Влияние сдвига на устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

2004_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 4

МЕХАНИКА

УДК 531

И. В. Викторов, П. Е. Товстик

ВЛИЯНИЕ СДВИГА НА УСТОЙЧИВОСТЬ ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ*

Рассматривается устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии в предположении, что жесткость материала в поперечном направлении существенно меньше жесткости в касательной плоскости. При этом предположении оценивается влияние сдвига поперечных волокон. В качестве примеров рассмотрены транс-версально изотропная оболочка и оболочка, армированная системой малорастяжимых нитей.

1. Введение. Двухмерная теория оболочек типа Тимошенко [1] является уточнением классической теории Кирхгофа—Лява, основанной на гипотезе прямой нормали. В простейшем варианте считается, что прямолинейное волокно, перпендикулярное срединной поверхности до деформации, остается прямолинейным, однако не совпадающим с нормалью к деформированной срединной поверхности. Вводятся углы сдвига ¿1 и 52 и принимается, что перерезывающие усилия ( и ( пропорциональны этим углам:

(^з = кОН51, з = 1, 2, (1.1)

где О — модуль сдвига, Н — толщина оболочки, к — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине и обычно принимаемый равным к = 5/6 (см. также [2]). Система уравнений этой теории имеет 10-й порядок в отличие от классической теории 8-го порядка. Предложены [3, 4] более сложные двухмерные теории оболочек, учитывающие сдвиг. Система уравнений в работе [4] имеет 14-й порядок. Ниже исследуется простейший вариант теории.

Теория Тимошенко имеет следующие преимущества по сравнению с теорией Кирхгофа. Во-первых, в этой теории более естественной оказывается формулировка граничных условий, когда каждому из 5 обобщенных перемещений нормального волокна (три поступательных перемещения и два угла поворота) отвечает обобщенное усилие. Во-вторых, в динамике теория Тимошенко приводит к гиперболической системе уравнений, что делает ее более удобной в задачах о распространении упругих волн [5].

* Статья написана при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00257). © И. В. Викторов, П. Е. Товстик, 2004

Вместе с тем для большинства статических задач для тонких оболочек, изготовленных из изотропного однородного материала, уточнение, которое дает теория Тимошенко, незначительно, а сама теория становится противоречивой. Дело в том, что часть решений соответствующей системы уравнений имеет показатель изменяемости (см. [6]), равный единице. Этим решениям соответствует длина волны рисунка деформации срединной поверхности, имеющая порядок толщины оболочки, что делает сомнительным использование двухмерной теории. В то же время для ортотропной оболочки, у которой модули сдвига в поперечном направлении существенно меньше упругих модулей в касательной плоскости, использование теории Тимошенко не только оправдано, но и заметно уточняет классическую теорию Кирхгофа—Лява.

Ниже по модели Тимошенко рассмотрены два примера ортотропных оболочек: многослойная оболочка, состоящая из чередующихся жестких и мягких изотропных слоев, и оболочка, армированная малорастяжимыми нитями. Исследуется устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии.

2. Уравнения двухмерной теории круговых цилиндрических оболочек. В

безразмерных переменных уравнения равновесия и геометрические соотношения имеют вид

дТ1 дБ дТ2 дБ

-7Г + 7Г+11 = + + + 91

да д< д< да + —--Ь Т2 + Чп = о,

0,

да дМ1

д< дН

(2.1)

я + --Н <?1 = 0,

да д<

дМ2 дН

+ ——Ь <?2 = 0;

д<

да

дп1

дпо

£1= да ' £2 = ~я-- д<

д' д'

71 = 72 = - а--и 2 д<

071 <972

К1 = ¿>5 ' К2 = д<

дп2 дп\ да д<

(2.2)

д71 дп2 д< да

Здесь а, < — координаты на срединной поверхности, и1, и,2, ш — проекции перемещения, £1, е2, ш — тангенциальные деформации, 71, 72 —углы поворота нормали к срединной поверхности, К1, К2, т — изменения ее кривизны и кручение, Т1, Т2, Б — тангенциальные усилия, Ql, Q2 —перерезывающие усилия, М1, М2, Н — изгибающие и крутящий моменты, Ц1, ц_2, Чп — проекции интенсивности внешней нагрузки, отнесенные к единице площади срединной поверхности. При переходе к безразмерным координатам длина образующей а, а также проекции перемещения отнесены к радиусу К оболочки, усилия отнесены к ЕН, а моменты — к ЕНК, где Е — модуль Юнга (в продольном направлении в случае ортотропной оболочки).

