CC BY
133
Zharkov Vyacheslav Viktorovich, postgraduate, Ppatsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State university,
Psyol Christina Nikolaevna, student, Psyol_christina@mail. ru, Russia, Tula, Tula State university,
Tokarev Vyacheslav Jurevich, engineer, Pp@tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State university
УДК 621.01:004.942
УТОЧНЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЧЕРВЯЧНОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ПАРЫ
В. А. Крюков, Д. А. Ктиторов
Получена математическая модель червячной пары, представленная в виде кинематической и силовой передаточных функций, являющаяся обобщением известной модели и отличающаяся учетом зависимости коэффициента трения от угловых скоростей звеньев червячной кинематической пары.
Ключевые слова: динамика машин, червячная пара, червячная передача, трение, математическая модель.
Червячные передачи и проблемы их проектирования. Одним из необходимых элементов большинства современных машин является зубчатая передача, предназначенная для согласования механических характеристик источника движения - двигателя и потребителя энергии - рабочей машины. Особое место в ряду зубчатых передач занимают червячные передачи. Несмотря на ряд хорошо известных недостатков таких передач: сравнительно низкий КПД, необходимость использования дорогих антифрикционных материалов, интенсивное тепловыделение в процессе работы они находили и продолжают находить широкое применение при конструировании машин различного отраслевого назначения. Согласно [1] в восьмидесятых годах прошлого века в СССР около 30 заводов изготавливали в год более 500 тысяч червячных редукторов общего назначения, несколько десятков тысяч специализированных червячных редукторов и отдельных червячных кинематических пар.
В настоящее время в России продолжают выпускаться сотни серийных моделей червячных редукторов в десятках различных конструктивных исполнений (ООО «Антриб» - г. Москва; ООО Завод «Редуктор» - г. Челябинск; Промышленная Группа «Приводная Техника»; Российский машиностроительный холдинг «Группа компаний «Редуктор»; ЗАО «Мос-
297
ковский насосный завод-1»; Научно-производственная компания «Пром-привод» - г. Ярославль). Червячные редукторы поставляются в Россию в виде готовых изделий, в составе мотор-редукторов или комплектующих деталей такими известными производителями, как: Varvel, Motovario, Dinamic Oil, INNOVARI Chiaravalli group (Италия) Bauer (Германия) Киевский редукторный завод (Украина), «TOS ZNOJMO» (Чехия) и многими другими.
Такое широкое использование червячных передач объясняется их достоинствами [1]: высокой кинематической точностью, малошумностью, возможностью обеспечения самоторможения, относительно малой стоимостью. Диапазон передаточных отношений выпускаемых редукторов удовлетворяет примерно 90 % потребности в редукторах общего назначения. Червячные передачи позволяют использовать двухопорные валы и создавать на их основе сложные приводы с параллельной раздачей мощности группе потребителей, что имеет принципиальное значение при проектировании приводов автоматических роторных линий [2].
Проектирование любых приводов и входящих в их состав передач требует решения большого комплекса вопросов. Особое значение для современных мощных и высокоточных машин имеют вопросы динамики. Без ясного представления о динамических процессах, происходящих в приводе, невозможно оценить точность выполнения технологических операций, нагрузки, действующие в приводе, провести расчет деталей машины на прочность, жесткость и устойчивость, оценить надежность и ресурс работы машины. Первым шагом при решение задач как динамического анализа, так и синтеза является составление расчетной и на её основе математической модели привода, которая может быть представлена как совокупность взаимосвязанных математических моделей структурных элементов привода. Составление моделей приводов, содержащих червячные кинематические пары, имеет ряд своих особенностей, связанных с наличием больших сил трения, что приводит к существенной нелинейности составляемых математических моделей.
Разработке расчетных и составлению математических моделей приводов с червячными кинематическими парами посвящены многочисленные работы. Среди них надо отметить многочисленные работы проф. В. Л. Вейца и его учеников, например [3, 4], которыми были изучены ква-зистатические и динамические режимы движения приводов с одним червячным редуктором, в том числе с замкнутым самотормозящимся механизмом. При этом ими использовался косвенный учет сил трения, клиновой аналог червячной кинематической пары; в большинстве случаев не учитывалось совместное влияние на динамику привода процессов, протекающих в его различных элементах; полученные математические модели не являлись универсальными, т. к. составлялись отдельно для каждого режима движения.
