CC BY
36
2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ДЕФОРМАЦИЯ СОПРЯЖЕННЫХ
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ И СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
А. М. Ермаков1, А. А. Романова2
1. С.-Петербургский государственный университет, докторант, ermakovam.si@gmail.com
2. С.-Петербургский государственный университет, соискатель, Angelina.romanova@gmail.com
1. Введение. Рассматриваются две задачи о деформации составных оболочек. В первой задаче под действием внутреннего давления находится трансверсально-изо-тропная сферическая оболочка, срезанная в малой окрестности одного из полюсов и сопряженная в этом месте с круглой пластиной. Во второй задаче сферическая оболочка сопрягается с пологим сферическим сегментом, имеющим такой же радиус кривизны, но другие упругие свойства.
Ранее в работе [1] подобная задача решалась с использованием классической теории пластин [2] и конечно-элементного пакета программ А^па 2, сопряженные оболочки считались изотропными, однако их модули упругости и толщины различались на порядок. Проводилось сравнение величин прогибов в точке полюса круглой пластины, сопряженной со сферической оболочкой, и просто круглой пластины, жестко заделанной по краям. В случае сопряженных оболочек исследовалось расширение радиуса опорного кольца.
В этой работе рассматриваемые оболочки считаются трансверсально-изотропны-ми, поэтому для аналитического моделирования была выбрана теория Родионовой— Титаева—Черныха [3]. Это линейная теория однородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, а также поперечных нормальных напряжений и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки. Так же эта задача решается с использованием конечно-элементных пакетов программ А^па 2 и Апвув 14. В первом случае используются обо© А. М.Ермаков, А.А.Романова, 2013
лочечные элементы, а во втором — трехмерные, позволяющие лучше учесть скачёк упругих и геометрических параметров на линии сопряжения.
2. Постановка задачи. В первом приближении исследуемую малую оболочку можно рассматривать как круглую изотопную пластинку с жестко защемленным краем, находящуюся под действием нормального давления (Plate). Прогиб в центре этой пластинки может быть определен по соотношению w = pr4/(64D), где D = Eh3/(12(1 — v2)), E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, h — толщина и r — радиус пластинки.
Однако нельзя забывать, что малая пластина сопряжена с большой сферической оболочкой, что требует введения более сложной модели. В этом случае деформации оболочек считаются осесимметричными, поэтому рассматриваются лишь две сопряженные дуги, образованные вертикальным сечением, с введенными в точках полюсов граничными условиями симметрии (Shell). В точке контакта оболочек вводятся граничные условия сопряжения. Таким образом, для сферы все сводится к зависимости только от одной сферической координаты а — угла между радиус вектором и осью оболочки, а для пластины — к зависимости от координаты радиуса r. Эта задача решается с использованием теории анизотропных оболочек Родионовой—Титаева— Черныха. Общие уравнения теории оболочек сходны с уравнениями, приведенными в работе [4], но с новыми коэффициентами Ламе и кривизнами. Так, для круглой пластины эти параметры примут вид
A1 = 1, A2 = r, k1 =0, k2 =0, (1)
а случае сферической оболочки —
A1 = R, A2 = R cos(a), k1 = 1/R, k2 = 1/R. (2)
Задача сводится к решению системы 6-ти дифференциальных уравнений 16-го порядка относительно 6-ти функций смещения с 8-ю граничными условиями симметрии и 8-ю условиями сопряжения. Для решения этой системы написана программа в пакете Mathematica 8.0, реализующая конечно-разностный численный метод.
Подобная модель рассматривается с использование пакета Adina, где используются оболочечные конечные элементы. Более сложная, трехмерная, модель построена в пакете Ansys 14 с помощью 20-ти узловых конечных элементов Solid186. Эта модель позволяет ввести дополнительные вертикальные узлы на линии сопряжения и таким образом более точно учесть геометрию и скачек параметров.
3. Сравнение результатов. Поставленная задача позволяет моделировать поведение решетчатой пластины диска зрительного нерва [5], находящейся под действием внутриглазного давления (ВГД). Известно, что при глаукоме атрофия зрительного нерва происходит именно в этой области, поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластины диска зрительного нерва при изменении внутриглазного давления является актуальной. Рассмотрим влияние увеличения внутриглазного давления на диаметр склерального кольца, а также влияние деформации сферической оболочки глаза на величину прогиба решетчатой пластины. В качестве модели решетчатой пластины рассматривается круглая пластина постоянной толщины h« =0.2 мм и радиуса r(1) =0.75 мм. Склера представляется сферической оболочкой толщиной h(2) =1 мм и радиусом r(2) = 12 мм. Существуют две постановки рассматриваемой модели. В первой (I) предполагается, что решетчатая пластинка
Теория оболочек АсПпа Апйу»
Прогиб пластины сопряженной с оболочкой.
плоская, во второй (II) считается, что пластина слегка выпуклая, а радиусы кривизны пластины и сферы совпадают.
