Неклассические модели балок, пластин и оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Библиографический список

1. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и её приложения. М.: Наука, 1971. С. 57-72.

2. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программи-

рование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. С.52-56.

3. Машиностроение: Энциклопедия / Под ред. акад. РАН К.В. Фролова. СПб.: Политехника, 2003. С. 72-90.

УДК 539.3

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БАЛОК, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

П.Е. Товстик

Санкт-Петербургский университет, кафедра теоретической и прикладной механики E-mail: peter.tovstik@mail.ru

Для задач статики, свободных колебаний и устойчивости балок, пластин и оболочек модель Тимошенко - Рейсснера, учитывающая сдвиг, сравнивается с классической моделью Кирхгофа -Лява и с трехмерной теорией упругости. На ряде тестовых примеров установлен формальный асимптотический характер одномерных и двухмерных моделей и найдена область их применимости. Для пластин и оболочек, лежащих на трансверсально изотропном упругом основании обсуждаются модели Кирхгофа

- Лява и Тимошенко - Рейсснера. Используется асимптотический метод интегрирования, основанный на малости толщины оболочки по сравнению с длиной волны на поверхности. Особое внимание обращается на построение форм колебаний и потери устойчивости, локализованных вблизи свободной поверхности.

On the Non-Classic Models of Beams, Plates and Shells P.E. Tovstik

For the problems of statics, of free vibrations, and of buckling of beams, plates and shells the Timoshenko - Reissner’s model with shear is compared with the classic Kirchhoff - Love model and with the 3D theory of elasticity. By using some test examples the formal asymptotic character of 1D and 2D models is established and their field of application is found. The asymptotic expansions based on the small shell or plate thickness compared with the length of wave are used. The special attention is paid to the buckling or vibration modes localized near the free surface.

ВВЕДЕНИЕ

Выводу одномерных и двухмерных приближенных моделей из трехмерных уравнений теории упругости посвящены многочисленные исследования, из которых назовем монографии [1-4]. Ниже для задач статики, свободных колебаний и устойчивости балок, пластин и оболочек обсуждается модель Тимошенко - Рейсснера (ТР), учитывающая сдвиг, в сравнении с классической моделью Кирхгофа - Лява (КЛ) и с трехмерной теорией упругости. На ряде тестовых примеров установлен асимптотический характер одномерных и двухмерных моделей и найдена область их применимости. Также обсуждаются модели КЛ и ТР для пластин и оболочек, лежащих на упругом основании. Как пластина, так и основание предполагаются изготовленными из трансверсально изотропного материала. При анализе используется локальный подход, при котором решение разыскивается в виде двояко периодической функции по поверхностным координатам, а граничные условия на контуре игнорируются (либо пластина считается бесконечной). Используется асимптотический метод интегрирования, основанный на малости толщины оболочки по сравнению с длиной волны на поверхности. Особое внимание обращается на построение форм колебаний и потери устойчивости, локализованных вблизи свободной поверхности трансверсально изотропного предварительно непряженного полупространства или лежащей на нем пластины.

1. ДЕФОРМАЦИЯ И СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ ИЗ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

Рассмотрим сначала плоскую задачу о деформации полосы —го < х < го, — h/2 < z < h/2 под действием гармонической нагрузки, приложенной к верхнему краю. Уравнения равновесия и соотношения упругости имеют вид

да\ дт 0 дт да3

дх + dz ’ дх + дz

ди 1 ди

дХ = E(ai — Vin)’ Tz + дХ = G3 ■ Ж = E{аз — V3ai

= 0;

dw

dw

(1.1)

1

© П.Е. Товстик, 2008

где п(х,г), т(х,г) — проекции перемещения, тг(х,г), т(х,г) — напряжения, Ег, Vi, С13 — модули упругости, причем VIЕ3 = v3Е1. Граничные условия возьмем в виде

т(х,—Л/2) = т(х, Л/2) = (т3(х, —Л/2) = 0, т3(х, Л/2) = / этгх. (1.2)

Будем искать периодическое решение в виде

{п, т}(х,г) = {п, т}(г)еовгх, {т, т1, т3}(х,г) = {т, т1, т3}(г)втгх. (1.3)

Тогда получим систему дифференциальных уравнений 4-го порядка. После растяжения масштаба г = Лг1, п = Лп*, т = Лт*, т = Е1т*, т3 = Е1т| (далее знак * опускаем) и ряда преобразований приведем систему (1.1) к виду

т"' — ц2 (1 — 2vЛ т' + — Т3 = 0, т3 — цт = 0, ( )' = , ц = гЛ = 2пЛ, (1.4)

\ д ) е аг1 Ь

т + ЦVl Т3 . т Е3 ^13 , .

п =-----о----, п+ цт = -, е = —, д = . (1.5)

Ц2 д Е1 Е1

Здесь ц — малый параметр, пропорциональный отношению толщины Л балки к ее длине Ь. Из уравнений (1.4) находим напряжения т и т3, удовлетворяющие граничным условиям (1.2), а затем перемещения п и т находим по явным формулам (1.5). При ц ^ 1, ц2/д ^ 1, ц2/е ^ 1 получаем [5]

т(Л/2)=шк к=1+т0д—¥+°(ц4)- (1-в)

При этом для модели КЛ в формуле (1.6) следует считать К = 1, а для модели ТР коэффициент К =1 + ц2/(10д). Для получения последней формулы вместо модуля сдвига й13 следует (как это обычно делается, см. [1]) использовать значение 7С13, где корректирующий множитель 7 = 5/6 учитывает неравномерность распределения касательных напряжений по толщине. Третье слагаемое в формуле для К в (1.6) учитывает деформацию растяжения - сжатия нормального волокна.

Пусть теперь ц < 1 ц2/д 1. Тогда ряд (1.6) утрачивает свой асимптотический характер и решение системы (1.4), (1.5) выражается через гиперболические функции. Представляя прогиб т(Л/2) в форме (1.6), для коэффициента К приходим к выражению

К “И« - !лК/2))+ °(Л ( - ^ (17)

Рассмотрим численный пример. Возьмем л — 0.1, — 0.3 и ряд значений параметров е и

д — е/{2{1 + V!)). Расчеты [5] показали, что модель КЛ дает удовлетворительные результаты лишь при е > 0.05, а модель ТР — при е > 0.0001.

