Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИМЕНЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

К ИССЛЕДОВАНИЮ МЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСЛОЙНЫХ НАНОТРУБОК*

С. М. Бауэр1, А. М. Ермаков2, С. В. Каштанова3, Н. Ф. Морозов4

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected].

4. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, академик РАН, [email protected]

1. Введение. Последнее время учеными активно обсуждается возможность применения методов классической механики к нанообъектам. В работах [1, 2] отмечается, что механические характеристики, соответствующие наноразмерным структурным элементам, таким как балки и пластинки могут отличатся от механических характеристик, соответствующих структурам из того же материала, имеющим «обычные» геометрические размеры. Кроме размерных эффектов возможно проявление анизотропии нанообъектов. В работах [3, 4] обсуждаются результаты экспериментов, в которых исследовались механические свойства нанотрубок из природного хризолитового асбеста с внешним диаметром около 30 нм и внутренним — около 5 нм; внутренняя полость трубки была заполнена водой, ртутью или теллуром под давлением. С помощью сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ) измерялась жесткость нанотрубки. Под жесткостью понималось отношение приложенной силы к величине прогиба мостика, сформированного нанотрубкой, перекрывающей отверстие в пористой подложке. (Подробно условия проведения эксперимента описаны в работе [3].) Эксперименты показали, что трубка, наполненная водой, существенно мягче, чем «сухая» трубка — трубка без наполнителя. Трубки, наполненные теллуром или ртутью, несколько жестче, чем «сухие» трубки. В работе [3] проведено сравнение экспериментальных данных с результатами моделирования в рамках континуальной теории упругости. Рассмотрены простейшие классические модели изотропных балок и неклассические трансверсально-изотропные модели. В частности, для аналитической оценки прогибов нанотрубок как балок использовалась теория Тимошенко—Рейсснера (ТР), так как слоистая структура асбестовых нанотрубок позволяет рассматривать ее как трансверсально-изотропную. Каждый слой может не менять своей структуры, но модуль сдвига в поперечном сечении О' может существенно меняться в зависимости от наполнителя. То, что наполненная водой трубка оказывается мягче, чем «сухая» трубка, может быть объяснено уменьшением модуля сдвига в поперечном сечении. В изотропном случае теория ТР, учитывающая сдвиг, несущественно уточняет классическую теорию, но для тел из трансверсально-изотропного материала «при умеренно малой поперечной жесткости на сдвиг» тео-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00244a, 09-01-00623-а).

© С. М. Бауэр, А. М. Ермаков, С. В. Каштанова, Н. Ф. Морозов, 2011

рия ТР существенно уточняет теорию Бернулли—Кирхгофа—Лява и дает следующее асимптотическое приближение трехмерной теории [5]. Тела «с умеренно малой поперечной жесткостью на сдвиг» — это тонкие тела, для которых малый параметр д = О'/Е (где Е — модуль Юнга в тангенциальном направлении, О' — модуль упругости при поперечном сдвиге) удовлетворяет соотношению ^ д ^ 1, ^ — параметр тонкостен-ности конструкции, для цилиндрической оболочки ^ ~ Н/Я (к — толщина, Я — радиус оболочки). В работе [4] задача о деформации нанотрубок решалась с использованием теории анизотропных оболочек Родионовой—Титаева—Черныха (РТЧ) [6], которая кроме поперечных сдвигов позволяет учесть слоистую структуру асбеста и цилиндрическую анизотропию. В данной работе деформация многослойной трубки, находящейся под действием локально приложенной нагрузки, решается с помощью теории анизотропных оболочек средней толщины, изложенной в работе О. М. Палия и В. Е. Спиро [7]. Проводится сравнение результатов, полученных по теории РТЧ, теории Палия— Спиро (ПС), с результатами, получающимися при тех же параметрах МКЭ в пакете

А^УБ.

