Начальное послекритическое поведение трансверсально-изотропной упругой среды при потере устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАЧАЛЬНОЕ ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ПРИ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ*

H. Ф. Морозовi, П. Е. Товстик2

I. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, академик РАН, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Введение. Рассматривается трансверсально-изотропная однородная упругая среда при однородном сжатии в плоскости изотропии. При достижении определенного уровня начальной деформации среда теряет устойчивость по Адамару [1]. При этом установлено [2-4], что критическая деформация однозначно определяется из системы уравнений бифуркации равновесия, однако этой деформации соответствует множество форм потери устойчивости. В работах [2-4] решение системы уравнений бифуркации построено в виде двоякопериодических функций вида sin rixi sin Г2Х2. Неоднозначность формы потери устойчивости заключается в том, что волновые числа ri и Г2 остаются произвольными. В задаче об устойчивости пластины на упругом основании [5] однозначно определяется величина г = \Jr\ + г\. Величину г также можно найти для неоднородного в вертикальном направлении пространства [3], для полупространства с учетом объемной и поверхностной диффузии [6]. Однако соотношение между волновыми числами ri и Г2, определяющее форму потери устойчивости, остается неопределенным. В последние годы возрос интерес к ее определению. В ряде экспериментальных работ (см. [7]) указывается появление «шахматной» формы потери устойчивости. Теоретически для пластины на упругом основании шахматная форма (ri = Г2) была впервые получена [8] в результате рассмотрения начального послекритического поведения пластины. В работе [5] эти исследования были продолжены.

В настоящей работе сделана попытка определить соотношение между волновыми числами ri и r2 в результате рассмотрения начального послекритического поведения материала. Был исследован один из двух возможных типов потери устойчивости. При этом оказалось, что возможными явлаются только формы типа шахматной доски при ri = r2 и формы типа стиральной доски или гофра, при которых одно из волновых чисел ri или Г2 обращается в нуль. Будем для краткости называть эти формы шахматными или гофровыми.

1. Нелинейные уравнения возмущенного движения и равновесия. Упругий потенциал трансверсально-изотропного материала возьмем в виде

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00244-а, 09-01-92002-НН0-а).

© Н.Ф. Морозов, П. Е. Товстик, 2011

(1.1)

где

_ 1 / дщ_ дщ_ д^диЛ

^ 2 дхг дхг дх^ у ’

щ — проекции перемещений, Ец, — модули упругости, удовлетворяющие для транс-

версально изотропного материала соотношениям

Е11 = Е22 = Е12 + 2°12, Е13 = Е23, О13 = О23• Е®?' = Е®, ■ (I-3)

Рассмотрим однородное докритическое состояние:

д 0 1 3 е; = -7^, 4 = е*+2е*2’ а°г * = 1,2,3, (1.4)

Х к=1

где м0 —докритические перемещения. Пусть

е2

в1 = е2 = -е, сгз=0, е?1 = е^2 = -е+ у, е^=0, i^j,

о _ о _ о _ (р , р 2^з \ _0 Г 4е1з о

- °2 - а - \ ЬП + 12----р--- £ц, е3 - \/ 1--р----£ц - 1,

Е33 Е33

причем е > 0 — параметр нагружения.

Введем возмущения vi докритического состояния по формулам

щ = м0 + liVi, 11 = 12 = 1 - е, 1з = 1 + ез- (1.6)

Тогда деформации (1.2) перепишутся в виде

(1.5)

^=44('^Иёфёё;)- <17>

Плотность лагранжиана равна

1 = т~и- T = ?((,^S1)2 + (,2^І)2 + (,3^5^)2)’ (1'8)

где ро — плотность материала до деформации.

Варьирование функционала Ь по Vk дает уравнения движения

1 д ( ди \ д^к

Мк(у)~ 11 § 8X1 (д(дук/дх{)) Р0 дР ’ * 1’2’3- (1'9)

Оператор Мк(V) разложим по степеням V:

Мк = мк0) + М(к1) + мк2) + мк3), мкп) = О^”), к = 1,2, 3. (1.10)

Уравнения М(0) = 0 дают уравнения равновесия докритического состояния, использованные при написании формул (1.5).

Уравнения М(1) =0, к =1, 2, 3, суть уравнения бифуркации, причем

Мк1] = (Екк11 +сгй)-ЩГ +53 (^ы1к + + ^Еы + Сы^ 0хкдх. ) ' (1‘11)

Запишем нелинейные операторы

(<? Ц + 5 (* + ё) Е? (£)’) + ♦£££%($«■“>

где 6^ — символ Кронекера. При анализе системы (1.9) следует иметь в виду соотношения (1.3)—(1.6).

