Реакция упругого предварительно напряженного отротропного основания Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 4

П. Е. Товстик

РЕАКЦИЯ УПРУГОГО ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО ОТРОТРОПНОГО ОСНОВАНИЯ*

В линейном приближении рассматривается реакция упругого предварительно напряженного ортотропного полупространства на .заданные перемещения его поверхности. Эта задача является вспомогательной при исследовании устойчивости пластин и оболочек, опирающихся на упругое основание или имеющих упругий .заполнитель.

Введение. Исследование деформаций и устойчивости пластин и оболочек, лежащих на упругом основании или содержащих упругий заполнитель, приводится к трехмерным задачам теории упругости [1]. При приближенном подходе влияние основания можно учесть коэффициентом постели, т.е. его реакцией, пропорциональной прогибу пластины (оболочки). При потере устойчивости может быть использован локальный подход [2-3], при котором прогиб аппроксимируется двояко-периодической функцией. В этом случае для реакции изотропного основания известна формула [3-5], учитывающая упругие свойства основания и характер волнообразования. В настоящей статье обсуждается реакция трансверсально-изотропного предварительно напряженного основания. Исследовано влияние начальных напряжений в основании (заполнителе) на потерю устойчивости пластины и цилиндрической оболочки под действием внешнего нормального давления. Исследовано влияние анизотропии на устойчивость поверхностного слоя (см. также [4]) и материала под действием начальных напряжений.

Следует иметь в виду, что полученные формулы для коэффициентов постели пригодны лишь вдали от краев пластины (оболочки). Некоторые результаты, касающиеся влияния краев, имеются в [6].

1. Уравнения равновесия и соотношения упругости. Уравнения равновесия предварительно напряженного полупространства имеют вид

дхл

-А„

0,

А„

д2и

ц дх2 '

г,3 = 1, 2, 3,

(1.1)

где х\, Х2, хз = г — декартовы координаты в тангенциальных (х\, Х2) и нормальном (хз = г) направлениях, иг —соответствующие смещения, а0 —постоянные начальные напряжения, агц —дополнительные напряжения.

Для изотропного однородного материала соотношения упругости содержат две константы (Е0, щ):

Гы = Е(

(1 - щ)ец + + £кк)

(1 + г/о)(1 — 2 г/о)

г = 3 = к, ац = Оо£ц , О0 =

Ео

2(1 + ^о)

, (1.2)

где деформации равны

дщ дхг

диг диц дхл дхг

г = 3.

(1.3)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04.01.00257). © П. Е. Товстик, 2006

о

и=

Для трансверсально-изотропного материала — пять констант (Ео, Е', О', ио, и'):

(1 - 92)ец + (г/о + /2)£22 + V'(1 + ^о)езз

<711 — £>0-77—1-^77.-^7777-, <713 ~ ^£13,

(1 + vо)(1 - vо - 2/2) Р (1 ~ г>2)£22 + (г^о + У2)еп + ^(1 + ^о)езз п л)

<722 =^0-7—-77---^т-, СГ23 = СГ£23, и-4^

(1 + ио)(1 - V0 - 2/2) Eоv'(£ll + £22)+Е'(1 - Vо)£з3 „

0"33 — -:-Г^З-, <712 — Ь-О£12,

1 - V0 - 2/2

Наконец, для ортотропного материала — девять констант:

ац = Е* (еи + £¿2 + V*кекк) , г = 1, 2, 3, ^ = О^е^, г = ] = (1.6)

где

где

Щ] + УгкУкр _ _Е%_

'ЪЭ 1 - Чк^к] ' 1 - - У*1куы ''

4 = 7 . . ^ „*„ „*„ , (1-7)

причем

(1.8)

^ ^ Е2, Е2 = Е2г, = О2, (1.9)

2

Е - Е2 ^, и- е2 у.

Для формул (1.2), (1.4) и (1.6) можно использовать краткую форму записи:

причем для изотропного материала

_ Е0(1 - у0) _ ЕУо _ Е0

(1.10)

для трансверсально-изотропного материала

Д0(1-Р2) „ ДоЬ + г?2)

Еи-Е22- (1 + уо)(1-»о -2РУ _ (1 + г/о)(1 — г/о — 2г/2)' " ~ }

1 - и0 - 2г/2 1 - и0 - 2г/2

(1.11)

причем Ец - Е12 = 2Оо.