Обратимся к свободным колебаниям балки и рассмотрим колебания с заданной длиной волны Ь, при которой прогиб имеет вид гш(х,г) — ^(г)віпгх. Начнем с одномерных моделей, в которых 'ш(г) — 1. По модели КЛ имеем

л — £, л — . (1.8)

где Л — частотный параметр, р — плотность, и — частота колебаний.

Модель ТР учитывает инерцию вращательного движения сечений, поэтому для параметра Л приходим к квадратному уравнению (см., напр. [6]):

12- Л (1 +12 +к) + ^ — 0 к — т0д- (1-9)

При л ^ 1 асимптотика двух корней уравнения (1.9) имеет вид

Лі — 12(Г+ к) + °(л6)’ Л2 — (к +к1)Л + °(л2)' (1'10)

Рассмотрим теперь двухмерную задачу о свободных колебаниях ортотропной полосы. В уравнения равновесия (1.1) включаем инерционные слагаемые и после разделения переменных, растяжения масштаба г = и ряда преобразований приходим к системе уравнений:

и' = - — цш, ш' = и1ци + ^“ — о3, т' = (ц2 — А)и — ци1о3, о'3 = цт — Аш, (1-11)

9 \е

которая после исключения перемещении принимает вид

А

9

Ат'' + ^¡х2 — (д2 — А)т + і А — л(л2 — А)) а'3 = 0,

(д2 — А)а'3 + ^ ^ — и“2^ А(л2 — А) + л2^2А^ а3 + [лиі А — л(л2 — А)) т' = 0.

(1.12)

Систему (1.12) интегрируем с граничными условиями т(±1/2) = о3(±1/2) = 0, соответствующими свободным лицевым поверхностям. По-прежнему, считаем ц ^ 1. Система (1.12) описывает низкочастотные изгибные колебания с А ~ ц4 и две счетных серии высокочастотных колебаний А(1,п) и а(2,п') с А ~ 1, описывающие соответственно изгибные деформации нормального волокна и его деформации растяжения - сжатия [5].

Для корня А ~ ц4 приходим к уравнению [5]

*(1 + Ї + т) = 12 (1 — * + т) + Ї + ”('•)• (1.13)

где к — то же, что и в (1.9). Видим, что при к ^ 1 из (1.13) следует значение А1, приведенное в (1.10), т.е при ц2 ^ д ^ 1 модель ТР учитывает главную часть влияния сдвига.

Отметим, что первая частота высокочастотной изгибной серии А(1,1) = п2д + 0(ц2) приближенно равна частоте А2, заданной формулой (1.10). Совпадение А(1,1) и А2 имеет место, если считать к ^ 1, п2 ~ 10.

Рассмотренные примеры позволяют сделать следующий вывод. Для балок из изотропного материала теория КЛ является первым асимптотическим приближением при ц ^ 0 по отношению к двухмерной теории. Теория ТР, учитывающая сдвиг, несущественно уточняет теорию КЛ. Для балок из ортотропного материала с умеренно малой поперечной жесткостью на сдвиг (ц2 ^ д ^ 1) теория ТР асимптотически непротиворечива и существенно уточняет теорию КЛ. Если же жесткость на сдвиг еще меньше (д < ц2), теории КЛ и ТР утрачивают свой асимптотический характер.

2. ДЕФОРМАЦИИ И КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ

Для ортотропной пластины и для балки результаты в значительной мере совпадают, поэтому приводится лишь их краткое обсуждение (подробности см. в [7]).

Ищем решение в виде двояко-периодических функций:

и1 = и1(г)сов(г1 х1)в1п(г2х2)ешг, а13 = а13(г)сов(г1 х1) вт(т2х2)вшг,

и2 = и2(г) б1п(г1х1 ) сов(т2х2)ешг, о23 = о23(г) 8т(т1х1 ) соъ(т2х2)ешг,

ш = ш(г) б1п(т1 х1) вт(т2х2)ешг, о12 = о12(г) сов(т1 х1) со§(т2х2)егш1,

{^11, а-22, 033} = {011(г), 022(г), 033(г)} 8т(пх1 )8ш(т2Ж2)ег"‘,

(2.1)

где иі, ш, — проекции перемещения и компоненты тензора напряжении. Для трансверсально

изотропного материала система уравнении равновесия и соотношении упругости 6-го порядка после разделения переменных и введения новых неизвестных

и = (гі иі + Т2П2 )/т, V = (Г2 Пі — Гі 42 )/т, Г2 = ГІ + т\, (22)

7 = (Ті 7із + Т2723 )/т, Т = (Т27із — Ті 72з)/т

распадается на системы второго и четвертого порядков [5]:

т' — т2 Є) + ро2 V = 0, Єі3 )' = т; (2.3)

о' — Eiy r2 u + E13 ru3 + pu2 u = 0, a = G13 (u' + ru3),

(2.4)

a33 — ra + pu2u,3 = 0, 033 = E33u'3 — Ey^ru.

В задаче о свободных колебаниях система (2.3) описывает высокочастотные крутильные колебания, а в задаче статики под действием нормального давления вида a33(h/2) = f sinryxsinr2y ее решение равно нулю.

Система (2.4) лишь обозначениями отличается от системы (1.11) для балки, поэтому основной вывод, сформулированный в конце п. 1, остается прежним — нулевое приближение по малому параметру ц = rh совпадает с результатом по модели КЛ и при относительно малом модуле поперечного сдвига главная часть первого приближения учитывается моделью ТР.

3. О МОДЕЛЯХ КИРХГОФА - ЛЯВА (КЛ) И ТИМОШЕНКО - РЕЙССНЕРА (ТР) В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

Асимптотический анализ уравнений теории оболочек сложнее, чем для балок и пластин, в связи с тем, что здесь приходится иметь дело с двумя малыми параметрами:

7 2nh h

ц = rh = —— и h* = —, (3.1)

L R

где R — характерный радиус кривизны оболочки. Параметр g также может быть малым.

