом t(s), если

(ТИ)(Ж) = (¿j^ / (t(s) / ^ = ^^ Rn Rn

Лемма 3 (см. лемму 2.3 из [4]). Пусть

A(s) = Е Mk

|k|<2r

— полином с постоянными коэффициентами, A(s) = 0 для всех s £ Rn, и пусть Tk, |k| < 2r, — псевдодифференциальный оператор в Rn с символом tk(s) = skA-1(s).

Пусть выполняется неравенство

Е |bksk|< K|A(s)|. (5)

|k|<2r

Тогда оператор Tk, |k| < 2r, имеет непрерывное продолжение в Lp(Rn) при любом p £ (1, и выполнено неравенство

||Tk||p < M sup |tk(s)|, (6)

seRn

где число M зависит только от r, p, n и K.

Замечание 1. В случае p = 2 утверждение леммы 3 имеет место без предположения о выполнении неравенства (5), при этом в (6) M = 1.

m= 1

Пусть 1 < р < Положим д = р/(р — 1). В силу неравенства Гельдера

обозначение

(«,*) = /«(* ш<ь

о

имеет смысл для всех и € £р(О) и всех V € Ьч(О). Рассмотрим дифференциальный оператор

(Qu)(x) = qk(x)Dku(x), D(Q) = CO(О).

|k|<2r

Предположим, что существуют локально ограниченные в О производные Dlqk(ж), |1| < |k| < 2r, и рассмотрим оператор

(Q'u)(x) = ]Г ОкхЫх)<х)), D(Q') =

|k|<2r

Обозначим через Q(p) замыкание оператора Q в пространстве Lp(0), а через Q'q — замыкание оператора Q' в пространстве Lq(О).

По определению сопряженного оператора функция u(x) £ Lp(0) принадлежит области определения оператора (Q'q-,)* тогда и только тогда, когда найдется функция <г(ж) £ Lp(O) такая, что

= (u,Q(q)^), ^ £ D(Q'(q)),

при этом <г = (Q( ))*u.

(ч)'

Символом (/, обозначим значение обобщенной функции / € .О'(О) на функции ^ € СО (О). Обобщенная функция /(ж) отождествляется с некоторой функцией д(ж) € ¿1,1ос(0), если

</,¥>> = / ff(x)^(x) dX, ^ £ C0(О).

Для u £ Li,ioc(0) определим обобщенные функции qk(x)Dku(x), |k| < 2r

по формуле

(qfcDku,^> = (-1)|k| J u(x)Dk (qk(x)^(x)) dx, ^ £ C0(O).

Положим

= ^ qk(x)Dku(x). (7)

k|< 2r

Лемма 4 (см. лемму 2.6 из [4]). Справедливы следующие утверждения. (а) Функция и(ж) принадлежит области определения оператора )* тогда и только тогда, когда и(ж) € Ьр(О) и найдется функция v(ж) € Ьр(О) такая, что

= (и^), ^ € СО (О).

(б) Оператор )* является расширением оператора Q(p), т. е. Q(p) С («(,) )*.

(в) Если ядро кег^'^ )* = 0 и область значений Д^(р)) оператора Q(p) совпадает с Ьр(О), то Q(p) = ^'д))*.

(г) Функция и(ж) принадлежит .(^(д))*) тогда и только тогда, когда и(ж) € ^(О) и обобщенная функция с(ж) (7) принадлежит пространству ^(О).

3. Доказательство теоремы 1

Пусть функции ^т(ж), т = 1, 2, 3,..., такие же, как в лемме 1. В каждом множестве вирр т = 1, 2, 3,..., фиксируем точки {ж(т'к), |к| < 2г} и положим

(т,к) )„к

¿ш(я)= Е ак(х(т'к))5к, 5 € (8)

|к|<2г

В пространстве ^(О) (1 < р < вводим операторы

. = £ ) = 60° (О),

т= (9)

т=1

где Фт, Фт, т = 1,2, 3,..., — псевдодифференциальные операторы в Кп с символами Фт(в) = -т,1^), ФтМ = Фт(в) соответственно. На функциях и, V € С0°(О) выполняются равенства

= .'«), (Фти,^) = (и,ФтV), т = 1, 2, 3,____

Символами Р1^), Р1'^ обозначим замыкания операторов Р1, Р1' с областями определения .(Р1) = ') = Со°(О) в пространствах ^(О), —(О) соответственно.

Если коэффициенты ак(ж), |к| < 2г, дифференциального оператора — = —(ж,.х)(.(—) = С^(О)) дифференцируемы достаточное число раз, то формально сопряженный дифференциальный оператор —'(ж,.) задается равенством

—'(ж,.)и = Е .(ак(ж)и(ж)). (10)

| к | < 2г

Однако в теореме 1 дифференцируемость коэффициентов ак(ж), |к| < 2г, не предполагается. Поэтому в рассматриваемом случае равенство (10) теряет смысл и трудно исследовать оператор (Р(д))*, сопряженный по отношению к оператору Р(д). В связи с этим обстоятельством мы вводим другое дифференциальное выражение с гладкими коэффициентами, которое связано с выражением —(ж, и имеет некоторые близкие свойства.