2. Построение двояко-периодического решения системы (1.1). Решение системы (1.1) с волновыми числами Г1 и г2 ищем в виде

и1 = П1(г) ео8(г1Ж1) 8^1(^x2), <713 = <13(г) 003(^x1) 8^1(^x2), П2 = и2(г) Б1п(г1 Ж1)сов(г2Ж2), <23 = <23(г) 81п(г1Ж1)ео8(г2Ж2),

(2.1)

и3 = и3(г) 8т(г1 Х1)зт(г2Х2), <12 = <12(г) 003(^x1)008(^x2), {а11, «22, «33} = (ац(г), в22(г), в33(г)} 8т(г1Х1)8т(г2Х2),

<

где ui, aij —дополнительные перемещения и напряжения. Тогда система (1.1) приводится к виду

(Gis + a0)u'{ - ((E11 + a0)r¡ + (G12 + a2>2)ui - (E12 + G12)r1r¡u¡ + (G13 + Eis)riu'3 = 0, (G23 + ОзХ - ((E¡¡ + a¡)r¡ + (G12 + a0)r¡)u¡ - (E12 + G12)r1r¡U1 + (G¡s + E¡3)r¡u'3 = 0, (E33 + - ((G13 + a"2)r ¡ + (G¡3 + a0)r¡)u3 - (E13 + G13)r1u1 + (E¡3 + G23)r¡u'¡ = 0,

(2.2)

причем выражения для напряжений имеют вид

a 13 = Gi3(u'1 + T1U3), a 23 = G23 (u'2 + T2U3),

V2'3/

азз = —E13T1U1 — E23T2U2 + E33и'3.

Для трансверсально-изотропного материала система (2.2) 6-го порядка после введения новых неизвестных

и = (T1U1 + T2U2)/т, v = (т2 U1 — T1U2)/r, т2 = т2 + т2 (2.4)

распадается на системы 4-го и 2-го порядков

(G' + a0)u'' — (E11 + а0)т2 u + (С + E13 )tu3 = 0,

— (С + E13 )tu' + (E33 + a0)U3' — (G + ao)r2 U3 = 0, (25)

(G' + a0)v" — (G + ao)r2v = 0, r2ao = r2 a0 + r2 a0. Ищем решение, затухающее при удалении от поверхности z = 0:

ui,aij ^ ж при z ^ —ж. (2.6)

Решение системы (2.2), удовлетворяющее условию (2.6), имеет вид

3

Uj(z) = ^ CkufeXkz, j = 1, 3, Re(Xk) > 0, (2.7)

k=1

где —корни ее характеристического уравнения.

Пусть сначала материал изотропный. Тогда решение системы (2.5), удовлетворяющее условию (2.6) и условиям их(0) = и°, и2(0) = и°,из(0) = и3, имеет вид

и(г) = О\хеХ1ТХ + С^в^*, и3(г) = С^1" + С2 Ме^'*, у(г) = у°вХзГ*, (2.8)

где

Ci = Aa2"a°2 g2 = AA1itf2_"°, U0 = (r1U01+r2U02)/r, v° = (r2M? - rlU¡)/r.

Теперь находим напряжения при z = 0 по формулам (2.3):

ai3(0) = r(ci1u0 + Ci2U° + Ci3u3), г = 1, 2, 3, (2.10)

где соэффициенты с^ равны

(А2-Л1И, Л

Си = Со Л1 + -

(1 - Л1Л2

2

С12 = С21 = С(

(Л2 ~ Л1)ПГ2

(1-Л1Л2)Г2 :

2

С22 = Со Л1 +

(Л2 - Л1У1 4 (1-Л1Л2)г^

2

^ (1 - 2Л1Л2 + Л1)п (1 - 2Л1Л2 + Л2)Г2 2Со(1 + V)Л1(Л2 - 1)