Рассмотрим для определенности осесимметричную деформацию оболочки вращения по модели ТР. Как правило, напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки складывается из основного, медленно меняющегося состояния и краевого эффекта, экспоненциально затухающего при удалении от края. Интегралы краевого эффекта удовлетворяют уравнениям:

^d4w D d2 w Eyh Ey h3 G13

~áX4 — YgR2 dX2 + ~R2'W = ’ = 12(1 — v2) ’ g = ~Ey'; (-)

D(1 — Vl) 0 — Y9Ei= ° (M)

При g ~ 1 средний член уравнения (3.2) мал и может быть отброшен. В результате уравнение

(3.2) переходит в уравнение простого краевого эффекта по модели КЛ. Уравнение (3.3) связано с

повышением дифференциального порядка системы уравнений по модели ТР по сравнению с моделью КЛ (с 8 до 10) и не имеет аналога в модели КЛ.

Ищем решения уравнений (3.2) и (3.3) в виде

w(x) = Cepx/R, Ф(х) = Ciepi x/R. (3.4)

Тогда для коэффициентов p и py получим уравнения:

1onh* 2 (p4 + —) +1 = 0 и h* pl — 1 = 0. (3.5)

12(1 — v2 )Y Yg) 24(1 + vi)jgF1 v ;

Положим g h* и введем показатели изменяемости [2] ty,2 и t3 интегралов краевого эффекта по

формулам

p ~ h*1’2, pi ~ h*3 (3.6)

(уравнение (3.2) может иметь интегралы с двумя разными показателями изменяемости). Получаем

ty = t2 = 1/2 при S < 1,

ty = (1 + S)/2, t2 = (1 — S)/2 при S > 1, (3.7)

t3 = (1 — S)/2.

Графики функций tk(S) показаны на рис. 1. Рассмотрение показателей изменяемости позволяет сделать ряд выводов. Во-первых, при S = 0 имеем t3 = 1. Это значит, что длина волны деформации имеет порядок толщины оболочки. Последнее обстоятельство говорит об асимптотической противоречивости модели ТР, в частности, для изотропной оболочки. При 0 < S < 2 модель ТР асимптотически непротиворечива. При S > 2 имеем ti > 1, t2 = t3 < 0. Из этих неравенств следует, что при столь малых значениях модуля Gi3 двухмерная модель ТР неприменима.

С областью применимости модели ТР при малых значениях модуля поперечного сдвига Gi3 связана и следующая задача устойчивости. По модели ТР в линейном приближении рассматриваем устойчивость трансверсально изотропной цилиндрической оболочки радиуса R при осевом сжатии. Ищем форму потери устойчивости в виде

w(x, y) = w0 sin r1x sinr2y, (3.8)

где x и y — осевая и окружная координаты, ri — искомые волновые числа. Критическая осевая нагрузка определяется по формуле [7]

Dr8 + Ar4(1+ Br2) E1 h3

Рис. 1. Графики показателей изменяемости

—Т0 = min

ri,r2 r2 r4 (1 + Br2)

D=

12(1 — v2Y

A =

Ey h

"R2 ’

B=

D

Ygh

(3.9)

где г2 = г2 + г|. Модели КЛ соответствует В = 0. При В > 0 минимизация в (3.9) дает г2 =0 (что соответствует осесимметричной потере устойчивости) и

Е1Н2

-То =

RV 12(1 — v2)

fW, f(n) =

2 — П,

1/n,

П < 1,

n > 1,

n =

Yg\/ 12(1 — v2)

(3.10)

При п = 0 формула (3.10) дает классическую критическую нагрузку Лоренца - Тимошенко, не учитывающую поперечный сдвиг [8,9]. Функция /(п) описывает снижение нагрузки, связанное с учетом сдвига. При п < 1 минимум в (3.9) достигается при конечном значении г 1 = (1 — п)-1 , а при п > 1 — при г 1 = го. Последнее обстоятельство говорит о неприемлемости оболочечной модели при весьма малых значениях С13. Отметим [10], что при напряжении сжатия —а11 = С13 сам ортотропный материал теряет устойчивость, а усилие —Т0 при п — 1 порождает напряжения, близкие к критическим [7]. К вопросу о потере устойчивости материала мы еще вернемся.

4. ДВИЖЕНИЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

Далее рассматриваются пластины и оболочки, лежащие на упругом основании. Однако сначала рассматривается предварительно напряженное трансверсально изотропное полупространство. Уравнения его движения имеют вид

I д2 и

daij д2 ui

iJ + Aa ui — p- i

dxj

dt2

= 0,

An ui añ

i,j = 1, 2,3,

(4.1)

где —го < х1, х2 < го, —го < х3 = г < 0 — декартовы координаты, и1, и2, и3 = т — проекции перемещения, а® — начальные напряжения (отрицательные при сжатии и предполагаемые постоянными), <7гз — дополнительные напряжения, р — плотность материала, Ь — время. Далее предполагается, что а® = = а0. Соотношения упругости для трансверсально изотропного материала

a11 = E11 Sil + E12 £22 + E13£33, a13 = G13 £13j

022 = E12£11 + E11 £22 + E13£33, 023 = G13£23,

a33 = E13£11 + E13£22 + E33£33, a12 = Gs12,

£ii =

dui dxi ’

£ij —

dui

dx^

+

дщ

dxi

(4.2)

содержат 5 упругих констант (E, E', G13, v, v'), причем [11]

Ец — E22 — G12 — G —

Е (1 - v2) (1 + v)c ’ E

E\2 —

E (v + vg) (1 + v)c ’

E13 — E23 —

Ev'

E33 —

E'(1 - v)

(4.3)

2(1 + v) Имеют место соотношения

G13 — G23,

]E ' — (v' )2 E ,

c — 1 — v — 2vg

0 •

E2

TP _ TP І Оґ'1 Тр0 __ тр 13

EH — e12 + 2G12, E11 — E11 —

E

2

тр0 ip E13

e;- —2- Ei2 — Ei2— E3

Ev 1 — v2

(4.4)

Для изотропного тела в формулах (4.3) Е' = Е, V = щ = V, где Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

Далее в численных примерах при выборе модулей Е^, Оц для трансверсально изотропного тела поступаем следующим образом. Рассмотрим многослойное тело с чередующимися мягкими и жесткими плоскими изотропными слоями с параметрами

En, vn, hn, n — 1, 2.

