Неклассические теории анизотропных оболочек в задачах о деформации трансверсально-изотропных сферических и цилиндрических слоев под действием нормального давления∗ Текст научной статьи по специальности «Физика»

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК В ЗАДАЧАХ О ДЕФОРМАЦИИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СЛОЕВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ*

С. М. Бауэр1, Е. Б. Воронкова2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, s_bauer@mail.ru

2. Королевский технический университет. Стокгольм (Швеция), канд. физ.-мат. наук, науч. сотр., voronkova@mech.kth.se

1. Введение. Задачи о деформации сферической и цилиндрической трансвер-сально-изотропных оболочек, находящихся под действием нормального давления, решаются с использованием методов трехмерной теории упругости [1], уточненной итерационной теории анизотропных оболочек Родионовой—Титаева—Черныха [2] и теории анизотропных оболочек средней толщины Палия—Спиро [3]. Проводится сравнение полученных результатов. Данные задачи могут описывать изменение напряженно-деформированного состояния фиброзной оболочки глаза при введении внут-рисклеральных инъекций или напряженно-деформированное состояние кровеносных сосудов. Сравнение решения, полученного в рамках трехмерной теории упругости, с решениями на основе теорий анизотропных оболочек позволяет оценить, насколько точно теории анизотропных оболочек позволяют описать решение задачи, и применимы ли они, например, для оболочек эллипсоидальной формы. Известно, что классическая теория оболочек приводит в исходных уравнениях к погрешности порядка Н/К по сравнению с единицей [4], биологические оболочки иногда обладают достаточно большим отношением толщины к радиусу и, кроме того, часто обладают большой податливостью на межслоевой сдвиг, поэтому исследование напряженно-деформированного состояния таких оболочек требует введения более строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгофа—Лява.

2. Деформация сферического и цилиндрического слоев. Получим определяющие соотношения для напряжений и перемещений, возникающих в сферической и цилиндрической трансверсально-изотропных оболочках, находящихся под действием внутреннего и внешнего давлений, в рамках трехмерной теории упругости. Для изотропной сферы решение этой задачи описано, например, в [1]. Для трансверсально-изотропного слоя, моделирующего склеру, решение задачи представлено в [5].

Как ив [1], из соображений симметрии положим, что все искомые величины зависят только от координаты р, направленной по толщине сферического или цилиндрического слоя, и для напряжений справедливы равенства

°33 = °33 (р)> °и(р)= °22(р)> ст12 = ^13 = ^23 = °>

С С { \ С С С п

а33 = а33 (р) а12 = а13 = а23 = °*

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №09-01-00140a, №10-01-00244a).

© С.М.Бауэр, Е.Б.Воронкова, 2011

Здесь и далее индекс в относится к выражениям для сферы, с — к соотношениями для цилиндра. Для сферы и цилиндра введены сферическая (р, у>, в) и цилиндрическая (р, в, г) системы координат соответственно. Для сферического слоя направление 1 соответствует меридиональной координате у>, направление 2 — координате в, направление 3 — по толщине оболочки р. Для цилиндра за направление 1 принято направление вдоль образующей г, 2 — окружное направление в, направление р, как и в случае сферы, обозначено 3.

Уравнения равновесия для сферы сводятся к одному уравнению

—^ + -(2<Тзз - <76п - СГ22) = о. (2.1)

ар р

Для цилиндра также имеем одно уравнение

+ ~(а33 — а22) = 0- (2-2)

ар р

Граничные условия для каждой из задач будут иметь вид

°рр = ^33 = -Рг при р = Ег, I =1, 2, (2.3)

где Е1 —внутренний, а Е2 (Е2 > Е1) внешний радиусы сферы или цилиндра.

Компоненты тензора деформаций в сферической системе координат связаны с перемещениями точек сферической оболочки соотношениями

1

_ 3 _ % 3 _ Г^и3 Я _ я _ я _ (Л

~11 — е22 — ? б33 — 7 7 б12 — б13 — б23 — и

р ар

х2 = и3 = °> и3 = и3(р).

