Большие деформации ортотропной сферической оболочки под действием внутреннего давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ ОРТОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ*

А. М. Ермаков

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение. Решается нелинейная задача о напряженно-деформированном состоянии ортотропных сферических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Такая задача может моделировать поведение корнеосклеральной оболочки глаза при увеличении внутриглазного давления. Ранее подобная задача, о деформации корнеосклеральной оболочки, рассматривалась в работе [1], где материал склеры считался изотропным и несжимаемым. В действительности склеральная ткань является анизотропной [2, 3]. В данной работе материал предполагается ортотропным. Моделирование производится с использованием метода последовательных нагружений [4]. При этом на каждом шаге решается задача линейной теории оболочек [5], учитывающей влияние поперечного сдвига, деформирования в направлении нормали к серединной поверхности и поперечных нормальных напряжений. Задача решается в перемещениях. В результате преобразования основных соотношений получена последовательность систем дифференциальных уравнений восьмого порядка с восьмью граничными условиями. При решении с использованием метода конечных разностей получены деформации оболочек при различных соотношениях модулей упругости. Так же проведено сравнение с результатами, полученными согласно линейной теории.

2. Постановка задачи теории оболочек. Приведем уравнения связи декартовых Х,У^ и сферических «1, а2 координат, описывающие срединную поверхность оболочки в пространстве (рис. 1):

X = Я Со8(а1}Со8(а2),

У = Я Соз^Бш^), (1)

Z = Я 8ш(а1).

В силу симметрии сечения вдоль главных осей (рис. 1) рассмотрим лишь дугу АВ с введенными на концах А и В граничными условиями симметрии. Таким образом, можно рассматривать одномерную задачу, так как все величины зависят только от одной координаты а1 € [0,п/2], характеризующей линию параллели. Введем обозначения: Н — толщина, Я — радиус срединной поверхности, Е1,Е2 —модули упругости в тангенциальных, Ез нормальном направлениях, — коэффициенты Пуассона.

В исходных координатных функциях X(а1),У(а1 )^(а1) тригонометрические функции можно заменить их разложениями в ряд Тейлора старшей степени десятого порядка, без существенной потери точности (рис. 2).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00140a.)

© А.М.Ермаков, 2010

Рис. 1. Модель оболочки.

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм, выраженные через координатные функции, имеют вид

А =(далX)2 + (да1 У)2 + (да1 Z)2,

В = (да1 X) (да2X) + (д«1 У) (да2У) + (д«1 Z) (да2Z), (2)

С =(д«2 X)2 + (д«2 У )2 +(д«2 Z)2 ,

Ь = -

м = -

и

N = -и

VАС - В2, 1

1X

да

да 2 X

д2 У

а1 1

да1 У

да 2 У

д^1 ^ да1 Z да 2 Z

д‘а.1 ,а2 X да1 X

да 2 X

д2 У

^а! ,а2

да1 У

да 2 У

д21 ,а2 ^

да1 Z

да 2 Z

д^2 X д^2 У

да1 X

да 2 X

д У

да1 1

д У

да2 У

д 22 Z■

да1 Z

да 2 Z.

Коэффициенты Ламе и кривизны, определяющие геометрию оболочки, являются компонентами первой и второй квадратичных форм поверхности и находятся по формулам (см. [6]).

А1 = ^А, А2 = л/С, *! = ^, *2 = ^. (4)

Рассмотрим случай ортотропной сферической оболочки, находящейся под действием равномерного внутреннего давления. Для определения ее напряженно-деформированного состояния используется теория Родионовой—Титаева—Черныха [5]. Это линейная теория однородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, а также поперечных нормальных напряжений и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки.

Функции, описывающие перемещение слоя оболочки и\(а\,г), из(а\,г) по теории Родионовой—Черныха определяются в виде рядов по полиномам Лежандра Ро, Р\, Р2, Рз от нормальной координаты г € [—Н/2, /г/2]:

их(ах, г) = и(а\)*Ро(г) + 7х(ах)*Р1 (г) + 6^а1)*Р2(г) + ф1(а{)*Рз(г), из(а\, г) = <ш(а1 )*Ро(г) + 7з(а1)*Р1(г) + 63^1^2(г),

Ро(г)

1,

6г2 1

= ад

20г

Зг к ’

(5)

(6)

где и, V —компоненты вектора перемещения точек срединной поверхности оболочки, а 73 и 63 характеризуют изменение длины нормали к этой поверхности, 71 — величины, характеризующие угол поворота нормали в плоскости (а1,г). Величины 61 и у>1, описывают нормальную кривизну в плоскости (а1, г) волокна, которое до деформации было перпендикулярным к срединной поверхности оболочки.