(4.5)

Осреднение упругих свойств по толщине слоев при h1, h2 ^ 0, h1/h2 = const приводит к трансверсально изотропному материалу. При вычислении его модулей Ej, Gj в (4.2) пользуемся тем, что на границе слоев непрерывны деформации є11, є12, є22 и напряжения a13, a23, а33.

Будем искать решения системы (4.1), локализованные вблизи плоскости z — 0, в виде (2.1). Как и в п. 2, после разделения переменных и перехода к новым неизвестным по формулам (2.2) система (4.1) шестого порядка распадается на системы четвертого и второго порядков

G*3 — G13 + °з,

E33 — E33 + °з,

0*3 и'' — (Ец + ао)г2 и + Хи + (О13 + Е13 )гт' = 0,

— (О13 + Е1з)ги' + Е3з т'' — (О13 + а® )г2 т + Хт = 0,

О\з V' — (012 + ао)г2 V + Ху = 0.

При а30 =0 условия на свободной поверхности г = 0 имеют вид

а* = 0*3 и' + 013 гт = 0, а*3 = —Е13 ги + Е*3т' = 0,

а условия затухания при удалении от нее — вид

и (г), а^ (г) ^ 0 при г ^—го.

Уравнение (4.7) не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих граничным условиям (4.9). Будем искать решение системы (4.6), удовлетворяющее условиям (4.9), в виде

Т * — G*3 v' — 0,

где

w(z) — ^ Ckea k = 1,2

bk — Es3 ak— G13 + X*

U(z) — ^2 Ckbkt

X

k=1,2

(E13 + G13 )ak

X* — —2 — &0, Re(«k) > °,

Ck — постоянные, ak — корни характеристического уравнения системы (4.6)

причем

00a — ai a + 0,2 — 0, a0 — Gt;E*33, 02 — (E11 — X*)(Gi; — X*),

a1 — E;3 (E11 — X* ) + G*3 (G13 — X* ) — (E13 + G13)2.

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9) (4.8) и

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Уравнение (4.12) имеет два корня с Re(ak) > 0 при а0 > 0 и а2 > 0.

c

c

v

ak rz

Если (в двухмерном случае) решение исходной системы (4.1) искать в виде u(x, z, t) = u(z) cos(rx — ut), w(x, z, t) = w(z) sin(rx — ut),

(4.14)

то при выполнении условий (4.8) и (4.9) получим волну Релея [12], распространяющуюся по поверхности полупространства со скоростью V = д/А*/р. При этом скорость распространения волны не зависит от ее длины.

Удовлетворяя условиям (4.9) на свободной поверхности, получаем дисперсионное уравнение как для частоты локализованных вблизи поверхности колебаний (2.1), так и для волны Релея (4.14)

(G13 a1 b1 + G13 ) (E33a2 — E13 b2) — (G13a2b2 + G13)(E33 a1 — E13b1) — 0.

В случае изотропного тела уравнение (4.15) принимает вид

(2G - А1)2 - (2G + (70)2aia2 — 0.

Значения безразмерного частотного параметра Лк = А* /G для ряда значений V и и приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения частотного параметра Лн для изотропного полупространства

(4.15)

(4.16)

— 70/G

V о-з = 0.5 0 -0.5 -0.8 -0.9 -0.98

0.0 0.856 0.764 0.500 -0.151 -0.972 -4.721

0.1 0.878 0.798 0.566 -0.010 -0.692 -4.089

0.2 0.899 0.830 0.629 0.126 -0.512 -3.421

0.3 0.918 0.860 0.687 0.253 -0.292 -2.723

0.4 0.937 0.888 0.739 0.367 -0.088 -2.020

0.5 0.954 0.896 0.784 0.466 0.089 -1.334

Таблица 2

Значения частотного параметра Лн = А* /Сіз для трансверсально изотропного материала

е = е E2 .5 .0 0 -0.5 -0.8 -0.9 -0.98

1 0.918 0.860 0.687 0.245 -0.298 -2.723

10 0.978 0.963 0.912 0.758 0.512 -1.100

100 0.998 0.996 0.991 0.974 0.946 0.724

Рассмотрим теперь трансверсально изотропное полупространство, образующееся из чередующихся изотропных слоев параметрами Еп, ип, Нп, п = 1, 2 при стремлении к нулю толщин слоев. Возьмем Н\ = Н2, VI = и2 = 0.3, Е\ /Е2 = е и для ряда значений е и П = аз /&1з найдем величину частотного параметра Лн = А*/G\3. Результаты приведены в табл. 2.

С ростом параметра е, служащего мерой анизотропии, частотный параметр Ак приближается к 1.

Уравнения (4.15) и (4.16) позволяют исследовать влияние начальных напряжений на скорость V волны Релея частоту колебаний ш, причем

v —

AG13 + 7q

Р

(4.17)

В силу уравнений (1.15) или (1.16) частотный параметр Лк зависит лишь от свойств материала и от начального напряжения а0 и не зависит от начального напряжения а0, которое входит в формулы

(4.17) явно.

Условиями устойчивости материала являются неравенства

— 70 < G13

- 73 < min{G13, E33},

(4.18)

необходимые для выполнения условий Адамара [13]. При выполнении этих условий поверхностные колебания и волны Релея возможны лишь в случае, когда А > 0, т.е.

—7о < Ah G13.

(4.19)

Как следует из табл. 1 и 2, при некоторых значениях а* < 0 и других параметров задачи имеем Лк < 0. В этом случае поверхностные колебания и волны Релея возможны в силу (4.19) лишь при достаточно больших растягивающих начальных напряжениях а0.