2. Постановка задачи. Пусть а, в — цилиндрические координаты на поверхности оболочки, а — полярный угол, в — координата вдоль образующей трубки, Н(г) — толщины, Я(2) — радиусы срединных поверхностей слоев оболочки, а Ь — длина трубки. Для определения коэффициентов будем использовать обозначение Л^г). Нижний индекс ] указывает, какой криволинейной координате соответствует рассматриваемая величина Л, а верхний г — к какой оболочке она принадлежит, так при г =1 она относится к первой внутренней оболочке, г = N — к по-

7-1(2) 7-1(2) 7-1(2)

следней внешней. Е\ ,Е2 ,Е3 —модули упругости в тангенциальных и нормальном координатных направлениях, — коэффициенты Пуассона.

Определяется напряженно-деформированное состояние многослойной трубки, находящейся под действием локально приложенной нагрузки, с использованием новой уточненной итерационной теории анизотропных оболочек Родионовой—Титаева—

Черныха [6] и теории, предложенной в монографии

[7] — теории Палия—Спиро.

Уточненная итерационная теория РТЧ основана на следующих гипотезах:

1) поперечные касательные и нормальные напряжения распределены по толщине по закону квадратичной и кубической параболы соответственно;

2) тангенциальные и нормальные составляющие вектора перемещений распределены по толщине оболочки по законам полинома, соответственно, третьей и второй степени.

Эта теория позволяет учесть повороты волокон, их искривление, а также изменение длины.

Функции и\(а,[3,г), П2(а,в,%), из (а, в, г), описывающие перемещение слоя оболочки по теории Родионовой—Черныха, предлагается искать в виде рядов по полиномам

Рис. 1. Элемент круговой цилиндрической оболочки.

Лежандра Ро, Р\, Р2, Рз от нормальной координаты г € [-Н/2, к/2]:

и1(а, г) = и(а, в)*Ро(г) + л(а, в)*Р1(г) + 6\(а,в)*Р2(г) + <?1(а, в)*Рз(г),

и2(а, г) = у(а,в)*Ро(г) + 72(а,в)*Р\(г) + д2(а, в)*Ръ(г) + <^2(а, в)*Рз(г), (1)

из(а,г) = т(а,в)*Ро(г) + 7з(а, в)*Р\(г) + вз(а,в)*Р2(г),

^ . 2г 6г2 1 20гз 3г

Р0(г) = 1, ВД = Т> Р^) = ^2~^ Рз^ = "р--Т’ (2)

где и, V, т — компоненты вектора перемещения точек срединной поверхности оболочки, а 7з и вз характеризуют изменение длины нормали к этой поверхности, 71 и 72 — углы поворота нормали в плоскостях (а, г), (в, г) соответственно. Величины в1 и у>1, описывают нормальную кривизну в плоскости (а, г) волокна, а в2 и ^>2 описывают нормальную кривизну в плоскости (в, г), которые до деформации были перпендикулярными к срединной поверхности оболочки.

Теория оболочек Палия—Спиро [7] — это теория оболочек средней толщины, в которой приняты следующие гипотезы:

1) прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными;

2) косинус углу наклона оболочки таких волокон к срединной поверхности деформированной оболочки равен осредненному углу поперечного сдвига.

Математическая формулировка принятых гипотез сводится к следующим равенствам:

и1(а, г) = и (а, в) + Ф(а, в)* г, и2(а, г) = v(а, в) + ф(а, в)* г,

из(а, г) = т(а, в) + Я (а, в, г),

Ф(а, в) = л(а,в) + Фо(а,в), гФ(а, в) = 12(а, в) + Фо(а,в), (3)

фо(а,(3) = ^ + к1_и(а,[3), фо{а, (3) = _ 1дт(о;,/?) + к2у(а,(3),

Л1 да Л2 да

где ф и ф —углы поворота нормали в плоскостях (а, г), (в, г); фо, фо,71 и 72 —углы поворота нормали к срединной поверхности и углы сдвига в тех же плоскостях. Функция Я(а, в, г) характеризует изменение длины нормали к срединной поверхности.

