Устойчивость трансверсально изотропной сферической оболочки под действием нормального давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ

B. В. Платонов

C.-Петербургский государственный университет, аспирант, у|ktorplatonov@yandex.ш

1. Введение. При исследовании деформирования наноразмерных конструкций методами механики сплошной среды оказывается недостаточным использование классической теории оболочек. Одной из задач, требующей привлечения теорий более точных, чем классическая, является задача устойчивости трансверсально изотропной сферической оболочки, находящейся под действием равномерно распределенного по поверхности нормального давления. Задача исследуется по уточненной теории С. А. Амбарцумяна [1] и в классической постановке [2]. Проводится сравнение величин критической нагрузки для случая трансверсально изотропного и изотропного материалов. Определяются условия, при которых теория, учитывающая влияние поперечного сдвига, существенно уточняет классическую теорию.

2. Уточненные теории оболочек. Существуют различные варианты уточненных теорий оболочек, которые построены путем сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным с привлечением гипотез менее жестких, чем гипотезы Кир-гоффа—Лява (полный или частичный отказ от гипотезы недеформируемых нормалей). Общая идея методов заключается в предварительной аппроксимации некоторых из величин и, V, т, <г^ в виде конечных рядов с последующим определением остальных величин. В данной работе используется теория, учитывающая поперечные деформации сдвига согласно С. А. Амбарцумяну [1]. Отметим, что при построении уточненной теории трансверсально изотропной сферической оболочки не учитываются по сравнению с единицей члены порядка (Нк*)2, где Н — толщина оболочки, к —главные кривизны.

Разрешающее уравнение теории Амбарцумяна для трансверсально-изотропной сферической оболочки радиуса Е, находящейся под действием нормального давления, относительно нормального перемещения т, имеет вид

д2

[с2(Д + I)2 + 1 - к* А] (Д + 2)т = — (1 - к*А)(А + 1 - и)г, (1)

ЕН

где

Н2 _ Н2 Е

с" =

~2 - Ъ* =

12(1 - v)R2, 10(1 - v2)R2 О'’

Z — нормальная составляющая внешней нагрузки, Е — модуль Юнга в тангенциальных направлениях, V — коэффициент Пуассона, О — модуль сдвига для плоскостей, нормальных к поверхности оболочки [1]. В формуле (1)

Д = д2-5— АВ

д ҐВ д\ д (А д

да уА да.) <9/3 у В <9/3

© В. В. Платонов, 2010

— оператор Лапласа в безразмерном виде. Здесь географическая система коорднат а и в выбрана так, что а — угол долготы, в — угол широты; A = R и B = R sin а — коэффциенты первой квадратичной формы.

3. Статическое критическое давление. Для определения критического давления рассматривается основное напряженное состояние оболочки, которое до потери устойчивости является безмоментным. В классической теории пологих оболочек компоненты интенсивности фиктивной поверхностной нагрузки имеют вид:

X * =0, У * = 0, £ * = -Т0К1 - Т0к2 - Т 0т, (2)

где «1, К2 и т —изменения кривизны и кручения. Для замкнутой трансверсально изотропной сферической оболочки под действием равномерно распределенного по поверхности нормального внешнего давления ц имеем

0 = 0 = _дК 0 =

1 2 ’ 2 2 ’

Тогда, учитывая разложения для изменений кривизн и кручения, согласно (2) получим

= -^(Д + 2>ш.

Наличие слагаемого -цЕт означает, что рассматривается не локальная потеря устойчивости, а потеря устойчивости замкнутой сферической оболочки.

Уравнение устойчивости (1) сферической оболочки примет вид

[с2(Д + I)2 + 1 - к*А] (Д + 2)и> + ^-(1 - к*А)(А + 1 - г/)(Д + 2)го = 0. (3)

2ЕН

Согласно Власову [3] примем, что решение уравнения (3) должно являться решением дифференциального уравнения

Ат + Ат = 0

и удовлетворять граничным условиям для т, т. е. условиям непрерывности и однозначности на сфере.

Нетривиальное ограниченное решение этого уравнения существует только при Ап = п(п + 1). Тогда из уравнения (3) получим

(2 - А) =0.