в предположении, что

= и3 = О и3 = и3(

Если перемещения произвольной точки цилиндра в окружном направлении и вдоль образующей положить равными нулю, то линейная часть тензора деформации в цилиндрической системе координат примет вид

е — — е — б — б — б — 0

е22 — 1 е33 — 7 1 е12 е23 — е13 — ир ар

Предположим, что поверхность ^ — в является для сферы поверхностью изотропии. Тогда справедлив закон упругости

ст11 = Е11 £11 + Е12£22 + Е13 ^3; а13 = ^13 £*3;

а22 = Е12 £11 + Е11£22 + Е13 ^3; а23 = ^13 е23, (2.4)

а33 = Е13 £11 + Е13£22 + Е33 ^33; а12 = ^12 £12 >

где

Е1 (Е3 — Е^,2) Е1 (Е3^ + Е^2)

-^и — —ч / 7—» /-ч—Ь\2

(1 + V) (Е3(1 — V) — 2Е^2)7 (1 + V) (Е3(1 — V) — 2Е^2)'

_ ЕхЕъу' _ Е$( 1-г/)

13 7—т / -I \ Г» 7~1 /О 5 -^33

Е3(1 — V) — 2Е^2 ’ Е3(1 — V) — 2Е^2 ’

к'|<(ЗД)1/2, и < I — 2г/2^,

Е3

в который входят пять коэффициентов [2]: Ei и E3 — соответственно модули Юнга при растяжении—сжатии в поверхности изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней; v и v' — коэффициенты Пуассона; G' — модуль сдвига для любой плоскости, перпендикулярной к поверхности изотропии; модуль сдвига для поверхности изотропии G12 определяется соотношением G12 = Ei/2(1 + v).

Уравнение равновесия (2.1) совместно с законом упругости (2.4), граничными условиями (2.3) и с учетом связи компонент тензора деформации и перемещений позволяет получить определяющие соотношения для нормального прогиба сферы м|:

Ks K s 1

s( \ K1 m 1 K2 1 (c\ r\

U^P) = — P (2-5)

^ P1RT+2 - P2R?+2 t„ R?+2K+2 (piK-1 ~ P2R?-1)

ill = , 1---_ , 1 , Ao —

к'1 ^2т+1 _ ^>2т+1 7 2 ^2т+1 _ ^>2т+1

71 = 2Е13 + тЕзз, 72 = (т + 1)£зз - 2#13,

1 а/1 + Ац* „Ец + Ей — Е\з Е\1—у'

то =-------1----------, и = 2---------—---------= 2—----------.

2 2 Езз Ез 1 — ^

С учетом (2.5) выражения для напряжений, возникающих в сфере, будут иметь

вид

-т-в в Тугв ^ 1 т—1 , ™ ^2 в ту~в т—1 ^2 /г> /?\

11 = 22 = ^1 2 Р +у^Т2’ °зз = К1Р -^г+2- (2-6)

Материал цилиндра также предполагается транверсально-изотропным, и поверхность в — г является поверхностью изотропии. Принимая во внимание, что ец = 0, закон упругости для цилиндра запишем в виде

ст11 = £12е22 + E13е3з, а22 = Е11е22 + Е13е3з, а33 = £13е22 + Е33е3з- (2.7)

Подставляя эти соотношения в уравнение равновесия (2.2), с учетом граничных условий для перемещения м3 получаем

К 2 К 2 1

«§ = — Рп + — —, (2.8)

П1 П2 Рп

Р^-Р^1 1Ц+1Щ+1(р1Щ-1-р2Щ-1)

1 р 2п р2п ’ 2 С>2п р2п ’

Л2 ■^1 -^2 ■^1

Е11

п2 = , 771 = £13 + пЕзз, 772 = п£33 - £13.

£зз

Для напряжений можно получить следующие выражения:

К с п К с

°зз = К'{рп^1 — о%2=пК\1рп-1 + -^[, аси=Е12ес22 + у*а^ (2.9)

где V* = £1^//£з(1 — V).

Введем безразмерную координату £:

где Н = Д2 — Д1 —толщина, а Д = (Д1 + Д2 )/2 радиус срединной поверхности слоя (сферического или цилиндрического).

