Напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропных сопряженных эллиптических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК,

НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ*

А. М. Ермаков

С.-Петербургский государственный университет, студент, khopesh_ra@mail.ru

1. Введение. В работе определяется напряженно деформированное состояние, сопряженных трансверсально-изотропных эллиптической и сферической оболочек, находящихся под действием внутреннего давления, для различных соотношений величин полуосей эллипсоида. Такая модель описывает поведение корнеосклеральной оболочки глаза. Внешняя оболочка глаза — корнеосклеральная — состоит из роговицы и склеры.

Рис. 1.

Для нормального зрения человека необходимо, чтобы отраженные от объекта лучи, попадающие в глаз, фокусировались строго на сетчатке (рис.1,а). Миопия (близорукость) может быть связана с тем, что глазное яблоко имеет форму вытянутого эллипсоида (рис. 1,Ь). Это приводит к тому, что изображение далеко расположенных объектов

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00140a).

© А. М. Ермаков, 2009

фокусируется перед сетчаткой. Гиперметропия (дальнозоркость) может быть вызвана тем, что форма глаза близка к форме сплюснутого эллипсоида (рис. 1,с). Это приводит к тому, что фокусная точка располагается за сетчаткой.

В данной работе склера и роговица моделируется как трансверсально-изотропные оболочки. Подобная задача уже рассматривалась [1, 2]. В [2] моделировались однородные изотропные сферические оболочки, кроме того, полагалось, что роговица является более жесткой оболочкой, т. е. ее модуль упругости больше модуля упругости склеры. В настоящее время известно [3, 4], что роговица существенно мягче склеры. В [2] также методом конечных элементов в пакете ЛМЯУЯ рассматривались трансверсально-изотропные сферические оболочки.

2. Постановка задачи. Воспользовавшись симметрией объекта (рис. 2), полагаем, что все величины зависят только от одной координаты — угла а между радиусом-вектором и осью оболочки. Пусть а1, а2 — координаты для первой и второй оболочек соответственно, а0, а0 — значения углов, определяющие края оболочек в точке сопряжения, в — угол между касательными к оболочкам на линии сопряжения, ^(1), —

толщины, Я1 — радиус первой, сферической, Я2, Яз — значения полуосей второй, эллиптической оболочки. В случае, когда Я2 = Яз, вторая оболочка имеет сферическую форму.

Рис. 2. Геометрическая модель глаза.

Для определения параметров будем использовать обозначение . Нижний индекс ] указывает, какой криволинейной координате соответствует рассматриваемая величина А, а верхний г — к какой оболочке она принадлежит: при г = 1 она относится к сферической, при г = 2 — к эллиптической.

Пусть Е^ , еЗ^ — модули упругости в тангенциальном и нормальном направлениях для сферической и эллиптической оболочек, и1^, — коэффициенты Пуассона первой

и второй оболочек.

Для определения напряженно-деформированного состояния этой модели используем теорию оболочек Родионовой—Черныха [5]. Это линейная теория однородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности. Она так же учитывает поперечные нормальные напряжения и предполагает нелинейное распределение компонент вектора перемещения по толщине оболочки.

Функции и1 (а, г), и3 (а, г) описывающие перемещение слоя оболочки, по теории Родионовой—Черныха предлагается искать в виде рядов по полиномам Лежандра

Ро, Рі, Р2, Рз от нормальной координаты г Є [-Н/2, /г/2]:

иі(а, г) = п(а)*Ро(г) + 71 (а)*Рі(г) + ві(а)*Р2(г) + <рі(а)*Рз(г), из(а, г) = т(а)*Ро(г) + 7з(а)*Рі(г) + вз(а)*Р2(г).

Здесь

(2)

и, и) — компоненты вектора перемещения точек срединной поверхности оболочки, а 73 и вз характеризуют изменение длины нормали к этой поверхности, 71 — угол поворота нормали в плоскости (а, г). Величины в1 и у>1 описывают нормальную кривизну в плоскости (а, г) волокна, которое до деформации было перпендикулярным к срединной поверхности оболочки.

В силу симметрии сечения относительно оси АС будем рассматривать лишь две соединенные дуги АВ и ВС с введенными на их концах А и С условиями симметрии. В точке их слияния В должны выполняться соответствующие условия сопряжения. Таким образом, для каждой из дуг АВ, ВС можно рассматривать отдельно две одномерные задачи теории оболочек.

