CC BY
34
УДК 517.9:539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 1
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ
СО СЛАБО ЗАКРЕПЛЕННЫМ КРИВОЛИНЕЙНЫМ КРАЕМ, ИЗГОТОВЛЕННАЯ ИЗ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА*
З. Г. Ершова1, П. Е. Товстик2
1. Тутаевский филиал Рыбинской авиационной академии, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
Введение. Рассматриваются свободные колебания и устойчивость при осевом сжатии тонкой цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем, изготовленной из трансверсально-изотропного материала с малой жесткостью на поперечный сдвиг. Криволинейные края панели предполагаются шарнирно опертыми. Наличие свободного или слабо закрепленного края приводит к снижению частот колебаний и критической нагрузки по сравнению со значениями для замкнутой в окружном направлении оболочки. Рассматриваются формы колебаний и формы потери устойчивости, локализованные вблизи слабо закрепленного края и затухающие при удалении от него. Поэтому граничные условия на другом прямолинейном краю не конкретизируются, считается лишь, что они являются более жесткими по сравнению с рассматриваемым краем. Впервые эффект локализации формы потери устойчивости сжатой пластины со свободным краем был отмечен в работе [1]. Локализация форм свободных колебаний и устойчивости вблизи свободного края для цилиндрических панелей и оболочек, изготовленных из изотропного материала, исследуется в работах [2-6]. При этом используется классическая модель Кирхгофа—Лява (КЛ). Кроме свободного края обнаружено еще 5 вариантов слабого закрепления края, ведущих к локализации формы вблизи него.
Ниже рассматривается панель, изготовленная из трансверсально-изотропного материала с малой сдвиговой жесткостью в поперечном направлении. В этом случае точность модели КЛ оказывается недостаточной, и используется модель Тимошенко— Рейсснера (ТР). Порядок системы уравнений возрастает с 8 до 10. Соответственно, на каждом краю возрастает и число граничных условий с 4 до 5, а также и число вариантов граничных условий, которые приводят к локализации собственной формы вблизи свободного края при одновременном снижении критической нагрузки по сравнению с замкнутой в окружном направлении оболочкой. Для анализа локализованных форм выведена и используется система уравнений пологих оболочек ТР. Основной особенностью этой системы является то, что от нее отделяется уравнение, описывающее решение с большим показателем изменяемости. На примере рассмотренной задачи устойчивости исследуется погрешность системы уравнений пологих оболочек ТР.
1. Уравнения равновесия, геометрические соотношения и соотношения упругости. Рассматриваются свободные колебания и устойчивость при осевом сжатии
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00244-а, 09-01-92002-НН0-а.
© З. Г. Ершова, П. Е. Товстик, 2011
тонкой цилиндрической панели радиуса Я, длины Ь и толщины Н. Криволинейные коорднаты х, у изменяются в пределах 0 < х < Ь, 0 < у < у0 (см. рис. 1). Край у = 0
считаем слабо закрепленным, края х = 0 и х = Ь — шарнирно опертыми, а граничные условия на краю у = уо не конкретизируем.
Рассматриваемые формы колебаний и потери устойчивости имеют большую изменяемость в окружном направлении, поэтому для решения можно использовать систему уравнений пологих оболочек. Запишем основные уравнения задачи с упрощениями, характерными для пологих оболочек.
Уравнения равновесия как в модели КЛ, так и в модели ТР, имеют один и тот же вид:
Рис. 1. Цилиндрическая панель.
дТ\ <9Г2
дх ду ' дх ду '
дх ду Я '
дМ1 дН п дН дЫ2 ^
+ --<31 = 0, — + —^-Q2 = 0,
дх ду дх ду
(1.1)
где Т1, S, Т2 — тангенциальные усилия, Q1, (2 — перерезывающие усилия, М1, Н, М2 — изгибающие и крутящий моменты. В модели ТР приняты следующие соотношения упругости, связывающие усилия и моменты с деформациями трансверсально-изотроп-ной оболочки [7, 8]:
Тг = К(г 1 + ие2), Т2 = К(е2 + иег), 5 = ^ и,
М1 = Б(к1 + ук2), М2 = Б(к2 + ук1 ), Н = Б(1 - V)т,
К =
Б =
ЕК 1-и2 ЕН3
12(1 - V2)
, (1.2)
(1 = С Н&1, (2 = С Н62,
— 77^13, 6
где
£1 =
ди дх
£2 =
ду ду
Д'
ду ди дх ду
К1 =
- к _ г _ 1 /дф! |
° 2 \ ду дх )
дх
ду
¿1 = - 71, ¿2 = ^2 - 72,
т=
(1.3)
дш
'
72 =
дш ду .