Данный подход был развит проф. В. А. Крюковым, которым на основе клиновой модели была составлена универсальная математическая модель червячной пары, математическая модель привода, с несколькими червячными редукторами, учитывающая упругость звеньев и процессы, протекающие в приводном электродвигателе и рабочей машине и на этой основе решен ряд задач динамического анализа и синтеза [5, 6, 7]. В дальнейшем был осуществлен переход от клинового аналога червячной пары к расчетной модели с вращающимся звеньями [8], что упростило компоновку полной математической модели привода, и было показано [9], что исследование процессов в червячной кинематической паре без учета их взаимосвязи с механическими и электромагнитными процессами, протекающими в остальных элементах привода, может привести не только к значительным количественным ошибкам, но и к принципиально неверным результатам.
Однако, несмотря на очень большой объем проведенных исследований практически во всех работах учитывалась только одна нелинейность червячной кинематической пары, связанная с изменением направления внутренних сил в паре при изменении направления передачи потока мощности или направления движения и выражаемая зависимостью
^т = кЫ sgn(Fr), где ^т - сила трения; N - сила нормальной реакции;
Уг - скорость относительного движения элементов червячной пары. В основу этой формулы положен закон Кулона, причем коэффициент трения к считается постоянным.
Хорошо известно, что закон Кулона только приблизительно отражает процессы, происходящие при трении скольжения, а величина коэффициента трения в червячных кинематических парах существенно зависит от скорости скольжения [10]. Единственная известная нам работа, в которой учитывалась зависимость коэффициента трения в червячной паре от скорости скольжения, была опубликована в 1965 г. [11]. В этой работе подробно проанализированы возможные варианты выбега привода с червячным редуктором на основе расчетной модели с жесткими звеньями. Уравнения движения составлены отдельно для каждого режима. Следствием такого подхода является сложность выделения отдельной математической модели червячной пары, невозможностью включения её в общую математическую модель привода, учитывающую упругость звеньев системы и процессы, протекающие в приводном двигателе и рабочей машине.
Целью настоящей работы является составление универсальной математической модели червячной пары, учитывающей зависимость коэффициента трения в паре от скорости скольжения, справедливой для любого режима движения, позволяющей включать её в общую математическую модель привода, отражающую динамические процессы в приводе с любой степенью детализации, и разрабатывать на её основе имитационные моде-
ли привода.
Анализ сил трения в червячной кинематической паре. Согласно молекулярно-механической теории трения [10, 12] процесс трения представляется как результат двух взаимосвязанных процессов: деформации контактируемых микронеровностей поверхностей и молекулярного взаимодействия материалов на пятнах фактического контакта. Величина силы трения в червячной паре зависит от свойств материалов и геометрии кон-тактируемых поверхностей, температуры, нагрузки, скорости скольжения, конструктивных особенностей и ряда других факторов. Экспериментально установлено, что для конкретной червячной пары наиболее существенным является влияние скорости скольжения, которое может быть представлено в виде зависимости приведенного коэффициента трения к от скорости скольжения Уск, к = к (уск). Например [13], для серийного редуктора РГУ-125 с глобоидной передачей при моменте на валу колеса 40 % от номинального приведенный коэффициент трения падает от 0,1 до 0,045 при увеличении частоты вращения от 0 до 1800 об./мин. В общем случае функция к = к (уск) [12] может быть монотонно убывающей (тип Б) или монотонно возрастающей (тип А). Экспериментальные данные показывают, что для червячных передач при следующих допущениях: 1) температура в зоне контакта установившаяся; 2) поверхности деталей приработанные;
3) нормальные условия смазки; 4) скорость скольжения не превосходит допускаемой величины, что гарантирует невозможность катастрофического разрушения масляной пленки и контактирующих поверхностей; 5) трение граничное, коэффициент трения изменяется по закону Б.
Теоретически обоснованная аналитическая зависимость коэффициента трения от скорости скольжения отсутствует. Для аппроксимации экспериментальных данных были предложены следующие функции:
/
к^ск) = (а + Ь■ УсК) • е_с ^ + й [12]; (1)
Жж) = (с' + а • )-1 [11]; (2)
к(уСк ) = В - С 1п(уСк) [10], (3)
где р = аг^(к) - приведенный угол трения, рад; а , Ь', с', й', а", Ь" , с , В, С -
некоторые коэффициенты, зависящие от природы тел и условий трения.