Приведем основные величины к безразмерному виду по следующим формулам:

а так же введем параметры, характеризующие взаимное отношение определяющих характеристик двух рассматриваемых оболочек:

Коэффициенты Ламе и кривизны, определяющие геометрию сферической оболочки, имеют вид

= к^ь^ = ^— = и1\ = к^ь^ = ^— = и1\ (3)

Я і Я і

В случае эллиптической оболочки имеем

к>2

(2) 42) ^ш2(а2)Д2+со82(а2)Д2 х

т=----------------------------= Ш У8111 (“2) + СО82(«2)д0,

М2) М2) 7(2)

7(2) А22) Й2 СОБ^) 1

А=т= =шсо<а21

~к\2) = ь^к{2) = М2)——, 2 !—= и2')

^2^3 7 (2) До

(Щ эш2(о;2) + Щ сов2(а2))3/2 (эт2^) + Щ, сов2 (а2))3/2

Д3 7 (2) Д0

Д2) = н^й2) = и2')----, 3 =1^- л°

2 2 2

1?2 \!Щ ЭШ2)^) + Щ СОЭ2 (о;2 ) в1п2(о!2) + Д2 С082(о!2)

3 ^'-£2/ Д/ ©АН \'-''2/ "Т” ^0

Деформации £1,£2,£1з, П1,П2 оболочки выражаются через компоненты перемещения:

;(*)

£}"' = ———--------------------------\- к\г^й>(г\ = —ттт тту 2 +Ш^П1^1\

' ' 2 ^ ^ 4 1

1 с&М

йа^

1 л- (*) <¿71

Л« йа^

1 (]лЪ^

1« йа^

-(*) 1 I Г (*)-(*) ~(*) ^ ^^-2 -(*) I Г (*)-(*) ^ /1

Г =^й— +ЧТз, ??2 = я(0я(0 , 71+^1 7з ; (4)

А1 А2 ®

„(¿) 1 ¿и^' Г«~т . о ~ (^)

£« = “41 " + 271 Подставляя приведенные зависимости в соотношения упругости, получаем

^--------(£(/} + ^}£«) + -----ТГуТд^,

1 1 — (г/| )(2) 1 127 1 -гу[1) °

пр{г) _ ^<'г') /..(*)_(*) , _(*)\ , ^ тЧ*)

2 “ 1 - (^>)(=) ( 1 1 2 1-^ ’

м}0 =----------г---------(гу^ + ¡У^Г]^) Н-----р-Мд*\ (5)

1 6(1-(^г))(2)) 1 1 2 1-4° ° ^

м2(<) =-----^—(4°^ + 4°) + -^М0(<),

6(1-(^г))(2)) 1-4°

-(0 _ 5^‘)ё« ло С« Ь« ¿0«

У1 _ 6 13 6 вяц ■

Здесь

%У = т« - (^}М« + , М« = 1 (¿«Т« +

4я^ -*> (>-Т) (>-¥). #^(‘-¥)(>-?)

Уравнения связи усилий и моментов с компонентами перемещения подставляем в

уравнения равновесия:

'!^_^ЗД+М.)(}(‘>= о.

А(4) А24) V ¿а* ¿а.

А2

?(*) п(4)

,- ,1 ... ^ - А^Т-Р - ^0т2(<) + #^(0 = о,

А(г) ,42г) ¿а* 1 1 2 2 3

1 (¿,42*) ¿А24) - (¿Л -«)

— 1 —?—з— —; = о.

А(г) ,42гЧ ¿а* йа.

На свободных концах дуг А, С (рис. 2) для компонентов смещения должны выполняться десять условий симметрии:

и(1) [0] = 0, й(2)[—п/2] = 0, й/(1)[0]=0, й/(1)[—п/2] = 0, и(1) [0] = 0,

7(1)[0]=0, 7(2) [—п/2] = 0, 7/(1)[0]=0, 7/(1) [—п/2] = 0, и(2) [—п/2] = 0.