Для исследования устойчивости оболочки при продольном сжатии усилием Т0 в уравнениях (2.1) следует считать

Ч1 = Ч2 = 0, Чп = Т0К1.

(2.3)

Соотношения (2.1) - (2.3) справедливы как для изотропных, так и для анизотропных оболочек. Различие проявляется лишь в обсуждаемых ниже соотношениях упругости.

3. Соотношения упругости. Для ортотропного трехмерного упругого тела в декартовой системе координат х1,х2,хз связь деформаций Ец и напряжений ац дается формулами

Е\ец = ац — Уц ацц — Vikакк, Сц Ец = ац , I = ] = к, (3.1)

причем Е^и^ = Ецщц. Для тонких оболочек в силу предположения азз = 0 формулы (3.1) дают

Е1 (Е11 + ^21Е22) Е2 (Е22 + ^Ец)

«"И - -:-, °22 — -:-, (Гц — (¿-Л)

1 — ^12^21 1 — ^12^21

Для модели оболочек Кирхгофа—Лява, изготовленных из однородного ортотропного материала, усилия и моменты равны

Е11г{е1 + У21£2) „ Е2Це2 + ^£1) „ „ ,

-1-1 = -:-, -1-2 = -:-, Ь = С12ГШ,

1 — У12У21 1 — ^12^21 (3 з)

Е1^3(«1 + У21К2) Е2^3(«2 + ^12 К1) СпН3 т

М1= ЮП-Г"' М2= юп-Г"' Н =-«-•

12(1 — ^12 ^21) 12(1 — ^12^21) 6

При написании определяющих соотношений для модели оболочки типа Тимошенко вводятся независимые от перемещений срединной поверхности углы 61 и 62 поворота нормального до деформации волокна. Формулы для тангенциальных усилий и моментов имеют тот же вид (3.3), что и для оболочки Кирхгофа—Лява, однако здесь вместо изменения кривизны и кручения срединной поверхности К1, К2, т, вычисляемых по формулам (2.2), берем величины

д61 дв2 г , дв2 дв1 , ,

Перерезывающие усилия и ^2 в модели Тимошенко определяются по формулам

5

€¿1 = 5г = вг-^г, ¿=1,2, к = -, (3.5)

6

где ¿1 и ¿2 —углы сдвига, к —коэффициент, учитывающий неравномерность распределения напряжений сдвига по толщине оболочки.

Для трансверсально изотропной оболочки, у которой плоскость Х1,Х2 является плоскостью изотропии упругих свойств материала, упругие постоянные равны

Е

Е1=Е2 = Е, V12 = г/21 = V, С?12 = 2(1 ¿у)' = ^23' (3-6)

и формулы (3.3) совпадают с формулами для изотропной оболочки, несмотря на то, что упругие свойства материала в направлении нормали отличны от его свойств в касательной плоскости.

4. Устойчивость трансверсально изотропной оболочки. После введения вспомогательных функций Ф(в, у), Ф(в, у) и ©(в, у) по формулам

дЧ дЧ д2ф

ду2 дв2 ' двду' , ,

дФ д© дФ д©

~~ --^ "я-' 02 ~~ ---я-

дв ду ду дв

система уравнений (2.1) распадается на систему восьмого порядка относительно функций и>, Ф и Ф и уравнение второго порядка относительно функции ©:

д2Ф г)2т г)2т

3(Ди,-ДФ) + _+Т1°—= 0, ДДф+_=0, «?(«,-*)+А,4Д* = 0, (4.2)

= (4.3)

где

д д2 д2 кС13 4 к2

ds2 дф21 J E ' ^ 12(1 - ^2)R2'