Тогда для прогиба (2.5) и напряжений (2.6) срединной поверхности тонкого сферического слоя, т. е. слоя с малой относительной толщиной а = Н/Д, справедливы следующие соотношения:

у30

'10

Р1 + Р2 " 2

_ Р\ ~Р2 2а

р1-р21-у а 2Е\

1а

Р1 ~Р2 Р\ +Р2

а

Т

£1 1 — и' £3 1 — у

1

+ 0(а3),

1а

Р1 + Р2 а2 / £1 1 — V/

Р1 — р2 4 \3£з 1 — V

1

+ 0(а2),

(2.10)

' Р1+Р2,-. 2(1 V*

1 — а------- 1 — V — а-------------

. Р1-Р2 V4 12^

11

----------г/

12

+ 0(а2).

Здесь

а3о = а33(0), а10 = а11(0) = а22(0),

«3(0)

£1 V/

хзо

Д £з 1 — V

Для тонкого цилиндра по соотношениям (2.8), (2.9) можно получить

Р1 + Р2

'30

10

2

(Р1 — Р2) V

3 (р1 — Р2) а2 /£ц 1 — а----------------- --------— —---------1

4 (р1 + Р2) 8 \£зз

+ 0(а3),

1 — а

Р1 + Р2

+а

2(Р1 — Р2) ^-^11 + ?-* +

1 - V* + — +

V

2,3!/* 1 ^ , 9 ^ , £ц \

2 £33 /

2

20

х30

Р1 ~Р2

а

Р1 — Р2

1а

12 2

Р1 + Р2

2(Р1 — Р2) 24 \£зз

+ 0(а2),

+ 0(а2),

(2.11)

а£

0

_ ар! +р2

9

?П-В11"'')_Ё 11 + Г' + й&)

+ 0(а2),

где

^30 = 03з(0) 0-10 = 011(0) 020 = 022(0)

-с _ «§(0)

м30 —

Д

£0 =

£1

2

Отметим, что первые члены в разложении для прогиба и тангенциальных напряжений в (2.10), (2.11) соответствуют прогибу и напряжениям в срединной поверхности, полученным по классической теории оболочек (нормальные напряжения по предположению классической теории отсутствуют).

3. Деформация трансверсально-изотропной сферической оболочки

по теории Палия—Спиро. Теория оболочек средней толщины, изложенная в [3],

основана на следующих гипотезах, первая из которых соответствует теории Ти-

мошенко—Рейснера:

• прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверх-

ности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными;

• косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхности деформированной

оболочки равен осредненному углу поперечного сдвига.

1

1

1

3

=1=

с

*

с

с

с

Для сферической анизотропной оболочки радиуса Д и толщины Н, находящейся под действием нормальной нагрузки (2.3), эти гипотезы позволяют принять для нормального перемещения

—Н

н

где т — перемещение срединной поверхности, £(£) —искомая функция, такая что £ (0) = 0.

Для трансверсально-изотропной сферической оболочки (2.4) усилия и деформации срединной поверхности связаны соотношениями [3]

уРБ _ уРБ _

ЕіЬ,

1-і/2

(єі + г/є2) - г/*^ (Р2 +рі), Єі=Є2 = ^-

2

Следуя [3], для нормального напряжения <733 и искомой функции £ (£) имеем

трз

733

д / V н

« трб

33

Е *

£

2Д

где

Р1{1~^к) +Р2(1 + 4

Тангенциальные напряжения 731°, 732° могут быть получены из закона упругости

РБ РБ 7ц _ 7.