В точке сопряжения дуг должны выполняться шесть условий непрерывности перемещений, моментов, усилий и угла поворота [6]:

/ш(2) [а2] = й(1) [а0]* сов[в] — и(1) [а0]* ят[в] = 0,

Л.и(2) [а0] = и(1) [а°]* соя[в] + м(1) [а°]* ят[в] = 0,

^-(2) [а2] = 7^1) [а?], ЕМмР [а0] = Л-1(1) [а?], (8)

ЕДТ1(2)[а0] = Т1(1) [а°]* соя [в] — З^К]* в1п[в] = 0,

ЕЙд(12)[а0] = д(11)[а°]* соя[в] + Т(1)[а0]* в1п[в] = 0.

Таким образом, получена система из шести дифференциальных уравнений 16-го порядка с 16-ю граничными условиями и 6-ю неизвестными функциями.

Оставшиеся восемь компонентов деформации можно получить с использованием формул

(<) г0(г) у[г) , (г) , «Л

73 _ 2 у _ 1-^ дМ“ 2^ _,,(«> ^ +£2 ^

(¿У‘) \ м(¿) 1 / ^(¿)

■4 (IVми (9)

3(0 = _1_ 1 _ ] ж: _ 11 _Л_^м , „(0

3 мН 1-^7^ 6^ !_,(*) ,

я(0 1 .-.(1) 1 а« 1 д~ез]

и1 - “Т^ТТТ^- ’ . -И VI -

6^4(*) да* ’ 10h1¿)<5'1гз) 10^4(*) да* ’

Путем подстановки найденных компонентов деформации в расчетные формулы (1), (2) может быть получена полная картина напряженно-деформированого состояния рассматриваемых оболочек.

3. Численный метод. Представим рассматриваемую систему дифференциальных уравнений в виде

Р1(г)(м(г), м(г) , м(г) ,и(г),и(г) , 7(г) ) = 0,

Р2(г)(м(г), м(г) , м(г) , м(г) , и(г), и(г) , и(г) , 7(г) ,7 (г) ) = 0, (10)

Р3(г)(м(г), м(г) , м(г) ,и(г),и(г) , 7(г) ) = 0.

1

Для ее решения используем конечно-разностный численный метод. Введя равномерные сетки на «1 & [0, а0], а2 & [—90, а§], отмечаем п(г)узлов на каждой дуге с шагом Л.е(г) = ( а(п) — а(1))/п(г). Производные функций аппроксимируются с помощью следующих разностных коэффициентов:

u(i) = uj^, u(i)

(i) (i)

Uj+1 Uj

hc(i) ’

(i) q (0 і Q (І) (І

'3+3 - 3»'j+2 + iuj+1 ~ Ы3

u(i) _ 2u(i) + u(i)

(і)" = i+°- д+і + ыз ft.cW2 '

hc(i)3

(i) (i)

hc(i)

(<> (i) nv tSi “ ті*1

Ti H ■ Tw = M.) -

w(i) -2w(i) + w(i)

,„(*)" = j+2 j+1 + j hcW '

_ 2y(0 + Yw

(г)" _ h+2 J7j+1 ^ Ъ'

=

hc(i)2

7

(i)

Y(i) _ 3Y(i) + 3Y(i) - Y(i)

Ъ'+з д7д-+2 + ^7j+i 7j

hA'1)3

(11)

В результате, задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (3n(2) + 3n(1) - 3) * (3n(2) + 3n(1) - 3), которая разрешается в пакете Mathematica 6.0.

4. Деформация корнеосклеральной оболочки глаза. Для оценки влияния эллиптической формы склеры приведем сначала результаты расчетов для сферической оболочки. Возьмем следующие геометрические параметры: h(1) = h(2) =0, 5 мм, Д1 = 8 мм, Д2 = Д3 = 11 мм, а1 £ [0, 38.40], а2 £ [-90, 64.540], ß = 155, 2. Среднее значение модуля упругости склеральной оболочки согласно [7] принимаем Es=14.3 МПа. Известно, что склеральная оболочка глаза является более жесткой, чем роговица. Опираясь на результаты [3], принимаем ее среднее значение Er=4.76 МПа. Модуль упругости склеры в направлении ее толщины на два порядка меньше модуля упругости в

тангенциальном направлении. Следуя этой гипотезе, примем E(i)/£3^ = 100. Модуль

(i)

сдвига будем считать сравнительно малым: G13 = 1 МПа; коэффициенты Пуасона —

(i)

(i)

3

0.01.

Рассмотрим, сопряженые трансверсально-изотропные оболочки, находящиеся под действием внутреннего давления. Рассчет функций смещения производится при внут-

I “ - V /

\ J //

\ //

V /

V У?