Положим

С(ж,Дх)= Е «к(ж).к, ж € О, (11)

|к|<2г

где

äk(x) = £ Ok(x(m'k)(x), |k| < 2r. (12)

m=1

Обозначим через G'(x, Dx) дифференциальное выражение, сопряженное к G(x,Dx).

Отметим некоторые соотношения между символами L(x, s), Lm(s) и

G(x,s) = ^ Ok(x)sk. (13)

|k|<2r

Из условия (III) имеем

|(ofc(x) - Ok(y))sk| < т|L(x,s)|, |k| < 2r,

для всех s £ Rn и всех x, y £ suppm = 1, 2, 3, .. .. Подставляя в этом неравенстве y = x(k'm), имеем

|(ok(x) - Ok(x(k'm)))sk| < т|L(x,s)|. (14)

В силу этого неравенства получаем

|L(x,s) - Lm(s)|< ^ |(Ok(x) - Ok(x(k'm)))sk|

|k|<2r

< т|L(x,s)| Y, 1 = т(2r)n|L(x,s)|.

|k|<2r

Отсюда при выполнении условия

n

о <т<\(1) ОЧ

следует, что

|L{x, s) - Lm{s)| < -|L{x, s)|, ж £ suppf/w

Следовательно,

|L(x,s)|< 2|Lm(s)|< 3|L(x,s)| (16)

для всех s £ Rn и всех x £ suppm = 1, 2, 3,....

Согласно лемме 1 семейство функций (x)}^=i образует разбиение единицы области О конечной кратности Л(п, Л). Поэтому, используя равенство (12), имеем

оо оо

Ok(x) - äk(x) = ^Ok(x)^j2(x) -äk(x) ^^(ok(x) - Ok(x(k,j)))^2(x). j=i j=i

В силу условии (III) имеем

|(Ok(x) - äk(x))sk| < ^ |(Ok(x) - Ok(x(kj)))sk|^2(x) j=1

< т|L(x,s)|^^2(x) = т|L(x, s)|, j=1

т. е.

|(ак(ж) - ак(ж))5к| < т|—(ж,5)|. (17)

Используя равенство (13), получаем

|—(ж,в) - С(ж,в)|< Е |(ак(ж) - йк(ж))5к|

|к|<2г

< т |—(ж,5)| Е 1= т (2г)П |—(ж,5)|.

|к|<2г

Отсюда при выполнении условия (15) следует, что

|—(ж,в)| < 2|С(ж,в)| < 3|—(ж, в)|

для всех в € и ж € О.

Лемма 5. В условиях теоремы 1 существует положительное число такое, что если т € (0,4*), то существуют операторы Г,, Г2 € [О] с || • нормами, не превосходящими 1/2, такие, что на функциях и € СО (О) выполняются равенства

№и = (Е + Г,)и, С'. 'и = (Е + Г2)и, (18)

где Е — тождественный оператор.

Доказательство. В этой лемме и далее символом [О] обозначено пространство всех линейных операторов, действующих из С°0(О) в —1(О) П —0(О), замыкания которых в пространстве ^(О) являются ограниченными операторами.

Так как Фт — псевдодифференциальный оператор в с символом —т(в) (см. (8)) и

—т = —т(ж; .*) = Е ак(ж(т'к)).к, .(—т)= С0(О),

|к|<2г

— дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, то

00 Е ^т—тФт^т = ^ ^т = Е.

т=1 т= 1

Используя это равенство, имеем

0 0 0 С.и = Е С^тФт^ти = ^ С ^т]Фт^ти + ^ ^тСФт^ти

т=1 т=1 т=1

0 0 0 = Е^^Фт^ти+Е ^т(С-—т)Фт^ти^Е ^т—т^тФти = (Г1+Е)и,

т=1 т=1 т=1

где

00

Г1 =

т\^т у^т т (С - — т ут • (19)

т=1 т=1

Здесь и далее символ [•, •] обозначает коммутатор, т. е. [Т1, Т2] = Т1Т2 - Т2Т1.

Таким образом, мы доказали равенство

СЕи = (Е + Г1)и, и € С°(О),

где оператор Г1 определяется равенством (19). Представим оператор Г1 в виде

Г1 = Г* + Го, (20)

где

00 Г* = [С, , Го = (С — £т)Фт(21)

т=1 т=1

Заметим, что

[G, ^m]u = G(^mu) - ^mG(u) = ^ Ok(x)Dk(x)u(x))

|k|<2r

- ^ йк(ж)^т(x)Dku(x) = ^ &k(ж) ^ (Dk(ж)) (Df u(x))

I

Поэтому

| k| <2r | k| <2r k' + k* = k,

k' = 0

m=i | k | < 2r k' + k*=k,

k' = 0

где Фт ) = Dk ^т(ж) и фЯР — псевдодифференциальный оператор в Rn с символом sk Lmi(s). На основе этого равенства, применяя лемму 2, получаем

||Г*||Р < Mi £ £ Pkk'k*\ (22)

|k| <2r k' + k*=k, k' = 0

где

pp^ = sup ii^m'^miVmiL (23)

m=i,2,3,... p

(k*)

Применяя лемму 3, оценим норму псевдодифференциального оператора Фт :

фт*)|„ < M2 sup |sk*Lmi(s)|. (24)

p seR„

Согласно п. 3 леммы 1 имеет место неравенство

sup ^(ж)^ (x)g2k2 (ж)... (ж) | < M* < гс. (25)

xGsupp

Из (23)-(25) следует, что

Pkk''k*) < M sup|g-k1 (ж)^2 (ж) ...g-kn (ж)о2 (ж) • sk* Lmi(s)|, (26) где супремум берется по ж £ supp s £ Rn, m = 1, 2, 3,....