Здесь и, у, ш — проекции перемещения, , — углы поворота нормального волокна, £1, £2, и — тангенциальные деформации, к1, к2, т — изгибные деформации, 71, 72 — углы поворота нормали к срединной поверхности, ¿1, ¿2 — углы сдвига. В формулах (1.2) Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона в тангенциальных направлениях, С13 — модуль сдвига в поперечном направлении, множитель 5/6 учитывает неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном направлении. Через обозначена интенсивность внешней нормальной нагрузки. Как принято в модели пологих
оболочек, внешние тангенциальные нагрузки считаем равными нулю. Модель ТР содержит 5 неизвестных функций (и, V, т, а система (1.1)—(1,3) имеет десятый порядок.
При переходе к модели КЛ считаем
дт дт д2т д2т д2т
¿1 = 02=0, (р1 = -— 1р2 = - — 1 К1 = __ = т= (1.4)
дх ду дх2 ду2 дхду
Система (1.1)—(1.4) имеет восьмой порядок и содержит три неизвестных функции: и, V, т. При этом изотропная и трансверсально-изотропная оболочки удовлетворяют одним и тем же уравнениям.
2. Система уравнений пологих оболочек с учетом сдвига. Приведем сначала систему уравнений пологих оболочек для модели КЛ [9,10]. Введем функцию усилий Ф по формулам
д2Ф д2Ф д2Ф
1 ду2 ' 2 дх2 ' дхду ^ ^
Тогда приходим к системе уравнений
—ДДФ -— -о Д-— —
ЕН Я дх2 ' дх2 ду2'
1 д2Ф
(2.2)
относительно двух неизвестных функций т и Ф. Первое из этих уравнений — уравнение неразрывности, а второе суть преобразованное третье уравнение равновесия (1.1).
Выведем аналогичную систему уравнений пологих оболочек для трансверсально-изотропной оболочки по модели ТР. Уравнение неразрывности (2.2) сохраняет свой вид. Для вывода остальных уравнений вместо углов поворота нормального волокна и ^>2 введем неизвестные функции Ф и © по формулам
<9Ф дв _ <9Ф дв
дх ду' ^2 ду дх Входящее в третье уравнение равновесия выражение
^ + ^ = -£ДДФ = С к (Дш - ДФ) (2.4)
дх ду
преобразуется к виду, не содержащему функцию ©. Выражение же
дЯг дQ2
(2.5)
ду дх
содержит только функцию © и для ее определения уравнения моментов (1.1) дают
С"у1~^АО - С'кО = 0. (2.6)
47
Следовательно, система уравнений равновесия трансверсально-изотропной оболочки распалась на уравнение (2.6) для функции © и на систему трех уравнений
1 д2т Я дх
1 д2Ф (2 7)
-БАФ = СН (т - Ф) для определения функций т, Ф, Ф.
Запишем еще систему уравнений (2.6), (2.7) в виде
^"1ДАФ+- =0 (г = *-
-ЯДДФ+10+^0, (2-8)
^^Дв - С'Ш = 0.
Первые два уравнения (2.8) содержат две неизвестные функции Ф и Ф и могут быть проинтегрированы отдельно.
Нагрузочный член дп зависит от рассматриваемой задачи: в задаче о свободных колебаниях
ЧП = рНш2т, (2.9)
где р — плотность материала, ш — частота колебаний; в задаче устойчивости при осевом сжатии
*> - (2-ю)
где Р — осевая сжимающая сила (при сжатии Р > 0).
3. Разделение переменных и асимптотический анализ. Предположим, что на криволинейных краях х = 0 и х = Ь заданы условия шарнирного опирания
V = и> = Т\ = М\ = (р2=0 при х = 0, Ь, р = ——. (3-1)
Ь
Тогда задача допускает разделение переменных: {V, т, ф2,Ти Т2,Мг, М2, Я2, Ф, Ф}(х, у) = {V, т, у2 ,ТЬ Т2, Мь М2, Я2, Ф, Ф}(х) вш(рх), {и, уь Б, Н, Яг, ©}(х, у) = {V, У2, Н, Яг, ©}(х) сои(рх),
(3.2)
где т — число полуволн в продольном направлении. В задаче устойчивости для получения минимальной нагрузки следует считать т = 1, а в задаче о колебаниях т может быть любым.