Рис. 3. Общая картина деформации.

и2(<*)

5 10 15 20 25 30 35

Рис. 4. Смещение роговицы.

10 15 20 25 30 35

Рис. 6. Прогиб роговицы.

\80 -60 -40 -20 \ -0.005 20 40 60

\ -0.010

\ -0.015

-0.020

\-0.025

-ОТЯЭ'

-0.035

Рис. 5. Смещение склеры.

и72(а)

0.08

0.06

ОД?*

0.02

-80 -60 -40 -20

20 40 60

Рис. 7. Прогиб склеры.

реннем давлении в 30 мм.рт.ст., а общей картины деформации, для наглядности, в 200 мм.рт.ст.

Из графиков (рис. 4-7) и общей картины деформации (рис. 3) можно заключить, что усилия, возникающие в сопряженных оболочках, вследствие воздействия внутреннего давления приводят к существенному прогибу роговицы, а так же распрямлению угла между оболочками. Максимальный прогиб для обеих оболочек происходит в окрестности точки сопряжения. Также заметно постепенное возрастание прогиба склеры при движении от области, возмущенной точкой сопряжения, к нижнему полюсу сферической оболочки.

5. Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму вытянутого эллипсоида. Рассмотрим случай, когда склеральная оболочка глаза имеет форму вытянутого эллипсоида: = 8 мм, Я2 = 11 мм, Яз = 13 мм в = 156, 2, а\ Е [0, 38.40]

(рис. 8).

Приведем графики сравнения прогибов роговицы (рис. 9) и склеры (рис. 10) для сферической и эллиптической оболочек. Видно, что под действием внутреннего давления эллиптическая оболочка стремиться принять сферическую форму, в окрестности экватора прогиб максимальный.

Рис. 9. Функция прогиба роговицы.

Рис. 10. Функция прогиба склеры.

6. Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму сплюснутого эллипсоида. Рассмотрим случай, когда склеральная оболочка глаза имеет форму сплюснутого эллипсоида: Я1 = 8 мм, Я2 = 12 мм, Я3 = 11 мм Я1 =8 мм, Я2 = 11 мм, Я3 = 13 мм в = 152,8, аі Є [0, 38.40].

V V V у?

~~~~—-— — -—

Рис. 11. Общая картина деформации.

Приведем графики сравнения прогибов роговицы (рис. 12) и склеры (рис. 13) для сферической и эллиптической оболочек. Видно, что под действием внутреннего давления эллиптическая оболочка стремится принять сферическую форму, максимальный прогиб возникает в ее нижней части. И, как можно видеть из общей картины (рис. 11), эта деформация стремится вернуть глазу его нормальную сферическую форму.

7. Выводы. Проанализировав полученные данные, можно сделать следующие выводы. Эллипсоидальные оболочки под действием внутреннего давления стараются принять сферическую форму, наибольший прогиб — в более пологой части. Так, прогиб в окрестности нижнего полюса для вытянутой эллипсоидальной оболочки существенно меньше по сравнению со сферической. А в случае сплюснутой оболочки он существенно больший. Угол между касательными к оболочкам на линии сопряжения увеличивается с ростом давления, а окрестность точки сопряжения становится более гладкой. Следует

отметить, что оболочка, имеющая форму вытянутого эллипсоида, менее деформируется под действием внутреннего давления, чем та, что имеет форму сплюснутого.

Литература

1. Волков В. В., Вяземский С., Малышев Л., Мамаев О., Павилайнен В. Я., Саулгозол Ф. Ж. Исследование напряженного состояния роговицы живого глаза человека методом фотоупругости // Известия А.Н. ЭССР. Физика, математика. 1988. Т. 37. С. 76-84.

2. Краковская Е. В. Приложение теории сопряженных оболочек к задачам офтальмологии // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 5-19.

3. Иомдина Е. Н. Механические свойства глаза человека // Современные проблемы биомеханики. Вып. 11. Изд-во ММГУ, 2006. C. 183-201.

4. Иомдина Е. И.Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии // Сб. научн. работ, посв. 100-летию МНИИ ГБ им. Гемгольца. М., 2000. С. 193-195.

5. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. С. 40-80.

6. Филипов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. С. 17.

7. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. С. 92.

Статья поступила в редакцию 19 марта 2009 г.