Еі

і * РБ / ч

11 — "22 — Ї--------------£11 + ^ °33

1 — V

где деформация произвольного волокна оболочки єц определяется соотношением [4]

РБ _____ РБ ______

є11 _ є22 _ Є1

Перемещение т срединной поверхности сферы определяется из уравнения равновесия элемента сферической оболочки с учетом (3.1):

Д

~2

ТГ = тр = 2 (Р1 -и-| (,„+»))•

(3.2)

Окончательно для перемещения и напряжений на срединной поверхности сферы получаем

РБ(8) Р1 + Р2 Л Р1 - Р2 , а2\

7чп =------------------1 — Об----------------1-----,

2 V Р1+Р2 4 У

РБ(8) Р1 - Р2 Л Р1 + Р2 2 *

7 ю = —-------------- | 1 — а---------------\- а V

-РЭ^)

-30

2а

_ и>/Д _

Р1 - Р2

(3.3)

1 - ур\ -Р2 2 Е а

1 - а (1 - V*)

Р1 +Р2 Р\ ~Р2

3

0

2

Для цилиндрической оболочки теория Палия—Спиро позволяет найти следующие соотношения для напряжений и нормального прогиба срединной поверхности:

РЭСо)

730

Р1 +Р2 2

РЭ(с) _ (Р1 ~Р2)

10

20

-РЭ(с)

х30

2

Р1 — Р2 «2

1 — а----------------1——

Р1 + Р2 4

1 - -

ар1 + Р2

а

2

РЭ(с) _ у{Р1 ~Р2)

2 Р1 — Р2 2

1 - 77 1 - V* + —

+ ТТ*'---------

Р1 + Р2

+

а2 V*

= мр2/Д =

1 - V2 р\ -Р2 2Е\ а

Р1 — р2 2 V

а П ^Р1+Р2'

1-----(1 — 1/ --------

2 Р1-Р2

а3 V*

8 V

(3.4)

3

а

4. Деформация сферы или цилиндра по теории Родионовой—Титаева— Черныха. Согласно гипотезам уточненной итерационной теории [2] нормальная составляющая вектора перемещения распределена по толщине оболочки по закону полинома второй степени, а нормальное напряжение — по закону кубической параболы:

ятс

733

ятс

733 Р>(0 + 733 А (О + 733 Р2(С) + 733 Рз(С),

(1)

(2)

(2)

т*Р0 (£) + 7з*Р1(£) + в* Р2(е),

где Р* — полиномы Лежандра,

(4.1)

2£ 6£2 1

Ро(0 = ь = Р2^ = ^“2’ Рз(е)

20£3

к3

з£

/I

Следуя [2], выпишем соотношения, связывающие компоненты перемещений и деформаций, и выражения для усилий, возникающих при деформации сферической оболочки:

~Е’

^.ятс

тЯТС т 2

7з

* 7з л*

~Н ’

Ж 1 -г/

Т0 *Н / * * \

^_г/ 2

= - г/* - (х* + >4),

ЬЕ* 6 ^ 1 2 у ’

(е* + + V *10

(4.2)

где

Чз=Р1~Р2, тз = --(р2 +р\), М0 Уравнение равновесия элемента сферы имеет вид

ь2 „ т ,

—<й, 1о = т3,

уКТС = Т2КТС

Д

2®.

(4.3)

Напряжения 7^1ГС, 7^2ТС, как и раньше, можно найти из закона упругости с учетом принятых в рассматриваемой теории выражений для нормального напряжения

£

£

К

и деформаций

кгс То , 6М0 , т3 -Т0

33 = ТРо(е) + 1^Р1(е) + ^Г“

еиГС = + "д Р1^ + Д^2^’ £ззГС = Л^Ро(г) + ^з РЛХ)-

Р2(е)+(|“^)Рз(е)’ (4'4)

Тогда на срединной поверхности получаем

ИТС(в)

730

Р1 +Р2 2

3а р1 — р2 3а2

1 —--------------------Н----------

2 Р1 + Р2 8

(4.5)

11ТС(8) Р1-Р2 , Р1+Р2 0,

710 =^7------ 1-а-----------+ — 3 + 6г/ -2(

2а \ Р1 — Р2 12 \

— 2^*)2 —

6£1

5(1 — v)£*

-ИТС^) ЯТС

х30

=мз ТС(0)/Д =

1-УР1-Р2 2 Е а

+ у^ ( 3 — 12г/ * —2(г/*) —

1 — а (1 — V *)

