CC BY
23
УДК 531.591 С. П. Черняев
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВИДОВ
ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Хорошо известно, что оболочки вращения, имеющие на краю угол конусности Y = 6(s2), отличный от прямого (см. рис. 1), предрасположены к потере устойчивости вблизи этого края в случае его слабого закрепления. Под слабыми закреплениями будем понимать такие виды опирания, при которых край может свободно перемещаться в радиальном направлении. Деформированное состояние в этом случае характеризуются тем, что перемещения точек оболочки затухают при удалении от края. При этом с увеличением полной вертикальной деформации оболочки нагрузка растет до некоторой предельной величины, которую мы обозначим Pos, а потом падает. Это осесимметричная потеря устойчивости. Но критическая нагрузка иногда оказывается меньше, чем Pos. В этом случае бифуркация в неосесимметричную форму предшествует осесимметричной потере устойчивости. Образуется множество мелких вмятин по окружности. Поэтому столь важно знать, при каких условиях бифуркация в неосесимметричную форму будет предшествовать предельной нагрузке.
1. Осесимметричная потеря устойчивости.
Рассмотрим тонкую упругую оболочку вращения малой постоянной толщины h, имеющую при основании угол конусности 7 = п/2.
Заметим, что 7 может быть больше п/2. Это соответствует верхнему краю оболочки (рис. 1). Пусть форма срединной поверхности до деформации задается функциями
Bo = Во(ао), во = во(ао), Б'0 = cos во, (1)
где ао — длина дуги образующей, В о — расстояние между точкой на поверхности и осью оболочки, во — угол между нормалью к срединной поверхности и осью. Главные радиусы кривизны можно найти по формулам
1 -в> 1 - Sin0° (ОЛ
-Щ - "»• -Щ - (2)
Штрих обозначает производные по ао. Те после деформации же величины обозначим через а, В, в, Ri, R2, причем формулы типа (1) и (2) останутся верны. Деформации растяжения элемента срединной поверхности £i,£2 и изменения кривизны xi, К2 равны [1]
В
£\ = а! — 1, £2 = 75---1, В' = (1 + £i)cos6>,
Во
11 в' 11 sin в sin во
Й1 Щ 1 + £1 °’ 2 Д2 Щ в Во
© С. П. Черняев, 2003
Рис. 1. Оболочка вращения.
Для описания осесимметричного напряженного состояния воспользуемся системой [2]
U (ВоU)' = е2 + иv (U cos в + V sin в) + исе\ + ^3е2в'2,
U (Вое2)' = (1 — u-ve2) cos в — cos во,
U (ВоMi)' = Во (1 — uve2) (U sin в — V cos в) + uvMi cos в, , ,
О (3)
ив' = Mi + и (во — vК2) — 2u С2&2в',
V=—, Р = 2тг RE hp2 С = -fiS^=a Во л/12 (1 -1/2)
Здесь U и V — проекции внутреннего усилия на горизонтальное и вертикальное направления соответственно, Mi —изгибающий момент. Кроме того, введен характерный размер R — радиус слабо закрепленного края. Все безразмерные величины связаны с соответствующими размерными (отмеченными звездочками) следующими формулами:
h2
{si5, го} = R{s0, г0}, {£^£9} = /х{ь 1, t2}, А«4 =
12(1 - ^2)Д2’
{и *,У *} = ЕН^{и,У}, (4)
|М1*,М2*} = EhR/u3{Mь М2}.
В формулах (4) безразмерные величины выбраны таким образом, чтобы все они имели порядок единицы по сравнению с
Для того, чтобы исследовать осесимметричную потерю устойчивости около слабого края, зададим соответствующие краевые условия:
£2 = 0, М1 = 0 (или в = 7) при ао = «1,
(5)
и = 0, М1 = 0 (или в = 7) при «о = «2.
При ао = «2 — это условие свободно скользящего края или условие контакта двух сопряженных симметричных оболочек (в скобках). Край ао = «1 закреплен хорошо (шарнирно или жестко). Соотношения (3) и (5) мы используем для нахождения величины критической нагрузки по схеме предельной точки при помощи численного интегрирования. Тем самым будет решена первая половина задачи — найдена критическая нагрузка при осесимметричной потере устойчивости.
2. Бифуркация в неосесимметричное равновесие. Для решения задачи о бифуркации осесимметричного напряженного состояния в неосесимметричное можно было бы воспользоваться системой уравнений устойчивости Муштари—Доннела—Власова (см., например, [3]). Но эта система получена в предположении, что ожидаемая форма потери устойчивости имеет большое число волн по окружности. Если по ней рассчитывать критические нагрузки для различного числа волн, то окажется, что раньше всего происходит бифуркация в форму с одной — двумя волнами, что противоречит допущению. Кроме того, при рассмотрении осесимметричной потери устойчивости приходится исследовать деформированные состояния, у которых угол поворота нормали в направлении образующей не является асимптотически малым. При выводе же упомянутой системы это допущение было сделано. Поэтому для решения поставленной задачи необходимо иметь универсальную систему уравнений устойчивости, позволяющую рассчитывать формы потери устойчивости с малым числом волн по окружности и пригодную при конечных углах поворота.
