CC BY
40
УДК 621.833.001.24 Н. И. Рогачевский
ТЕОРИЯ ЗАЦЕПЛЕНИЯ ВИТКА АРХИМЕДОВА ЧЕРВЯКА С ЗУБЬЯМИ ДВУХВЕНЦОВОГО КОЛЕСА
UDC 621.833.001.24 N. I. Rogachevsky
THEORY OF ENGAGEMENT OF THE THREAD OF AN ARCHIMEDEAN WORM WITH THE TEETH OF A DOUBLE-RIM WHEEL GEAR
Аннотация
Приведен анализ конструкций червячных передач. Предложены двухвенцовые червячные передачи, содержащие или цилиндрический червяк и два полувенцовых червячных колеса, или два цилиндрических червяка и червячное колесо, оба торца диска которого снабжены зубчатыми венцами, сопряженными с соответствующими червяками, кинематически связанными зубчатой передачей. Получены аналитические зависимости, характеризующие зацепление архимедова червяка с зубьями двухвенцового червячного колеса: уравнения контактных линий на червяке, поверхности зацепления червяка, поперечных и продольных линий зацепления, контактных линий на поверхности зацепления, боковой поверхности зуба червячного колеса и контактных линий на этой поверхности.
Ключевые слова:
передача, архимедов червяк, полувенцовое червячное колесо, геометрические параметры, аналитические зависимости.
Abstract
The analysis of the worm gearing designs is given. Double-rim worm gear sets are studied which contain either a cylindrical worm and two half-rim worm wheels, or two cylindrical worms and a worm wheel, both disk faces of which have toothed rims mating with respective worms, kinematically connected by gear transmission. Analytical dependencies characterizing the engagement of the Archimedean worm with teeth of the double-rim worm gear have been obtained, namely: the equations of contact lines on the worm, the engaging surface of the worm, transverse and longitudinal lines of engagement, contact lines on the engaging surface, the lateral surface of the worm wheel tooth and contact lines on this surface.
Key words:
gear transmission, Archimedean worm, worm gear, geometrical parameters, analytical dependencies.
Введение
В приводах рабочих органов многих технологических и транспортных машин применяют червячные передачи. Эти передачи выгодно отличаются от других механических передач высокой нагрузочной способностью, широким интервалом передаточных чисел, плавностью и бесшумностью работы, возможностью самоторможения. Работа таких передач основана на скольжении
со скоростью Уск рабочей поверхности витка червяка по поверхностям зубьев колеса (рис. 1), что является причиной их недостатков. В передаче с традиционными цилиндрическим червяком и колесом большинство контактных линий на указанных поверхностях имеют неблагоприятное направление относительно вектора Уск скорости скольжения (см. рис. 1), что приводит к невыполнению условия обеспечения жидкостного трения в контакте витков червяка с
© Рогачевокий Н. И., 2016
зубьями колеса, а соответственно, к низкому значению КПД. Трение принуждает повышать исходную мощность для
компенсации энергетических потерь, упрочнять рабочие поверхности и утяжелять червячные передачи.
Рис. 1. Положение контактных линий относительно вектора Уск на зубе колеса
Трение обуславливает превращение значительной части (до 40 %) передаваемой передачей энергии в теплоту, которая ухудшает свойства смазочного материала в контакте, увеличивает износ, опасность заедания и вероятность выхода передачи из строя. С целью предотвращения этого предусмотрены оребренные корпуса червячных редукторов и их обдув, дорогие цветные антифрикционные материалы для изготовления зубчатых венцов колес, дорогие про-тивозадирные масла, что, наряду с потерями энергии, повышением напряженного состояния элементов зацепления, также неэффективно. Поэтому невыполнение условия обеспечения жидкостного трения в контакте витков червяка с зубьями колеса снижает качественные показатели червячных передач.
Анализ литературы
В сопряжениях рабочих поверхностей звеньев обычных червячных передач большинство контактных линий расположены так, что среднее по длине контактной линии значение угла 8 между касательной к контактной линии и вектором Уск относительной скорости скольжения значительно отличается от 90° (см. рис. 1), что нарушает условие жидкостного трения. Только у контактных линий, кратковременно находя-
щихся в зоне входа в зацепление и выхода из него, значение этого угла достигает лишь 40.. .50° [1, 2]. Следовательно, чем шире зона расположения контактных линий со значениями угла 8, близкими к 90°, тем ближе условия работы передачи к режиму жидкостного трения, а значит, к более высоким значениям КПД.