Из системы (4.2) находим критическую нагрузку T0 < 0, а уравнение (4.3) дает локализованные в окрестности краев решения и используется для удовлетворения граничных условий. При решении системы (4.2) для оболочки средней длины L используем локальный подход, предложенный в работе [7] (см. также [8]), при котором прогиб ищем в виде

w = wo sinps cos тф, (4.4)

а граничные условия игнорируются. Впрочем, для шарнирно опертых краев

Ti = V = w = Mi = é>2 = 0 при s = 0, s = i, P=-7-, (4.5)

R i

при целых m и n функция (4.4) дает точное решение задачи (4.2), (4.5). Система уравнений (4.2) после подстановки решения (4.4) дает

-Т? = f(p m) =_^_+_мУ+m2)2__(4 6)

1 JKP' ' (p2 + m2)2 ^ p2{l + {^/g){p2+m2))' У '

Минимизация функции ] (р, т) по волновым числам р и т показывает, что минимум достигается при т = 0, и для критической нагрузки приводит к формуле

ЕН2 ^ ^ [ 2 -Л, Л < 1, ^ ^

~ = И у/12(1 — г/2) ^ = Х>1, ^

где

_ ¡л2 _ Ек

д М?13Д^12(1 -V2)

Функция у>(Л) учитывает эффект снижения нагрузки, связанный с учетом сдвига. При Л = 0 имеем у>(0) = 2, что соответствует классической формуле Лоренца—Тимошенко (см [8]). С учетом сдвига форма потери устойчивости осесимметрична (т = 0), а без учета сдвига критической нагрузке соответствует множество форм потери устойчивости.

5. Многослойная оболочка. Рассматривается многослойная оболочка с чередующимися мягкими и жесткими изотропными слоями. Пусть Н2, ] = 1,..., п— толщины слоев, Е^, —их упругие постоянные. При расчете многослойной оболочки используются различные подходы (см. [4,9]). Здесь рассматривается простейший подход, использующий гипотезу прямой нормали со сдвигом. В результате многослойная оболочка сводится к эквивалентной однородной трансверсально изотропной оболочке. Положим

к-Г Г**- К" = Г г^- " = (М.

1-Н/2 1 - V2 1-1/2 1 - V2 1-1/2 1 - V2 2

причем при интегрировании считаем, что Е и V — кусочно постоянные функции г. Теперь можно ввести эквивалентные модуль Юнга Ео и коэффициент Пуассона vo:

= 7Г' = —Л—• (5-2)

Эквивалентный модуль поперечного сдвига находим из соотношения [9]

^ Х-7Г- ^ = (5'3)

Теперь по аналогии с формулой (4.7) находим критическое значение нагрузки

где, как и в формуле (4.7), параметр Л учитывает влияние сдвига, а функция <^(Л) та же, что и в (4.7).

6. Тестовый пример. Для оценки погрешности используемого выше приближенного подхода рассмотрим бесконечную многослойную пластину с нечетным числом п = 2п\ + 1 изотропных слоев. Более жесткие п\ + 1 слоев имеют упругие модули Е\, VI, а остальные слои — модули Е2, V2. Пластина находится под действием двояко периодической поверхностной нагрузки ц = до вт(г!х) вш(г2у). По двухмерным моделям прогиб имеет тот же вид ш = шо вт(г!х) вш(г2у), где шо = 'к для модели Кирхгофа и шо = шт для модели Тимошенко,

яо до(1 + лр Р(г\+г1)

%ЮК~ 0{т\+т1Г Т~£(г?+т22)2' Л1- кС13к ■ (61)

Здесь величины Б и 0\з вычисляются по формулам (5.1) и (5.3). В трехмерной постановке ищем решение в виде

ш(х, у, г) = ш(г) вш(г1х) вт(г2у). (6-2)

Аналогичный вид имеют и другие неизвестные функции. После разделения переменных приходим к одномерной задаче относительно функций, зависящих от г. В таблице 1 результаты сравнения приближенных