3. Вывод системы уравнений устойчивости. Введем на недеформированной поверхности криволинейные координаты «, в, жестко связанные с точками срединной поверхности оболочки (в п. 1 координата « была обозначена через «о). Будем рассматривать три состояния оболочки: исходное (недеформированное), осесимметрично деформированное и состояние после бифуркации (неосесимметрично деформированное, покрытое волнами). Обозначим их для краткости I, II и III. Состояние I описывается следующими величинами: го —радиус-вектор точек поверхности, Ао,Во —коэффициенты Ламе, е°, е°, по —орты местной системы координат. Имеют место обычные соот-
ношения:
1 дго о 1 д го ооо
є, = — ——, п = е; х є.
Ао да' 2 Во <9/3
о
дг
да
о
1, В,
о
дго
дв
(6)
Состояние II описывается соответственно величинами г, А, В, еі, е2, п, Ді,Д2, которые связаны формулами аналогичными (6), а состояние III — величинами г*, А*, В*, е*, е2, п*, Д*, Д*. Пусть ио — конечное по величине поле осесимметричных перемещений, и — поле дополнительных перемещений (бесконечно малое по величине). Очевидно,
г = го + ио, г* = г + и.
Обозначим через є^єі^єп величины, удовлетворяющие формулам:
2— ^о)> £и — 2^* - ^2)’ Є°1 — 2^
Отсюда следует, что єц = є°і + єц. Величина єоі известна из решения осесимметричной задачи. Для того чтобы найти єц, спроектируем вектор неосесимметричного перемещения и на орты системы координат, связанной с состоянием II, по формуле и = иеі + -УЄ2 + тп и воспользуемся формулами дифференцирования ортов, имея в виду, что А и В не зависят от в:
Р = А
да
Следовательно,
1 ди т \ 1 ду /1 ди> и
Єі{1 + Ад^~Ж)+Є2Ад^ + П{Ад^ + Ж
А* = А2 [(1 + Єі)2 + є2 + т2] ,
о
е
1
где
_ 1 ди № _ 1 д-у_ 1 ди> и _ 1 2 л 2 N ~ 1 ~ 2
‘■-даг-Ж' •*"335? 1'—Заг-Ж,'"_2<'4*"',’"‘, + 21'1-
В £"11 мы сохранили член второго порядка малости по отношению к малым перемещениям £2, откинув 52 и £12 как малые по сравнению с ним. Аналогично можно найти £22. Величину £"12 вычисляем в линейном приближении по формуле
АВ
£12 = • в*2 = [(1 + £1)1^2 + (1 + £2)^1 + 7172] - + Ш2.
В:к
Теперь найдем дополнительные изменения кривизны и кручение. По определению,
11 о 1 1 „ 1 1 о „
Я1 ~ ~Й* ~ Я°’ ^ _ ~ Я°’ Я1 ~ ~Й* ~ ^ Я1 ~ + Н1'
Rl Rl Rl Rl Rl Rl
Пусть Ь|1,Ь|2,^22 — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в состоянии III. Тогда
1 _Ь\1 _ 1 „
Щ ~ А2 _ Й! +ХЬ
Опуская известные выкладки, имеем
_ 1 ^71
Собирая все формулы вместе, получаем:
Х1 - ~ ~А да ■
(7)
о ~ ~ 1~ 2 ~ 1 д№ и
£и=£и+£1Ь £11 =£1 + 2^1. ^ = -Ад^~Ё'1’
~ — — — — 1 ди> V
" = "■ + "=■ -п = -ва^“Ж’
о ~ ~ ~ 1~ 2 ~ 1 д«
е22 = ^22 + е22, £22 = £2 + 2^2; Ш1 =
о _ _ 1 дт;1 _ 1 ди 1 дВ
« = *,+«, = ^ = вэр~лв^"-
о _ _ 1 д£2 1 дВ_ _ 1 ди №
*2 = *2+"2, ^ = ~в^~АВд^1и £1 = А^_Д?