Решение системы (2.8) ищем в виде
5
у (у) = Е Ск ¥к еЧк У, (3.3)
к= 1
где буква У — заменяет любую из неизвестных функций в системе (2.8) и в соотношениях (3.2), Ук — постоянные коэффициенты, Цк — корни характеристического уравнения системы (2.8), Ск —произвольные постоянные. Для выполнения условий затухания при удалении от края у = 0 берем корни Цк с отрицательной вещественной частью (Жцк < 0). Если число таких корней не равно 5, то локализованного вблизи края у = 0 решения не существует.
На прямолинейном краю у = 0 рассматриваем граничные условия:
(3.4)
Согласно модели ТР элемент края пластины имеет 5 степеней свободы, поэтому задаем 5 граничных условий, выбирая по одному условию из каждой строки таблицы (3.4). Всего возможно 32 варианта граничных условий, которые будем помечать числами из единиц и нулей (например, жесткую заделку помечаем через 11111, а свободный край — через 00000). Упругую заделку края не рассматриваем. Для модели КЛ условия в последней строке (3.4) не ставятся, 91 = 71, а перерезывающая сила заменяется на Q2 — дН/дх.
Приведем задачу к безразмерному виду, положив
V = 0 или Т2 -- =0 (0)
и= 0 или Б = 0 (0)
й - =0 или Q2 =0 (0)
92 =0 или М2 =0 (0)
91 =0 или Н 0 (0)
Н2
м4
12(1 — V2 )Е2'
{х, у, и, V, т, Ф, ©} = Е{Х, у, и, V, й, Ф, ©},
Е
2
ЕНХ
91
Цп
Ф = ЕНЕ2Ф,
(3.5)
(1 — V )9М4' ™ Е {Ть Т2,5, Ql,Q2} = Ек{Ти Т2, §, $и$2}, {Мь М2, Н} = ЕкЕ{Ми Н}.
Здесь м — малый параметр толщины, 9 — сдвиговой параметр. Далее значок «А» опускаем.
Для задач колебаний и устойчивости нагрузка цп имеет один и тот же вид (3.5), причем параметр нагружения А является искомым. В силу формул (2.9) и (2.10) для задачи колебаний имеем
рЕ2^2
А
а для задачи устойчивости
А=
Е
Рр2 Ек '
Положим дополнительно в формуле (3.5)
А = 2мУ А.
(3.6)
Тогда, как показано ниже, А = 0(1), м ^ 0. Заметим также, что значение А = 1 соответствует классической критической нагрузке при осевом сжатии замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки [11, 12], а получаемые ниже значения А < 1
говорят о снижении нагрузки по сравнению с классической, связанном со слабым закреплением края у = 0.
Система уравнений (2.8) в безразмерных переменных принимает вид
ААФ - р2(Ф - д«4,АФ) =0 (т = Ф - ду4 АФ),
-р2Ф - у4ААФ + 2Л(Ф - д«4АФ) = 0,
¿2
ДД© -31© = О, Д = —г-р2.
¿у2
(3.7)
2
относительно д2 и имеет вид
Характеристическое уравнение системы (3.7) является уравнением пятой степени
^ (д) = Л(д)^ (д) = 0, (3.8)
где
Л(д)= у4 г4 + (р4 - Лг 2)С, ВД = г - дь г = д2 - р2, (3.9)
С =1 - д«4г. (3.10)
Проведем асимптотический анализ при у ^ 0 корней уравнения (3.8) в сравнении с корнями аналогичного уравнения, полученного по модели Кирхгофа—Лява. Для модели КЛ характеристическое уравнение получается из уравнения ^\(д) = 0 при С = 1, а уравнение (д) = 0 отсутствует. Полагая д = д*у-1/2р в уравнении ^ (д) = 0 и пренебрегая величиной р2 по сравнению с д2, приходим к уравнению д8 - 2Лд4 + 1 = 0, рассмотренному в [2—6].
