Исследование локальной устойчивости пологих ортотропных оболочек на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

А. В. Михеев

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

1. Введение. Для решения задачи о потере устойчивости тонких пологих оболочек под действием безмоментных усилий в ряде случаев применим так называемый локальный подход. Коэффициенты системы уравнений устойчивости считаются постоянными («замораживаются»), а граничные условия игнорируются. Этот подход применим в тех случаях, когда деформация при потере устойчивости носит локальный характер, а закрепление края не является слабым (см. [1])

Локальная устойчивость оболочек при отсутствии основания. В статье [2] рассматривается локальный подход в случае отсутствия начальных усилий сдвига, в работе [3] исследован общий случай локальной потери устойчивости пологих оболочек. В книге [4] рассмотрен общий вид уравнений равновесия тонких оболочек и исследуется вопрос их устойчивости как для локального подхода, так и в других случаях, когда локальный подход неприменим.

Локальная устойчивость оболочек при наличии упругого основания. В статье [5] исследуется устойчивость пластин из ориентированных стеклопластиков, покоящихся на упругом винклеровском основании. В работе [6] рассматривается устойчивость тонких пластин и пологих трансверсально изотропных оболочек, лежащих на упругом основании и находящихся под действием безмоментных начальных усилий. Цель настоящей статьи — обобщить некоторые результаты, содержащиеся в работе [6], на случай ортотропных оболочек.

2. Постановка задачи. Рассматривается пологая ортотропная оболочка на упругом винклеровском основании, находящаяся под действием безмоментных начальных усилий. Предполагается справедливость гипотез Кирхгоффа—Лява, а также соотношений технической теории оболочек (см. [4]). Требуется получить общий вид уравнений устойчивости и выражение для критической нагрузки, а также вычислить критическую нагрузку и найти форму вмятин в конкретном примере. В качестве такового берется сферическая оболочка из однонаправленного стеклопластика.

3. Уравнения устойчивости пологих ортотропных оболочек на упругом основании. Введем на серединной поверхности рассматриваемой оболочки криволинейную систему координат а, в, совпадающую с линиями главных кривизн. Пусть А, В —коэффициенты первой квадратичной формы серединной поверхности оболочки, К\,К2 —главные радиусы кривизны. Определим новые координаты и параметры кривизны следующим образом: х = аА, у = вВ, кг = 1/Кг (г = 1, 2). Тогда система уравнений равновесия для пологой ортотропной оболочки на упругом основании в проекциях

© А. В. Михеев, 2007

на орты после деформации будет иметь следующий вид:

дТ1 дБ г ,

~д^+д^ + Ч1-°' {1’2}

Н—?;---Ь (&1 + ><1)71 + 2тБ + (к2 + ><2)Т2 + </п + Р = О,

дх

дМ1

ду

дН ^ ^

я 7)------------Н <?1 — О.

дх ду

{1, 2}

Здесь Т1,Т2, Б — тангенциальные усилия, ^1,^2 —перерезывающие усилия, М., М2, Н — изгибающие и крутящий моменты, ц.,ц2,цп —проекции ннтенсивности внешней нагрузки, отнесенные к единице площади серединной поверхности, Р — реакция основания,

Т1

Е1Це1 + г/21£2)

(1 — ^12^21) '

М.

Б = 012Н^, Н =

Ол2Ь?1

^1

ди1

—------

дх

ди1 ди2

<9у дх ’

д2г

К1

дх2

д2

дхду

Е\Ъ?(м:1 + г/21^2) 12(1 — ^12^21) '

{1, 2}

{1, 2}

Н — толщина оболочки, и1, и2, т — проекции перемещения, 012 —модуль сдвига в касательном направлении, ^12, V21 —коэффициенты Пуассона, символ {1,2} означает, что имеет место еще одно соотношение, полученное циклической перестановкой х, у; 1, 2.

Полагая нагрузку следящей, заменим каждую из входящих в систему (1) неизвестную функцию и1, и2, т суммами двух слагаемых и° + и1, и0 + и2, т° + т, где первые слагаемые — функции, соответствующие исследуемому напряженному состоянию, а вторые — их малые вариации. Произведя линеаризацию, получим следующую систему уравнений устойчивости:

дТг дв _ дх ду ’

дQl , дQ2

{1, 2}

дх

дМ1

ду

(6)

дН

я "я—I- ^51 — О’

дх ду

{1, 2}

где {Т1°,Т2°,Б0} = —Л{^1, ¿2, ^э}, Т°, Т0, Б0 —начальные усилия, Л — параметр нагружения. Величины ¿1, ¿2, ¿3 являются безразмерными и имеют порядок единицы. Введем функцию усилий Ф таким образом, чтобы удовлетворялись первые два уравнения системы (2):