с2( 1 - Л)2 + 1 - h*X + І(1 + h*A)(l - г/ - Л)

2Eh

Из условия существования нетривиального решения следует

с2( 1 - Л)2 + 1 - Ь*Х + ^-(1 + Ь*А)(1 - г/ - Л) = 0. 2Eh

Определим критическое давление:

_ 2Ehc2(X-l)2+ l + h*X

R (l + h*X)(X- l + v)' ^

Минимизируем функцию q = q(A), приравнивая к нулю производную q по Л, с принятой точностью (h/R)2. Для Amin имеем

ti 1 cv2 ^ „ h* h*

^пип — 1 - и н Ь — + (1 - V) Ь —. (5)

с 2 с с2

Значение А™ ^ 1, т. к. величина 1/с ^ 1. Это означает, что всегда существует большое

число п, такое что значение А^(п будет близко к Ап. Подставляя (5) в выражение (4),

Т1

определим критическое значение цкр:

Чкр = Щ!г(2с - 2г/с2 - ь*)- (6)

При значении Ъ* = 0 выражение критического давления для изотропной сферической оболочки принимает следующий вид:

4Р = Щ^( 2c-2vc2). (7)

Рассмотрим устойчивость замкнутой изотропной сферической оболочки под действием равномерно распределенного по поверхности нормального внешнего давления ц, используя классическую теорию. Уравнение устойчивости можно записать в виде (см. [2])

В тА3и) + А2и> + ЕАи> = 0.

hR2 2h

В этом случае рассматривается локальная потеря устойчивости оболочки. Аналогично решение должно удовлетворять условиям непрерывности и однозначности на сфере. Для определения критического давления получаем

KL 2Eh ( 2л 1

“ =-в-(л + л

Минимизируем qKL по Л, тогда Л^П = 1/c и сооветствующее давление

KL 2Eh

<1кР = -д-2с• (8)

Выражение (6) при этом можно переписать в следующем виде:

ti = кь (1_v h _ 2л/3(1 — v)h Е\

Чкр Чкр \ 2^3(1 -v)R 10(l-is2)RG'J'

Из этой формулы для трансверсально изотропного материала видно, что при некоторых значениях отношений h/R, E/G величина критического давления, найденная с учетом влияния поперечного сдвига, может существенно отличатся от критического давления, найденного по классической теории. Учет поперечных сдвигов снижает величину критического давления. Запишем условие применимости формулы (9):

5#<<l (10>

В случае невыполнения этого условия уточненая теория является асимптотически противоречивой [4].

Я&/Я£»Ь> Н/К = 0'05 15- з- 15 о о Е/С С/Е

0,91 0,98 5 0,2

0,83 0,97 10 0,1

0,75 0,95 15 0,07

0,66 0,93 20 0,05

0,58 0,92 25 0,04

0,50 0,90 30 0,03

0,18 0,83 50 0,02

В случае выполнения условия (10) будет автоматически выполняться условие (Н/К) ^ О'/Е, из чего следует, что в момент потери устойчивости а < О', что необходимо для применения двумерной теории оболочек [4].

В таблице 1 показано влияние параметра поперечной жесткости на сдвиг при расчете статической критической нагрузки в сравнении с классической теорией пологих оболочек. Как видно из таблицы, теория, учитывающая влияние поперечного сдвига, уточняет классическую теорию для трансверсально изотропных материалов. Чем больше отношение Н/К и меньше отношение О'/Е, тем существеннее уточнение. Так же из таблицы 1 можно проверить условие (10). Например, для Н/К = 0.05 можно рассматривать отношение О'/Е, величина которого больше 0.05, т. е. О'/Е > 0.2. Для Н/К = 0.01, как следует из таблицы 1, нужно использовать величины О'/Е > 0.07. В противном случае будет нарушаться условие (10). С принятой здесь точность (Н/К)2 члены большего порядка были отброшены. Это означает, что в случае нарушения условия (10), следующий член асимптотического разложения (9) может иметь большее влияние на величину критического давления, чем оставленные [4].

Литература

1. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

2. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматлит, 1963. 880 с.

3. Власов В. З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикл. мат. и мех. 8. 1944.

4. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 3.

Статья поступила в редакцию 21 января 2010 г.