~ ~ 1 971 1 <9В_ _ 1 <9-у 1 <9 В го
Т = Т’ Т = _В^ + ЛВ д^72 + Д? £2 = Вд/3 + АВ~д^и~1^'
Здесь величины, описывающие осесимметричное деформированное состояние обозначены ноликом сверху. Тильда стоит над добавками, возникающими из-за дополнительного поля перемещений. Запишем функционал энергии деформации для состояния III:
П=Н АоВо 2 ^п°
1
' 1о-»о
К [ £ 11 + 2г/£ц£22 + £22 н---------о—е12
+ — [ АоВо [_0 (х2 + 21/Х1Х2 -\- Х2 -\- 2(1 — г/)г2)] (1а(1/3.
2 ./ п0
Здесь По —область, занимаемая оболочкой в состоянии I. Проварьируем функционал энергии по вектор-функции дополнительного перемещения и:
<Щ= /
Jn0
ВоТ\5ец + Во?2<5£22 + Во ( Ь1 — ) 5е 12
йайв+
+ [ВоМ1<К1 + ВоМ2<К2 + 2ВоН<7"] йа^в-
■1п0
При этом мы воспользовались соотношениями упругости в виде
Т1 = К(£11 + ^£22), 5 = [К(1 - V)/2][£12 + Л2т/№о)],
М1 = Б( к1 + V к2), Н = Б(1 — v)т,
К = ЕЛ/(1 — V2), Б = ЕЛ3/[12(1 — V2)] (1 ^ 2).
Коэффициенты при вариациях <71 и <72 обозначим Вои Во^2, где
д ( Во \ Во дВ д ( 2Во
в0д! = в0т171 + ^ (■
в0д2 = в0т272 + + дВо 2ВоИ
дв V В V да АВ *
Далее, применяя формулу Грина и приравнивая коэффициенты при вариациях компонент вектора перемещений, получаем уравнения равновесия и естественные граничные условия
да\А у АВда 2 <9/3 \ В \ Д° ; ; Д^1 ’
д (Вп \ д (Во / Н\\ Во дВ („ Н
иТ2; “ ^ Г “ “ 1в^ ^ “ до,1 “
д (2Вп \ Во
_Вот _ Вот , А (^о \ 4- А о
Дх 1 Д2 2 9а и 7 ^ V В
М\3~/1 = 0, + ^о^ ^ = О? ВоТ\5и — Во<31<5и> = 0.
Система (8) существенно отличается от уравнений неосесимметричного деформирования оболочек вращения, приведенных в [1]. Она не содержит некоторых нелинейных членов, сохраненных для общности в [1] и являющихся пренебрежимо малыми в данной задаче. С другой стороны, при ее выводе не было сделано никаких предположений о величине поворота нормали 71, которая, наравне с углом 72 и изменениями кривизны, считалась малой в [1]. При удалении от слабого края дополнительные перемещения экспоненциально уменьшаются, поэтому на противоположном краю следует поставить условия затухания решения. Величины Т\, Т2, <31, м., М2 являются суммами осесимметричных и дополнительных членов. Их осесимметричные составляющие должны
удовлетворять системе уравнений осесимметричного деформированного состояния:
Эта система в главных членах совпадает с системой (3). Если положить = S + Н/Д0, то систему (8) можно привести к нормальной форме. Проведем, кроме того, разделение переменных по формулам
Опустим для простоты тильду над бесконечно малыми составляющими усилий и моментов. Полученную систему дополним геометрическими соотношениями, приведем к безразмерному виду и разрешим относительно основных неизвестных. С учетом всего этого, искомая система устойчивости примет вид
Система (9) линейна и вместе с уравнениями (7) и соотношениями упругости является замкнутой относительно основных неизвестных. Все величины, не отмеченные ноликом, являются бесконечно малыми. Дополнительные неизвестные, входящие в систему, выражаются через основные. Тем самым получена система уравнений устойчивости, учитывающая конечность углов поворота нормали докритического состояния и пригодная при любом количестве волн.
4. Численное интегрирование. Численное интегрирование систем (3) и (9) проводилось для конических оболочек различной толщины и углов наклона образующей. Краевая задача (3) и (5) решалась методом пристрелки начальных параметров (см. [1]). Для расчета закритического напряженно-деформированного состояния использовался метод смены ведущего параметра. Необходимым условием, при котором бифуркация в неосесимметричное равновесие может иметь место, является наличие ненулевого решения системы (9), удовлетворяющего краевым условиям. Для этого строились четыре линейно независимых решения, затухающих при удалении от слабого края, и составлялась их линейная комбинация. Краевые условия на слабом краю дают систему из четырех однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов линейной комбинации. Таким образом, задача о нахождении ненулевого решения свелась к отысканию нагрузки, при которой определитель системы обращается в ноль.
(и, ад)(а, в) = (и, ад)(а) сов шв, «(а, в) = «(а) віп тв-
(9)
70 80
% град.