На рис. 1 показаны графики, построенные по зависимостям (1)-(3). Коэффициенты, входящие в данные зависимости, определялись с помощью минимизации суммарного квадратичного отклонения аппроксимирующей функции; исходные экспериментальные данные принимались согласно статье [11].
Как видно из приведенных графиков все три зависимости дают примерно одинаковую точность аппроксимации экспериментальных данных. Наиболее простой и содержащей минимальное число параметров является зависимость (3), которая и была принята для дальнейших исследо-
ваний. Недостатком принятой функции является невозможность её использования при малых скоростях скольжения, поэтому она была дополнена следующей зависимостью
^(^ск) = ^ск + ЬУск + С при Т^к < ^ск,шт. (4)
Минимальное значение скорости скольжения выбирается на основе экспериментальных данных, например, для данных, приведенных в [13],
0,001м/с. Коэффициенты а, Ь находятся из условий совпадения
V,
ск,шт
значений функций (3), (4) и их первых производных при гск = гск т|п. Коэффициент с равен экспериментальному значению коэффициента трения при Гск = 0.
к
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
►
(1) (3) (2) Экспериментальные данные
г 'Г
/ /
/ V* / V
10
Уск , м/с —►
Рис. 1. Аппроксимация зависимости коэффициента трения
от скорости скольжения
Скорость скольжения гск, входящая в функции (3), (4) связана с параметрами червячной кинематической пары известной зависимостью [13]
= ©1^1 ск 0 5
2ообу„
где © - угловая скорость червяка; = дт - делительный диаметр червя-
д + 2 х
червяка; д - коэффициент диаметра червяка (по ГОСТ 2144-76*); х - коэффициент смещения червяка, выбираемый в диапазоне от -1 до +1.
Для анализа влияния коэффициента смещения червяка на скорость
ка; т - модуль; уw = а1^
- начальный угол подъема линии витка
скольжения введем вспомогательный параметр
V,
ск
1
0^/2 00Б уw
представ-
ляющий собой отношение скорости скольжения к окружной скорости точки червяка на делительной окружности. В качестве примера на рис. 2 показана зависимость этого параметра от коэффициента смещения червяка при = 2; ч = 8. Из графика видно, что смещение червяка практически не влияет на скорость скольжения - относительное изменение скорости скольжения не превышает 2 %, и поэтому при расчете скорости скольжения им можно пренебречь. Принимая в соответствии с этим X = 0 и выполняя несложные преобразования, получим
Щт I 2 + 2
!'ск =“^ГЧ Ч + 21 . (5)
і 0,53 к 0^/2
0,52 і X
0,51
0,50
-1 -0,5 0 0,5 1
Рис. 2. Влияние смещения червяка на скорость скольжения
Приведенные выражения (3) - (5), позволяют рассчитать коэффициент трения в червячной передаче при известных кинематических и геометрических параметрах.
Уточненная математическая модель. Расчетная схема червячной
пары приведена на рис. 3 [14]. Здесь обозначено: Т^, р! ^21 - окружная,
осевая и радиальная составляющие силы, приложенной к червяку со сто-
т'^t а 7") г
роны червячного колеса; Р^, Р^, “12 - окружная, осевая и радиальная составляющие силы, приложенной к червячному колесу со стороны червяка,
причем Р^1 = -“102; “21 = ~РП’“21 = -“12; М1, М2 - моменты, приложенные к валу червяка и червячного колеса соответственно. Положительные направления сил, моментов и угловых скоростей соответствуют приведенным на рис. 3.
Преобразование движения и сил в червячной паре характеризуется:
- передаточным отношением
*12
_ Ф1 _ ©1
Ф2 ©2
(6)
где ф1 - угол поворота червяка; ф2 - угол поворота червячного колеса; ©1, ©2 - угловые скорости червяка и червячного колеса соответственно;
- передаточным числом
(7)
где £ 2 - число зубьев червячного колеса; zl - число зубьев червяка;
- силовой передаточной функцией, связывающей значения моментов на входе и выходе червячной пары и уточняющей результаты работы [8]
М^М2,©1) = -М2 dltg[g-кг (М2,©1) • р(©1)],
а 2
где кг = км • к© - коэффициент режима; км = sgn(М2), к© = sgn(Wl).
(8)
Рис. 3. Расчетная схема червячной пары
В отличии от предложенной ранее силовой передаточной функции [8] функция (8) учитывает изменение коэффициента трения в червячной паре при изменении угловых скоростей её элементов и момент на валу червяка будет существенно зависеть не только от направления его угловой скорости, но и её величины. Зависимость р(©1), входящая в (8) определяется функциями (3) - (5).