Рисунок иллюстрирует деформированное состояние плоской пластины, сопряженной со сферической оболочкой, согласно различным теориям. В табл. 1 представлены максимальные значения прогибов пластины Ш и изменения радиуса решетчатой пластины и в зависимости от внутриглазного давления в изотропном случае. Внутреннее давление представлено в мм. ртутного столба (1 мм. рт. ст. = 133.3 Па). Модуль упругости решетчатой пластины Е (!) = 1.43 МПа, коэффициент Пуассона V(1) = 0.4. Модуль упругости склеры принимается на порядок больше Е(2) = 14.3 МПа, коэффициент Пуассона для склеры V(2) = 0.4 В изотропном случае модуль поперечного сдвига С = Е/(2(1 + V)).
Видно, что, как и отмечается в экспериментах, диаметр склерального кольца меняется мало (изменение радиуса решетчатой пластинки на порядок меньше, чем величина ее прогиба).
Таблица 1. Сравнение изотропных моделей
Р мм рт 15 30 40 50 60
10"2 мм и \У и \У и \У и \У и \У
РЫе 0 0.871 0 1.742 0 2.322 0 2.903 0 3.484
ЯЬеП I 0.078 0.927 0.157 1.854 0.209 2.472 0.261 3.091 0.314 3.709
Ас1та I 0.063 0.88 0.125 1.75 0.167 2.34 0.209 2.92 0.250 3.50
Апвув I 0.128 1.114 0.256 2.228 0.341 2.97 0.426 3.713 0.512 4.456
ЭЬеП II 0.074 0.874 0.148 1.748 0.197 2.330 0.246 2.913 0.296 3.496
Ас1та II 0.062 0.85 0.125 1.69 0.166 2.26 0.208 2.82 0.249 3.39
Апвув II 0.127 1.058 0.254 2.116 0.338 2.821 0.423 3.526 0.508 4.232
Таблица 2. Сравнение трансверсально-изотропных моделей
Р мм рт 15 30 40 50 60
10"2 мм и \У и \У и \У и \У и \У
РЫе 0 0.871 0 1.742 0 2.322 0 2.903 0 3.484
ЭЬеП I 0.0933 1.632 0.1867 3.265 0.248 4.354 0.31 5.442 0.373 6.531
Ас1та I 0.078 1.52 0.156 3.15 0.21 4.27 0.28 5.35 0.34 6.32
Апвув I 0.128 1.145 0.256 2.29 0.341 3.053 0.426 3.816 0.512 4.58
ЭЬеП II 0.088 1.539 0.176 3.078 0.234 4.104 0.293 5.13 0.352 6.156
АсНпа II 0.075 1.48 0.151 3.05 0.20 4.19 0.27 5.27 0.33 6.24
Апвув II 0.127 1.114 0.254 2.228 0.338 2.97 0.423 3.713 0.508 4.456
Известно, что решетчатая пластина является многослойной и обладает высокой податливостью на межслоевой сдвиг. В табл. 2 представлены величины прогибов модели пластины, модуль сдвига которой в 5 раз меньше модуля Юнга С(1) = Е(1)/5.
4. Заключение. В изотропном случае результаты, полученные с использованием теории оболочек и оболочечных элементов, достаточно близки. Однако результат, полученный с использование 3-мерной модели, показал, что максимальный прогиб и расширение опорного кольца гораздо больше, чем по оболочечным теориям. Уменьшение величины нормального модуля упругости пластины по сравнению с тан-генсальными мало влияет на величину расширения опорного кольца. Эта величина увеличивается при уменьшении тангенциального модуля упругости склеры. Учет податливости на межслоевой сдвиг существенно увеличивает прогиба. Так, прогиб W, получаемый с использование оболочечных моделей, существенно превосходит результаты, получаемые по трехмерной теории.
Литература
1. Bauer S. M., Romanova A. A., Smirnov A. L. On formulation of the problem on deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure // Russian Journal of Biomechanics, 2001. Vol.5, N1. P. 18-22.
2. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1975.
3. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. С. 40-80.
4. Ермаков A. M. Напряженно-деформированное состояние сопряженных трансверсально-изо-тропных эллиптических оболочек под действием внутреннего давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. Сер. 1. Вып. 3. С. 110-118.
5. Bauer S. M., Voronkova E. B. On the deformation of the Lamina Cribrosa under intraocular pressure // Russian Journal of Biomechanics, 2001. Vol. 5, N 1. P. 73-82.
Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.
ХРОНИКА
24 апреля 2013 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступил кандидат физ.-мат. наук, доцент А. Б. Бячков (Пермский государственный национальный исследовательский университет) с докладом на тему «<Дифференциально-алгебраические модели динамики несвободного движения».
Краткое содержание доклада:
Рассматривается задача моделирования динамики механических систем с переменной кинематической структурой, когда в процессе движения происходит наложение или снятие некоторых дополнительных голономных и (или) неголономных идеальных связей. Предлагаемые автором методики решения таких задач основаны на применении уравнений Маджи в квазискоростях. Поскольку в задачах учета связей необходимо строить модели динамики относительно расширенного вектора состояния (координаты, скорости, реакции), указанные модели представляют собой системы дифференциально-алгебраических уравнений. В докладе рассмотрены различные аспекты применения метода Маджи: вывод уравнений Маджи в квазискоростях, геометрическая интерпретация предложенной методики выбора независимых вариаций квазискоростей, методы нахождения реакций связей, методы разрешения полной системы дифференциально-алгебраических уравнений динамики.