Из равенства (12) в силу условия (II) имеем 0

|йк (ж)5к* | <5>к(ж(к^ )5к* №?(ж) ¿=1

О / / /

< т Е д-к1 (ж(к'^ )д-к2 (ж(к'^'))... (ж(к'^')) • |—(ж(к^, з)|^2(ж). (27) ¿=1

Заметим, что для всех ж € вирр ^ имеют место следующие неравенства: дт1(ж(к'^")) < Лдт1(ж), т =1, 2,...; |—(ж, в < т|—(ж, в)|.

Первое неравенство следует из (2), а второе — из условия (III).

В силу последних неравенств из (27) следует, что

|ofc(x)sk* | < тЛ^'1 (1 + т)|L(x, s)|g-ki (x)g--k2 (x) .. . (x)

для всех ж € О, в € к = к' + к*, к' = 0.

Если ж € вирр то в силу неравенства (16) из последнего неравенства вытекает, что

|flk(x)sk* | < тМод- k1 (x)g- к2 (x).. ,g„kn (x)|Lm(s)|.

Используя это неравенство, из (26) имеем

pkk'.k*) < тМ2 (28)

для всех k = k' + k*, |k| < 2r, k' = 0.

Таким образом (см. (22), (28)), существует M3 > 0 такое, что

||Г*||Р < тМз. (29)

Оценим норму оператора Го. Из равенства (21) в силу леммы 2 имеем

||ГоУр < Л(п, v) sup Н^ (G - L m)^m^m ||р• (30)

m=1,2,...

Заметим, что

(G - Lm)u = ]Т (ak(x) - ak(x(k'm)))Dku.

|k|<2r

Поэтому

||V>m(G - Lm)$m^m ||p < Sup |(ak (x) - «k(x(k'm) ))sk Lm^, (31)

где супремум берется по s G Rn и x G supp Здесь также воспользовались леммой 3.

Из неравенств (14) и (16) следует, что

|(ttk(x) - &k(x))sk | < 2т |Lm(s)|, x G supp ^m, s G R„.

С другой стороны, из (16), (17) имеем

|(йк(ж) — ак(ж))вк| < 2т|Ьт(в)|, х € эиррв € Е„.

Поэтому из (31) следует, что

||^т(С — Ьт)Фт^тур < тМ4 (32)

для всех т = 1, 2,...; М4 — некоторое конечное положительное число.

Таким образом (см. (30), (32)), существует положительное число М5 такое,

что

||Го||р < ТМ5.

Учитывая равенство (см. (20)) Г1 = Г* + Го, из (29) получим

||Г1||Р < т(Мз + М5).

Следовательно, существует число > 0 такое, что при т € (0,4') норма оператора Г1 не превосходит 1/2.

Утверждение леммы 5 относительно оператора СЕ доказано. Оставшаяся часть утверждения этой леммы относительно оператора С'Е' доказывается аналогично.

Если Т — некоторый оператор с областью определения Е(Т) = СО (О), допускающий замыкание в пространстве Ер(О), то далее обозначим это замыкание через Т(р).

Лемма 6. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда найдется положительное число ¿1 такое, что если т € (0, ¿*) и Е(х, в) € В(т, д, О), то оператор

С = С(-,Я), Е(С) = С°(О),

в пространстве Ер(О), 1 < р < то, имеет замыкание С(р) со следующими свойствами:

С(р) Е(р) = Е + ^^ (33) й(С(р))= Ьр(П). (34)

Здесь Г1;(р) — замыкание в Ер(О) оператора Г1, Е(Г1) = С0(О), из леммы 5. Доказательство. Согласно лемме 5 (см. (18))

СЕи = (Е + Г1)и, и € С°(О), (35)

где Г1 € [О] и ||Г1|р < 1/2. Следовательно,

\\Т1ЩЬР(П)\\<^\\ЩЬР(П)\\ (36)

для всех и € СО (О). В силу плотности класса СО (О) в Ер(О) из (36) следует, что оператор Г1, Е(Г1) = СО (О), допускает в Ер(О) замыкание Г1;(р), норма которого не превосходит 1/2. Поэтому

ОД,(р)) = Ьр(О). (37)

Обозначим через —> сходимость по норме пространства Р.ц(О). p

Пусть V —произвольный элемент из ^(О). В силу плотности класса СО (О) в ^(О) существует последовательность функций {V, }°011 С СО (О) такая, что

V, —> V при з —> то. В силу определения оператора Г1 (^ имеем p

(Е + Г^, —> (Е + Г.^)) V при з —> то. p '

Из (35) следует, что

(Е + Г^ = СР1^, з = 1, 2, 3,...,

поэтому

С.V, (Е + Гll(p))v, з то. (38)

p 4 7

По определению (см. (9))

О

. = Е ^тФт^т

т=1

где Фт — псевдодифференциальный оператор в с символом —т1(5) (см. (8)). Согласно лемме 3 оператор Фт имеет непрерывное продолжение в Lp(Rn) и

НФт^ < М 8Ир |—т>)|.