Выводы:
1. Коэффициент трения и угол трения в червячной паре существенно зависят от скорости скольжения. При изменении угловой скорости червяка от нуля до номинального значения коэффициент трения изменяется более чем в два раза.
2. Коэффициент смещения червяка практически не влияет на скорость скольжения в червячной паре и при составлении её математической модели им можно пренебречь.
3. Предложенная математическая модель червячной пары представлена кинематической и силовой передаточной функцией, является обобщением известной модели и отличается учетом зависимости коэффициента трения от угловых скоростей звеньев червячной кинематической пары.
Список литературы
1. Левитан Ю.В., Обморнов В.П., Васильев В.И. Червячные редукторы: Справочник. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1985. 168 с.
2. Крюков В. А., Прейс В.В. Системы приводов транспортного движения автоматических роторных и роторно-конвейерных линий // Вестник машиностроения. № 2. 2003. С. 33-38.
3. Вейц В.Л., Гидаспов И.А., Царев Г.В. Динамика машинных агрегатов с самотормозящимися передачами. Саранск: Изд-во Саратовского ун-та, 1989. 195 с.
4. Вейц В. Л. Некоторые вопросы динамики самотормозящихся червячных передач. // Зубчатые и червячные передачи. Л.: Машиностроение, 1959. С. 195-214.
5. Крюков В. А. Особенности динамики приводов автоматических роторных линий с червячными редукторами. // Известия ТулГУ. Сер. Машиностроение. Вып. 3: в 2-х ч. Ч. 2. Тула: Тульский государственный университет, 1998. С. 65-73.
6. Крюков В. А. Исследование движения червячного привода с учетом упругости звеньев. // Известия ТулГУ. Сер. Машиностроение. Вып. 4, 1998. С. 140-148.
7. Крюков В.А., Булатова М.Н., Летучев С.А. Динамика червячного привода в режиме установившегося движения. // Сборник трудов XIII Международной научно-технической конференции «Машиностроение и техносфера XXI века» в г. Севастополе. В 5-ти томах. Донецк: ДонНТУ, 2006. Т. 2. С. 218-222.
8. Крюков В. А., Булатова М.Н. Моделирование динамических процессов в сложных электромеханических приводах // Управляемые вибрационные технологии и машины: сб. науч. ст. В 2 ч. Курск. гос. техн. ун-т, Курск, 2010. Ч. 1. С. 84-93.
9. Крюков В.А., Ктиторов Д.А., Сидоров П.Г. Особенности протекания динамических процессов в нелинейных электромеханических системах. // Проблемы механики современных машин: Материалы V Международной конференции. Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ, 2012. Т. 2. С. 223-226.
10. Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет К.В. Фролов (пред.) и др. М.: Машиностроение. Детали машин. Конструкционная прочность. Трение, износ, смазка. Т. IV-1 / Д.Н. Решетов, А.П. Гусенков, Ю.Н. Дроздов и др.; Под общ. ред. Л.Н. Решетова. 1995. 864 с.
11. Вейц В. Л. Динамика самотормозящихся червячных механизмов при силах трения, зависящих от скорости // Теория машин и механизмов. Вып. 105-106. М.: Наука, 1965. C. 5-19.
12. Крагельский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения. Справочное пособие. М.: Машгиз, 1962. 220 с.
13. Решетов Д.Н. Детали машин. М.: Машиностроение, 1989. 496 с.
14. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988. 640 с.
Крюков Владимир Алексеевич, д-р техн. наук, проф., проф., krukov@,tula.net, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ктиторов Дмитрий Александрович, аспирант, _pmdm@tsu. tula. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
IMPROVED MATHEMATICAL MODEL OF WORM KINEMATIC PAIR
V.A. Krukov, D.A. Ktitorov
A mathematical model of worm gear provided in the form of the kinematic and power transfer functions, which is a generalization of the known model and taking into account the dependence of the coefficient offriction on the angular velocities of worm kinematic pair links were resulted.
Key words: dynamics of machines, worm gear pair, worm gear, friction, the mathematical model.
Krukov Vladimir Alekseevich, doctor of technical science, professor, krukov@,tula. net, Russia, Tula, Tula State University,
Ktitorov Dmitrij Aleksandrivich, postgraduate, pmdm@,tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