При -аз = Л^Gl3 полупространство теряет устойчивость с образованием волн на свободной поверхности, где Л^ < 1 — корень одного из уравнений (4.15), (4.16) при А = 0. Условие (4.19) в силу

1

и

Лк < 1 накладывает на начальное напряжение а0 более сильное ограничение, чем первое из неравенств (4.18). Эффект снижения критической нагрузки с локализацией формы прогиба в окрестности свободного края или свободной поверхности известен. Для сжатой пластины со свободным краем он описан в [14, 15], для оболочек — в [9, 16, 17], для изотропного полупространства — в [18]. Для примеров, рассмотренных в табл. 1 и 2, положительные значения Л^ соответствуют критическим напряжениям сжатия ^13Л^ = —ао). Если же Л^ < 0, то при желании сохранить устойчивость для компенсации начальных сжимающих напряжений аЗ, < 0 необходимо приложить растягивающие напряжения а0 > —G13Л,l.

5. РЕАКЦИЯ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ

В п. 6 рассматриваются колебания пластины, лежащей на рассмотренном в п. 4 трансверсально изотропном основании. При этом необходимо знать реакцию основания на перемещения его поверхности. В некоторых частных случаях решение этой задачи получено в [19, 20].

Пусть на поверхности г = 0 заданы перемещения

u — u0, w — w0 при z — 0.

(5.1)

Тогда в силу формул (4.8) и (4.10) находим напряжения а*(0) и а*3(0), порождаемые этими перемещениями,

а* (0) = г (оцПо + С13Шо), а*3(0) = г (С13щ + С33Ш0), (5.2)

где для трансверсально изотропного материала коэффициенты жесткости основания с^ равны

С11 —

G1 («1 b1 — 0,2 b2 ) b1 - b2

C13 —

Gl3b1b2 (a2 — a1) b1 - b2

+ G

13,

C33 —

Щ3 (b1a2 — b2a1) b1 - b2

(5.3)

и для изотропного материала

c (G + 73)a2 (a1 - 1) . G (G + 73)a1 (a2 - a1) . G E11a1(a2 - 1) (5 4)

C11 — --------;—;--------------+ G, C13 —--------;—;------------------;-+ G, C33 — --—----. (5.4)

@1^2 — 1

&1&2 — 1

^1 &2 — 1

Отличие коэффициентов (5.3)-(2.4), от найденных в [19, 20], заключается, в частности, в учете сил инерции основания и начальных напряжений а0.

6. КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ. ПОДХОД КИРХГОФА - ЛЯВА (КЛ)

Рассматриваются свободные колебания пластины толщины Н, изготовленной из упругого трансверсально изотропного материала и лежащей на рассмотренном в п. 4 трансверсально изотропном основании. Между пластиной и основанием имеется жесткий контакт. Пластина и основание находятся в условиях вертикального сжатия с постоянным напряжением и0 и горизонтального всестороннего растяжения (сжатия) с постоянной деформацией єо (при сжатии и0 < 0 и єо < 0) (см. рис. 2). При этом для основания и пластины начальные напряжения и0 соответственно равны

Рис. 2. Пластина на упругом основании

EF

6 + Е[3 70 1—VFЄо + Eg 73 ’

Ер

6 + EP 7о

T—VP60 + Eg73 ’

Е

(F,P) _

Е (F,P)

1 - (у(F,P))2'

(6.1)

Здесь и ниже индекс F используется для величин, описывающих основание (Foundation), а индекс P

— для одноименных величин пластины (Plate).

7=

7=

0

0

Уравнение колебаний пластины согласно модели КЛ имеет вид

д 2 ш

БрДДш - ТрДш + Озз + рр= 0, (6.2)

где

\ h rpP — lP

P EP h3 P P P EP d2 w d2 w

D =—' = ha'>, E = T—KF' Aw = 1Щ + Щ ■ (6'3)

Здесь Ер, ир, рр — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала пластины, Тр — начальное усилие в пластине, оЗз — давление основания на пластину.

Пусть пластина совершает колебания с формой прогиба

w(x\,x2,t) = w3 sin(rix1) sin(r2x2)eiWt, (6.4)

r*

где

где r1 и r2 — заданные волновые числа, a^3 = rc33w3, а ш — искомая частота.

Дисперсионное уравнение имеет вид

ИА

— + £ + №33 — Ак = 0, (6-5)

. 2nh л С33 GF3 xK pP h2 ш2 „ P. Ep3 a3

ß = rh = C33 = EP - EP, Л = EP , £ = £o(T + v ) + EP3EP ■ (6^6)

L E3 E3 E3 E33 E3

Здесь L — длина волны на поверхности пластины. При естественных предположениях уравнение (6.5) содержит три малых параметра р, C33 и £. Частота колебаний ш входит в уравнение (6.5) явно через частотный параметр Лк и неявно через коэффициент c33, учитывающий силы инерции основания. Использование уравнения (6.5) ограниченно двумя обстоятельствами. Во-первых, если эффективная начальная сжимающая деформация £ велика, пластина теряет устойчивость. Критерием устойчивости служит неравенство Лк > 0, что дает

,2

-е< ШШ 12 + ^ , д =(6Сзз)1/3. (6.7)

^ у 12 Д у 4

Отметим, что в отличие от полупространства потеря устойчивости теперь происходит при вполне определенном значении волнового числа г. Тем не менее, форма потери устойчивости не является вполне определенной, ибо в силу (2.2) г2 = г2 + Г2 и одно из чисел Т\ или г2 остается произвольным. Геометрически нелинейное рассмотрение [18] показало, что в закритической области минимальная энергия деформации получается при гх = г2, т.е. для квадратных вмятин.

Другое ограничение на частотный параметр Лк вытекает из требования, чтобы характеристическое уравнение (4.12) для основания не имело чисто мнимых корней, ибо в противном случае энергия колебаний будет уходить на бесконечность, свободные незатухающие колебания пластины (также, как и волны Релея) невозможны. Это требование приводит к неравенству

рр рЕ + Оо

Лк < д2^ Ц+р03, (6.8)

р Е0

где рЕ и СЕ3 — плотность материала основания и его жесткость на поперечный сдвиг соответственно.