Поэтому оператор Р, ) = СО (О), допускает замыкание в пространстве Р^О). Это замыкание обозначим через Р1^). Следовательно,

.V Р^ V, з то. (39)

Пусть ^Р^)) — область значений оператора Р1^), и пусть и(ж) — произвольный элемент из ^Р1^)). Существует функция v(ж) € Р^О) такая, что и = Р^)V.

Пусть {V,- }О=1 — последовательность функций из СО (О) такая, что V,- —> V, ^ p

3 —> то. Тогда из (39) следует, что и, —> и, з —> то, где и, = Р^,-, з =

p

1, 2,3 ....

Так как и, € СО(О) для всех з = 1, 2, 3 ... и С^) — замыкание оператора

С = С(-,.), .(С) = С°(О), то

Си, —> С(p)и, з —> то. Отсюда в силу равенств и, = , и = Р^) V имеем

СР^,- -— С^Р^, з —> то.

Применяя равенство (38), получим

С^ Р^ V = (Е + Г^)^ (40)

для всех V € Р^О) П .(Р^)). Так как Р^) — непрерывное продолжение оператора Р, .(Р) = С О(О), на все пространство, равенство (40) имеет место для всех V € Р^О). Равенство (33) доказано.

Так как Е(Г1др)) = Ьр(О) и 11Г1,(р) |р < 1/2, согласно известной теореме из теории операторов (см., например, [12, с. 230]) (Е + Г1;(р)) — непрерывно обратимый оператор и

Следовательно,

Д(Е + Г1,(р) ) = Я((Е + Г1,(р))-1) = Ьр(О). Отсюда и из равенства (33) следует, что С(р) Е(р) — обратимый оператор и

(С(р)Е(р))-1 = (Е + Г1,(р))-1. (41)

Поэтому

й(С(р) Е(р)) = Е((С(р) Е(р))-1) = Ьр(О).

Так как Д(С(р) Е(р)) С Д(С(р)) и Д(С(р)) С Ьр(О), отсюда следует, что Д(С(р)) = Ьр(О). Равенство (34) доказано.

Аналогично лемме 6 доказывается

Лемма 6*. В условиях теоремы 1 существует число ¿2 > 0 такое, что если т € (0,4*) и £(х, в) € В(т, д, О), то оператор С' = Е(С') =

СО (О), в пространстве (О), 1 < д < то, имеет замыкание со следующими свойствами:

= Е + Г2,(,); (42)

й(С/(д))= Ь,(О).

Здесь Г2 (д) — замыкание в (О) оператора Г2, Е(Г2) = С0(О), из леммы 5.

Лемма 7. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и ¿3 = тш{£1, где , — константы из лемм 6 и 6* соответственно. Тогда если Ь(х, в) € В(т, д, О), 1 < р < то, д = р/(р — 1), то

С(р) = (С(д))*, С(д) = С*р). (43)

Более того, операторы С(р) и имеют непрерывные обратные и для них

выполняются равенства

С- = Е(р)(Е + (С(,))-1 = Е('д)(Е + (44)

где операторы ¿^2 соответственно принадлежат пространствам ^р[О], [О] и их норма меньше единицы.

Доказательство . Обычным интегрированием по частям доказывается равенство (Си, V) = (и, С'г>) для всех и, V € СО (О). Следовательно,

(С(р)и, V) = (и, С|д) V), и^ € СО (О).

С другой стороны, согласно определению сопряженного оператора

(С(р)= (и (С(р))*v)

для всех и € .(С^)), V € .(С*^). Таким образом,

С*

= С^, V € СО (О).

- С(д)'

Согласно известной теореме из теории операторов в банаховом пространстве (см., например, [12, с. 233]) если А — непрерывный линейный оператор в некотором банаховом пространстве, то имеет место следующее равенство: (кег А)^ = Д(А*), где знак ± означает ортогональное дополнение. Поэтому из равенства

(42), т. е. Д(С'(д)) = -д(О), следует, что

кег(С',) )* =0. (45)

Так как (см. (34)) область значений ^С^)) оператора С^) совпадает с ^(О), применяя п. (в) леммы 4, из (45) получим С^) = (С(9) )*. Первое равенство в

(43) доказано. Аналогичными рассуждениями доказывается и второе равенство в (43).

Из равенств (43) и (45) следует, что

кег С^ =кег(С',))* =0. Следовательно, С^) — обратимый оператор. Поэтому из равенства (41) имеем

рР(р)1с^) = (p(p)С(p)Г1 = (Е + Гl,(p) )-1. (46)

Рассмотрим оператор

Используя (46), имеем

= (Е + Гll(p))-1 - Е.