Уравнение (3.8) содержит три основных параметра: малый параметр у, сдвиговой параметр д = Е/О' и параметр длины панели р = пЯ/Ь. Положим
д = (3.11)
и будем считать, что Л = 0(1). Будем рассматривать оболочку средней длины, для которой р = 0(1).
При а < 3 корни дк, к = 1, 2, 3,4, уравнения ^\(д) = 0 удовлетворяют оценке
дк = 0(у-1/2). (3.12)
Для изотропной оболочки д = 12(1 + ^)/5 = 0(1) и в силу оценки (3.12) и формул (3.9) и (3.10) с погрешностью порядка у3 будет С = 1, т. е. с указанной погрешностью корни характеристического уравнения для модели КЛ совпадают с первыми четырьмя корнями модели ТР. Пятый корень для модели ТР, равный
Ф = "у/91+Р(3-13)
имеет для изотропной оболочки порядок д5 = 0(у-2). Следовательно, использование модели ТР для изотропной оболочки является асимптотически непоследовательным [13], ибо ему отвечает напряженное состояние с длиной волны деформации, имеющей порядок толщины оболочки. Для трансверсально изотропной оболочки с сильной анизотропией (при а > 0) указанная непоследовательность исчезает, ибо длина волны становится больше толщины, что дает основания для использования двухмерной модели. Далее считаем а > 0.
Заметим, однако, что в задаче устойчивости при осевом сжатии анизотропия не может быть слишком сильной, ибо при
P
аи>С13, сги = т, (3.14)
п
материал оболочки теряет устойчивость [14]. Из неравенства (3.14) следует, что устойчивость материала обеспечена лишь при
5М2р2Л 5п2ДПЛ
откуда следует, что в (3.11) для задачи устойчивости а < 2. Для задачи колебаний этого ограничения нет.
4. Вычисление параметра нагружения Л. Выражения коэффициентов Ук в формуле (3.3) для корней Цк, к — 1, 2, 3, 4, Жцк < 0, уравнения —1(ц) = 0 имеют вид
1 р2
го=1к, = --гт-, 3>к = -Г2, Ак = 4-р2,
1 — дм4Дк Ак
(4.1)
2 2 Т\к — к Т2 к — ^Т\к + 1
= = -^ФД;, Т^Й = ~Р Фк, ик = -, Ук = - ,
Р Цк
91 к = —Р^к, 92к = —Цк Фк,
М2к = - »р2)Ък, Нк = м4(1 - *)ряк*к, Я2к = Чк +дР2к.
Для корня (3.11) Ц5 коэффициенты У имеют вид
«5 = «5 = ^5 = Т25 = 5*5 =0, 0 = 1, 915 = Ц5, 925 = Р, ЛЖ 4/1 \ ТТ А^-уМ+Р2) п Р (4'2)
М25 = -М><й(1 - ^ Н5 = -М -^-, 425 = -■
2 д
Для вычисления Л получаем уравнение в виде равенства нулю определителя пятого порядка
А5 (Л) = 0, (4.3)
составленного из величин Ук. При анализе их порядков считаем
Цк
= 0(^-1/2), к — 1, 2,3,4, ц5 = 0(^(а-4)/2), Ф = 0(1), Ф = 0(1). (4.4)
Путем умножения величин неизвестных функций У(у) на постоянные числа приведем их к виду, чтобы было Yk = 0(1) при k =1, 2, 3,4. Тогда получим табл. 1.
Таблица 1. Относительные порядки коэффициентов У^
1 2 3 4 5 6
V = 0 С1 0 Т2= 0 С4 0
и = 0 0 5 = 0 0
ю = 0 1 0 <92 = о »-ч ^-5/2
<Р2 = 0 Як М2 = 0 € №ь
<Р1 0 1 96 Я = 0 Як
В столбцах 1 и 4 таблицы приведены граничные условия, в столбцах 2 и 5 — приближенные коэффициенты Ук, к = 1, 2, 3, 4, формирующие первые четыре столбца определителя Д5(Л), а в столбцах 3 и 6 — коэффициенты У5, входящие в последний, пятый столбец определителя Д5(Л). Последняя строка в таблице 1 и последние строка и столбец в определителе Д5 (Л) появляются именно для двухмерной модели ТР, в модели КЛ они отсутствуют.