Основным из мероприятий, приводящим к увеличению значения угла 8, является модификация обычных червячных зацеплений. Например, известна червячная передача с вырезанной средней зоной зубчатого венца [1]. При этом проточка в средней части зубьев колеса шириной, составляющей около трети ширины венца колеса, и с глубиной, превышающей высоту витка червяка, удаляет зону неблагоприятных углов 8 ,
где скольжение происходит вдоль контактных линий. Такое конструктивное решение способствует улучшению эксплуатационных параметров червячной передачи [1]. Однако это улучшение несущественно, так как выполнение проточки значительно сокращает длину контактных линий и уменьшает контактную и изгибную прочность зубьев червячного колеса [3].
В другой известной модифицированной червячной передаче колесо выполнено полувенцовым, его наибольший
диаметр составляет 1,8...2,0 межосевого расстояния передачи [4]. Такое увеличение наибольшего диаметра червячного колеса приводит к тому, что в работу включается участок с благоприятным углом 8, близким к 90°. Данное обстоятельство способствует переходу от граничного трения рабочих поверхностей витков червяка и зубьев колеса к жидкостному за счет затягиваемого смазочного материала в клиновой зазор между этими поверхностями [3].
Для значительного расширения участка с углом 8 между контактными линиями и вектором скорости скольжения, близким к 90°, предложена червячная передача [5], в которой размер наибольшего диаметра колеса больше межосевого расстояния а». Это стало возможным благодаря уменьшению рабочей длины червяка ¿1 (рис. 2). Передача содержит цилиндрический червяк и два полувенцовых червячных колеса,
оси которых отстоят друг от друга на межосевом расстоянии а», при этом колеса с обеих сторон обхватывают червяк на угле 82 [5]. Полувенцовые червячные колеса размещены симметрично червяку и смещены в окружном направлении друг относительно друга на половину углового шага зубьев. Образующими боковых поверхностей зубьев червячного колеса и витка червяка являются прямые линии, которые при работе передачи совпадают на начальном цилиндре колеса, формируя линию контакта зуба и витка, перпендикулярную вектору скорости их скольжения, что является идеальным для возникновения жидкостного трения и приводит к повышению КПД передачи. При зацеплении других частей зуба с витком червяка расположение линии контакта мало отличается от 90° к вектору скорости скольжения и оказывает незначительное влияние на снижение КПД [5].
Двухвенцовая конструкция червячного колеса обусловила большое число его зубьев, находящихся в одновременной работе, в результате чего повысилась, наряду с КПД, нагрузочная способность передачи. Это позволяет выполнить колесо цельным из чугуна вместо составного с дорогостоящим зубчатым венцом из бронзы. Ресурс такой передачи обусловлен усталостной выносливостью червяка, виток которого поочередно зацепляется с каждым зубом обоих венцов червячного колеса [6].
Для увеличения долговечности также разработана двухпоточная червячная передача, в которой оба торца диска червячного колеса снабжены зубчатыми венцами, сопряженными с соответствующими червяками, кинематически связанными зубчатой передачей, имеющими одинаковый шаг, но противоположное направление витков. При этом зубчатые венцы колеса, червяки, углы обхвата червяков зубчатыми венцами колеса симметричны относительно главной плоскости передачи [6]. Редуктор на основе такой передачи может иметь как один входной вал (червяк, кинематически связанный зубчатой передачей со вторым червяком), так и два вала (червяки без кинематической связи, приводимые в движение отдельными двигателями) [6].
К настоящему времени разработаны методика расчета геометрических параметров двухвенцовых червячных передач [7] и теория зацепления эволь-вентного червяка с двухвенцовым червячным колесом [8].
На базе вышеуказанных работ спроектирована и изготовлена на РУП «Могилевлифтмаш» опытная двух-венцовая червячная передача для привода фрез культиватора. Передача по габаритам вписывается в существующие корпуса редукторов культиваторов, выпускаемых заводом. Редуктор на основе опытной двухвенцовой червячной
передачи имеет параметры: передаточное отношение 20, число заходов червяка 4, число зубьев каждого венца колеса 80, осевой модуль эвольвентного червяка 1,5 мм, а™ = 59,5 мм, диаметр входного вала 16 мм, диаметр выходного вала 21 мм, масло ИТД-220. Эволь-вентный червяк передачи, фреза для нарезания двухвенцовых червячных колес, двухвенцовые червячные колеса в сборе и зацепление звеньев передачи опытного редуктора культиватора представлены на рис. 3 и 4.