Таблица 1

п = 3 п = 21

гН ПК Г]Т А1 Пк Г]т А1

0.01 1.000 1.000 0.000 1.000 1.000 0.000

0.02 1.000 1.000 0.001 1.000 1.000 0.000

0.05 0.997 1.000 0.003 0.999 1.000 0.002

0.10 0.988 1.001 0.013 0.994 1.001 0.006

0.20 0.953 1.004 0.053 0.978 1.003 0.025

0.50 0.767 1.019 0.329 0.878 1.016 0.158

1.00 0.457 1.058 1.317 0.645 1.051 0.631

2.00 0.195 1.221 5.270 0.320 1.128 2.523

5.00 0.150 5.093 32.935 0.088 1.479 15.770

решений (6.1) и точного решения для ряда значений параметров задачи представлены в виде отношений г/к = л к/л? и г/т = лт/ш? где л? —амплитуда прогиба срединной плоскости, найденная по трехмерной постановке. Заметим, что как приближенные формулы (6.1), так и величина и>з не зависят от волновых чисел г 1 и Г2 по отдельности, а зависят от величины г = \]г\ + В таблице приведены значения кг = 2ттк/Ь, где Ь —длина волны деформации, а также значения параметра Л (см. формулу (6.1)), учитывающего влияние сдвига. Было принято Е1/Е2 = 10, = 0.3, ^ = 0.45, к\/к^ = 0.1. Рассмотрены трехслойная (п = 3) и многослойная (п = 21) оболочки. Видим, что модель Тимошенко дает удовлетворительные результаты для более широкого диапазона длин волн, чем модель Кирхгофа. Для многослойной оболочки погрешность меньше, чем для трехслойной. Для коротких длин волн гк > 5 рассматриваемые двухмерные модели неприменимы, ибо деформации локализуются в окрестности нагруженной поверхности оболочки.

7. Устойчивость оболочки, армированной системой малорастяжимых нитей. Оболочки, армированные нитями, рассматриваются в работах [5,10,11]. Будем рассматривать цилиндрическую оболочку подкрепленную п системами нитей, наклоненными под углами £к к образующей. Предполагается, что нити распределены равномерно по толщине оболочки и симметрично по отношению к образующей. Напряжения в оболочке а^ представляют собой сумму напряжений в матрице и осредненных напряжений, связанных с растяжением/сжатием волокон. При осреднении жесткости нитей приходим к конструктивно ортотропной оболочке, причем одна из осей ортотропии совпадает с образующей. Запишем напряжения, полученные в работе [11]:

а 11

а 12

+ РкСЧ £11 + Р+ ^ Р^4 £22 ,

к=1 1 - V)

к=1

Fo + рк44) £12,

(7.1)

к=1

а22 =

Р0 + Рк е22 + Р0"0 + Рк4 4) £11,

к=1

к=1

где

Р0

Е0(1-р)

1 7/2 ' 1 - и0

Рк

рЕ'

-, ск=сов£к, зк=вт£к.

(7.2)

Здесь Е0 — модуль Юнга и ^0 — коэффициент Пуассона для матрицы, Е' — модуль Юнга нитей, коэффициент р < 1 определяет относительный объем оболочки, занятый нитями. Случай р = 0 соответствует неподкрепленной оболочке. При этом считаем, что нити различных систем имеют одинаковые упругие свойства и занимаемый относительный объем. Эффектом поперечного сжатия нитей пренебрегаем.

Интегрируя напряжения (7.1) по толщине оболочки, получаем выражения для усилий и моментов. Эти формулы имеют вид (3.3) при соответствующем выборе эквивалентных значений Е1, Е2, 012, ^12, ^21.

Далее будем рассматривать два частных случая: две системы нитей, наклоненных под углами £1 и —£1 к образующей, и три системы, наклоненных под углами £1, —£1 и п/2.