Приведем величины к безразмерному виду по следующим формулам:

1

Е

и,й,^1 ,73,61,63,^1| :

Е2,3 Я» ^13

{То,1,2, Фь тз}

2,3

О

Е1

То, 1,2, Фь тз

13

- {и, ад, 71,73, 6*1,6>з, 931},

т Ь Н=К’

(7)

{Мо,1,2}

т

ЕЕ1 I ,1,21 ЯЕ1Н

Коэффициенты Ламе и кривизны, определяющие геометрию сферической оболочки, имеют вид

А

Я 1

Ах к к '

Л2 = Т

А2 Я соя(а^ 1

Н

— сов(а1), Н

и

и

Н

к\ = к\Н = — = к Я

Н

к2 = к21г = — = к. Я

Деформации оболочки £1,£2,£13, П1,П2 выражаются через компоненты перемещения по формулам

(9)

1 Зи ~ 1 ЗА2 ~

£1 = -----1- &!«;, £2 = ~ ~ -—м + /г2ад,

А1 «а1 А1А2 «а1

1 З71 ~ _ 1 ЗА2 . ~ _

т = -----Н«17з, т?2 = ~ ~ -—71 +/г27з,

А1 «а1 А1А2 «а1

1 Зй ~

£13 = ------/С1М + 271.

А1 «а1

Подставляя приведенные зависимости в соотношения упругости, можно получить

Н

Т = ?2 =

М1 = М2 =

1 — ^12 ^21 Н

1 — ^12 ^21 Н

6(1 — ^12^21)

К

6(1 — ^12^21)

, , ч , ^31 + ^21^32 ^

(£1 + г^12£2) + —:-----------То,

1 — У12 У21 , , \ , ^32+^21^31^,

(г/21£1 + £2) + —;------------77-То,

1 — ^12 V21 ( , \ , ^31 + ^21^32

№ + ^12??2 + ----------------------М0,

1 — ^12^21

(^21??1 + т) + "Т + г/2|г/31м0,

(10)

1 — V12^21

~ 5НО13 О13 Н 3,63

41 — -----7.--£13------7,----------•

6 6 А1 3а1

Здесь

ТТо = т3 — (кМ1 + к2М2

Н1

Мо = То® “ 60 (ад + ^Т2

т3

Т3

Уравнения связи усилий и моментов с компонентами перемещения подставляем в уравнения равновесия:

1 ( ЗА2ТХ

^1^2 у Заг

1 ЗА2<^1

^1^2 За1

1 ( за2мх

ЗА 2

-Т2 + А:1<51 — 0,

3а1

— кТ — ^2^2 + Т3Н = 0, 3А2 ^

(11)

А1 А2

За-1

За

-М2 — <51 — 0.

На концах дуги А, В (рис. 1) для компонентов смещения должны выполняться 8 условий симметрии. Следует отметить, что уравнения (11) при а1 = п/2 имеют особенность, поэтому рассмотрим малую левую окрестность точки ао = п/2 — е:

и[0] = 0, и'[0] = 0, V'[0] = 0, 7[0] = 0,

и[ао] = 0, м/[ао] = 0, й/[ао] = 0, 7[ао] = 0.

Таким образом, получена система из трех дифференциальных уравнений 8-го порядка с 8 граничными условиями и тремя неизвестными функциями.