Т1

д2Ф ду2 ’

Т2

д2Ф

дх2 ’

Б=

д2Ф

дхду

6

Тогда (2) преобразуется в следующую систему:

( _±_____VV1 ^21 ^ д4Ф | д _

\G12h E2h E\hJ дх2ду2 kW ’

1 д4Ф 1 <94Ф Al

E\h ду4 E2h дх4

h3 ( ^ d4w ^ <94w , d4w \

A

h3 f d4w d4w d4w \

12(1 — z/12z/21) Г1 5^ + + (2^ + 4Gl2(1 “ Vl2V2l))dx^) +

+ Ak Ф + At w + P = 0. (7)

d2 d2 d2 d2 d2

Здесь = E\v2i = E2v\2, Ak = k2j—^ + Ат = Tf-7—^ + 2S'0 —ьТ^тг—ñ.

dx2 dy2 dx2 dxdy dy2

Будем искать решения (3) в виде

iz ^ ^ iz px + qy

w = woe , Ф = Фое , где,г = ------——,

R

где R — характерный линейный размер серединной поверхности (например, радиус кривизны). Согласно модели винклеровского основания с коэффициентом постели, зависящим от волнообразования, рассмотренной в [7], для прогиба w, имеющего вышеуказанный вид, реакция основания имеет вид

_ Eoo,2tw

~ R ’

где г = \Jр2 + </2, Ео,щ — модуль Юнга и коэффициент Пуассона основания соот-

2а-и)) 0 /0,

ветственно, а2 = --------—--------. Выражая параметр нагружения из (3) и полагая

(1 + vo) (3 - 4vo) h

pi = Rki (i = 1, 2), h* = —, p = rcosip, q = rsin^, получаем

R

A _ A _ 1 ( ,/,2 2 f ( s , ^0a2 \

1 /г Ít(p) Vr2/i(^) *r 2 ^ h*r ) '

Здесь

44

sin p ( cos4 p ^ 1 V12 V21 \ 2-2

Y-' v,^ ^ 12 ‘-'21 \ 2 -2

/i(^) - —Б 1 p ^ ) COS ^Sm

El E2 \G 12 E2 Ei /

E1 cos4 p + E2 sin4 p + (2Ev + 4G12(1 - V12V21)) sin2 pcos2 p

h(P) = ----------------------------------77^------------Ñ----------------------------->

12(1 - V12V21)

fR(p) = (p2 cos2 p + p1 sin2 p)2, fT(p) = t1 cos2 p + 2t3 cos psin p + t2 sin2 p. Пусть E2 = c\E\, G\2 = C2E1, r = Tjñ: ш = g°?/9 > Л2 = тйг- Тогда

h1/2 E1hJ E1h*

1 ^ fR(p) , 2^ ^

где

4 cos4 p /1 V12 \ 2 2

/3(p) = Sin pH------------------------h-----------------Ciz/i2 sin pcos p,

C1 \C2 C1

cos4 p + c1 sin4 p + (2c1v12 +4c2(1 — c1v22))cos2 p sin2 p

Ji{p¡ i~o7l 2~1 >

12(1 - c1v122)

Критическое значение параметра нагружения получаем после минимизации функции Л2(^, р, и) по переменным 5, р:

Л2*(и) = шт + Л2(5, р,и) = Л2(5*, р*,и),

где знак + говорит о том, что ищется положительный минимум, а звездочка указывает на критические значения соответствующих величин. Предполагается также, что существуют такие р, при которых /т(р) > 0.

4. Пример. В качестве примера рассмотрим сферическую оболочку из однонаправленного стеклопластика, имеющего следующие механические характеристики [8]: Е\ = 5.27 * 104МПа, Е2 = 1.19 * 104МПа, = 5.62 * 103МПа, ^ = 0.25. В данном

случае р>1 = р2 = 1, С1 = 0.226, с2 = 0.107. При однородном сжатии сферы (случай 1) ¿1 = ¿2 = 1, ¿3 =0, при чистом сдвиге (случай 2) ¿1 = ¿2 =0 и ¿3 = 1, при сжатии вдоль направления а (случай 3) ¿1 = 1, ¿2 = ¿3 = 0, и, наконец, при сжатии вдоль направления в (случай 4) ¿2 = 1, ¿1 = ¿3 = 0. Проведем сравнительный анализ параметра критической нагрузки Л2* (и), параметра волнообразования 5* (и) и угла наклона вмятин р* (и) для нагружений, имеющих место в случаях в случаях 1-4.