Сравнительные испытания редукторов культиваторов на основе традиционной и двухвенцовой эвольвентных червячных передач показали преимущества последней как по КПД, так и по нагрузочной способности. При частоте вращения червяка 1400 мин-1 и изменении крутящего момента на нем в пределах 5...10 Н м КПД модернизированного редуктора составил 68,2.74,6 %, в то же время значения КПД традиционного редуктора не доходили до 50 % [8]. Однако дальнейшее повышение КПД редукторов на базе двухвенцовых червячных передач и внедрение их в производство сдерживаются отсутствием научно обоснованного проектирования таких передач с архимедовым червяком, которое основывается на теории зацепления их звеньев. Последняя до настоящего времени не была разработана.
Теория зацепления звеньев
двухвенцовой архимедовой червячной передачи
Целью работы является создание теории зацепления витка архимедова червяка с зубьями двухвенцового червячного колеса. Теоретические зависимости, характеризующие двухвенцовое червячное зацепление, получим точными методами геометрии, кинематики и математического анализа.
Рис. 3. Червяк передачи, фреза для нарезания двухвенцовых червячных колес, двухвенцовые червячные колеса в сборе, подготовленные для испытаний
Рис. 4. Двухвенцовая червячная передача в составе редуктора культиватора
Рассмотрим теоретическую картину зацепления зуба колеса с витком архимедова червяка. Для вывода уравнения винтовой поверхности архимедова червяка, так же как и эвольвентного, используем метод преобразования координат из одной системы в другую, отражающий в себе способ воспроизведения поверхности движением прямолинейной или криволинейной режущей кромки инструмента [9]. Архимедова винтовая поверхность воспроизводится винтовым движением прямой АБ, пересекающей ось винтового движения Оzl (рис. 5). На рис. 5 изображена неподвижная система осей Х1, у1, zl. Прямая АБ совершает винтовое движение вокруг оси Оzl. Линия АБ жестко связана с системой осей xo, у0, zo. Прямая АБ лежит в плоскости xoБzo и составляет с осью Бу0 угол образующей а (угол профиля). Ось Бzo направлена по оси Оzl. В начальный момент движения ось Бxo совпадает с осью 0x1, а ось Бу0 - с осью 0у 1. Угловое положение системы xo, У0, zo относительно системы xl, У1, zl характеризует угол поворота v, который является угловым параметром винтового движения образующей прямой АБ боковой поверхности витка червяка. Осевой параметр винтового движения k связан с ходом архимедовой винтовой поверхности pz зависимостью
k = рг /(2 л) = тл /(2л;) = 0,5т.
Уравнение образующей прямой АБ винтовой теоретической поверхности в системе координат xo, У0, zo очевидно из рассмотрения построения схемы, изображенной на рис. 5.
x0 = x1cos V - у^т у; у0 = x1sln у + y1cos у; z0 = z - kv.
(2)
z0/ У0 = Ш аГ
Х0 =
(1)
Из рис. 5 видно также, что система координат Х0, у0, zo отличается от Х1, у1, zl поворотом на угол у и сдвигом вдоль оси 0zl на величину ку, поэтому соотношения между координатами Х0, у0, zo и Х1, у1, zl имеют вид:
Подставляя в уравнения (2) вместо Х0, у0, zo их выражения (1), получаем после преобразований уравнения архимедовой винтовой поверхности
у - у^тУ = 0; 1 (3)
x1sln V tg а + ^^ V tg а + z1 = 0,5ту.|
Уравнения (3) математически описывают архимедову винтовую поверхность правого направления (показана на рис. 5), для левой поверхности в эти уравнения вместо а необходимо подставить -а.
Изложенная теория зацепления архимедовой винтовой поверхности червяка с соответствующей поверхностью зуба венца двухвенцового червячного колеса построена на положении (равносильном закону зацепления), что сопряженные поверхности есть огибаемая и огибающая в относительном движении звеньев. Для определения огибаемой поверхности и ее характеристик используем общий аналитический метод, разработанный Н. И. Колчиным и примененный им для исследования червячного зацепления с произвольным углом между осями и аналитического обоснования способа нарезания цилиндрических зубчатых колес по методу Пфаутера [10, 11].