^ (Е + = p(p) (Е+гl,(p))-l = p(p) р^С = .

Первое равенство в (44) доказано.

Из (43), (34) имеем й((С(д)))* = ^С^) = Lp(О). Так как (кег(С(д)= ^((С(д))*), отсюда следует, что кег(С(9)) = 0. Поэтому С(9) — непрерывно обратимый оператор. Обозначим

^2 = (Е + Г2,(,) )-1 - Е.

Действуя так же, как в доказательстве равенства (41), из равенства (42) находим

''

(?) Р(9)'

Имеем

(С(9) Р('<г) ) 1 = (Е + Г2,(9) ) ..

Р('д) (Е + ^2) = Р('д) (Е + Г2,(9) )-1 = Р('д) Р(9)1(С(д) )-1 = (С(д) )-1.

Второе равенство в (43) доказано.

Применяя теорему 5 из [12, с. 230], получаем

||(Е + Г^) )-1 ^ =

Е(-1)' (Ги^

,=о

<

1 - ||гl,(p)||p

< 1.

1

p

Аналогично имеем

||(Е + Г2,(,))"

Отсюда следует, что

Е(-1)' (Г^, (?)) ^ ,=0

" 1-||г2,(д)||д

= (Е + Г^))-1 - Е = ЕМ)'(Г^) ,

,(p)) - Е = 2^(-1) ч1^)) ,=1

поэтому

11^1||р<1 пр || <11 - ||il,(p)Уp

Аналогично доказывается, что

О

^2 = (Е + Г2,(9))-1 - Е ^(-1)^' (Г2,(9) ,,

,= 1

№< и <1-

1 - ||12,(<г)||<г

Лемма 7 доказана полностью.

Лемма 8. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и ¿3 — постоянная из леммы 7. Тогда если т € (0, £*) и -(ж, в) € В(т, д, О), то имеют место следующие равенства:

Д^) )= .(С^)), (47)

кег Р(p) =0. (48)

Доказательство. Пусть и(ж) — произвольный элемент из Д^^)). Тогда существует функция v(ж) € ^(О) такая, что

и(ж) = (Р^V)(ж), ж € О. (49)

Согласно нашим обозначениям Р^) — замыкание оператора

Р = Е ^тФт^т, .(Р) = СО (О),

т=1

в ^(О). Поэтому существует последовательность {V, }°О11 С СО (О) такая, что

V, —> V, Р^ —> Р(p)V, з —> то. (50)

p p v '

Положим и, = Р^. Тогда из (49), (50) следует, что и, —> и, з —> то.

p

Так как и, € СО (О), согласно лемме 5 СР^,- = (Е + Г))^,-, з = 1, 2, 3,....

В силу ограниченности оператора Е + Г, имеем (Е + Г,^- —> (Е + Г, (p) )v,

p

з —> то. Поэтому СР^,- —> (Е + Гц^^ = С(p)Р(p)V, з —> то. Следовательно, и, —> и и Си, —> Си при з —> то, т. е. и € .(С^)).

1

9

9

Таким образом, доказали включение

едР)) с я(С(Р)). (51)

Пусть ад £ Е(С(р)). Положим V = С(р)ад. Так как согласно лемме 7 существует обратный оператор С-р)), то ад = С-^. Отсюда и из равенства (43) следует, что ад = Е(р)(Е + Следовательно, ад £ Е(Е(р)), и доказано включение

Е(С(р)) С Д(Е(р)). Отсюда и из (51) следует равенство (47).

Докажем равенство (48). Пусть Е(р)V = 0. Тогда из равенства (см. (33)) С(р)Е(р)V = (Е + Г1 )v следует, что

(Е + Г^ = 0. (52)

Из обратимости оператора Е + Г1 следует, что кег(Е + Г1) = 0. Поэтому из (52) имеем V = 0. Равенство (48) доказано, что завершает доказательство леммы 8.

Лемма 9. В условиях теоремы 1 существует число > 0 такое, что если т £ (0, ¿4) и Е(ж, в) £ В(т, д, О), то существует оператор Г £ .¿^[О] с У • \\р-нормой, не превосходящей 1/2, такой, что

ЕЕи = (Е + Г )и (53)

для всех функций и £ СО (О).

Доказательство. Напомним, что (см. (9))

Е фтФтфт, Е(Е) = С0ТО(О),

т= 1

где Фт, т =1, 2, 3,..., — псевдодифференциальные операторы в с символами Фт(в) = Ет1(в) (см. (8)).

Определим дифференциальный оператор

Ет(ж,Е) = ^ ак(х(т'к) )Ек, Е(Ет)= СО (О).

|к|<2г

Так как этот оператор с постоянными коэффициентами, то

(ЕтФти)(ж) = и(х), и £ СО (О).

В силу того, что система функций {ф^}00=1 образует разбиение единицы области О, имеем

Фт^тФтФт = 53 ^ = Е, (54)

т=1 т= 1

где Е — тождественный оператор. Используя равенство (54), получаем ЕЕи = 53 ¿фтФтфти =53 Фт]ФтФти

т=1 т=1

+ УЗ Фт^ФтФти = 53 Фт]ФтФт.и

т=1 т=1

+ УЗ Фт (^ - Ьт)ФтФти + и.

