Об устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии с использованием неклассических теорий оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ОБОЛОЧЕК

А. М. Ермаков

С.-Петербургский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, инженер-исследователь, khopesh_ra@mail.ru

1. Введение. Рассматривается задача об устойчивости изотропной круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Проводится сравнение известных решений, полученных с использованием классических теорий Кирхгофа—Лява (КЛ) [1] и Тимошенко—Рейсснера (ТР) [2] с решениями, построенными с использованием неклассических теорий оболочек: Амбарцумяна (Амб) [3], Палия—Спиро (ПС) [4] и Родионовой—Титаева—Черныха (РТЧ) [5]. Для теории оболочек средней толщины ПС и анизотропных оболочек РТЧ уравнения устойчивости оболочки построены путем линеаризации нелинейных уравнений равновесия. Так же в работе проводится сравнение аналитических результатов со значениями, полученными для трехмерной теории при использовании пакета программ Лпвув 14. Основное внимание уделяется случаю весьма малой жесткости на сдвиг в поперечном направлении.

Рис. 1. Элемент круговой цилиндрической оболочки.

Введем цилиндрическую систему координат; пусть а — полярный угол, а в характеризует длину цилиндрической оболочки. Радиус срединной поверхности оболочки Д, Н — толщина оболочки, а Ь — длинна оболочки, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, О — модуль поперечного сдвига. Коэффициенты Ламе и кривизны, определяющие геометрию цилиндрической оболочки, имеют вид А\ = Д, А = 1, к\ = 1/Д, к2 = 0.

В этой работе рассматриваются уравнения устойчивости, построенные путем линеаризации нелинейных уравнений оболочки. Метод линеаризации во многих отношениях лучше способа итераций. Так, он позволяет учесть историю нагружения. Кроме того, этот метод очень удобен при оценке верхней критической нагрузки — достаточно определить условие, при котором равна нулю обобщённая жесткость конструкции.

© А. М. Ермаков, 2012

Рис. 2. Нагрузка приложенная к цилиндрической оболочке.

При использовании метода прямой линеаризации исходные уравнения теории записываются для добавок (приращений) в компонентах внутренних усилий, нагрузок, перемещений и параметров деформации. Если форма изменения нагрузок по координатам известна и зафиксирована, тогда рост нагрузки связан с изменением одного скалярного параметра. Исходное состояние будет неявно заданной функцией этого параметра, и возникает задача на собственные значения. Часто можно упростить вопрос и сделать исходное напряженное состояние частной функцией одного неизвестного скалярного параметра.

В данном случае решается задача о верхней критической нагрузке оболочки, находящейся под действием осевого сжатия, исходное напряженное состояние такой оболочки очень близко к безмоментному. В таком случае можно принять решения безмоментной задачи теории оболочек как некоторые функции, определяющие фактическое распределение цепных усилий в безмоментной оболочке Z = Т2°ф2(а,в). В результате величина Т2° становится в данной задаче единственным неопределенным скалярным параметром, собственное значение которого следует найти. Получаемое решение будет конечно-приближенным. Однако практически очень часто пользуются подобным упрощением, учитывая возможность исправления результата путем введения дополнительных поправочных коэффициентов.

При решении систем дифференциальных уравнений используется локальный подход [1], согласно которому прогиб при потере устойчивости ищется в виде дво-якопериодической функции криволинейных координат. Ненулевое решение системы ищем в виде

и(а, в) = и° еов(па) эш(тв), Ф(а, в) = Ф° сов(па) эт(тв),

и(а, в) = и° вт(па) вт(тв), 71 (а, в) = 71° вт(па) вт(тв), (1)

у(а, в) = еов(па) еов(тв), 72 (а, в) = 72° соэ(па) еов(тв),

где и, V, и — компоненты вектора перемещения точек срединной поверхности оболочки, 71 и 72 —углы поворота нормали в плоскостях (а, г), (в, ¿0 соответственно, Ф(а, в) — функция усилий.

2. Решение по теории Кирхгофа—Лява. Рассмотрим известное решение, получаемое с использованием классической теории оболочек. Используем двухмерную систему уравнений теории пологих оболочек [1]:

д2и 1 д2Ф 1 д д ж 1 д2и

+ % + =°' (2)

где Д — оператор Лапласа; О = ЕН3/(12(1 — V2)) —цилиндрическая жесткость; Т0 — искомое осевое усилие.