7. ПОДХОД ТИМОШЕНКО - РЕЙССНЕРА

В случае сильной анизотропии материала пластины двухмерная модель ТР дает существенно более точные результаты, чем модель КЛ. В модели ТР при поперечных колебаниях нормальный элемент пластины имеет три степени свободы: вертикальное перемещение ш и два угла его поворота Фх и ф2 вокруг горизонтальных осей.

После введения вместо углов и ф2 новых неизвестных функций 0 и Ф

д 0 д Ф д 0 дФ

- дХ1 ’ Ф2 = - дХ1- (7'1)

система уравнений поперечных колебаний расщепляется (как и в п. 4) на уравнение второго порядка относительно функции 0 (далее это уравнение не рассматривается)

- rh0 - ^ - Р™ д200 =° (7.2)

2 2 12 dt2 v 7

и систему уравнений относительно функций w и Ф

d2 W

rh(Aw - ДФ) + TPAw - и**3(0) - pPh— = 0,

dt (7.3)

т^ллт Д TN hrn* (0) pPh3 d2ДФ n

-DPДДФ - rh(Aw - ДФ)---------------------------= 0.

Здесь и33(0) и и*(0) — это напряжения (5.2) на поверхности контакта пластины и основания, появляющиеся в результате вертикальных перемещений w и горизонтальных перемещений, связанных с углами р1 и р2 поворота нормали вокруг горизонтальных осей (в связи с малостью толщины h последние напряжения, как правило, не учитываются).

В системе (7.3), описывающей поперечные колебания, положим

w = w0 sin r1x1 sin r2x2 eiWt, Ф = Фо sin r1 x1 sin r2x2 eiWt. (7.4)

Тогда в формулах (5.2) u0 = -цФ0/2 и дисперсионное уравнение можно записать в виде

íx Т 2 2*. \(ЛТ - V2 С1Ш\ ( С13»\ { 2 С13ц\ n ff7^

(Л - - ц - сззц) ( —12-------g----I - ( g--------— I ( gц-----— I = 0, (7.5)

где приняты обозначения (6.6), а также

Г 5Г - сц Лт PP h2 и2

g = Ep' Т' Cij = EP ' Л = ~ЩТ~" ( )

Как и для балки Тимошенко (см. п. 2), уравнение (7.5) имеет два корня. Остановимся на меньшем из них. Если длина волны L велика по сравнению с толщиной пластины h и y ^ 1, это уравнение содержит малые параметры ц, , g, с*. Принимая, что они связаны порядковыми соотношениями:

£ ~ ц2, Сц ~ ц3, g ~ ц2, (7.7)

для меньшего корня уравнения (7.5) получаем приближенно

4

ЛТ = wk¡+ц2+ц-зз. (7-8)

Если жесткость пластины на поперечный сдвиг не мала (12g ^ ц2), то формула (7.8) переходит в

(6.5), а условие устойчивости

2

-£ < min f (ц,g,-зз) = /о(g,Сзз), f O^g,^ = 0цg 2 + — (7-9)

р 12g + ц2 ц

— в условие (6.7), полученное для модели КЛ.

Если

g> g* = Йз/3)1/3 или Сзз < л/3?, (7-10)

функция f (p.,g,C33) имеет минимум f0 < g при некотором конечном значении ц. С ростом жесткости основания С33 вплоть до С33 = ^3g3 величина f0 растет до f0 = g, а величина ц растет до значения

ц = \J12g. Если же неравенство (7.10) нарушено, то величина ц, при которой достигается минимум

f0 = g, скачком становится равной ц = го. Согласно двухмерной модели ТР нарушение условия (7.10) свидетельствует о потере устойчивости материала пластины.

8. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

При обсуждении численных результатов точное решение уравнений теории упругости сравниваем с приближенными решениями по моделям КЛ и ТР. Ограничимся рассмотрением системы (4.6), записанной как для основания, так и для пластины. Возможно построение точного аналитического решения, однако удобнее оказалось использовать смешанный способ. Систему (4.6) для пластины интегрируем численно в пределах 0 < г < Н, а начальные условия в задаче Коши при г = 0 берем из аналитического решения (4.10) для основания. Произвольные постоянные С\ и С2 и частотный параметр Лр находим, удовлетворяя граничным условиям при г = Н.

Рассмотрим трансверсально изотропные основание и пластину с параметрами, определяемыми по схеме, описанной в п. 4, при значениях параметров (4.5), удовлетворяющих соотношениям

Ер = 10Ер = 100Е[ = 1000ЕЕ

Vр = VЕ = 0.3,

Нр = Нр, Нр = Нр,

(8.1)

где, как и ранее, индексы Р и Е относятся к пластине и к основанию. В силу (8.1) как пластина, так и основание примерно в 5 раз жестче в горизонтальном направлении, чем в вертикальном. Основание в 100 раз мягче пластины. Остальные параметры задачи будем менять. Ниже обсуждается влияние длины волны деформации Ь, влияние горизонтальной начальной деформации ео, влияние

0 Е

вертикального начального напряжения а0 и влияние инерционности основания рЕ .

Влияние длины волны деформации Ь описывается параметром л = гН = 2пН/Ь. При этом начальные напряжения считаем отсутствующими, а основание — безинерционным, т.е. е0 = 03 = рЕ = 0.

На рис. 3 для первой частоты колебаний показаны отношения Лк/Ле и Лт/Ле частотных параметров, найденных по моделям КЛ и ТР, к точному значению Ле в зависимости от параметра /л. Видим, что при уменьшении длины волны Ь по сравнению с толщиной пластины Н область применимости модели КЛ быстро исчерпывается, а модель ТР дает удовлетворительные результаты во всем рассмотренном диапазоне значений /л.