Будем сравнивать значения Л по моделям ТР и КЛ. Для удобства их сравнения в столбцах 2 и 5 таблицы 1 введены величины Лк такие, что
Пк = м-1/У/2Лк, П*к = 0(1), к = 1, 2, 3, 4, (4.5)
а также удовлетворяющие уравнению
Л8 - 2 ЛЛ4 + 1 = 0. (4.6)
Величины (4.5) удовлетворяют уравнению (<) = 0 с погрешностью порядка ц. При переходе к модели ТР появляются дополнительные граничные условия у>1 =0 или Н = 0, а характеристическое уравнение (5.5) имеет дополнительный корень <5.
Величины (4.5) были использованы для приближенного определения параметра нагрузки Л по модели КЛ в работе [2]. В результате было найдено шесть вариантов граничных условий, при которых имеет место локализация собственной формы в окрестности слабо закрепленного края. Эти варианты, приближенные значения Л и уравнения для их определения приведены в таблице 2. В столбце 2 указаны только геометрические граничные условия.
Таблица 2. Значения Ао по модели КЛ и приближенные уравнения
N шифр закрепления Ао уравнение
1 0000 свободный край 0.113 Д(-4, -3,3,2) = 0
2 0100 и = 0 0.223 Д(—4, -2,3, 1) = 0
3 0001 <£2=0 0.223 Д(—4, -3,3, 1) = 0
4 0101 и = 0, (£2 = 0 0.419 Д(—4, -2,3, 1) = 0
5 1000 V = 0 0.809 Д( —1, —3, 3, 2) = 0
6 0010 т = 0 0.809 Д(-4,-3,0,2) = 0
В табл. 2 для определителей 4-го порядка, составленных из корней уравнения (4.6), введены обозначения
Д(«1, «2, а3, а4) =
а-1 П*1 а 1 П*2 а1 П*3 а1 П*4
Па2 П*1 Па2 П*2 Па2 П*3 Па2 П*4
Паз П*1 Паз П*2 Паз П*3 Паз П*4
П*1 Па4 П*2 Па4 П*3 Па4 П*4
(4.7)
Обратимся к модели ТР и при вычислении определителя (4.3) будем разлагать его по элементам 5-го столбца. Относительные порядки ненулевых членов в пятом столбце определителя (4.3) таковы:
Н5 = 0(ра-7/2), <Р15 = о(ма/2-2), 325 = 0(м-5/2),
М25 = 0(ра/2-1), ^25 = 0(М1/2). ( . )
Рис. 2. Относительные порядки величин Y5.
Зависимость показателей ß(а) в оценках (4.8) Y5 = ü(ße) приведена на рис. 2. Ясно, что наибольшими являются величины H5 и Q25, однако при разложении определителя
(4.3) следует находить наибольшую из величин (4.8), входящих в граничные условия.
Пусть H = 0 является одним из граничных условий. Представим уравнение (4.3) в
виде
Д5 ( Л) = H5 A4 ( Л) + nQ25 А! ( Л) + П1 =0, (4.9)
где A4 (А) = 0 — уравнение, из которого определялись корни Л по модели КЛ, приведенные в таблице 2, a А|(А) —определитель четвертого порядка, получающийся из определителя А5 (А) вычеркиванием третьей строки и пятого столбца. Если Q2 = 0 — одно из граничных условий, то п = 1, в противном случае п = 0. При ß ^ 0 порядок П1 меньше порядков явно выписанных слагаемых в (4.9). При а < 1 будет Q25 ^ H5 и корни уравнений (4.3) близки к значениям А, приведенным в табл. 2.
Если же одним из граничных условий является необычное для двухмерных моделей условие = 0, то наибольшим из элементов пятого столбца будет Q25. Из табл. 1 следует, что для к = 1, 2, 3, 4 элементы ^1k и Wk определителя пропорциональны, следовательно, фактически наложено закрепление w = 0, что приводит к увеличению значений А по сравнению с приведенными в табл.2. Для корней уравнения (4.3), как правило, не удается найти близкие значения среди помещенных в табл. 2. Сказанное иллюстрируется при рассмотрении примера.