Схема относительного расположения звеньев двухвенцовой червячной передачи представлена на рис. 6, на котором обозначены: Х1, у1, zl - система координат, связанная с червяком; Х2, у2, Z2 - система координат, скрепленная с полувенцом червячного колеса; х, у, z - неподвижная система координат; х', у', z' - вспомогательная неподвижная координатная система, сдвинутая относительно системы х, у, z вдоль оси у на межосевое расстояние а™; ф1 и ф2 - углы поворота червяка и червячного колеса, соотношение которых является передаточным отношением г = Ф2/ фг
X:
а
О-
У
Щ
2
г<
X
У'
а г'
Рис. 6. Схема зацепления архимедова червяка с зубьями венца колеса двухвенцовой червячной передачи
Система координат Х1, у1, 21 отличается от X, у, 2 поворотом на угол ф1, поэтому соотношения между координатами х, у, 2 и Х1, у1, 21 имеют вид [10, 12]:
- при переходе от Х1, у1, 21 к
X, У, 2
х = х1 соб ф1 + у; эт ф1; у = —х1 б1п Ф1 + у1 соб ф^
2 = г1;
(4)
при переходе от х, у, г к Х1, у1, 21
х1 = х соб ф1 — у Б1п ф1; у; = х б1п ф1 + у соб ф1;
21 = 2.
(5)
Система осей х2, у2, 22 отличается от х1, у1, 21 переносом начала координат на межосевое расстояние а» и поворотом на угол ф2 вокруг оси 22. Для получения формул преобразования, учитывающих эти относительные перемещения указанных систем координат, и введена вспомогательная система х', у', 2'. Производя переход от системы координат х, у, 2 к х2, у2, 22 в два этапа: сперва перенос начала координат на межосевое расстояние а», затем поворот на угол ф2, получаем формулы для перехода от координат х, у, 2 к х2, у2, 22
х2 = у собф2 — 2Б1Пф2 + а» собф2; у2 = у б1пф2 + 2собф2 + а» э1п ф2;
(6)
Аналогично для перехода от системы х2, у2, 22 к х, у, 2 имеем
х = 22;
у = х2 соб ф2 + у 2 ЭШ ф2 — а»; 2 = — х2 э1п ф2 + у2 соб ф2 .
(7)
Подставляя в формулы (6) значения х, у, 2 по формулам (4), получаем формулы перехода от х1, у1, 21 к х2, у2, 22 в следующем виде:
х2 = —х1 Б1П ф1 соб ф2 + у соб ф1 соб ф2 — 21 этф2 + а» собф2; у2 = —х1 э1п ф1 э1п ф2 + у1 соб ф1 э1п ф2 + + 21 соб ф1 + а» э1п ф2;
22 = х1 соб ф1 + у1 э1п ф1.
(8)
Подставляя в формулы (5) значения х, у, 2 по формулам (7), имеем зависимости перехода от осей х2, у2, 22 к осям х1, у1, 21
х1 = — х2 Б1п ф1 СОБ ф2 — у2 Б1п ф1 Б1п ф2 + 22 соб ф1 + а» э1п ф1; у = х2 соб ф1 соб ф2 + у2 соб ф1 э1п ф2 + + 22э1п ф1 — а» соб ф1; 21 = —х2 э1п ф2 + у2 соб ф2 .
(9)
Вспомогательными формулами для исследования зацепления являются частные производные дх1/ 5ф1, ду1 / 5ф1,
д21 / дф1з рассматривая в них координаты х1, у1, 21 в функции от х2, у2, 22 по формулам преобразования (9), и частные производные дх2 / дф1, ду2/ дф1, д22 / дф1, рассматривая в них х2, у2, 22 как
функции от х1, у1, 21 по формулам преобразования (8). Геометрический смысл этих производных следующий. Производные дх1/ дф1з ду1 / дф1з д21 / дф1 после умножения их на ёфх представляют
проекции на оси х1, у1, 21 элементарного вектора перемещения точки, лежащей на поверхности зубцов колеса, при повороте червяка на угол ёф1. Производные дх2 / дф1, ду2 / дф1з д22 / дфх после умножения их на ёфх представляют
проекции на оси х2, у2, 22 элементарного вектора перемещения точки, лежащей на поверхности зубцов червячного колеса, при повороте червяка на угол ё фх.