Влияние горизонтальной начальной деформации е0. При достаточно большом уровне сжимающей начальной деформации пластина теряет устойчивость. Как и выше, будем считать, что аЗО = рЕ = 0. Интегрирование точной системы (4.6) дает следующие критические значения деформации сжатия и параметра волнообразования: е0 = -0.01015, л = 0.23. Укажем для сравнения, что модель КЛ дает е0 = -0.00947, л = 0.22, а модель ТР — е0 = -0.00934, л = 0.23. Для принятых значений параметров (8.1) условие (7.9) выполнено с большим запасом.

В табл. 3 приведена зависимость первого собственного значения параметра Л, найденного из системы (4.6) для л = 0.23.

Как и следовало ожидать с учетом формул (4.11), зависимость параметра Л от начальной деформации е0 линейна.

Влияние вертикального начального напряжения а0. Считаем, что выволнены соотношения (8.1), а также положим а0 = рЕ = 0, а00 = СЕ3п, причем п > -1. Как отмечалось в п. 4, при п < -1 материал основания теряет устойчивость. Для ряда значений п и л в табл. 4 приведены значения первого собственного числа для трехмерной модели л-4Л(п, л), полученные при численном интегрировании системы (4.6).

Зависимость Л от п близка к линейной вплоть до критического значения п = -1. В отличие от случая горизонтальной начальной деформации (см. табл. 3) здесь параметр Л при изменении нагрузки меняется в более узком диапазоне.

Рис. 3. Влияние длины волны деформации

Таблица 3

Влияние горизонтальной начальной деформации

£о -0.01 0 0.01

=4 <т 0.004 0.259 0.514

Влияние сил инерции основания. Примем данные (8.1) и будем считать, что начальные напряжения отсутствуют, т.е. е = а00 =0. Отношение плотностей р0 = рЕ/рр и волновое число л будем менять. В силу формулы (6.8) параметр р0 ограничен неравенством

Таблица 4 Влияние вертикального начального напряжения

Ро < р* —

Л*

13

а{3 — 0.001157,

(8.2)

п р = 0.03 0.1 0.3 1.0

-0.99 41.9 1.20 0.115 0.0450

0 74.6 2.16 0.160 0.0467

1.0 105.7 3.10 0.205 0.0484

Таблица 5

Влияние сил инерции основания

р Л0 Л * р*

0.03 6.04 ■ 10-5 3.38 ■ 10-5 0.0208

0.1 2.16 ■ 10-4 1.21 ■ 10-4 0.0691

0.3 1.30 ■ 10-3 1.00 ■ 10-3 0.1059

1.0 4.67 ■ 10-2 4.51 ■ 10-2 0.2550

при нарушении которого спектр колебаний не является вещественным. В табл. 5 приведено первое собственное значение, причем Л0 найдено при р0 = 0, а Л* — при максимально возможном значении р0 = р*, меньше которого соответствующее значение Л вещественно.

Влияние сил инерции основания можно оценить, сравнивая величины Л0 и Л*. Для более тонкой пластины (для меньших л) это влияние больше.

9. УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧКИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Рассмотрим задачу устойчивости безмоментного напряженного состояния тонкой упругой изотропной оболочки, лежащей на изотропном упругом основании. Ограничимся использованием модели КЛ. Применим локальный подход [21-23], согласно которому переменные коэффициенты замораживаются, граничные условия игнорируются, а само решение ищется в виде двояко периодической функции координат на поверхности оболочки. В частных случаях построенное решение удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания, а в некоторых других (если граничные условия не являются слабыми) — дает хорошее первое асимптотическое приложение для критической нагрузки [9]. Для удовлетворения граничных условий может быть использован прием [24], связанный с построением интегралов краевого эффекта.

Исходим из системы уравнений пологих оболочек:

БДДш — Ат ш — ДдФ — а*3 — 0, (ЕН)-1ДДФ + Дд ш — 0,

где Ф — функция усилий, а*з — реакция основания (2.12),

д2ш „пд 2 ш

і д2 ш дх2

Дт ш — Т° — + 2Б0

дх2дх2

+ Т0__________

2 дх2, 1

1 д2ш 1 д2ш

ДШ Я2 дх2 + Я1 дх2 ’

Б —

ЕН3

12(1 — V2)‘

(9.1)

(9.2)

Здесь Т0,Б0 — безмоментные начальные усилия, Я\, Я2 — радиусы кривизны срединной поверхности, Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки. Нагружение считаем однопараметрическим с параметром нагружения А > 0, который вводим по формулам

{ТО ,Т0,Я °} — —А {І1,

(9.3)

где величины ti считаем безразмерными и имеющими порядок единицы. При этом пренебрегаем начальными напряжениями в основании (заполнителе).

При локальном подходе решение системы (9.1) ищем в виде

ш(х2 ,х2) — ш0вгг, Ф(х2 ,х2) — Ф0вгг, г — г1х1 + г2х2.

(9.4)

После подстановки решения (9.4) в систему (9.1) получаем явное выражение параметра А — А(г1 ,г2) как функцию волновых чисел г1 и г2. В безразмерных переменных имеем

Л — Еан — ^2

д(к,у,ш) —

к4 + 2шк + ¡д (у) к2.!т (у) '

(9.5)

где

До =

Известия Саратовского университета. 2008. Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.3 Ь2 Ео(1 - ^о)

ш =

12(1 - ^2)Д^ Ец1(1 + ^)(3 - 4^)^12(1 - V2) ’

/л(у) = (р2 соб2 у + Р1 Бт2 у) , /т(у) = ¿1 соб2 у + 2^з Бт у соб у + ¿2 эт2 у, (9.6)

Г1 =

к СОБ у

Г2 =

Я

Я

Р1 Я , Р2 Я ,

Я1 Я2

ДоЯ До Я

Здесь Я > 0 — характерный радиус кривизны оболочки, до — малый параметр тонкостенности, ш — совмещенный параметр жесткости основания, введенный в [19], причем Ео и ^ — модуль Юнга и коэффициент Пуассона основания.