С13 — Ь-0-т-г—г—г-, С23 — Ь-0-у-г—г г-, Сзз — —

г(1 - Л1Л2)

2

г(1 - Л1Л2)

Л1Л2 1

2СоГ1(Л2(1 - V) - V - Л1Л2(1 - 2v)) 2С0Г2Л (1 - V) - V - Л1Л2 (1 - 2v)) сз1 =-г;-;—г-:?^—^-> сз2 = —

г(1 - Л1Л2)(1 - 2v)

г(1 - Л1Л2)(1 - 2v)

(2.11)

Приведем первые члены разложений коэффициентов с^ при малых <о/Оо и 730/Оо:

С11 = Со

4(1 - у)г\ + (3 - 4у)г1 (7 - 20у + 16у2)г\ + (3 - 4у)2г1

- 030

(3 - 4у)г2 ' + а°

(11 - 28v + 16v2)r2 + (3 - 4v)2г2

2(3 - 4v)2г2

С21 = С12 = Со

2(3 - 4v)2г2

Г1Г2

(3 - 4v)г2

(1 - 2v)г1г2 (1 - 2v)г1г2 — а017.-:—--о-зо-

(3 - 4v)2г2

(3 - 4v)2г2

С22 = Со

4(1 - у)г1 + (3 - 4у)г\ (7 - 20у + 16^2)г| + (3 - 4у)2г1

- 030

С31 = Со С32 = Со С13 = Со С23 = Со Сзз = Со

(3 - 4г/)г2 ' + а°

(11 - 28у + Му2)Г1 + (3 - 4у)2г1 2(3 - 4у)2г2 :

2(1 - 2v)rl п

(3 - 4v)г

2(1 - 2у)г2

(3 - 4v)г

2(1 - 2у)п

(3 - 4v)г

2(1 - 2у)г2

(3 - 4v)г 4(1 - V)

- 00

- 00

- 00

- 00

2(3 - 4v)2г2

Г2

2(3 - 4v)2г2

П

2(3 - 4v)2г2

Г2

2(3 - 4v)2г2

- 030

- 030

- 030

- 030

2(3 - 4v)2г2

(7 - 8v)п

(2.12)

13 - 28v + 16v2

+ 00—7Г1—т--030

2(3 - 4v)2г'

(7- - 8у)г2

2(3 - 4v)2г'

(5- - 8у)п

2(3 - 4v)2г'

(5- - 8у)г2

2(3 - 4v)2г'

5 - 20 у + 16 V

v = v0.

3 - 4^ 2(3 - 4v)2 2(3 - 4v)2 '

Если при г = 0 заданы условия скользящего контакта <13 = а23 =0, из = и|°, то

<33 (0) = ГС33 и°, С33 = сзз + С31 и** + сз2и*2, (2-13)

где величины иЦ и и2 находим из уравнений

сциЦ + С12и2 + сН3 = 0, С21 и*2 + С22и*2 + С23 = 0- (2-14)

Однако проще найти коэттициент с33, не пользуясь формулами (2.12). В решении (2.8)

С1 =

2мзо

1-лг

С = -

(1 + А?)ц30 А2(1-А?) '

В силу формул (2.3) и (2.4)

с*3 = 2Оо

2(1 - 2Щ)Х1Х2 + {щ - Л|(1 - щ)){Х\ -(1-2Щ)\2(1-\\)

(2-15)

(2-16) 101

2

Первые члены разложения коэффициента С33 при малых начальных напряжениях имеют вид

„ Со , 7 - 12г/р + 8г/2 3 - 12г/0 + 8г/2 С33 = 8(1-,о)2 "а3° 8(1 — г/о)2 • (217)

Рассмотрим теперь трансверсально изотропное основание и ограничимся определением коэффициента С33. Решение системы (2.5), удовлетворяющее условию (2.6), имеет вид

и(г ) = С1вХ1Г* + С2вЛ2Г2, и3(г) = Сф^1 + С^в^*, (2.18)

где

к=1Л МА,)>0, (2.19)

а Л1, Л2 —корни характеристического уравнения для первых двух уравнений системы (2.5) при г =1.