Дифференцируя уравнения (9), получим
üx1 / дф1 = -x2(cos ф1 cos ф2 - i sin ф1 х х sin ф2) - у2 (cos ф1 sin ф1 + i sin ф1 х х cosф2) - z2 sinф1 + aw cos ду1 / дф1 = -x2(sin ф1 cos ф2 + i cos ф1 х1 (10) х sin ф2) - у2 (sin ф1 sin ф2 - i cos ф1 х х cosф2) + z2 cosф1 + awsinф;; dz1 / дф1 = -i( x2 cos ф2 + y2 sin ф2),
где i - передаточное отношение, i = дф2 / dcpj.
Подставим в уравнения (10) вместо Х2, у2, Z2 их значения через xi, yi, zi по формулам (8). После многочисленных тригонометрических и алгебраических преобразований уравнения (10) примут следующий вид:
дх1 / дф1 = - у1 - z1i sin ф1;
ду1 / дф1 = x1 + z1i cos ф1;
дг1 / дф1 = i(x1 sin ф1 - y1 cos ф1 - aw).
(11)
Аналогично дифференцируем формулы (8), затем подставляем вместо Х1, у1, zl их значения по соотношениям (9). После тригонометрических и алгебраических преобразований полученные уравнения примут вид:
дx2 / дф1 = - y2i - z2 cos ф2;
ду2 / дф1 = x2i - z2 sin ф2;
дz2 / дф1 = x2 cos ф2 + у2 sinф2 - aw).
(12)
Архимедово червячное зацепление, так же как и эвольвентное, характеризуют уравнения контактных линий на червяке, поверхности зацепления червяка, поперечных и продольных линий зацепления, контактных линий на поверхности зацепления, боковой поверхности зуба червячного колеса и контактных линий на этой поверхности. Получим данные уравнения.
Чтобы вывести уравнения контактных линий на червяке, необходимо к основным уравнениям (3) поверхности витка червяка добавить зависимость, полученную дифференцированием по ф1
соотношений (3). После дифференцирования находим в каждой из двух полученных зависимостей сУ / Сф1, а затем приравниваем их правые части. После преобразований
дх . ду1 д^ —-sin v tg а +---cos v tg а +---
дф1 дф1 дф1
х (sin v + yxcos v) =
Л
f
= 0,5m
дx-
1 ду1 . 1 cos v---sin v
Л
(13)
дф1 дф1
Подставляя в это уравнение значения производных дx1 / дф1, ду1 / дф1, дz1 / дф1 из соотношений (11), после
многочисленных преобразований искомая добавочная к уравнениям (3) зависимость, математически описывающая контуры контактных линий на червяке,
x1 sin ф1 - у1 cos ф1 + z1 (cos^ + v) х х tg а+(0,5m sin(ф1 + v)) / (x1 sin ф1 +
+ Уlcos ф1)) = aw. (14)
Подставляя в уравнения (3) и (14) вместо x1, у1, z1 выражения из формул преобразования (5), после тригонометрических и алгебраических преобразований уравнения поверхности зацепления архимедова червяка
x cos^ + v) - у sin^ + v) = 0; x sin^ + v) tg а+у cos^ + v) х х tg а + z = 0,5mv; - у + z(cos(ф1 + v) tg а + + (0,5m sin^ + v)) / (x sin^ + v) + + у cos^ + v))) = 0.
Линии на поверхности зацепления, отвечающие постоянным значениям ф1, но различным v, будут контактными линиями на поверхности зацепления. Уравнения (13) могут служить для вычисления координат сечений поверхности зацепления плоскостями z = const, т. е. поперечных линий зацепления, задаваясь произвольными значениями
(15)
суммы (ф1 + v).
Для получения линий зацепления в виде сечений поверхности зацепления плоскостями х = const (продольные линии зацепления) нужно первое и последнее из уравнений (15) решить относительно y и z:
y = xctg(9i + v); z = (aw + xctg(9i + v)): :(cos(91 + v)tga +
+ (0,5m sin2(91 + v))/ х).