Подставив в эту систему дифференциальных уравнений выражния (1) для усилия Т20 получаем

о Р{п2 + т2)2 Ект2

-1<2=1{т,п) = -—ъ--V -г~п-(3)

2 4 7 Д2т2 (п2 + т2)2 у 7

Критическое значение нагрузки получаем при минимизации функции /(т, п) по волновым числам т и п:

Т20 = *оЛ, о-о = - ^ Л- (4)

3. Решение по теории Амбарцумяна. Решение (4), построенное по модели КЛ, не позволяет учесть влияние жесткости оболочки на поперечный сдвиг. Поэтому в теории оболочек Амбарцумяна для уточнения классической теории оболочек предлагается задавать распределение поперечного сдвига по параболе. Это положение заменяет гипотезу Кирхгоффа—Лява о сохранении нормали к срединной поверхности после деформации. Приведем для трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки уравнения модели Амбарцумяна, учитывающей сдвиг, в виде

V д3ю 1 д3ю 2 + V д1 д

+ = ~ ~ да?= ' (5)

-ЯД4» + ^(1 - ^А)^ - Т2°(1 - ^А)Д2ё =0, К= ЕК'2

Д2" 2 ;дв4 ' дв2 10(1 — V2 )О'

Упрощенная система дифференциальных уравнений устойчивости трансверсаль-но-изотропной оболочки, используемая в теории Амбарцумяна, была получена на основании уравнений теории пологих оболочек. Используя классическое предположение, что основное напряженное состояние оболочки до потери устойчивости является безмоментным, и ограничиваясь точностью классической теории пологих оболочек, для компонент интенсивности фиктивной поверхностной нагрузки приведем известное представление

Подобное представление позволяет в первом приближении выяснить влияние поперечных сдвигов на устойчивость анизотропной оболочки.

Тогда

для усилия Т0 получаем

-Т° = /(то п) = Д(п2 + то2)2 + Ект ^

2 ' Д2то2(1 + кг{п2 + то2)) (п2 + то2)2

Полученное значение для критическое нагрузки,

_ Е к Е2 (ЬА2

а° ~ ~ ^/3(1 — г/2) Д + 1067(1 ^ДУ '

полностью совпадает со значением, полученным в теории Тимошенко—Рейсснера [2].

4. Решение по теории Палия—Спиро. Картина несколько меняется при рассмотрении задач устойчивости методами уточненных теорий. В этом случае представление (6) не всегда приемлемо, ибо возникают вопросы, связанные с учетом искривления и нарушения нормальности поперечного элемента оболочки.

Рассмотрим теорию оболочек средней толщины Палия—Спиро [4], в которой приняты следующие гипотезы:

1) прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными;

2) косинус угла наклона оболочки таких волокон к срединной поверхности деформированной оболочки равен осредненному углу поперечного сдвига.

Математическая формулировка принятых гипотез сводится к следующим равенствам:

М1 = и + ф ■ я, и = V + ф ■ я, из = т + Е(а, в, ¿),

1 дт , , , 1 дт , (9)

ф = ~ц + фо, Фо = ———+к1и, ф = 72+фо, Фо =—ттг- +

А да А2 да

где ф и ф —углы поворота нормали в плоскостях (а, я) и (в, г); фо, фо,71 и 72 —углы поворота нормали к срединной поверхности и углы сдвига в тех же плоскостях. Функция Е(а, в, ¿) характеризует изменение длины нормали к срединной поверхности.

Деформации £1,£2,£1з, П1,П2 оболочки выражаются через компоненты перемещения по следующим формулам:

даи т даф да-у даф

£1 = —5~ + ~Б> £2 = О/з«, т = —5-, Щ = О/зФ, + т = —— + д13ф.

Л Л Л Л Л

(10)

Подставив приведенные зависимости (10) в приведенные соотношения упругости (11), можно получить уравнения связи компонент смещения с усилиями и моментами:

Т1 - ^ Т2 - 5 12(М1 - ^М2)

= = " = * =-^-' (П)

_ 12{М2-1уМ1) _ ГШ _ М. _ ЛГ2+Т2% 7,2 ~ ЕЙз ' 71 ~ С/? 72 ~ ОН '

Как видно из уравнений (11), теория ПС включает характеристический параметр Т20 в уравнения связи компоненты деформации нормали 72 с воздействующей перерезывающей силой N2.

Полученные уравнения связи усилий и моментов с компонентами перемещения подставляем в уравнения равновесия:

даТ1 . я с . п да5 . я гт п д^1 . я Дг Т1 п /10\

—- + д/зЬ1 + — = 0, —+<9зТ2=0, ——+дрЫ2-—=а, (12)

Л Л Л Л Л

£^ + 3 Я-ЛГ^О, + дрМ2 -N2- т2° * фо = о.

Л Л

Разрешающая матрица в данном случае будет иметь размерность [5*5], тем не менее, полученное значение критической нагрузки близко к значению теории ТР и отличается лишь сомножителем во втором знаке разложения по малому параметру Н/Д. Видно, что этот числовой сомножитель понижает влияние поперечного сдвига:

Е Н Е2 (Н\2

^3(1 _ Д + 126(1 - V2) (й) ■ (13)

5. Решение по теории Родионовой—Титаева—Черныха. Более интересные результаты получаются при применении теории оболочек РТЧ [5]. Это линейная теория неоднородных анизотропных оболочек постоянной толщины, учитывающая малую податливость поперечным сдвигам и деформирование в направлении нормали к срединной поверхности. Она также учитывает поперечные нормальные напряжения и предполагает нелинейное распределение компонент вектора перемещения по толщине оболочки.