2. Асимптотическое интегрирование системы (1.9) в случае малой после-критической деформации. Запишем систему уравнений бифуркации равновесия

Ы(1)^,е)=0, (2.1)

и пусть

Ы(1)^°, е0) = 0, (2.2)

где е0 — критическое значение параметра нагружения, V0 = 0. Построим стационарное решение системы (1.9) при е = е0 + 6 в виде

V = ^° + еМ + е3 V2 + О(е4). (2.3)

Здесь 6 > 0 и е> 0 — малые параметры. Тогда функции V1 и V2 будут удовлетворять уравнениям

Ы^1^1, е0) + Ы(2)^°, е0) = 0,

6 (2.4)

М^^у2, е°) + М^у1, е°) + М(з)(у°, е°) + ^М11}(у°, е°) = 0, '

где

М<‘> вМ<1>

, ^ = 0(1).

е=ео е

де

Имея в виду построить периодическое решение, запишем среднюю плотность П потенциальной энергии на ячейке периодичности:

ГГ = | I II ЛБ, И = И^ + И^ + и^\ (2.5)

^ Б

где Б — площадь ячейки периодичности, и(к) —однородные функции степени к по отношению к дvi/джj. По теореме Эйлера об однородных функциях

А (I ди(2) сЪк 1 ди& сЪк 1 ди(4) дук\

У2 д(дук/дхг) дх1 + 3 д{дук/дх{) + 4 д{дук/дх{) ) ' 2'6

После интегрировния по частям находим

П' = I е) + ^М(2)(у, е) + ^М(3)(у, е)^ • уЖ. (2.7)

С учетом формул (2.3), (2.4) получаем (с учетом самосопряженности операторов М("))

П' = -^У ^м(1)(уь е0)У1 + ^-М(3)(у0, е0)у0 + ^м(1)(у0,ео)уо^ с1Б. (2.8)

Считая, что упругие модули (1.3) системы уравнений бифуркации (2.1) не зависят от горизонтальных координат Ж1 и ж 2, ненулевое решение этой системы ищем в виде их двоякопериодических функций

VI(ж1, Х2, г) = «1(2) соя(г 1X1) в1п(г2Ж2),

«2(^1, Х2, г) = «2(2) 8ш(г1 Ж1) еов(г2Ж2), (2.8)

ад(ж1, Ж2, г) = ад(г) вт(г1Ж1) вт(г2Ж2), V = «з,

где г* —искомые волновые числа. Как и в [2-4], после введения вспомогательных неиз-

вестных функций

ттг \ П«1+Г2«2 Г2г>1 — Г 1^2 2 2,2 ,о т

и (г) = -----------, V (г) = -------------, г =г\+г2, (2-9)

система уравнений бифуркации распадается на две подсистемы

(С?1з/2-1//),-г2(С?12/2 + а0)1/ = о, / = /1 = /2, ()' = ^; (2.10)

(С1з/2и/)/ - (£ц/2 + а0)г2и + (^13/згш)' + Е^/згш' = 0,

/ / (2.11)

- (г^1з/2и) - г^1з/2и' + (Езз/з^') - г2(С1з/| + а0)ад = 0.

При решении краевых задач (2.10) и (2.11) вместо граничных условий выполняем условия существовавния ненулевых ограниченных решений. Каждая из задач (2.10), (2.11) порождает критическое занчение параметра нагружения е. Задача (2.10) порождает форму типа 1 (вращательную), а задача (2.11)—форму типа 2 (объемную). Критические значения деформации е° и е2 для форм типа 1 и типа 2 определяются соответственно из соотношений

С12/2 + а° = 0, С1з /| + а° = 0. (2.12)

В работах [2-4] установлено, что в зависимости от параметров анизотропии (1.3) реализуется либо форма типа 1 либо форма типа 2.