Критическое значение Л = Л* получаем после минимизации Л по волновым числам г1 и г2 или по безразмерным параметрам к и у

Л* = д2 шт + д(к, у,ш) = д2 д(к*, у*,ш),

к,р

(9.7)

где значок + указывает на то, что ищется положительный минимум, а звездочкой отмечены критические значения соответствующих величин. Предполагается, что величины ^ таковы, что при некоторых значениях угла у будет /т > 0, т.е. существуют направления, в которых действуют сжимающие начальные усилия. Тогда минимум в (9.7) ищется по тем у, для которых /т > 0.

Область применимости локального приближения ограничена двумя неравенствами: длина полуволны деформации при потере устойчивости Ь = пЯ/к должна быть существенно больше толщины оболочки Ь и меньше ее радиуса кривизны Я или в безразмерных переменных

(9.8)

При этом предполагается, что размер оболочки в плане не меньше Я, а закрепление краев не является слабым (см. [9]), ибо только в этом случае можно рассчитывать на то, что влияние граничных условий несущественно.

При ш = 0 формула (9.7) дает критическую нагрузку при отсутствии основания. Наличие основания существенно расширяет область применимости локального подхода. Если при отсутствии основания область применимости ограничена оболочками положительной гауссовой кривизны и цилиндрическими (коническими) оболочками при осевом сжатии, то при наличии основания это ограничение снимается — кривизна срединной поверхности может быть любой.

В [21] рассмотрен ряд частных задач устойчивости при наличии основания. Здесь же ограничимся лишь обсуждением порядков параметра нагружения Л* и размера вмятины Ь = пЯ/к при потере устойчивости при Ь* = Ь/Я ^ 0 для различных значений отношения е = Ео/Е. Введем порядки ад, ал и а^ соответствующих величин по формулам

е - ке,

Л*

Ьал, Ь/Я - Ь^.

(9.9)

На рис. 4 показаны зависимости ал(ад) и а^(ад), построенные с учетом соотношения ш — Ь-3/2е по формуле (9.7) при ш ^ 1 (а — мягкое основание) и при ш ^ 1 (Ь — жесткое основание). При ш — 1 будет аЕ = 3/2 (точка A на рис. 4).

Рис. 4. Асимптотический портрет

Ь

а

Для жесткого основания (при 0 < ад < 3/2) независимо от знака гауссовой кривизны имеем (отрезок ОА на рис. 4)

Л* — Ь2“Е/3 — е2/3, Ь/Я — Ь1_а Е/3. (9.10)

При этом параметр Л тот же, что и для пластины и не зависит от ее толщины.

Для мягкого основания (при ад > 3/2) асимптотические формулы для величин Л* и Ь зависят от знака гауссовой кривизны оболочки и от характера нагружения. Для выпуклых оболочек (р1р2 > 0) и для цилиндрической (конической) оболочки при осевом сжатии зависимости ал(ад) и а^(ад) показаны на рис. 4 отрезками АВ и совпадают с аналогичными зависимостями при отсутствии основания (е = 0).

При е > 0 зависимость ал(ад) для цилиндрической оболочки при кручении показана отрезком АС, а для цилиндрической оболочки при внешнем давлении и для оболочки отрицательной гауссовой кривизны — отрезком АЭ. Во всех названных здесь случаях (когда локальный подход неприменим при е = 0) зависимость а^(ад) изображается одним и тем же отрезком АС или АЭ. Требование Ь/Я ^ 1 приводит в этих случаях к ограничению на жесткость основания ад < 3. Если же ад > 3, локальный подход неприменим, ибо граничные условия существенно влияют на критическую нагрузку.

Напомним для сравнения (см. [9]), что в этих случаях при е = 0 для хорошо закрепленных оболочек средней длины имеют место следующие оценки: для цилиндрической оболочки при внешнем давлении Л* — Ь3/2, Ь/Я — Ь;!/4, для цилиндрической оболочки при кручении Л * г— ь5/4 , Ь/Я — ь1/4, для оболочки отрицательной гауссовой кривизны Л* — Ь4/3, Ь/Я — Ь1/3, причем константы в этих оценках зависят от граничных условий и от других факторов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФМ (проект 07.01.00250а). Библиографический список

1. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.

2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

3. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997. 414 с.

4. Назаров С.А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Новосибирск: Научная книга, 2002. 408 с.

5. Товстик П.Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. № 3. С. 49-54.

6 Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания: В 3-х т. / Под ред. Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т.3. 568 с.

7. Tovstik P.E., Tovstik T.P. On the 2D models of plates and shells including the shear // ZAMM. 2007. V. 87, № 2. P. 160-171.

8. Григолюк Э.И., Каюанов В.В. Устойчивость оболочек М.: Наука, 1978. 360 с.

9. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. 320 с.

10. Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Товстик П.Е. Континуальные и дискретные модели в задаче устойчивости трехслойной нанопластины // Теор. и прикл. механика. Минск, 2005. Вып. 19. С. 37-41.

11. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 280 с.

12. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

13. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 472 с.

14. Ишлинский А.Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин. // Докл. АН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 477-479.

15. Баничук Н.В., Ишлинский А.Ю. О некоторых особенностях задач устойчивости и колебаний прямоугольных пластин // ПММ. 1995. Т. 59, № 4. С. 620625.

16. Кильчевский Н.А., Никулинская С.В. Об осесимметричной потере устойчивости круговой цилиндрической оболочки // Прикл. мех. 1965. Т. 1, № 11. С. 1-6.

17. Ершова З.Г. Устойчивость цилиндрической панели со слабо закрепленными прямолинейными краями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1993. № 3. С. 93-97.

18. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // МТТ. 1998. № 1. С. 130-139.

19. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука. 1978. 332 с.

20. Товстик П.Е. Реакция предварительно напряженного ортотропного основания // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 2006. № 4. 388 с.

21. Товстик П.Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Изв. РАН. МТТ. 2005. Вып. 1. С. 147-160.

22. Работнов Ю.Н. Локальная устойчивость оболочек // Докл. АН СССР. 1946. Т. 52, № 2. С. 111-112.

23. Ширшов В.П. Локальная устойчивость оболочек // Тр. 2 Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Киев, 1962. С. 314-317.

24. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1960. Т. 24, Вып. 5.