5. Численный пример. Исследуем теперь численно различие между моделями КЛ и ТР для вариантов граничных условий, приведенных в табл. 2. Для определенности возьмем v = 0.3, R/h = 500, p = nR/L = 1, а параметр анизотропии д = E/G будем менять в широких пределах, начиная с изотропной панели (д = 3.12) и вплоть до значения д = 104. Результаты численного решения уравнения (4.3) приведены в табл. 3.
В табл. 3 под номерами в графе N приведены те же граничные условия, что и в табл. 2, с добавленным условием H = 0, а под номерами с буквой а с добавлением закрепления =0. Шифр граничных условий приведен в соответствии с формулами
(3.4). Сравнение значений А в строках N говорит о хорошем согласовании значений в табл.2 и 3 при относительно небольшом уровне анизотропии (д < 103), а с ростом д наблюдается уменьшение А. Для вариантов граничных условий N = 1,2,3,4 добавление закрепления =0 особенно при небольших значениях д приводит к существенному
N шифр закрепления ё
3.12 10 102 103 104
1 00000 нет 0.121 0.121 0.121 0.121 (0.118)
1а 00001 <¿51 = 0 0.697 0.612 0.353 0.203 (0.144)
2 01000 и = 0 0.232 0.232 0.232 0.232 (0.226)
2а 01001 и = (р 1=0 0.947 0.848 0.508 0.327 (0.255)
3 00010 ¥>2 = 0 0.228 0.228 0.228 0.227 (0.217)
За 00011 <¿92 = <¿51 = 0 0.788 0.632 0.376 0.275 (0.231)
4 01010 и = <¿52 = 0 0.422 0.422 0.422 0.419 (0.398)
4а 01011 и = (Р2 = <¿51 = 0 0.984 0.850 0.580 0.471 (0.413)
5 10000 V = 0 0.819 0.819 0.818 0.814 (0.778)
5а 10001 V = (р 1=0 - - - 0.863 (0.787)
6 00100 ад = 0 0.814 0.814 0.814 0.809 (0.766)
6а 00101 V) = <¿51 = 0 0.814 0.814 0.810 0.809 (0.767)
увеличению параметра Л. Для варианта N = 6 добавление закрепления 91 =0 сравнительно незначительно меняет величину ЛБ, что связано с пропорциональностью первых четырех элементов в третьей и пятой строках определителя Аб(л) (см. табл.1). Для варианта N = 5а при небольших уровнях анизотропии локализованного решения не существует, что отмечено прочерками в табл. 3.
Неравенство (3.13) для принятых в примере значений параметров принимает вид
992 , ч
9<(5.1)
Л
поэтому для части приведенных в табл. 3 величин Л потеря устойчивости материала произойдет раньше, чем рассматриваемая выше потеря устойчивости панели. Эти значения Л в табл. 3 заключены в скобки. Однако в задаче о свободных колебаниях указанные в скобках значения Л имеют реальный смысл.
Добавление лишних закреплений в табл. 3 приводит к увеличению параметра Л, что соответствует вариационному принципу о зависимости собственных значений от налагаемых связей. Действительно, система уравнений (1.1) и естественные граничные условия в четвертом столбце формул (3.4) могут быть получены при варьировании по обобщенным перемещениям и, V, т, 91, 92 дополнительной энергии деформации
П = Пе + Пк + П, (5.2)
где Пе, Пк и П — энергии тангенциальной и изгибной деформации и деформации сдвига,
ЕН ГЬ ГУЧ 2 2 1 - V Л , ,
е\ + 2у£\£2 + е2 Н---—ш ) ах ау
'о Jо \ °
г Ь г- уо
24(1 — г/2) Уд Уо
2(1 - V2) Jо Jo \ ' 2
ЕН3 ГЬ Гу\ 2 2 . 2
пк = ——-тт- / / [кЛ + 2г/К1«2 + к. 1
ГЬ гУо
/ / («2 + 2vк1к2 + к2 + 2(1 - v)т2) йх(1у, (5.3)
оо
О'Н ГЬ ГУ0.
П <5 = ^/ I (52+52)д,хд,у,
2 J о J о
причем деформации в подынтегральных выражениях в формулах (5.3) вычисляются по формулам (1.3).
6. О погрешности системы уравнений пологих оболочек. Здесь пойдет речь о погрешности системы уравнений пологих оболочек для цилиндрической панели по сравнению с общей системой для непологих оболочек применительно к рассматриваемой задаче со слабо закрепленным прямолинейным краем. Вопрос о погрешности по сравнению с трехмерной задачей не рассматривается.