В случае жесткого контакта и0 = и|° = 0 имеем

сзз = Е33(Х1Ь1С1 + Х2Ь2С2), С\ = -С2 = (2.20)

01 - 02

В случае скользящего контакта <13 (0) = <23(0) = 0 находим

= ¿ЫАЛС! + Х2Ъ2С2) - Е^С, + С2), С\ = — 2—, С2 = 1—гЦ--

Л102 - Л201 Л102 - Л201

(2.21)

Рассмотрим теперь ортотропный материал общего вида, однако ограничимся случаем плоской деформации, при которой в системе (2.2) и2 = г2 = 0. Тогда система (2.2) принимает вид

(2.22)

(О13 + ток - (Е11 + <0)г2и1 + (О13 + Е13)пи3 = 0,

(Е33 + <0)и3' - (О13 + <0)г2и3 - (Е13 + О13)г1и1 = 0,

где

Е1(1 - и23и32) Е3(и13 + и12и23) „ Е3(1 - и21)

Ей--д-, Е13--д-, ЕП--д-, (2 23)

Д = 1 - и12и21 - и32и23 - и13и31 + и13и32и21 + и31 и12и23.

После замен и1 = и, г1 = г система (2.22) совпадет с первыми двумя уравнениями системы (2.5), поэтому и формулы (2.20) и (2.21) сохраняют свой вид.

3. Многослойное основание. Рассмотрим основание в виде чередующейся системы тонких плоских изотропных слоев, параллельных свободной поверхности, с параметрами

Еп

Еп, г/„, Сп = "—¡гп, п = 1,2. (3.1)

2(1 + ип)

Осреднение упругих свойств по толщине слоев приводит к конструктивно трансвер-сально-изотропному материалу. Найдем его эквивалентные упругие модули Е^, входящие в формулу (1.9).

Соотношения упругости для каждого из слоев имеют вид

= = п = 1,2. (3.2)

тп

При этом исходим из допущения, что для соседних слоев непрерывны деформации £11, £12, £22 и напряжения а13, а2з, "33:

е(1) = £(2) £(1) = £(2) £(1) = £(2) а(1) = а(2) а(1) = а(2) а(1) = а(2) (3 3)

£11 _ £11 , £12 _ £ 12 , £22 £22 , "13 _ "13 , "23 _ а23 , а33 ~ а33 ■ У0-0)

С учетом соотношений (3.2) и (3.3) получаем формулы (1.9), в которых

hi + h2 _ Jh_ Jv2_ f„ _ En(1 ~ vn) _ , 2 fei + h2 _ fei h2 Езз ~ E^ + EU 33 ~ (l + ^)(l-2^)' ' ' G\3 ~Gi G2'

F _ F __EiE2 (Ьлщ(1 - v2) + h2v2(l - vi))_

13 ~ 23 ~ Е2Ьл{1 + z/i)(l - 2z/i)(l - i/2) + E\h2(l + z/2)(l - 2z/2)(1 - г/i)'

Z • En = Z • E22 = h1h2 (Ef(1 + ^1)2(1 - 2^1) + E2(1 + ^2)2(1 - 2v2)) +

+E1E2 ((h2 + h2)(1 - v2)(1 - v2) + 2h1h2V1V2(1 + V1)(1 + V2)),

Z • EX2 = feife2 (Ef(1 + vi)2(1 - 2vib + E2(1 + V2)2(1 - 2v2)vx) +

+EiE2(1 + vi)(1 + V2) ((h2vi(1 - V2) + h2V2(1 - vi) + 2hih2ViV2) , Z = (hi + h2) (E2hi(1 + vi)2(1 - 2vi)(1 - V22) + Eih2(1 + V2)2(1 - 2v2)(1 - v2)) .

