Математическая модель червячной передачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

Однако на сегодняшний день применение современных технологий с использованием электроэрозионного и лазерного оборудования не вызывает сложности изготовления предельных листовых калибров в сжатые сроки. Так, например, стоимость лазерного раскроя калибра, изображенного на рис. 1, а, из углеродистой стали толщиной 2 мм для червяка модулем 5 мм не превысит 2,5 рублей.

Список литературы

1 ГОСТ 3675-81 Основные нормы взаимозаменяемости. Передачи червячные цилиндрические. Допуски. Взамен ГОСТ 3675-56; введ. 01.01.82. М. : Изд-во стандартов, 1986. 61 с.

2 Кутай А. К. Справочник по производственному контролю в машиностроении. 3-е изд. перераб. и доп. Л.: Машиностроение, 1974. 676 с.

3 Башкин В. И. Справочник слесаря инструментальщика: справочник. 3-е изд. испр. М. : Высшая школа; Издательский центр Академия, 2000. 208 с.

4 Розин А. И. Слесарь лекальщик М.: МАШГИЗ, 1953. 264 с.

5 ГОСТ 18498-89 Передачи червячные. Термины, определения и обозначения. введ. 01.01.90. М.: Изд-во стандартов, 1989. 85 с.

E. Kuznetsov, A. Yamnikov

Worms helix ridge thickness measurement by limit sheet calibers Features of the control work surfaces of worms with rough degrees of accuracy by limit sheet calibres are considered. It is shown that the thickness of calibre and a lead angle are proportionally influences on measurement direction of lead.

Получено 07.04.09

УДК 621.9.06-235

М.Н. Булатова, асп., (4872) 33-23-80, gin ger-libra@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЧЕРВЯЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ

Получена силовая передаточная функция червячной передачи в составе машинного агрегата, использующая расчетную схему без перехода к аналогу передачи -клиновой кинематической паре.

Ключевые слова: червячная передача, динамика, математическая модель.

Первым шагом динамического исследования любой машины является составление расчетной схемы и математической модели исследуемой системы. Математическая модель машинного агрегата обычно включает в

себя математические модели приводного двигателя, передаточных механизмов и рабочих машин. Математические модели двигателей и рабочих машин определяются физическими процессами, протекающими в этих устройствах, и довольно разнообразны.

Число передаточных механизмов, используемых в приводах для передачи и преобразования вращательного движения, сравнительно невелико. Особое место среди таких механизмов занимают червячные передачи. Несмотря на ряд их известных недостатков, применение таких передач во многих машинах является экономически обоснованным. Математическая модель червячной передачи обычно составляется на основе её аналога -клиновой кинематической пары. Такой подход позволил выявить особенности динамических процессов, происходящих в машинах с червячным приводом, и определить их качественные характеристики [1, 2]. Однако очевидно, что процессы, происходящие в механической части машинного агрегата, приводном двигателе и рабочей машине, оказывают существенное влияние друг на друга, и получить достоверные и точные характеристики динамических процессов, происходящих в системе, можно только на основе общей математической модели, одновременно описывающей процессы в двигателе, передаточных механизмах и рабочих машинах. Использование аналога червячной передачи - клиновой кинематической пары при составлении такой модели приводит к значительным трудностям из-за необходимости приведения поступательного движения в клиновой паре к вращательному движению, которое совершают остальные элементы привода. В настоящей статье в отличие от указанных работ рассматривается построение математической модели на основе расчетной схемы без использования клинового аналога и перехода от вращательного движения к поступательному (рис. 1).

Кинематические свойства передачи характеризуются передаточным отношением

*12 =Ф1/Ф2 =®1/ ^ (1)

где ф1 - угол поворота червяка; ф2 - угол поворота червячного колеса;

о»1, ^2 - угловые скорости червяка и червячного колеса соответственно.

Положительные направления угловых скоростей и координат соответствуют показанным на рис. 1.

При выводе силовой передаточной функции принимаем следующие допущения:

1) червяк и червячное колесо считаем безынерционными. При необходимости моменты инерции этих элементов могут быть учтены с помощью их приведения к связанным с ними другим элементам привода;

2) наличие зазоров в червячной паре величиной которых можно пренебречь. Это допущение позволяет привести задачу к статически опре-

делимой и считать, что при изменении направления внутренних сил в передаче удары отсутствуют;

3) сила взаимодействия между червяком и червячным колесом без

учета сил трения РП = -Р12 приложена в полюсе зацепления и направлена по общей нормали к элементам червячной пары в точке контакта;

4) трение возникает при относительном движении вдоль винтовой линии червяка и вдоль профиля зуба колеса. Трение вдоль профиля зуба колеса незначительно по сравнению с трением вдоль винтовой линии и им можно пренебречь [3];

5) величина силы трения определяется законом Кулона. Коэффициент трения считаем постоянным;

6) положительные направления внешних моментов Ы\,М2, приложенных к червяку и червячному колесу, и внутренних сил соответствуют указанным на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема червячной пары

Согласно общему правилу силу взаимодействия между червяком и червячным колесом раскладываем на окружную Р^, Р^, осевую Р^, Р^

и радиальную Р|і, Р12 составляющие:

F2l = F2l + F2l + F2ri і Fl2 = Fl2 + Fl2 + Fl2,

причем

_ ра .ра _ Т>^ • Т>^ _ Рг П'!