Оставшиеся 4 компоненты деформации можно определить с использованием формул

1 Л ^31 + ^21^32 ^32 + VII/31 \ То

7з — 1 - ^з-;--------- -^23—------------)тт-

2 V 1 — /12/21 1 — У12У21 ; Е3

1 ( /31 + /21/32 /32 + /12/31

£1 + —-----------£2

2 V 1 — /12/21 1 — /12/21

я 1л /31 + /21/32 /32 + V!! /31\ Мо , ^

“з = 7 1 - ^13 —----------------- -г/23-;------------- (Д2)

~ - *- ю —^23" I ~

к^ 1 — /12/21 1 — /12/21/ Е3

1 ^31 + /21 /32 /32 + /12/31

т + -------------т

1=

6 V 1 — /12/21 1 — /12 /21

1 $73 1 ~ 1 дв:

Ф\ = - Я\ -

3

6А1 дах 10к013 10А1 да1'

Путем подстановки найденных компонентов деформации в расчетные формулы (5), (6) может быть получена полная система уравнений состояния рассматриваемой оболочки.

3. Численный метод. Представим рассматриваемую систему дифференциальных уравнений в виде

Е1(и,и ,и ,-ю,-ю ,^1,11,11) = 0,

^2(и,и ,и',и”,т,т ,ад",71,71, ^1,1\ ) = ° (13)

¥3(и,и ,и ,т,т ,^1,^1,^\) = 0.

Для ее решения используем конечно-разностный численный метод [6]. Введя равномерную сетку на а1 € [0,^], отмечаем п узлов на каждой дуге с шагом кс = (а^ — а^)/п. Производные функций аппроксимируются с помощью следующих разностных коэффициентов:

' и,+ 1 и, " и1+2 2и,+ 1 + и,

и = и-1, и = — ;-----------------------, и = —-;—7,-“,

ПО ПО2

и]+3 ~ ^>из + 2 “Ь “^из + 1 ~ из

ко3 ’

/ т,+1 — т, „ т,+2 — 2гш;+1 + т,

■ш = гШл1 ги = —----------------------, и> = —------------------^------------.

ко ко2

(14)

7з+1 ~ Ъ " _ 7з+2 ~ 27з+1 + Ъ

71=7;, 71 = ---т-----, 71 =

ко ’ ко2

ш 75'+з - 375'+2 + 37^+1 - Ъ

71 =--------------^--------------•

В результате применения этого метода задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (3п — 3)(3п — 3), которая разрешается в пакете МаШешайса 7.0.

4. Дельта-метод. В основу математического способа решения положен дельтаметод [3]. Если деформации не слишком большие (е = 50%), то в этой области достаточно хорошо согласуется с экспериментом [3] допущение, что зависимость между

истинными напряжениями и деформациями линейна. Линейная зависимость означает, что независимо от того, какой уровень нагружения принимать за исходный, одинаковые приращения деформаций вызывают одинаковые увеличения напряжений. Таким образом, принимая за исходное состояние тела предварительно деформированное, приходим для малых дополнительных деформаций к исходной задаче. Можно сформулировать достаточно простой алгоритм решения задач при средних деформациях.

Представим давление Р как сумму монотонных последовательных нагружений: Р =

ДР1 + ДР2 + ... + ДРп(ДР > 0, п > 1).

1-й шаг. Решаем задачу о малых деформациях предварительно ненагруженного тела, т. е. нагружаем его только частью общей нагрузки ДР1 так, чтобы деформации остались малыми.

2-й шаг. Считаем исходной конфигурацией тела ту, которую оно получило после нагружения на первом шаге.

200.0- 010.0-

Рис. 3. Интерполяция геометри новой оболочки.

Для описания геометрии полученной оболочки выберем на ней точки и с их использованием построим интерполяционные полиномы 10-го порядка: X = Г(а.1), Z = 0(а.1),

Г (а1) = а1 + а2а + а3а2 + ... + 0(а10),

0(а1) = 61 + 62а + 63а2 + ... + 0(а1о). ( )

Используя их, с помощью приведенных ранее формул можно получить новые коэффициенты Ламе и кривизны, описывающие геометрию деформированной оболочки:

X = Г(а1) Соз(а2),

У = Г(а1) 8ш(а2), (16)

Z = С(а1).

Затем к этой оболочке прикладываем следующую нагрузку ДР2 и опять решаем задачу при малых деформациях, т. е. считаем, что приращение нагрузки не должно вызывать деформации, при которых задача станет нелинейной.

На к-ом шаге повторяем то, что было сделано на втором шаге, только за исходное принимаем состояние после к — 1-го шага. Получаем окончательную форму деформированной оболочки.