6£1

Р1 +Р2 £>1 -Р2

+

5(1 — v)£*

Для цилиндрической оболочки по уточненной теории Родионовой—Титаева— Черныха получим

ЯТС(с)

730

ЯТС(с)

10

ЯТС(с)

20

_ЯТС(с)

х30

Р1+Р2_ 2

(Р1 — Р2 ) V

1

Зар! -р2 8 +р2

_ ар 1 +р2

(4.6)

+а

2а

1 —V2 Р1 —Р2

2 Р1 — Р2 ^11 20ЕЗЗ

1 - V* + — V

+

V

т

*2

2а

2 /ЗИ V 8г/

(Р1 — Р2) Л ар1 + Р2 2 А £11 V*

■ 1 — —------------а ———--------------

11 г/ 120

+ а . ..

11V

*2

2 Р1 — Р2

20£33 8

2£1

,л *ЛР1+Р2 2 ( Ей

1 — а (1 — V )-------а

120

/*

V

+ а

1^ *2

3

Р1 — Р2

V 20£зз 4 120

+ аз .. .

Многоточие означает, что данная теория при разложении по а дает члены и более высокого порядка, которые здесь из-за громоздкости не приводятся.

5. Выводы. Сравнение формул (2.10), (3.3), (4.5) для сферы и (2.11), (3.4), (4.6) для цилиндра показывает, что обе теории оболочек позволяют построить для прогиба первые два члена асимптотического разложения точного решения при малых значениях Н/Д. В соотношениях (4.5), (4.6) третьи члены асимптотического разложения для прогиба оболочки не совпадают с третьими членами в разложениях (2.10), (2.11), однако немного уточняет его величину. Первые два члена соотношений, описывающих нормальные (также и тангенциальные) напряжения в сферической оболочке, полученные по теории Палия—Спиро, также совпадают с точным решением. Результаты для нормальных напряжений по теории Родионовой—Титаева—Черныха отличаются от точного решения уже во втором члене. Таким образом, в данной задаче для оценки напряжений более точные результаты получаются по теории Палия—Спиро. Отметим также, что разрешающие соотношения в теории Палия—Спиро проще аналогичных соотношений, полученных по теории Родионовой—Титаева—Черныха.

2

=1=

1. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 492 с.

2. Родионова В. А., Титаев В. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПбГУ, 1996. 280 с.

3. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. 1977, 386 с.

4. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., 1962. 432 с.

5. Бауэр С. М., Замураев Л. А., Котляр К. Е. Модель трансверсально-изотропного фе-рического слоя для расчета изменения внутриглазного давления при интрасклеральных инъекциях // Российский журнал биомеханики. 2006, №2. С. 43-49.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.

ХРОНИКА

25 ноября 2009 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили канд. физ.-мат. наук, доц. И. Е. Лопатухина (СПбГУ) и Н. Н. Поляхов (СПбГТУ) с докладом на тему «О жизни и научной деятельности С. А. Чаплыгина (к 140-летию со дня рождения)».

Краткое содержание доклада:

С. А. Чаплыгин (1869-1942) окончил с дипломом первой степени в 1890 г. физикоматематический факультет Московского университета по специальности прикладная математика. Первые труды С. А. Чаплыгина относятся к области гидромеханики, в том числе и магистерская диссертация «О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости» (1897). Последующие научные труды посвящены исследованию двух классических задач теоретической механики: задаче о движении тела при наличии неинтегрируемых связей и задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В 1902 г. Чаплыгин представляет в Московский университет докторскую диссертацию «О газовых струях». А затем вопросы аэродинамики стали центром его научной деятельности— «Теория решетчатого крыла» (1914). В конце 1918 года С. А. Чаплыгин привлекается Н. Е. Жуковским к организации крупнейшего в мире Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ). В 1921-1930 гг. С. А. Чаплыгин— председатель коллегии, а в 1928-1931 — директор ЦАГИ. В последующие годы руководил созданием крупнейших аэрогидродинамических лабораторий ЦАГИ (1931-1941). После эвакуации ЦАГИ в Казань, а затем в Новосибирск возглавил строительство аэродинамической лаборатории.