т= 1

Следовательно, равенство (53) имеет место, если определим оператор Г следующим образом:

+ О +О

Г = Е [-, ^т]Фт^т + Е - -т)Фт^т-

т=1 т=1

Оценим норму этого оператора. Для этого представим оператор Г в виде

Г = Г' + Г'', (55)

где

Г' = Е [-, ^т]Фт^т, Г'' = Е - -т)Фт^т- (56)

т= 1 т= 1

Для и € СО (О) имеем

[.^т]и(ж)= .к (^т(ж)и(ж)) - ^т(ж). и(ж) = £ (^ ^т(ж))(.Г и(ж)).

k' + k'' = k, k' = 0

Поэтому

г'= Е(ЕЕ

= 1 |k|<2r k' + k'' = k,

k' = 0

где ^«г )(ж) = .X ^т(ж) и фП ) — псевдодифференциальный оператор в Д„ с символом -т1(в).

Применяя лемму 2, оценим норму оператора Г'. Имеем

||Г'||р < A1/p(n,A) Е Е '" (57)

|k|<2r k' + k'' = k,

k =0

где

^kki» = sup ) afe ф^т ||_. (58)

m=1,2,3,... F

Согласно п. 3 леммы 1 функции ^m(x) для любого мультииндекса k', |k'| < 2r, удовлетворяют условию

sup Wfc') (x)gf1 (x)gik2 (x)... дП' (x) | < Mk ' < (59)

xGsupp ф

Для оценки нормы псевдодифференциального оператора Фт используем лемму 3 и неравенство (16). В результате приходим к оценке

Цф^к'0 || < M* sup |sk ''1 (s) | < M» sup |sk ''L-1(x,s)|, (60)

»£R„

где супремум берется по x G supps G Rn. Из (58)-(60) получим

^ikl' < M»' sup |afe(x)g-k1 (x)g-k2 (x) . .. g-k' (x)sk''L-1(x, s)|.

X£supp фт,

Так как L(x, s) £ В(т, g, О), в силу условия (II) (см. определение класса В(т, g, О)) из этого неравенства следует, что

^ikl' < м«т.

С учетом этой оценки из (57) вытекает, что

||Г'||р < Moт, (61)

где Mo — некоторая положительная постоянная.

Оценим норму оператора Г''. Применяя лемму 2, из (56) имеем

||Г"||p < Л1/р(п,Л) sup |Um(L - Ьт)ФтVm|L (62)

m=1,2,... p

Так как

L(x, Dx) - Lm(Dx) = ]T (ßk(x) - ßk(x(m'k)))Dk

|k|<2r

то

||V>m (L - Lm )ФтФт ||p < ^ ll^( ßk (x) - ßk (x(m'k) ^m ||p, (63)

|k|<2r

где $mk) — псевдодифференциальный оператор в Rn с символом skLmx(s).

Используя лемму 3, оценим норму псевдодифференциального оператора

Фт).

И ||p < M SUp |skLm1(s)|.

Отсюда и из (63) следует, что

||V>m(L - Lm)^m V>m||p < M SUp ^ |( ßk (x) - ßk (x(m'k) ))sk Lm1(s)|,

|k|<2r

где супремум берется по x £ supp s £ Rn.

Используя неравенство (16) и условие (III) (см. определение класса В(т, g, О)), получаем

||V>m(L - Lm^mV>m||p < M' SUp ^ |( ßk (x) - ßk (x(m'k) ))sk L-1(x,s)|< MqT.

|k|<2r

Таким образом (см. (62)),

||Г''|p < MiT, (64)

где M1 — некоторая положительная постоянная. Объединяя (55), (61), (64), находим

||Г||p < т(Mo + Mi).

Следовательно, при t\ = 2(m0+Mi) и т ^ норма оператора Г не превосходит

1/2.

Лемма 9 доказана.

Переходим к доказательству теоремы 1. Сначала покажем, что оператор (см. (1)) - = -(■,.), .(-) = СО (О), допускает замыкание в пространстве

-¡и(О), 1 < р < то. Для этого достаточно показать, что если -и, —> V, и, —> 0

p p

при з —> +то, где V € ^(О) и и, € СО (О) для з = 1, 2, .. ., то V = 0.

Так как СО (О) С .(С^)) и согласно лемме 6 (см. (34)) .(С^)) = Д^^)), то и, € Д^^)) для з = 1, 2,.... Следовательно, существуют функции V, € ^(О), з = 1, 2,..., такие, что и, = Р(p)Vj■, з = 1, 2,.... Поэтому -Р^)V, —> V и

Рм^' —* 0 при з —> +то. Далее, применяя лемму 9 (см. (53)), имеем

v ' p

LР(p)Vj■ = (Е + Г^ —> V, Р(p) V, —> 0 при з —> +то.