Рис. 2. Сравнение двух видов потери устойчивости
5. Результаты. Результаты, представленные на рис. 2, показывают, при каких значениях параметров тот или иной вид потери устойчивости имеет место раньше другого. По оси абсцисс отложен угол наклона образующей (угол конусности). По оси ординат — безразмерная толщина, отнесенная к характерному размеру оболочки. Кривая 1 соответствует случаю контакта двух сопряженных конических оболочек, кривая 2 — случаю свободно скользящего края. Оказалось, что при обоих видах опирания область параметров делится почти прямой линией на две части: при большой толщине и малом угле конусности имеет место осесимметричная потеря устойчивости, а при малой толщине для оболочек, близких к цилиндрическим, бифуркация в неосесимметричное положение равновесия предшествует осесимметричной потере устойчивости. Кроме того, оболочка со свободно опертым краем менее расположена к бифуркации по сравнению с двумя сопряженными оболочками.
Таблица 1. Критические нагрузки для свободно опертого края
15° СО О О Сл О О О СО 75°
0,0150 - - - - 6 0,6687 0,6767
0,0125 - - - 6 0,4238 0,4324 7 0,6425 0,6740
0,0100 - - 5 0,2410 0,2431 6 0,3945 0,4311 7 0,6025 0,6713
0,0075 - - 6 0,2159 0,2427 7 0,3571 0,4299 8 0,5559 0,6689
0,0050 - 6 0,0945 0,1079 8 0,1900 0,2423 9 0,3175 0,4285 9 0,5012 0,6662
0,0025 6 0,0235 0,0270 8 0,0771 0,1079 10 0,1549 0,2418
В табл. 1 приведены результаты расчетов для свободно скользящего края. В каждой клетке сначала идет число волн формы, по которой оболочка может потерять устойчивость при наименьшей нагрузке. Далее следует соответствующая нагрузка. Внизу
же записана критическая нагрузка, отвечающая осесимметричной потере устойчивости. В таблице 2 собраны те же данные для оболочки с краем, условия на котором соответствуют случаю двух сопряженных конических оболочек.
Таблица 2. Критические нагрузки для двух сопряженных оболочек
15° 30° 45° О О СО Сл о
0,0175 - - - - 6 1,3919 1,5041
0,0150 - - - 6 0,9590 0,9590 7 1,2388 1,4979
0,0125 - - - 6 0,7987 0,9567 7 1,1347 1,4852
0,0100 - - 6 0,4617 0,5375 7 0,7264 0,0529 8 1,0493 1,4750
0,0075 - 5 0,2128 0,2384 7 0,4114 0,5367 8 0,6654 0,9517 9 0,9766 1,4736
0,0050 5 0,0809 0,0809 6 0,1824 0,2386 8 0,3684 0,5375 9 0,5993 0,9523 10 0,8978 1,4728
Как видно, бифуркация предшествует выворачиванию лишь для достаточно тонких оболочек или для оболочек, близким к цилиндрическим. Для пологих толстых оболочек более характерна осесимметричная форма потери устойчивости. Количество волн растет с увеличением угла и с уменьшением толщины. Точки, соответствующие наборам параметров, при которых обе формы потери устойчивости происходят одновременно, лежат примерно на одной прямой и характеризуются наименьшим числом волн (5-6). Левее и выше этой прямой в плоскости параметров точек бифуркации вообще не наблюдается. При осесимметричной потере устойчивости с ростом полного вертикального прогиба нагрузка достигает своего максимума, а затем стремительно падать. Возможно, в этой зоне закритической деформации нагрузка оказывается недостаточной для возникновения бифуркации.
При угле конусности большем, чем 90 градусов (то есть когда слабо закреплен верхний край на рис. 1), точек бифуркации также отыскать не удалось. Такие оболочки теряют устойчивость только по осесимметричной форме.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №01.01.00327.
Summary
Chernjaev S.P. The comparison of two kinds of the shell of revolution buckling under the axial loading.
Two kinds of the shell of revolution buckling caused by weak fastening of edges is considered. The first kind is axisymmetric loss of stability (loss of stability by the critical point scheme), and the second one is the bifurcation of axisymmetric equilibrium to nonaxisymmetric. For research of the first kind the numerical integration of a nonlinear system of equilibrium equations is carried out. For research of the second kind — the system of stability equations, that takes into account the finiteness of the normal rotate angles, is derived. This system is suitable for any number of waves of stability loss form. The conditions, when one of the buckling kinds take place prior to another one, are studied.
Литература
1. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., 1976.
2. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала // ПММ. Вып. 61, №4. С. 660-673. 1997.
3. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М., 1995.
4. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1995. Вып. 1 (№ 1).
Статья поступила в редакцию 6 июня 2002 г.