При этом геометрически нелинейная задача сводится к п последовательному решению линейных задач для оболочки вращения, деформированная геометрия которой определена по результатам (п — 1) предшествовавших нагружений давлениями ДР*.

Особенность дельта-метода состоит в том, что благодаря применению линейных физических соотношений удается свести задачу на каждом отдельном шаге к решению линейной системы с постоянными коэффициентами, совпадающей с линейной системой ненагруженного тела. Расчет заканчивается, когда нагрузка или деформация достигают заданной конечной величины.

5. Приложение. Поставленная задача может моделировать поведение корнеоскле-ральной оболочки глаза [8], находящейся под действием большого внутриглазного давления. Склеральная оболочка составляет 90% всей фиброзной оболочки глаза человека, поэтому в задачах, связанных с изменением объема глазного яблока под действием внутреннего давления, биомеханические свойства склеры играют решающую роль. Глаз моделируется сферической оболочкой радиуса Я =12 мм и толщиной к = 0.5 мм. Среднее значение тангенциального модуля упругости, принимая экспериментальные результаты [8], полагаем Е1 = 14, 3 МПа.

Рассмотрим случай, когда в сферической системе координат модуль упругости, действующий в направлении линии широты в 4 раза меньше модуля упругости действующего в направлении линии долготы. Безразмерные параметры материала в этом случае примут следующие значения: Е1 = 1, Е2 = 0.25, Е3 = 0.005, С13 = 0.07, к =

0.041, /21 = /31 = /32 = 0.4, /23 = 0.004, /12 = 0.1, /13 = 0.002.

Во втором случае считаем, что модуль упругости, действующий в направлении линии долготы в 4 раза меньше модуля упругости, действующего в направлении линии широты: Е1 = 1, Е2 = 4, Е3 = 0.02, С13 = 0.07, к = 0.041, /12 = /31 = /32 = 0.4, /13 = 0.008, /21 = 0.1, /23 = 0.002.

Внутреннее давление взято существенным q3=0.000035 (250 мм. рт. ст.), так для первого случая малое давление qm3=q3/10 не вызывают особенностей в окрестности точки полюса (рис. 4,5а).

Рис. 4- Прогиб в окрестности точки полюса.

Из общей картины деформации (рис. 5) видно, что под действием внутреннего давления в первом случае сферическая оболочка начинает стремиться принять форму сплюснутого эллипсоида, а во втором — вытянутого. Для первого случая, из-за особенностей в точке полюса, линейная теория дает некорректное решение. Следует отметить, что форма деформированной оболочки, полученная с использование дельта-метода, во втором случае также незначительно отличается от результатов, полученных согласно линейной теории.

Штриховая линия — расчет с использованием линейной теории. Сплошная линия — расчет с использованием дельта-метода.

6. Выводы. При малых деформациях линейная теория дает удовлетворительные результаты. Если рассматривалась сфера, то вектор смещения каждой точки при увеличении давления определяется сферической геометрией. Под действием внутреннего давления оболочка начинает менять свою форму, приближаясь к эллипсоиду. Но при

Рис. 5 а,Ь. Общая картина деформации.

больших давлениях возникает проблема, связанная с тем, что последующие деформации будут предопределены новой — эллиптической формой. В дельта-методе на каждом из этапов учитывается, что оболочка поменяла свою форму, и, следовательно, изменился вектор смещения точек поверхности.

Литература

1. Морщинина А. А. К вопросу о математическом моделировании глаукомы // Компьютерные методы в механике сплошной среды: Сб. трудов. Изд-во СПбГУ, 2009. С. 76-97.

2. Иомдина Е. Н. Механические свойства глаза человека // Современные проблемы биомеханики. Вып. 11. Изд-во ММГУ, 2006. С. 183-201.

3. Саулгозис Ю. Ж. Особенности деформирования склеры // Механика композитных материалов. №3. С. 505-514.

4. Лавендел Э. Э. Расчет резино-технических изделий. М.: Машиностроение, 1997. С. 146154.

5. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. Изд-во СПбГУ, 1996. С. 40-80.

6. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1975. С. 29-31.

7. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Изд-во Физ-Мат. лит., 1959. С. 1424.

8. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии // Компьютерные методы в механике сплошной среды. Изд-во СПбГУ, 2000. 92 с.

Статья поступила в редакцию 15 июня 2010 г.