(3.4)

Пусть заданы тангенциальные начальные деформации £0, £0 и нормальное начальное напряжение аТогда тангенциальные начальные напряжения будут равны

о = (Ei (el + щ£02) + (1 + vi)ag)fei (E2(el + v2e°2) + (1 + v2)cj03)h2

(1 -v¡)(hi + h2) + (l-v$)(hi + h2) ' 0 = (EI(£°2 + i/l£°) + (1 + iyi)a°3)hi (E2(e°2 + + (1 + i/2)<rg)fe2 ^ (1 - vl)(hi + h2) + +

4. Устойчивость пластины на упругом основании. Рассмотрим устойчивость изотропной однородной пластины с параметрами E, v, fe, лежащей на упругом основании, под действием начальных усилий T0, T2 . Уравнение устойчивости имеет вид

^.-T^-rífl+^O, (4.1)

Пусть прогиб w = wo sin rixi sin Г2Х2, тогда давление p равно

p = азз (0)= E33 сззг«3 = 0. (4.2)

Положим

T0 = -EhXtk, к = 1, 2. (4.3)

Тогда параметр нагружения Л равен

_Рг4 + Е33С33Г

Eh(tirl+t2r22y

Критическое значение Л* находим при минимизации выражения (4.4) по волновым числам ri, Г2. Как правило, волнообразование происходит при ri =0 (при > ti) или Г2 =0 (при ti > t2). Если же ti = t2, то критической нагрузке отвечает множество форм потери устойчивости при r2 + r\ = r2 = const. Пусть t = max{ti, t2} = 1, тогда

, P2 , E33C33 t /6(1 - v2)E33СЗЗ\1/3 ЗЕ33C33

= 12(1 — v2) ~Ep ' p = rh> P={-Ё-) ' =

Условием применимости уравнения (4.1), а вместе с ним и формул (4.5) является требование, чтобы длина волны деформации на поверхности пластины L = 2n/r была много меньше ее толщины, т.е

P* < 1. (4.6)

Нас интересует зависимость критической нагрузки от начальных напряжений в основании. Рассмотрим отношение

Асзз\2/3

"=лгШ ■ (">

где А0 и С33 — значения соответствующих величин при отсутствии начальных напряжений в основании. Следовательно, вопрос об их влиянии сводится к исследованию зависимости от них коэффициента С33.

В качестве примера рассмотрим пластину на трансверсально-изотропном основании, находящуюся под действием нормального давления а0 и сжатую с боков вместе с основанием равномерной деформацией ео. Будем искать критическое значение £0. Начальные усилия в пластине и напряжения в основании равны

=Т2 =+ ах = сг2 = +^31^3, ^31 < у-^-• (4.8)

После подстановки в уравнение (4.1) для ео получаем

_еп = _ (1 - У)Еззсзз

0 (I - 1у)Е + 12(1 +1у)+ Ер ' [ '

Минимизация по р опять приводит к соотношениям

« _ (6(1 — 1У2)Еззсзз ^ , _ уо% , 3(1 — 1/)Еззсзз

Р -{ Е ) ' "£° - (1 - и)Е + 2Ёр* ' (410)

однако, строго говоря, в силу зависимости С33 от ео это уже система уравнений относительно ео и р*, которую удобно решать методом итераций. Возьмем следующие численные значения параметров:

Ео/Е = 10~3, v = 0.3, 1/0 = 0.4, f = (4.11)

Eo Go V 2

Будем менять параметры ц и . Результаты представлены в таблице 1. 104

Таблица 1. Критические значения параметров при потере устойчивости пластины

V Р* ео/еоо

1 -С1з/2 0.448 -0.0383 0.867

0.1 -С13/2 0.172 -0.0057 0.595

0.01 -С1з/2 - - -

1 0 0.463 -0.0413 0.931

0.1 0 0.206 -0.0082 0.852

0.01 0 0.084 -0.0013 0.635

1 С1з/2 0.477 -0.0438 0.988

0.1 С13/2 0.225 -0.0098 1.021

0.01 С1з/2 0.111 -0.0024 1.120

Видим, что влияние начальных напряжений в заполнителе весьма существенно и в рассмотренном примере достигает десятков процентов (см. последний столбец таблицы, в котором приводится отношение критической деформации при учете этого влияния к деформации, найденой без его учета). В строке с прочерками заполнитель теряет устойчивость раньше, чем опирающаяся на него пластина.