Коэффициенты Ламе и кривизны, определяющие геометрию цилиндрической оболочки, имеют вид

4° = д« 4° = 1, к1) = ^> 4° = о. (4)

Приведем основные величины к безразмерному виду по следующим формулам:

Л(2) Н

т = %, т = *

А(г) > ДМ >

{ад(г), «(г), г^(г), ^2,3. ^1г,2. ^,(о}} = \ {м(г)^(г)^(г)л11з^11з^1%^0). } ,

п Е2,з п О1з,12,2з П- (2) Ргп1,2,з п , (*) Рои\, 2,з

£/2,3 = ~Е^1 ^13,12,23 = -^--, -^^1,2,3 = -^----, Уоиг 1?2,3 = -^-------,

Е1 Е1 Е1 Е1

|Т(<) б(<) т(<) ] {Г°(-Ь^1%таЙ,з} г (0 1 {ММ,2} Г «) 1 {&}

1,2,^1,2,™1,2, з)- 1,2}- КЦ)Е1Н’ Х^хз}- Ех

где РвиЬх, Ртх —давления на внутренней и внешней поверхностях оболочки.

Для удобства ведем следующие параметры:

77 _ 1 тг _ р _ ^12 р _ -®3

»11 — ;---------, ^12 — ;----------, ^22 — ;-----------, —

1 — ^12^21 1 — ^12^21 1 — ^12^21 1 — ^13^1 — ^23^2

^31 + ^21^32 ^32 + ^21^31

М1 — ------------> М2 — ------------,

1 — ^12^21 1 — ^12^21

3 3

2^11^’^Ь ^22 = ^

Ки = -Еи№, К12 = Е22'Ф\ К21 = -ЕпЬ^т, К22 = -Е221^1Л2,

К13 = Ец—^-((а 2 + 2г/12/х1), -^23 = £;и^-(г/12М1 + 2мг)

-(О ^(°р .(‘Чтх^и^Р’ (<)/\ ^(0

тух ' = —РоиЬх I 1 + — I + —Ргпх I 1-—

# = Рш,® (1 + ^) - К»,в 1- Щ- ) (х = 1,2,3).

(6)

3. Соотношения теории оболочек Родионовой—Титаева—Черныха и Палия—Спиро. Деформации оболочки для рассматриваемых теорий выражаются через компоненты перемещения по следующим формулам:

Теория Родионовой—Титаева—Черныха Теория Палия—Спиро

дй(^

',<')1э5о+Л

«

71

д7

«

да.(г)

+ 73

«

~(0

п2

ду(*)

д/?М ’

я~«

,^72

9/?(г)'

4’-*«’*«>+»!»

7«

723

да.(г)

1

дй!(г)

д@(г) ^(г) = Л.(г)

+ 272'

«

7(г) = Л.(г)

ду(*) _(*) дй(г)

да^ ’ ~‘2 - дры

^г) д^1]

9а(г) ’ "2 д/?(0’

7(<) + 7(0

71 + т2 ,

дй(<)

+ ад

«

£

д7(г)

71

'д</,м

9аМ

П2

дв(г)

£«

'13

7«

723

д'д(г)

-,(*) _ !(*)'__________

Ш1 да(0 =

, д?(г)

Т1 &*«’ '2

«

<9/?(г)' д^М д/?М ’

^1 + 1^2 •

(7)

Подчеркиванием выделены отличающиеся для рассматриваемых теорий компоненты деформаций.

2

1

0

0

2

Приведем, преобразованные для случая цилиндрической оболочки, уравнения связи моментов и усилий с компонентами деформаций для теории РТЧ. Подставляя приведенные зависимости (7) в соотношения (8), можно получить уравнение их связи с компонентами перемещения:

Ti(<) = £11 + Ei2h(i) 4° + TP = Ei2h(i) e(1i) + £22^4° + $

h (i) h(i)

M[i] = -Q-iEuV? + Ewf) + M(ii}M0(i), M2(i) = — (Enrj^ + E22r,f) +

T12 = = GgfeWfW, = M2(i} = (0,

. 5h(i)G(l) m(i) G(i) dfl(i) , n

Q 0 = 13 gW + ^ - (feW)2Gi3 ^3 (8)