При выводе системы уравнений пологих оболочек приняты два допущения. Для угла поворота нормали 72 вместо точного выражения
дт и
72 = -^"д (6Л)
в (1.3) принято приближенное
ду
дт
72 = --¡Г- (6.2)
в (1.1) принято приближенное
и вместо точного уравнения равновесия
дБ дТ2 (2 , ,
дБ + дТ2 _0 ^ ^
дх ду
Заметим, что принимая выражение (6.1) для 72, при варьировании функционала (5.2) получаем уравнение (6.3).
Оценим сначала погрешность уравнений пологих оболочек для рассматриваемой задачи по модели КЛ. При т = 0(1) имеют место оценки
^ = и = о(мП = ^ = <>{>?>% =
(6.5)
откуда следует, что погрешность уравнений пологих оболочек для модели КЛ имеет порядок О(^) = 0(Н/Я).
Обратимся к модели ТР и ограничимся случаем а < 3. Как и для модели КЛ, Чи = 0(^-1/2), к — 1, 2, 3,4, имеют место оценки (6.5) для всех функций, кроме функции (2. Поэтому погрешность формулы (6.2) имеет порядок О(р). Представим функции (4.8) в виде
4
у = уа + С5У5, уа = ]тскУи, (6.6)
к=1
где У — любая из этих функций. В частности,
4
д2 = д2а + с5д25, д2а = У"сйд2й = о(м5/2), д25 = - = о(ма) (6.7)
к= д
и для оценки погрешности уравнения (6.4) нужно найти порядок коэффициента С5, который зависит от рассматриваемого варианта граничных условий. Пусть У = 0 — одно из этих условий. Тогда в силу равенства (6.6) |С5| < ), где ру —показатель
в оценках (4.8) и на рис. 2. Оценку C5 получаем, беря наименьшую из оценок по тем Y, которые входят в рассматриваемые граничные условия, или
C5 = O(pß*), ß* = max{-ßy}. (6.8)
Пусть выполнено хотя бы одно из условий H = 0 и Q2 = 0. Тогда из формулы (6.8) с учетом (4.8) и рис.2 сладует, что ß* > 5/2, т.е. погрешность уравнения (6.4) имеет порядок O(p).
Из рассмотренных в табл. 2 вариантов только случай N = 6a с закреплениями w = 91 =0 нуждается в дополнительном рассмотрении. В этом случае ß* = 2 — а/2 и с учетом того, что первые два слагаемых в уравнении (6.3) имеют в силу оценок (6.5) порядок O(M3/2) , погрешность уравнения (6.4) имеет порядок . Следовательно, при этих граничных условиях при а < 1 использование системы (3.7) уравнений пологих оболочек еще возможно, а при большем уровне анизотропии а > 1 невозможно, и нужно пользоваться точными соотношениями (6.1) и (6.3).
Литература
1. Ишлинский А. Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Докл. АН СССР. 1954. Т. 95. №3. C. 477-479.
2. Ершова З. Г. Устойчивость цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1993. Сер. 1. №3. C. 93-97.
3. Товстик П. Е. Колебания и устойчивость цилиндрических панелей со слабо закрепленным прямолинейным краем. В сб.: Динамика и устойчивость механических систем // Прикл. мех. Вып. 9. Изд. С.-Петерб. ун-та, 1995. C. 215-222.
4. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука. Физматлит, 1995. 320 с.
5. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. Москва, Ижевск. Регулярная и хаотическая динамика. 2007. 356 с.
6. Михасев Г. И., Товстик П. Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. М.: Наука. Физматлит, 2009. 256 с.
7. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.
8. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб. Изд. С.-Петерб. ун-та, 1996. 280 с.
9. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.
10. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. 384 с.
11. Lorenz R. Die nicht achsensymmetrische Knickung dünnwandiger Hohlzylinder // Physical Zeitschrift. 1911. Bd 12. N7. S. 241-260.
12. Тимошенко П. С. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки // Вестн. о-ва технол. 1914. Т. 21. С. 785-792.
13. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2007. Вып. 3.
14. Товстик П. Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании // ПММ, 2009. Т. 73. Вып. 1. C. 106-120.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