(16)
Для получения координат контактных линий на поверхности зацепления нужно все три уравнения (15) решить относительно 2, у, х:
z = 0,5mv - y tg a / cos( ф1 + v); y2 - y(0,5m sin a cos a(v cos(ф1
+ v) - sln^ + v)) - aw cos2 a) -- 0,25m 2v sln(ф1 + v) cos^ + v) x x cos2 a = 0;
х = y tg(Фl + v).
(17)
Подставляя значения 2, у, х в уравнения (6) перехода от осей х, у, 2 к осям х2, у2, 22, имеем уравнения поверхности зубцов колеса, причем точки этой поверхности, отвечающие одному и тому же значению параметров ф1 и ф2, но разным V, будут представлять собой контактные линии на поверхности зубцов колеса.
Заключение
Выведенные уравнения поверхности зацепления червяка, поперечных и продольных линий зацепления, контактных линий на поверхности зацепления, боковой поверхности зуба червячного колеса и контактных линий на этой поверхности будут использованы для научно обоснованного задания геометрических параметров двухвенцовых червячных передач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Решетов, Д. Н. Детали машин / Д. Н. Решетов. - М.: Машиностроение, 1989. - 496 с.
2. Левитан, Ю. В. Червячные редукторы : справочник / Ю. В. Левитан, В. П. Обморнов, В. И. Васильев. - Л. : Машиностроение ; Ленингр. отделение, 1985. - 168 с.
3. Егоров, И. М. Цилиндро-тороидная червячная передача / И. М. Егоров // Зубчатые передачи -99 : тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. по проблеме обеспечения надежности и качества зубчатых передач. - СПб., 1999. - С. 22-23.
4. Червячная цилиндрическая передача : пат. 2136987 РФ, МПК6 Б 16 Н 1/16 / И. М. Егоров, Б. Ш. Иофик (РФ). - № 99103702/28 ; заявл. 03.03.99 ; опубл. 10.09.99. - 8 с.
5. Червячная передача : пат. 7773и Респ. Беларусь, МПК Б 16 Н 1/00 / В. И. Сотников, Н. Г. Чернов, М. Э. Подымако, Н. И. Рогачевский, М. Ф. Пашкевич ; заявитель РУП «Завод «Могилевлифтмаш». -№ и20110389 ; заявл. 18.05.11 ; опубл. 30.12.11 // Афщыйны бюл. / Нац. цэнтр штэлектуал. уласнасщ. -2011. - № 6 (83). - С. 247.
6. Червячная передача : пат. 8694и Респ. Беларусь, МПК Б 16 Н 1/00 / С. Н. Рогачевский, М. Ф. Пашкевич, Н. И. Рогачевский ; заявитель Белорус.-Рос. ун-т. - № и20120366 ; заявл. 02.04.12 ; опубл. 30.10.12 // Афщыйны бюл. / Нац. цэнтр штэлектуал. уласнасщ. - 2012. - № 5 (88). - С. 224.
7. Рогачевский, Н. И. Геометрия двухвенцовых червячных передач / Н. И. Рогачевский, М. Э. Подымако, С. Н. Рогачевский // Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологии : материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Могилев : Белорус.-Рос. ун-т, 2014. - С. 83-84.
8. Рогачевский, Н. И. Теория зацепления звеньев двухвенцовых червячных передач / Н. И. Рога-чевский // Вестн. ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2014. - № 4. - С. 3-11.
9. Рогачевский, Н. И. Теоретическая поверхность зуба зубчатого колеса, нарезанного архимедовой червячной фрезой / Н. И. Рогачевский ; ММИ. - Могилев, 1981. - 33 с. - Деп. в БелНИИНТИ 22.04.81, № 262.
10. Колчин, Н. И. Червячное зацепление с произвольным углом между осями / Н. И. Колчин // Зубчатые зацепления : сб. науч. ст. - М. : Машгиз, 1947. - С. 6-7.
11. Колчин, Н. И. Аналитическое обоснование способа нарезания цилиндрических зубчатых колес по методу Пфаутера / Н. И. Колчин // Зубчатые зацепления : сб. науч. ст. - М. : Машгиз, 1947. -С. 48-50.
12. Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра : справ. пособие по решению задач / А. А. Гусак. - Минск : ТетраСистемс, 2001. - 288 с.
Статья сдана в редакцию 30 июня 2016 года
Николай Иванович Рогачевский, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. Тел.: +375-293-60-35-93.
Nikolai Ivanovich Rogachevsky, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. Phone: +375-293-60-35-93.