^ 6 13 6 V У 6 9a«’

... 5h(i)G(i) r-\ m(i) G(i) дд(і)

'(*) _ t>ft (j23 .0) , 2 u(i) 23 "^З

'2 “ 6 Є23+ 6 h 6 9/3(0 :

(i) (i)

f (0 - ш(і) + (^))2 ( + д(оМ_) _ m«)

J° -тз + 12 UaW + 9/?w 1 ’

ЛІ) = (h{i)? ~(i) ,'^1( drfni] , _ ^(0 f (0

0 10 93 60 I 9a« 9/3(0 J 60 1 '

Подставим следующие соотношения (9) для шести компонентов смещения в формулы

(8), сведя их, таким образом, в зависимость от пяти основных компонентов смещения

и, V, т, 71 и 72:

д(г) Л.(0 д^3г) _(*) ш1(г) — ) Л.(0 д7((г)

Я(0 = gj ~{і) = тv '-Чі ’ 003

1 12Gi3 6 9а(0 ’ ^ lOfcWG^ 10 да^У

~(i) _ /г(0 _(j) _ m2(0 - дв^

2

- , ч^ (9)

12G23 6Д(0 9/3(0 ’ ^2 ioft(OG« 9/3(0 ’ ^ >

~(0 _ 1 ^ 1 ( „(О , (*)~(*Л я(0 _ 1 М* ^ 1 / (і) (і)\

73 _2ШІ0“2ІМіЄі +^Є2І’ 0з “6 1М1??1 +^2І'

Проведем подобное преобразование для теории Палия—Спиро. Уравнения связи деформаций с усилиями и моментами для данной теории имеют вид

Т« = Яц/^ЦО + Е12ь^е^ + Щ- ({Кц - К12)^] - Кіз#) +

Т2] = Е12и 0е(/} + Е22Ъ^£^ + ((^21 - - К2з4І}) +

f$ = G$U0 ( 4° +4° - ) , fg>=G$hM 4° +4° + {-^4

1° = 1Г (ЕпГ1^ + Ех2Ц2> + {Кп - К12)^] - К23^]) +

м2° = 1Г СЕ12^ + Е22Ц2> + {К21 ~ К22)^ “ К1зё^) + ~ф)' (10)

м^=с^(^+^+т24г)),

Я{1 = ё&^Ч0, <#> = Ср(072°,

~ (*) / Л,(0\ / г \ ~ (®) / Л,(0\ / г

Ро^3 М + —1 (0.5+^у) -Ргпз ( 1 з“ ) (°‘5 “ МО

стзз =-----------------------------------^------------------------------,

1 + Д«

2 3

Р(а,/3,г)(г) = /о ^<],г - {щег + ^ (г^ - -^у) +М2%) у + (^у) у-

Подставив в них уравнения для деформаций (7), так же перейдем к зависимости моментов и усилий от компонентов смещения и, V, т, 71 и 72.

Таким образом, для обеих теорий полученны уравнения связи усилий и моментов с компонентами перемещений. Подставив их в уравнения равновесия цилиндрической оболочки

(0 дТ(0 /-Ч /Л дТ(0 дТ(0 /Л

+ я»»* + <Й” + 9? = »■ Тгйг + «<0 »Аг + # = 0.

да(г) дв(г) ’ да(г) д^(г)

эд(/}

<9а(0

+ Д(0

9/3(0

-1 I Ё(»дЙк

МО у 9а(0 9/3(0

} (дМ$ р(г)дМ«У МО I 9а(0 9/3(0

(11)

— ^1.г) + т(г) = 0,

— я2) + т2г) = о.

можно получить систему из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с пятью неизвестными функциями. Для теории Родионовой—Титаева—Черныха система уравнений имеет 14-й порядок, а для теории Палия—Спиро — 12-й порядок.