21 =-Р12; Р21 =-Р12; Р21 =-Р12. (2)

При положительных направлениях внешних моментов, внутренних

сил и угловых скоростей будем иметь следующую систему уравнений:

1) уравнения статики для червяка и червячного колеса:

>t di

Mi - P2iy=0

M2 + Pit2 — = 0,

2 i2 2

(З)

где di, d2 - делительные диаметры червяка и червячного колеса;

2) уравнения связи между внутренними силами [3]:

Pia2 = P^tgfr + p), (4)

где у - угол подъема винтовой линии червяка; p - угол трения между чер-

f

вяком и червячным колесом, p = arctg—-----------; f - коэффициент трения в

cos а n

червячной паре; tg аn = tg а cos y; для стандартных зацеплений а = 200.

Решая систему уравнений (3), (4) с учетом (2), найдем зависимость между моментами на валах червяка и червячного колеса:

Mi = -M2 tg(Y + p) .

d2

Для силы взаимодействия между витками червяка и зубьями червячного колеса будем иметь

2M2

12

(5)

d2 cos ai cos(y + p) где tg ai = tg a • cos(y + p).

Аналогично составляя и решая уравнения для противоположных направлений окружных и осевых составляющих силы взаимодействия между червяком и червячным колесом, что соответствует контакту противоположных поверхностей витков червяка и зубьев червячного колеса, объединяя полученные решения, добавляя к ним аналогичные решения для противоположного направления движения и вводя коэффициент режима

kr = kM ' кш,

где kM = sgn(M2), kra = sgn(^i) получим

(6)

Зависимость (6) представляет собой силовую передаточную функцию безынерционной червячной пары, включающую в себя как частные случаи известные силовые передаточные отношения [3, 4, 5]. В отличие от указанных известных соотношений полученная зависимость справедлива при любых направлениях внешних моментов и угловых скоростей элементов передачи, что позволяет использовать её вместе с кинематической зависимостью (1) для составления имитационной модели привода.

На основании (5) силу взаимодействия между элементами червячной пары можно представить в виде

где tg а у = tg а • соб(у - кг -р).

Окружная составляющая силы, приложенной к червячному колесу, будет определяться по формуле

Данное выражение позволяет определить истинное направление внутренней силы. Графики силовой функции (6) для несамотормозящихся и самотормозящихся червячных передач приведены на рис. 2, 3.

й 2

А/, =-А/А/£(у + р)

Ч

о. > О

Рис. 2. Силовая передаточная функция для несамотормозящейся червячной пары

V

V

Заштрихованные области на этих графиках соответствуют равновесию системы. В этом случае сила трения не достигает значения силы трения движения. Значения коэффициентов трения покоя и движения приняты одинаковыми. Вид приведенных графиков совпадает с видом графиков, полученных ранее для клинового аналога червячной пары [2], что подтверждает их справедливость. Режим, при котором знаки внешних моментов, приложенных к червяку и червячному колесу, совпадают (Ы\ • М2 > 0), является режимом оттормаживания. В этом режиме оба звена червячной пары являются ведущими, и вся подводимая к передаче энергия расходуется на преодоление силы трения.

Одна из основных характеристик механических систем - коэффициент полезного действия - в этом случае теряет свой смысл, и соотношение между подводимыми к рассматриваемой системе мощностями со стороны входа и выхода характеризуется коэффициентом оттормаживания [1]

ц21 = М1®1/М2®2 •

Рис. 3. Силовая передаточная функция для самотормозящейся червячной пары

Анализ силовой передаточной функции (6) показывает, что такой режим может возникнуть только в самотормозящейся передаче.

Из графиков, приведенных на рис. 3, следует, что силовая передаточная функция для самотормозящейся червячной передачи будет неоднозначной. Каждому значению момента, приложенного к червячному колесу М2 , соответствуют два возможных значения момента, приложенного к червяку. Изменение значения момента М1 реализуется за счет изменения боковых поверхностей зуба червячного колеса и витка червяка, находя-

26

щих с в контакте. Пр и этом происходит также изменение направлений осевой и окружной составляющих внутренней силы взаимодействия между элементами червячной пары.

Неоднозначность силовой передаточной функции для самотормо-зящихся червячных передач может привести к существованию нескольких решений дифференциальных уравнений движения механической системы, включающей такие передачи.

Список литературы

1. Гидаспов И.А., Вейц В.Л. Динамика самотормозящихся механизмов. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1987. 144 с.

2. Крюков В.А. Особенности динамики приводов автоматических роторных линий с червячными редукторами // Изв. ТулГУ. Сер. Машиностроение. 1998. Вып. 3. Ч. 2. С. 65-73.

3. Артоболевский И.И. Теория механизмов. М.: Наука, 1967. 719 с.

4. Иосилевич Г.Б. Детали машин. М. : Машиностроение, 1988. 68 с.

5. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. М. : Машиностроение, 1987. 560 с.

M. Bulatova

The mathematical model of the worm gear

Power transfer function of a worm gear as a part of the machine unit, using the design model without transition to analogue of transfer - wedge-bar mechanism is received.

Получено 07.04.09

УДК 621.822:621.623

К.Г. Щетникович, канд. техн. наук, доц., (017) 258-99-82, kazimir.sphere@tut.by (Республика Беларусь, Минск, БНТУ)

ДИНАМИКА ШАРИКОВ ПРИ ТОНКОМ ШЛИФОВАНИИ СООСНЫМ КОЛЬЦЕВЫМ ИНСТРУМЕНТОМ

Определены силы сцепления и трения скольжения, действующие на шарики из хрупких материалов при тонком шлифовании между нижним приводным диском и двумя соосными кольцами. Установлены условия одновременного скольжения шариков в процессе шлифования по неподвижному и приводному кольцам. Получена зависимость угла наклона мгновенной оси вращения шарика от давления колец.

Ключевые слова: шарики, хрупкие материалы, тонкое шлифование, кольцевой инструмент, динамика.

При традиционном способе шлифования шариков между двумя соосными дисками в кольцевых канавках обработка проходит в условиях трения качения при дифференциальном проскальзывании шариков относи-