4.1. Критическая нагрузка. Зависимость параметра критической нагрузки Л2* от коэффициента жесткости основания и при однородном сжатии (1), чистом сдвиге (2), сжатии вдоль направлений а (3) и в (4) отражена на рис. 1 и в таблице 1. Как видно из них, критическая нагрузка принимает наибольшее значение при сжатии оболочки вдоль направления а. Так, для и = 0 эта критическая нагрузка в 1,1 раза превосходит ту, что имеет место при сжатии вдоль в, для и = 0, 9 их отношение возрастает до 1,47. В случае отсутствия основания (и = 0) меньше всего отличаются друг от друга критические нагрузки при однородном сжатии и чистом сдвиге (их отношение ~ 0.97). При и = 0, 9 ближе всего друг к другу подходят критические нагрузки 1 и 4 (однородное сжатие и сжатие вдоль в). Их отношение становится приблизительно равным 0,96, в то время как для однородного сжатия и чистого сдвига оно уменьшается до 0,89. Наибольшее влияние жесткости основания на критическую нагрузку имеет место при однородном сжатии вдоль наиболее прочной параллели а (при возрастании и с 0 до 0.9 она увеличивается приблизительно в 3,05 раза). Далее следует чистый сдвиг (2,99 раза), затем — однородное сжатие (2,74) и, наконец, сжатие вдоль слабой параллели в (2,28).

Таблица 1

из 1 2 3 4

0 0.201 0.207 0.276 0.251

0,3 0.338 0.363 0.491 0.378

0,6 0.451 0.497 0.675 0.481

0,9 0.551 0.618 0.841 0.572

Рис. 1.

4.2. Параметр волнообразования. Теперь рассмотрим зависимость параметра волнообразования 5* от и (рис. 2 и таблица 2). Как мы видим, параметр волнообразования монотонно возрастает с увеличением и. Наибольшее значение он принимает при

сжатии вдоль в (возрастает с 2,31 при и = 0 до 3,39 при и = 0, 9), а наименьшим является в случае сжатия вдоль а (возрастает с 1,28 при и = 0 до 1,89 при и = 0, 9). Между ними лежат его значения при чистом сдвиге (с 1,76 при и = 0 до 2,67 при и = 0, 9) и однородном сжатии (с 1,92 при и = 0 до 3,14 при и = 0, 9).

Рис. 2.

Таблица 2

UJ 1 2 3 4

0 1.916 1.758 1.279 2.311

0,3 2.461 2.137 1.523 2.808

0,6 2.841 2.429 1.722 3.155

0,9 3.141 2.671 1.889 3.391

4.3. Угол наклона вмятин. Вмятины, образовавшиеся при потере устойчивости, наклонены к оси в под углом — р*. Зависимость р* от и отображена на рис. 3 и в таблице 3. В случае сжатия вдоль а угол наклона вмятин р* равен нулю, то есть вмятины всегда вытянуты вдоль в. При сжатии вдоль в угол р* монотонно возрастает от 1.22 при и = 0 пока не становится равным п/2 при и > 0, 7. В этом случае вмятины вытягиваются вдоль а. Угол наклона вмятин меняется в случае чистого сдвига с 0,85 при и = 0 до 0,91 при и = 0, 9, а в случае однородного сжатия —с 0,97 при и = 0 до 1,23 при и = 0, 9.

Рис. 3.

Таблица 3

UJ 1 2 3 4

0 0.967 0.852 0.000 1.220

0,3 1.106 0.887 0.000 1.361

0,6 1.178 0.900 0.000 1.481

0,9 1.225 0.905 0.000 1.571

Summary

A. V. Mikheev. Analysis of local stability of shallow orthotropic shells on the elastic base.

The problem of stability of shallow orthotropic shell on the elastic base is considered. The dependence of critical load parameter on the constants of shell’s elasticity and rigidity of the base is studied. As example we analyze the case of spherical shell made of unidirectional glass-fiber material.

1. Товстик П. Е. Потеря устойчивости тонких оболочек, связанная со слабым закреплением края // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астрон. 1991. №3. С. 76-81.

2. Работнов Ю. Н. Локальная устойчивость оболочек // Докл. Акад. наук СССР. 1946. Т. 52. №2. С. 111-112.

3. Ширшов В. П. Локальная устойчивость оболочек // Труды второй всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Киев, 1962. С. 314-317.

4. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995.

5. Пелех Б. Л., Тетерс Г. А., Мельник Р. В. Об устойчивости стеклопластиковых пластинок, связанных с упругим основанием // Механика полимеров. 1968. №6. С. 1082-1088.

6. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Известия РАН. 2005. Вып. 1. С. 147-160.

7. Ильгамов М. А., Иванов В. А., Гулин Б. В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1977.

8. Чамис К. Анализ и проектирование конструкций. Т. 7. М.: Машиностроение, 1978.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.