Подставив соответствующие компоненты деформации в расчетные формулы (1)—(3), можно получить все составляющие напряженно-деформированого состояния рассматриваемых оболочек.

4. Численный метод. Для решения задачи используем систему уравнений обо-

лочки в перемещениях (11). Перемещения срединной поверхности оболочки задаются

0

в виде

и(г)(а, в) = ЕГ=о Ет=о иПт вт[па] Бт[шв],

v1i) (а, в) = ЕГ=о Е™=о сов[па] сов[шв],

«;М(а, /3) = ЕГ=о Ет=о и;»™ сое [па] вт[т/3], то = (12)

7lг)(а, в) = ЕГ=о Е™=о 71п>П вт[па] в1п[7т|3}, в) = ЕГ=о Е™=о 72пПп сов[Па] ^то^

Эти формулы учитывают симметрию деформации оболочки относительно плоскости а = 0 и обеспечивают нулевые перемещения и, 71 и т при в = 0, Ь. Выражения для v,Y2 не удовлетворяют нулевым краевым условиям, однако, когда деформации не доходят до края участка, эти перемещения малы. Внешние и внутренние силы, действующие на поверхности оболочки, представим в виде произведения разложенных в ряд

ТГ \7'1^+1) \7'1^+1) \7'1^+1)

сил в сечениях. Пусть Х1 ,Х2 , Х3 —составляющие давления, возникающего

на внешней поверхности г-й оболочки, а —давление на ее внутренней

поверхности. Тогда выражения для нагрузки и моментов примут следующий вид:

m<l\a,fЗ) = YJn=oYZ=J-Y И1-4 (1+'^Л+Х1п)ш (1 - у- ) ) віп[па] зіп[то/3],

#(а,/3) = ЕГ=оЕт=о \Х1пт) \1 + К-\-Х1(1- -7Г ) ) віп [па] 8Іп[то/3]

^п=0 А^/т=0 \ \ ^ 1 2 I і ^ 2

( г ^

— І Х1(г+1) ( Ц-----------|+Х1(г) ( 1----------

2 І ±пт I 2 / пт I 2

'т{2](а,13) = ЕГ=оЕ™=0— І11-’ ( ! + — )+Х1пт ( !- — ] ) сое [па] сое [то/?],

92г)(«,/3) = ЕГ=оЕт=о \Х1пт1) \1 + К-\-Х1(1--7Г ) ) соє [па] сое [то/?],

;п=0 /-^т=0 \ \ ^ 1 2 I і ^ 2

( Г ^ / Н^Л Г N /

— І хі(г+1) ( н------------|+Х1(г) 11------------

2 I -*-пт \ 2 / і 2

"»з)(«,/3) = ЕГ=оЕт=0— І11-1 ( ! + — )+Х1пт ( !- — ] ) совМ віїсто/?],

4г)(«,/3) = ЕГ=оЕт=о (( 1 + у-) ( 1_ V" І I соэ[па] вігі [то/3].

(13)

— индекс г = 1 соответствует внутренней, а г = N +1 внешней поверхности трубки, состоящей из N слоев. Следуя [6], примем условие жесткого защемления между слоями:

нг>

'4‘} (а"й’тП =г'4'+1> ) ’ (14)

Локализованную на маленькой прямоугольной области нагрузку представим в виде произведения двух рядов Фурье функций нагружения в продольном и поперечном

сечениях:

Давление в продольном сечении трубки будет описываться следующим образом:

= (т')У <“>

\ т=о /

где Ьу — центр области приложения нагрузки, 2С — величина области приложения нагрузки, Р — давление в области.