5. Устойчивость ортотропного материала и поверхностного слоя. В линейном приближении изотропный материал теряет устойчивость при очень больших начальных напряжениях, равных модулю сдвига. Поверхностный слой теряет устойчивость при меньших напряжениях, однако имеющих тот же порядок. Для ортотропного материала потеря устойчивости происходит при существенно меньших напряжениях — порядка наименьшего из модулей сдвига. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Характеристическое уравнение для первых двух уравнений системы (2.5) (при г = 1, О' = 013) имеет вид

(С13 + а°)(£зз + +

+ ((О13 + Е13)2 - (О13 + а°)(Охз + а°) — (Еп + а0)(Е33 + а°))Л2 +

+ (ЕЦ + а°)(О1з + а°)=0. (5.1)

Уравнение (5.1) записано для трансверсально изотропного материала. Тот же вид имеет это уравнение и для произвольного ортотропного материала при потере устойчивости в плоскости Ж1Ж3.

Положим Л2 = 2 и запишем уравнение (5.1) в виде аг2 + Ьг + с = 0. Критерием потери устойчивости материала является наличие чисто мнимых корней у уравнения (5.1). Границами области устойчивост являются равенства а = 0 и с = 0. Материал теряет устойчивость при

—ст° > ш1п{Е11, О13} или — а° > шт{Е33, О13}. (5.2)

В качестве примера рассмотрим материал из чередующихся мягких и жестких слоев. Пусть (как и в п. 3) заданы тангенциальные начальные деформации е® и е° и начальное напряжение в°, причем е® = е° = е°. Тогда формулы (3.5) дают эквивалентное начальное напряжение

а° =

(Е1е° + а3>1 (Е2 е° + а3>2

(1 - чХЬ + ь2) + (1-щ)(ьЛ + к2у (5-3)

При + О13 > 0 критерием устойчивости такого материала будет а° + О13 > 0 или

105

с учетом (3.4)

—£ < G13 hi + h2 + По

+

1 — Vi 1 — V2

E\h\ E2h2

1 — Vi 1 — V2

По =

G

13

(5.4)

Таблица 2. Зависимость критического значения деформации при потере устойчивости многослойного материала

E2/EÍ h 2 /hi Va = -0.5 Va = 0 Va = 0.5

1 1 0.077 / 0.461 0.269 / 0.860 0.462 / 0.943

0.1 1 0.025 / 0.879 0.089 / 0.963 0.153 / 0.983

0.1 10 0.046 / 0.741 0.161 / 0.926 0.276 / 0.963

0.01 1 0.003 / 0.988 0.011 / 0.996 0.018 / 0.988

0.01 10 0.008 / 0.965 0.030 / 0.988 0.052 / 0.995

В числителях в таблице 2 при vi = V2 =0.3 для ряда значений E2/E1, h^/hi и Па приведены критические значения деформации —е0. Видим быстрое уменьшение —е0 с уменьшением отношения E2/Ei и сильную зависимость от напряжения <г°, представленного через параметр па. Отметим также, что замена отношения h^/hi = 10 на h2/hi = 0.1 не меняет критического значения е0 и что величина —е0 минимальна при h2/hi = 1.

Потеря устойчивости свободного поверхностного слоя происходит раньше, чем для внутренних слоев материала. Воспользуемся решением (2.18), затухающим при удалении от свободной поверхности, и подставим его в уравнения <ri3(0) = 033 (0) = 0. Ненулевое решение относительно констант C существует при

Ei3 (Ai — Л2 + bi — 62) + E33 (Ai A2(bi — 62) + bib2(Xi — X2 )) = 0,

(5.5)

где Ьь задаются формулами (2.19).

Для иллюстрации рассмотрены те же многослойные материалы и в знаменателях в таблице 2 приведены отношения критических деформаций при потере устойчивости вблизи свободной поверхности к критическим деформациям материала, приведенным в числителях.