3. Плоский случай. Форма типа 1 (вращательная). Ограничимся здесь рассмотрением более простого случая, когда потеря устойчивости происходит по форме типа 1, причем дополнительные перемещения не зависят от жз = г (в этом случае дополнительная деформация является плоской, и результаты применимы также для потери устойчивости полупространства). Тогда V = 0, и = V = 0, а°/-2 = -^12 и

«° = (г2/г^ СОв(г1Ж1 )вш(г2Ж2 ), «° = - (п/г^ Б1п(г1 Ж1) СОв(г2Ж2), (3.1)

а операторы М(1) и м21) принимают вид

М^Ка0) - 1\(Е12 + С12) + -£^) ,

М2(1)(у,а°) = 1\{ЕП + С12) •

(3.2)

По формуле (1.12) находим м{2)(у0) = вт2г1Ж1 (а1 - 61 сов2г2Ж2), М2(2)(у0) = вт2г2Ж2(а2 - 62 сов2г1Ж1), (3.3) где

а, = ^Лтг + ОпЯ - Е»#, Ь, = »2Ь11((ви + С12)г= + С,^),

2г2 11 12 1 11 2 1 2г2

V 2/2г2 г V 2/2 г2 г

а2 = ^ 2 ((Дп + С12)г2 - Япг?), Ь2 = ^ 2 ((Еи + С12)г2 + С12г2).

(3.4)

Теперь первое векторное уравнение (2.4) дает систему

д2у\ д2У2 м[2\\°) д2у\ д2у\ мУ\\°)

дх\ + дхлдх2 12{Е12 + С12) ’ <9ж| + дхлдх2 12(Е12 + С12)' 3'5

которая совместна лишь при г1 = г2 либо при г1 г2 = 0.

При г1 = г2 получаем

«(1) = 8ш2г1ж1(с - й(1 + £) сов2г1Ж2), «(1) = в1п2г1Ж2(е - й(1 - £) сов2г1Ж1), (3.6)

где величина £ произвольна, а

«1 _ У2пС12 а= Ъг _У2г1(2Е11 + Ш12)

4г2/2(Е12 + ^12) 16(Е12 + ^12 )’ 8г2/2(Е12 + 612) 32(^2 + 612) '

1 1 (3.7)

Если Г1 =0, Г2 =0 или Г2 =0, Г1 = 0, то «11) = «21) = 0.

Вычисляя при Г1 = Г2 слагаемые, входящие в энергию (2.8), находим

41&****" =

^ ^М(3)(у°, ео)у°^ = ±121£4У4гЦ5Еи + 6С12) = к2еАУАг1 (3.8)

~ 1з ^М^,е0)^8 = -1-±е25У2г2 (еп + Е12 - 2Ц) = -к3е26У2г2

Теперь по формуле (2.8) получаем

П' = (к1 + к2)£^4г4 - кзе^25г2. (3.9)

Из условия дП'/дУ = 0 получаем равновесную амплитуду перемещения еУО при послекритической деформации (£ > 0) и соответствующую величину дополнительной потенциальной энергии ПО:

2т/2

Є2У

2(кі + ^2)4

. £2 к3

ТТ' __________________Д

0 4(к1 + к2)-

(3.10)

В случае Г1 = 0, Г2 сохраняют свой вид, однако, теперь

0 возьмем V0

0, «2°

32

к\ + к-2 = —/1£^і2,

кз

^1 ( £?11 + #12

Vяіпг1ж1. Формулы (3.9), (3.10) -2^\

Е33 У

Исходя из формулы (3.9), находим

Й2П

2

= 4к3є2^г2 > 0

(3.11)

(3.12)

V=у0

откуда следует, что начальное послекритическое положение равновесия является устойчивым.

В зависимости от упругих модулей материала (1.3) дополнительная потенциальная энергия ПО будет меньше либо для случая (а) Г1 = Г2, либо для случая (Ь) Г1 = 0, Г2 = 0. Иными словами, может реализоваться либо шахматная форма (а) потери устойчивости, либо гофровая форма (Ь). Рассмотрим пример.

4. Пример расчета типа и формы потери устойчивости в зависимости от модулей упругости. В качестве примера зададим модули (см. [2-4]) трансверсально изотропного материала соотношениями

#11 (1+ П2)(1 -2^) + 2п((1 -V)2 + V2) £12 (1 + п2 V(1 - 2^)+2п^

Е

Е13

Е

Си

Е

2(1+ п)(1 - ^2)(1 - 2^)

(1 + п)(1 + V)(1 - 2^)

1+7? <?13 _ _______

4(1 + ь>) ’ Е

Езз

Е

П

Е 2(1 + п)(1 - V2)(1 - 2v) ’ 2п(1 - V)

(1 + п)(1 +

(1 + п)(1 + v)(1 - 2v) ’ 0 < п < 1,

(4.1)

где Е — характерное значение модулей упругости, V — коэффициент Пуассона, а параметр п описывает степень анизотропии. При п =1 формулы (4.1) дают упругие модули изотропного материала, с уменьшением п степень анизотропии растет.