Область давления описывается функцией произведения рядов:

Р(1[а,в]= Ра[а] * РЬ[в]. (17)

Нагрузка прикладывается к внешней поверхности трубки:

X 1^ =0, X 2ПП+1) =0, X зЦ+1] = Р4а,Гв]. (18)

Давление на внутренней поверхности трубки отсутствует:

X1^ = 0, X 2« =0, X ЗЩ = 0. (19)

Подставляя зависимости (12), (13) и (17) в систему уравнений равновесия оболочки

(11) и в соотношения жесткого защемления слоев (14), получаем систему из 8N — 3 линейных алгебраических уравнений относительно 5N компонент деформации и 3N — 3 сил взаимодействия между слоями оболочек. Каждый из полученных коэффициентов иПП, ^ипп, т4т, 71пт, 72пт, xJ;г), X2г), X3г) является членом ряда Фурье функций деформаций и нагружений.

Для реализации приведенного численного метода была разработана программа на основе пакета МаШешайса 7.0

5. Результаты расчета. В работе [4] рассматривалась деформация нанотрубки при следующих параметрах: толщина каждого из 100 слоев h = 0,135 нм, внутренний радиус трубки R = 2.5 нм, внешний R =16 нм, длина труби L = 500 нм. При значениях модуля упругости оболочки Ei,2,3 = 1.75 * 1011 Па и сравнительно малом значении модуля сдвига G13 = G12 = G23 = 2.3 * 107 Па значения прогиба трубки, находящейся под действием локально приложенной нагрузки, определенные по теории РТЧ, были близки к экспериментальным данным; коэффициенты Пуасона — V12 = V21 = V32 = V31 = V23 = V13 = 0.3.

Ниже в таблице представлены значения прогибов описанной трубки, полученные по теории РТЧ и теории ПС. Здесь Lv —координата приложения силы на внешней поверхности оболочки. Расчет функций смещения производился при внешней силе Fv = 10 нН. Для сравнения представлены величины прогибов трансверсально-изотропной трубки, полученные в пакете Ansys 11. Использован трехмерный 20-узловой элемент Solid 186.

Lv 250 204.5 181.8 159 136.3 90.9 68.18 45.45 22.72

ПС 48.14 46.35 44.13 41.03 37.09 26.76 20.47 13.49 5.93

РТЧ 48.35 46.55 44.32 41.21 37.24 26.87 20.55 13.55 5.96

Ansys 46.13 44.48 42.39 39.5 35.80 26.23 21.11 14.77 7.73

Сравним результаты, полученные по трехмерной теории, используемой в пакете Лп8у8 11, с результатами, получающимися по изложенным неклассическим теориям оболочек. Будем рассматривать однослойную цилиндрическую оболочку с постоянным внешним радиусом и постепенно увеличивать толщину оболочки (и, как следствие, уменьшать радиус срединной поверхности обоочки). В таблице приведены величины прогибов в центре рассматриваемых оболочек.

h/R 1/15 1/12 1/9 1/6 1/5 1/4 1/3

ПС 628.76 501.25 373.58 245.49 203.61 161.12 120.17

РТЧ 630.3 503.3 375.8 248.22 206.58 164.4 123.81

Ansys 616 485.3 360.4 232.2 191.6 150,6 95.9

Результаты, представленные в таблице, показывают, что обе теории дают близкие значения прогибов оболочек. Также близки и другие величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние оболочек. При увеличении относительной толщины оболочки величины прогиба, получаемые по теории ПС, ближе к значениям, получаемым методом конечных элементов.

Литература

1. Ronald E. Miller, Vijay B. Shenoy. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. Vol. 11. 2000. P. 139-147.

2. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 381. Вып. 3. C. 345-347.

3. Анкудинов А. В., Бауэр С. М., Каштанова C. В., Морозов Н. Ф., Няпшаев И. А. Исследование механической жесткости уединенных асбестовых нанотрубок // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки. 2009. С. 7-9.

4. Анкундинов А. В., Бауэр С. .М., Ермаков А. М., Каштанова С. В., Морозов Н. Ф. О механических параметрах асбестовых нанотрубок // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды конференции. Т. 1. C. 35-38.

5. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестн. СПб. ун-та. Сер. 1. 2007. №3. С. 49.

6. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. Изд-во СПбГУ, 1996. С. 40-80.

7. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. Л.: Судостроение, 1977 г. С. 20-32.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.