Отсюда в силу обратимости оператора (Е + Г(^) следует, что

V, —> (Е + Г(p))-1v, Р(p)Vj■ —> 0 при з —> +то. (65)

Так как Р(p) — замкнутый непрерывный оператор, из того, что V, —> ад,

Р(p)Vj —* 0 при з —> +то, следует, что Р^ш = 0. Поэтому из (65) получаем

Р(p)(E + Г(p))-1v = 0. Отсюда в силу равенства (48) имеем (Е + Г^)^^ = 0, т. е. V = 0, что и требовалось доказать.

Таким образом, доказано, что оператор - = -(■,.), .(-) = СО(О), имеет в пространстве ^(О), 1 < р < то, замыкание. Это замыкание обозначим через

Докажем равенство

кег = 0. (66)

Для этого докажем, что если L(p)V = 0, то V = 0. Пусть L(p)V = 0. Так как — замыкание оператора - = -(■,.), .(-) = СО(О), существует последовательность {и, }О=1 С СО (О) такая, что

и, —> V, -и, —> 0 при з —> +то. (67)

p p

Так как (см. (47)) СО (О) С .(С^)) = Д^^)), функции и,, з = 1, 2,..., можно представить в виде и, = Р^) V,, з = 1, 2,.... Подставляя это в (67), имеем

Р^- —> V, LF(p)Vj■ —> 0 при з —> +то.

Отсюда в силу леммы 9 получим (Е + Г^)^, —> 0 при з —> +то. Поскольку

v ' p

(Е + Г(^) — обратимый оператор, то V, —> 0 при з —> +то. Таким образом,

Рм^ —* V, V,- —> 0 при з —> +то.

v ' p p

Отсюда в силу замкнутости оператора Р^) находим Р(p)V = 0. Следовательно (см. лемму 8), V = 0. Равенство (66) доказано.

Далее, поступая так же, как в доказательстве леммы 6, докажем равенство

L(p)F(p) = Е + Г^. (68)

Согласно лемме 9

ЬЕи = (Е + Г)и, и £ С°(О), (69)

где Г £ _5?р[О] и \\Г\\р < 1/2. Оператор Г имеет в Ьр(О) замыкание Г(р) и Е(Г(р))= Ьр(О).

Пусть V —произвольный элемент из Ьр(О). В силу плотности класса СО (О) в Ьр(О) существует последовательность {V. }0=1 элементов класса СО (О) такая,

что V.,- —> V при j —>

р

Так как (Е + Г—> (Е + Г(р)^ при j —> из равенства (69) следует, р

что

ЬЕи. —> (Е + Г(p))v при j —>

С другой стороны, из V. —> V, j —> следует, что

р

—> Е(р)v, j —> р

Вводим обозначения ад. = ЕVj, j = 1, 2,...; ад = Е(р^. В этих обозначениях полученные выше соотношения записываются в виде

ад. —> ад, —> (Е + Г(p))v при j —>

Отсюда в силу замкнутости оператора Ь(р) следует, что

Ь(р)ад = (Е + Г(р) )v. Подставляя в этом равенстве ад = Е(р) V, получим

Ь(р)Е(р)v = (Е + Г(p))v.

Равенство (68) доказано.

Так как Д(Е + Г(р)) = Ьр(О), из (68) следует, что Д(Ь(р)Е(р)) = Ьр(О). Отсюда и из того, что

Я(Ь(р)Е(р)) С Д(Ь(р)) С Ьр(О),

получим

Д(Ь(р)) = Ьр(О).

Таким образом, доказали, что (см. (66)) кегЬ(р) = 0 и Д(Ь(р)) = Ьр(О). Эти равенства обеспечивают существование обратного оператора Ь-^.

Так же, как в доказательстве леммы 7, из \\Г(р)\\ < 1/2 следует, что (Е + Г(р)) —обратимый оператор и \\(Е + Г(р))-1\\ < 1. Положим

</ = (Е + Г(р))-1 - Е. Используя равенство (68), имеем

е(р) (Е + = е(р) (Е + г(р) )-1 = е(р) (е(р)е(р))-1 = Е(р). Таким образом, обратный оператор Ь-) существует и представляется в виде

Ь(р) = е(р)(Е +

где/- £^р[О]и \\^\\р < 1. Теорема 1 доказана.

4. Доказательство теоремы 2

В процессе доказательства теоремы 1 мы показали, что для обратного оператора имеет место представление

= ^ (Е (70)

где ^ € -^[О] и Н^^ < 1. Напомним, что Р(p) —замыкание в ^(О) оператора (см. (9))

F =Y< ^тФт^т, D(F) = C^fi).

т= 1

Применяя лемму 2 для нормы оператора F(p), получаем следующее неравенство: l|F(p)||p < Л1/р(п, A) sup ||Фт|р. (71)

m=1,2,...

Так как Фт — псевдодифференциальный оператор в Rn с символом Lm1(s), по лемме 3 имеем

|^m||p < M sup |Lm1(s)|, (72)

где число M > 0 зависит только от r, n,p, K. В условиях теоремы

inf |L(x,s)| = S = 0.