Для материала с модулями упругости (4.1) формулы (2.12) принимают вид

е1 = 1 -

1 + V

2

е2 = 1 -

(1 - п)2(1 + V)

(1 + п2)(1 + V) + п(2 - 6v)'

(4.2)

Независимо от величины V имеем е® = е2 при г/ = 3 — а/8 = 0.1716. Следовательно, рассматривая форму потери устойчивости типа 1 (вращательную), считаем

о о і е = е1 = 1 -

1 + V

0.1716 < п < 1.

(4.3)

Перепишем формулу (3.1) виде

X k2

П '0=АК, А=-> О, К=-1 3, , (4.4)

0 ’ 4 ’ ki + k2 V 1

где множитель A одинаковый для обоих возможных форм (а) и (b) потери устойчивости. Величины ki, k2 и &з для шахматной формы (а) определяются формулами (3.8), а для гофровой формы (b) —формулами (3.11) соответственно. Значения коэффициента К обозначим через Ка и Kb.

Расчеты показали, что для упругих модулей (4.1) при всех значениях параметров 0 < v < 0.5, 0.1716 < п < 1 имеет место неравенство

Ка > Кь, (4.5)

следовательно, гофровой форме (b) соответствет меньнее значение дополнительной потенциальной энергии, чем шахматной форме (а), и для упругих молулей (4.1) нужно ожидать потери устойчивости по гофровой форме. Этот же результат имеет место и для изотропного материала, ибо его модули упругости получаются из формул (4.1) при п = 1.

6. Обсуждение. Определение форм потери устойчивости при однородном сжатии трансверсаньно-изотропного пространства, полупространства, а также лежащей на нем пластины является предметом обсудения в ряде работ [2-6, 8]. Для пространства и полупространства в линейном приблидении неопределенными являются как длина волны, так и форма потери устойчивости. Для пластины на упругом основании и для неоднородного в вертикальном направлении пространства удается определить длину волны. При рассмотрении начальных послекритических деформаций пластины на упругом основании установлен шахматный характер потери устойчивости [5, 8].

Выше была сделана попытка определить форму потери устойчивости сжатого пространства в результате рассмотрения начальных послекритических деформаций. Рассмотрен один из двух возможных типов потери устойчивости (вращательный тип 1), причем оказалось, что возможными являются только шахматная и гофровая форма, а формы с промежуточными значениями волновых чисел не реализуются. Для изотропного пространства и для рассмотренного выше частного вида тренсверсальной изотропии форма потери устойчивости является гофровой. Отметим, что неопределенной осталась длина волны, ибо волновое число r не входит в выражение дополнительной потенциальной энергии П0.

Неизвестно, будет ли реализована шахматная форма для других видов трансвер-сальной изотропии при потере устойчивости по форме типа 1 (вращательной). Предстоит также исследовать начальное закритическое поведение при потере устойчивости по форме типа 2 (объемной). Это важно, ибо шахматная форма отмечена [7] во многих интерфейсных средах, а поверхностная устойчивость полупространства описывается теми же уравнениями, что и устойчивость пространства по форме типа 2.

Литература

1. Ciarlet P. S. Mathematical Elasticity. Amsterdam etc.: North-Holland; 1988.

2. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. О формах поверхностной устойчивости // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Казань, 2009. С. 270-273.

3. Morozov N. F., Tovstik P. E. Volume and surface stability of transversely isotropic material // Advanced Problems in Mechanics. 38 summer school. St.Petersburg, 2010.

4. Morozov N.F., Tovstik P. E. Bulk and surface stability loss of materials // Multiscaling of syntethic and natural systems with self-adaptive capacity. Taiwan, 2010. P. 27-30.

5. Морозов Н. Ф., Товстик П.Е. О формах потери устойчивости пластины на упругом основании // Изв. РАН. МТТ. 2010. №4. С.30-42.

6. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. Влияние объемной диффузии на потерю устойчивости поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1999. №4. С. 96101.

7. Панин Л. Е., Панин В. Е. Эффект «шахматной доски» и процессы массопереноса в интерфейсных средах живой и неживой природы // Физическая мезомеханика. Т. 10. 2007. №6. С. 5-20.

8. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 130-139.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.