В первом случае

Е = Fq(Fq(1 - vi) + Fn{2c\ + 2sj - ±cjs\v0)) 1 F0 + 2Fns\

p Jb(fb(l - v2o) + Fn(2cf + 24 -

^ --F0 + 2Fn4-' ( }

_ F0v0 + 2Fnc2s2 _ F0v0 + 2Fnc21s21

1/12 ~ Fo + 2Fnsj ' 1/21 ~ F0 + 2Fnc\ '

Для трех систем нитей

^0(^0(1 - V0) + Fn

Ei

Fo(Fo(1 - v02) + Fn(1 + 2ci + 2sf - 4c2s2vo))

Fo + Fn(1 + 2si)

Ei^ = JQ^Ol,! ~ ^Qj i- JnU -Г -Г ~ ^l^uyy ^ ^

Fo(Fo(l - 4) + K(l + 2cj + 24 - 4ф^о)) fo + 2Fncf

_ Fqí/q + 2Fnc2s2 _ Fqvq + 2Fnc2s2

VU ~ F0 + Fn{l + 2s\y V2l~ F0 + 2Fnc\ '

Упругие модули сдвига Gj одинаковы в обоих случаях:

Gi2 = —г—-Fq + 2Fnc?ís\, G13 = G23 = —г—-ío-

При этом мы считаем, что при деформации сдвига на углы Si и So нити не работают. Случай трех систем нитей рассмотрен в связи с тем, что две системы нитей не обеспечивают (без учета жесткости матрицы) жесткость оболочки в касательной плоскости.

8. Случай осесимметричной потери устойчивости. Уравнения равновесия оболочки с учетом сдвига имеют тот же вид (2.1), (3.5). При переходе к безразмерному виду здесь, в отличие от п. 2, усилия отнесены к Eoh. Как показано в п. 4, трансверсаль-но изотропная оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме. По этой же форме в ряде случаев теряет устойчивость и подкрепленная нитями оболочка. Поэтому рассмотрим сначала этот случай, который приводит к простым расчетным формулам. Как и в п.4, решение ищем в виде

Mi = uio cosps, w = wo sinps, 9i = вю sinps. (8.1)

Система уравнений пп. 2, 3 с учетом сдвига после подстановки решения (8.1) дает (в размерных переменных)

_Т0 _ ff Elh. I Ejhp2^4 4 _ h2

p* +1 + ElP2(^/G13y M - l2R2(l-v12v21y

где f — малый параметр.

Минимум для критической нагрузки достигается при

Р = i (y/Ei/E2 (l - aí2 v^^/Gia)) ^ (8.3)

и приводит к формуле, аналогичной формуле (4.6) при q = 0

-Ti = 2h^/E1E2ß2 - E^h^/Gvi). (8.4)

Без учета сдвига последнее слагаемое в формуле (8.4) опускается.

В приводимых ниже численных результатах критическая нагрузка T-j0 представлена в виде

-T0 = Eo h\, (8.5)

и исследуется зависимость Л от параметров задачи. Везде в расчетах было принято R/h = 50, En/Eo = 100, vo = 0.3.

Рис. 1. Зависимость р) для двух (слева) и для трех (справа) нитей.

На рис. 1 показана зависимость Х(£,р) параметра нагрузки от угла наклона нитей к образующей £ и от относительного объема, занятого нитями. В случае двух систем нитей параметр Х минимален при угле наклона, близком к п/4, а для трех—минимум смещается в сторону больших углов.

Рис. 2. Сравнение моделей Кирхгофа—Лява и Тимошенко.

Расчеты показали, что в отличие от многослойной оболочки (см. п. 6) здесь учет влияния сдвига дает небольшую поправку в сторону уменьшения критической нагрузки. На рис. 2 представлены значения Х в зависимости от относительного объема, занимаемого нитями, при £ = п/6. На левой части две системы нитей, а на правой — три. Пунктиром показаны результаты, полученные без учета сдвига.

9. Циклически симметричная потеря устойчивости. Здесь при потере устойчивости перемещения и углы поворота ищем в виде

ui(s, у) = uio cosps cos q<p, U2(s, у) = M20 sinps sin qp,

6\(s, у) = #io cos ps cos qy, 62(s, у) = в20 sin ps sin qy (9-1)

w(s, у) = wo sin ps cos qy-

После подстановки формул (9.1) в уравнения равновесия для параметра Л получаем выражение Л = f (p,q), которое оказывается громоздким и здесь не приводится. Минимизация функции f (p, q) по параметрам волнообразования p и q дает критическую нагрузку и форму потери устойчивости.