Поэтому из (71), (72) следует, что

||F(p) ||p < Mo(r,n,p,K, S, A) < Отсюда и из (70) имеем

||L- ||p < Mo(r, n,p, K, S, A)||E + ||p < 2Mo(r, n,p, K, S, A). Следовательно,

|L-p)v; Lp(fi)|| < 2Mo||v; Lp(fi)||

для всех v G R(L(p)). Подставляя в этом равенстве v = L(p)u, получим (4). Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Everitt W. N., Giertz M. Inequalities and separation for Schrodinger-type operators in L2(Rn) // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 1977. V. 79. P. 257-265.

2. Brown R. C., Hinton D. B. Two separation criteria for second order ordinary or partial differential operators // Math. Bohem. 1999. V. 124, N 2-3. P. 273-292.

3. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости эллиптических уравнений в Rn // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 161. С. 195-217.

4. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения // Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 170. С. 37-76.

5. Бойматов К. Х. Сильно вырождающиеся эллиптические дифференциальные операторы класса Трибеля // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 39-47.

6. Бойматов К. Х. Коэрцитивные свойства сильно вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. АН России. 1993. Т. 330, № 4. С. 409-414.

7. Zayed E. M. E., Mohamed A. S., Atia H. A. Inequalities and separation for the Laplace-Bel-trami differential operator in Hilbert spaces // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 336. P. 81-92.

8. Лизоркин П. И. Оценки смешанных и промежуточных производных в весовых Lp-нормах // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 156. С. 130-142.

9. Исхоков С. А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением // Докл. АН. 2001. Т. 378, № 3. С. 306-309.

10. Исхоков С. А. О гладкости обобщенного решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 1536-1542.

11. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Якушев И. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением // Докл. АН. 2012. Т. 443, № 3. С. 286-289.

12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд.. М.: Наука, 1976.

Статья поступила 14 января 2016 г. Гадоев Махмадрахим Гафурович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, политехнический институт (филиал) в г. Мирном ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия) [email protected]

Исхоков Фаридун Сулаймонович

Институт математики им. А. Джураева

Академии наук Республики Таджикистан,

ул. Айни, 299/4, Душанбе 734063, Республика Таджикистан

[email protected]

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

UDC 517.957

ON INVERTIBILITY OF A CLASS OF DEGENERATE DIFFERENTIAL OPERATORS IN THE LEBESGUE SPACE M. G. Gadoev and F. S. Iskhokov

Abstract. We construct the right-hand regularizing operator for a class of partial differential operators in non-divergent form in an arbitrary (bounded or unbounded) domain in the n-dimensional Euclidian space with non-power degeneracy on the boundary. On its base we prove the existence of the inverse operator in the Lebesgue space. Keywords: partial differential operator, non-power degeneration, right-hand regularizing operator, inverse operator, partition of unity.

REFERENCES

1. Everitt W. N. and Giertz M. "Inequalities and separation for Schrodinger-type operators in L2(Rn)," Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math., 79, 257-265 (1977).

2. Brown R. C. and Hinton D. B. "Two separation criteria for second order ordinary or partial differential operators," Math. Bohem., 124, No. 2-3, 273-292 (1999).

3. Otelbaev M. "Coercive estimates and separability theorems for elliptic equations in Rn," Proc. Steklov Inst. Math., 161, 213-239 (1984).

4. Boimatov K. Kh. "Separability theorems, weighted spaces and their applications," Proc. Steklov Inst. Math., 170, 39-81 (1987).

5. Boimatov K. Kh. "Strongly degenerate elliptic differential operators of the Triebel class," Soviet Math. (Iz. VUZ. Matematika), 32, No. 8, 53-63 (1988).

6. Boimatov K. Kh. "Coercivity properties of strongly degenerate elliptic equations," Dokl. Akad. Nauk, Math., 47, No. 3, 489-497 (1993).

7. Zayed E. M. E., Mohamed A. S., and Atia H. A. "Inequalities and separation for the Laplace-Beltrami differential operator in Hilbert spaces," J. Math. Anal. Appl., 336, 81-92 (2007).

8. Lizorkin P. I. "Estimates of mixed and intermediate derivatives in weighted Lp-norms," Proc. Steklov Inst. Math., 156, 141-153 (1983).

9. Iskhokov S. A. "Smoothness of generalized solutions to elliptic equations with non-exponential degeneracies," Dokl. Math., 63, No. 3, 332-338 (2001).

10. Iskhokov S. A. "Smoothness of the generalized solution of an elliptic equation with non-power degeneracy," Differ. Equ., 39, No. 11, 1618-1625 (2003).

11. Iskhokov S. A. Gadoev M. G. and Yakushev I. A. "Garding's inequality for higher order elliptic operators with nonpower degeneration," Dokl. Math., 85, No. 2, 215-218 (2012).

© 2016 M. G. Gadoev and F. S. Iskhokov

12. Kolmogorov A. N. and Fomin S. V., Elements of the theory of functions and functional analysis [in Russian]. Nauka, Moscow (1976).

Submitted January 14, 2016

Makhmadrakhim Gafurivich Gadoev North-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute (branch), 5/1 Tikhonov Street, Mirny 678170, Yakutia, Russia [email protected]

Faridun Sulaimonovich Iskhokov

Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

A. Dzhuraev Mathematical Institute,

299/4 Aini Street, Dushanbe 734063, Tajikistan

[email protected]