Функции, описывающие перемещение слоя оболочки и1(а, в, г), и2(а, в, г), из(а, в, -г) по теории РТЧ предлагается искать в виде рядов по полиномам Лежандра Ро, Р\, Р2, Рз от нормальной координаты г € [-Н/2, Н/2]:

иг(а, г) = и(а, в)*Ро(г) + 71 (а, в)*Р\(-) + #1 (а, в)*Рг(г) + Ыа, в)*Рз(г), и2(а, г) = у(а, в)*Ро(г) + 72(а, в)*Р1(г) + #2(а, в)*Р2(г) + (а, в)*Рз(г), (14) из(а, г) = т(а, в)* Ро (г) + 7з(а, в)* Р1(г) + #з (а, в)* Р2(г),

2г 6г 2 1

20.г3 Зг к'

(15)

где 73 и характеризуют изменение длины нормали к этой поверхности; величины #1 и у>1 описывают нормальную кривизну в плоскости (а, г) волокна, а #2 и ^>2 — нормальную кривизну в плоскости (в, г), которые до деформации были перпендикулярными к срединной поверхности оболочки.

При выводе уравнений равновесия для теории РТЧ были использованы гипотезы, аналогичные принятым при в работе ПС.

Деформации £1,£2,£1з, П1,П2 оболочки выражаются через компоненты перемещения:

да и ^ да71 73

£1 = ~ТГ + д; £2 = дру, щ = + —, Г]2 = 9/з72, = дт^а, (16)

Д

Д

Д

^ = —-—Ь д/зи,

Д

да72 , я и 271 272

т = ~д ' £13 = —-д + —' = ^ + —'

В уравнения связи усилий и моментов с компонентами деформации также включается характеристический параметр Т20:

Т1

Ек

(б1 + ^62), Т2

ж

(^61 + 62), М1

ЕН2

6(1 - V2)

(П1 + ^2 ),

М2 =

ЕН2 , , „ 7Г 5НС

—-+772), Ь=стЬш, Ы=&—т, ТУ! = —-—613,

6(1 — V2) 6 6

дг ЫъС о

= й £23 + '

н

6

6

7з =

1 - V 2

(61 + 62).

(17)

Полученные уравнения связи усилий и моментов с компонентами смещения подставляются в уравнения равновесия (12).

При минимизации определителя было полученное следующее решение:

Е

^о =

Е2

н

+

Е2

15С(1 — V2)

(18) 85

V

2

2

Его разложение в ряд по малому параметру дает следующие члены разложения:

Е

^о =

-- ---1--

^3(1-г/2) Я 15С(1-г/2)

Е2

+ О

2

з

Н

6. Сравнение с численными результатами. Проведем сравнение представленных формул с численными результатами для трехмерной теории. В качестве примера была рассмотрена модель трехмерной стальной трубы под действием осевого сжатия в пакете Лпвув 14. Для моделирования был выбран трехмерный 20-ти узловой элемент 8оЫ186. Для рассмотренных труб, длинной от полутора до трех диаметров срединной поверхности, значение критической нагрузки почти постоянно.

Таблица 1. Сравнение величин критической нагрузки

ь/и 0.025 0.05 0.1 0.133 0.162

кл 0.01532 0.03103 0.0637 0.08069 0.09814

Амб 0.01513 0.03028 0.06054 0.07561 0.09063

ПС 0.01516 0.03041 0.06107 0.07646 0.09188

РТЧ 0.01519 0.03053 0.06155 0.07722 0.09297

Агшув 0.01445 0.02875 0.055 0.0595 0.0635

В таблице (1) представлено безразмерное значение критической нагрузки <го/Е для различных отношений толщин трубки к радиусу ее срединной поверхности. Как видно из таблицы, с увеличением толщины оболочки значения критичесской нагрузки, полученные с использованием теорий оболочек, расходятся с результатами трехмерной теории. Заметно быстрое возростание погрешности с увеличением толщины. Можно утверждать, что, несмотря на уточнения предложенными неклассическими гипотезами, достоверные результаты могут быть получены только для тонких оболочек. Однако, как было показано в работе [6], подобные гипотезы хорошо работают для случая напряженно-деформированного состояния оболочки.

Литература

1. Товстик П. Е. Устойчивость трансверсально-изотропной оболочки при осевом сжатии // Механика твердого тела. 2009. №4. С. 70-83.

2. Тимошенко С. П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки // Вестн. О-ва технол. 1914. Т. 21. С. 785-792: (Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 807)

3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. С. 446.

4. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. Л.: Судостроение, 1977. С. 20-32.

5. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Чеpных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. С. 280.

6. Бауэр С. М., Воронкова Е. Б. Неклассические теории анизотропных оболочек в задачах о деформации трансверсально-изотропных сферических и цилиндрических слоёв под действием нормального давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2011. Сер. 1. Вып. 3. С. 85-92.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.