На рис. 3 показана зависимость критической нагрузки от угла £ для двух и трех систем нитей при р = 1/8. Сплошной линией показана критическая нагрузка при осе-симметричной потере устойчивости q = 0, а точками — в общем случае при q > 0. Видим, что в средней части углов 0 < £- < £ < £+ < п/2 потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме, а вблизи концов интервала [0,п/2] —по неосесиммет-ричной.

Кроме того, из рис. 3 следует, что критическая нагрузка при равном относительном объеме нитей в случае трех систем нитей выше, чем в случае двух систем. Это связано с тем, что, как уже отмечалось, две системы нитей не обеспечивают сами по себе (без учета жесткости матрицы) жесткость оболочки при некоторых тангенциальных деформациях.

Таблица 2

С учетом сдвига Без учета сдвига

£ q р Л q р Л

О.ООтг 4.889 4.219 0.0340 4.838 1.317 0.0344

0.05тг 5.433 4.765 0.0442 5.359 1.476 0.0447

О.Ютг 6.143 5.697 0.0636 6.016 1.721 0.0648

0.15тг 6.470 7.504 0.0813 6.352 1.945 0.0837

0.167Г 4.700 11.463 0.0834 6.389 1.960 0.0867

0.17тг 0.000 13.693 0.0811 0.000 4.093 0.0862

0.20тг 0.000 14.370 0.0736 0.000 4.324 0.0777

0.25тг 0.000 16.029 0.0611 0.000 4.874 0.0639

О.ЗОтг 0.000 18.707 0.0511 0.000 5.734 0.0531

0.35тг 0.000 22.652 0.0462 0.000 6.970 0.0477

О.ЗЭтг 0.000 25.934 0.0457 0.000 7.983 0.0472

0.40тг 5.278 21.714 0.0458 0.008 8.189 0.0474

0.45тг 6.221 13.065 0.0301 6.043 4.050 0.0309

0.50тг 5.750 12.148 0.0228 5.624 3.807 0.0232

Результаты из правой части рис. 3 приведены и в Таблице 2. В ней приведены значения параметров волнообразования р и д, а также приводится сравнение результатов с учетом и без учета сдвига. Как при осесимметричной, так и при неосесимметричной потере устойчивости, влияние сдвига на критическую нагрузку оказывается незначительным, однако параметр волнообразования в продольном направлении р при учете

л

0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1^5 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1^5 £

Рис. 3. Критическая нагрузка для двух (слева) и трех (справа) систем нитей.

сдвига существенно больше, т. е. при учете сдвига волны в продольном направлении короче.

Summary

I. V. Viktorov, P. E. Tovstik. The shear influence on the buckling of orthotropic cylindrical shells under axial compression.

The orthotropic cylindrical shells buckling under axial compression is studied. It is supposed that the shell stiffness in the transversal direction is essentially smaller than that in the tangential directions. Under this assumption the transversal shear influence is estimated. The transversal isotropic one and the shell reinforced by fibers are examined as an examples.

Литература

1. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Часть I. М.: Физматгиз, 1960.

2. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб. Изд. С.Петерб. ун-та, 2002. 386 с.

3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.

4. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных оболочек. СПб. Изд. С.Петерб. ун-та, 1996, 280 с.

5. Kaplunov Ju. D., Kossovich L. Ju., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press, 1998. 226 p.

6. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

7. Работнов Ю. Н. Локальная устойчивость оболочек // Докл. АН СССР. 1946. Т. 52. №2. С. 111-112.

8. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

9. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных оболочек. М: Машиностроение, 1980. 375 с.

10. Немировский Ю.В., Янковский А. П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. 488 с.

11. Haseganu E.M., Smirnov A.L., Tovstik P.E. Buckling of thin anisitropic Shells // Trans. CSME, 2000. Vol.24. N1B. P. 169-178.

Статья поступила в редакцию 13 апреля 2004 г.