6. Устойчивость цилиндрической оболочки с заполнителем. Рассмотрим устойчивость тонкой круговой цилиндрической оболочки радиуса Д, длины Ь и толщины Н с упругим изотропным заполнителем под действием внешнего нормального давления р, критическое значение которого является искомым. Пусть упругие параметры оболочки и заполнителя суть Е,и и Еосоответственно. Считая края оболочки шарнирно опертыми, ищем ее прогиб в виде

w(s,y>)= wo sin ris sin T2^, ri = nR/L, Г2 Для окружного усилия T2 получаем T2 h2r4 r4 etr , ч h2

Eh

+

+

0 < s < L/R.

cEo

h* m2

12(1 — v2)r2 '

E y/12(1 — v2) '

(6.1)

(6.2)

Здесь Н* — малый параметр тонкостенности оболочки, в* — малый параметр жесткости заполнителя. Считаем, что оболочка имеет среднюю длину (гх ~ 1) и при потере устойчивости образуется большое число то волн в окружном направлении. Тогда в (6.2) можно считать приближенно г = \/г2 + г^ — то.

i

o

h

h

а

i

2

3

2

m2r4

Правая часть выражения для содержит три слагаемых, учитывающих соответ-ствено жесткость оболочки на растяжение, ее жесткость на изгиб и реакцию заполнителя. Критическая нагрузка определяется в результате минимизации по т. Анализ показывает, что при в* ^ h* А влиянием жесткости заполнителя можно пренебречь. При в* ^ hj'4, наоборот, можно пренебречь влиянием жесткости оболочки на изгиб. При в* ~ h*/4 все три слагаемых в выражении для T2 в равной мере существенны.

Найдем связь усилия T2 с внешним давлением р. Предположим для простоты, что v = vo и как оболочка, так и заполнитель находятся в условиях плоского напряженного состояния. Тогда

rp PRa Р (1 - v)Eh

+ 2 = ——, сто = ег„. = (Tvv = ——, а=-———, (6.3)

1 + а 1 + а E0R

где arr и avv —начальные напряжения в заполнителе. Для константы c в (6.2) используем приближенную формулу (2.12), которая дает

с= 4(1 — щ)<7р

(1 + г/о)(3 — 4г/о) (3 — 4i/o)2Eo ' У'>

В качестве примера рассмотрим оболочку с параметрами L/R = 3, R/h = 200, v = vo = 0.3 и с переменной жесткостью заполнителя. Результаты вычислений представлены в таблице 3. В столбце 2 приведены критические значения т и р/(ER), найденные без учета начальных напряжений в заполнителе, а в столбце 3 — с их учетом.

Таблица 3. Зависимость критического давления от жесткости заполнителя

Ео/Е m p/(ER) m p/(ER)

0 6 0.00000056 6 0.00000056

КГ7 8 0.00000229 8 0.00000229

Ю-6 17 0.0000104 17 0.0000104

КГБ 37 0.0000482 37 0.0000476

Ю-4 81 0.000229 78 0.000216

3 • Ю-3 118 0.000524 111 0.000461

Ю"3 174 0.00133 152 0.00102

3 • КГ2 255 0.00424 216 0.00305

Видим, что жесткость основания начинает сказываться при весьма малых значениях отношения Ео/Е, а влияние начальных напряжений в заполнителе — с Ео/Е = 10~5. В связи с большим числом волн т использование двухмерной модели для оболочки в последних строках приводит к погрешности.

Summary

P. E. Tovstik. Reaction of the elastic pre-stressed orthotropic foundation.

In the linear approximation the reaction of the elastic pre-stressed orthotropic semi-space at the given deflections of its surface is studied. This problem is an auxiliary one in the investigations of the plates and shells buckling in the presence of the elastic foundation or filling material.

Литература

1. Ильгамов М. А., Иванов В. А., Гулин Б. В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1978. 332 с.

2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

3. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Изв. РАН. МТТ. 2005. №1. С. 147-160.

4. Морозов Н. Ф., Паукшто М.В., Товстик П. Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 130-139.

5. Товстик П. Е. Устойчивость многослойной пластины на упругом основании // Труды 3-й всерос. конф. по теории упругости. Ростов-на-Дону. 2003. С. 365-368.

6. Черняев С. П. Влияние краев на устойчивость пластины, лежащей на упругом основании // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 144-148.

Статья поступила в редакцию 8 июня 2006 г.