Нелинейное деформирование тонких оболочек с учетом несовершенств формы срединнойповерхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.591

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 3

П. Е. Товстик, С. П. Черняев

НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ НЕСОВЕРШЕНСТВ ФОРМЫ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ*

Рассматривается влияние регулярных циклически симметричных несовершенств формы срединной поверхности (вмятин) на устойчивость осесимметричного безмомент-ного равновесия тонкой упругой оболочки вращения. С использованием метода возмущений рассмотрен ряд частных задач, в которых форма вмятины совпадает (или связана) с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Получены приближенные формулы для параметра чувствительности к несовершенствам.

1. Введение. В первых работах по устойчивости тонких оболочек критическая нагрузка Рс определялась из линейной теории оболочек как точка бифуркации осесимметричного равновесия. Были найдены критические нагрузки в таких классических задачах, как устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии [1,2], устойчивость цилиндрической [3] и сферической [4] оболочек при внешнем давлении. Многочисленные эксперименты показали, что в действительности потеря устойчивости имеет место при нагрузках, в несколько раз меньших классического значения Рс. Это различие было объяснено в работе [5] путем введения в рассмотрение малых несовершенств формы срединной поверхности. С тех пор теоретические, численные и экспериментальные исследования систематически ведутся в этом направлении (см обзоры [6-8]). В 2001 году в Дельфте этому вопросу была посвящена специальная конференция «Предсказание выпучивания оболочек, чувствительных к несовершенствам» (ЕигошесЬ-424) [9].

Будем описывать чувствительность оболочки к несовершенствам параметром 6, входящим в формулу

Р = Рс (1 - 6), (1.1)

где Рс и Р — критические нагрузки для идеальной оболочки и для оболочки с несовершенствами. Рассмотрим осесимметрично нагруженные оболочки вращения. В случае осесимметричных несовершенств критическая нагрузка может быть найдена как точка бифуркации осесимметричного равновесия. Зависимость параметра чувствительности 6 от формы оболочки, характера ее нагружения и от формы и амплитуды несовершенства исследовалась во многих работах [6-8]. В работах [10,11] рассмотрено влияние осесимметричных неправильностей, как локализованных в окрестности некоторой параллели, так и покрывающих всю поверхность оболочки.

Аналитическое решение рассматриваемой ниже задачи устойчивости осесимметрич-ного безмоментного напряженного состояния в случае неосесимметричных неправильностей существенно сложнее. Приходится решать нелинейные краевые задачи, причем критической нагрузкой является предельная точка на кривой «нагрузка — прогиб». С использованием метода возмущений рассмотрен ряд частных задач, в которых форма вмятины совпадает (или связана) с формой потери устойчивости идеальной оболочки.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 0101-00327, 0301-06149.

© П. Е. Товстик, С. П. Черняев, 2004

2. Алгоритм решения. Запишем систему уравнений теории пологих оболочек в безразмерном виде [12]:

Ь1(т, Ф, Л) = Ь(т + то, Ф) - ЛДто, Ь2(и), Ф) = ~^Ь(т, т) - Ь(т, т0),

(2.1)

где линейные операторы равны

Ь1(т, Ф, Л) = ДДт + ЛД4т - ДкФ, Ь2(т, Ф) = ДДФ + Дкт, (2.2)

( д2т д 2т

2 дШдШ\ 2 I д т

\ дх2 дф2 ) \ дх2 дф2

а нелинейный оператор имеет вид

д2т д2г

д2т , д2г

Акт = ¡л [к2^-Т + к1

дх2 дф2

Ь(т Ф) (— — 2 82и) ^^ I д2^д2Ф\ ' \ дх2 дф2 дхдф дхдф дф2 дх2 )

(2.3)

Здесь т(х, ф) и Ф(х, ф) —дополнительный прогиб и функция усилий, то(х, ф) —начальный прогиб, описывающий несовершенство, Ь\ и ¿2 —линейные дифференциальные операторы, Ь — нелинейный дифференциальный оператор, ¿1 и ¿2 — начальные усилия, к\ и к2 — главные кривизны срединной поверхности, Л — искомый параметр нагру-жения, ц — малый параметр тонкостенности. Все величины в (2.1) - (2.3) безразмерные, связанные с соответствующими размерными величинами соотношениями

х = Ех, т = Ец2т, Ф = ЕНц4т2Ф,

2 Е

Ц = -\Ehfi Ц, к3 = —, 2 = 1, 2,

Еп

и

12(1 - ^2)Е2''

где х, т, Ф и П —соответствующие размерные величины, Е — характерный размер срединной поверхности.

Систему (2.1) решаем методом итераций. Введем формальный малый параметр е, заменим то на епто (целое число п зависит от рассматриваемой задачи) и положим

т = е^^е3 , Ф = е^^е3 Ф(3),

з=о

ее

3=0

Л = Ло + еЛ\ + ...

Тогда неизвестные функции т(3) и Ф(3) последовательно определяются из линейных краевых задач,

Ь/т3, Ф(3), Ло) = Ь2(т(з), Ф(3))= , Р

а величины Л3 — из условия их совместности

I! ^(3)т(о) - Р2и)Ф(о>) ¿хс1ф = 0.

(о)

(о)

0,

(2.4)

(2.5)

Здесь т(о), Ф(о) любая собственная функция однородной краевой задачи (2.4) при ^ = 0, а Ло — соответствующее собственное значение. Интегрирование распространяется на занятую оболочкой область. После построения нескольких приближений полагаем е = 1.

2

Н

3. Круговая цилиндрическая оболочка при равномерном внешнем давлении. В этой задаче форма потери устойчивости вытянута в направлении образующей и имеет много волн т в окружном направлении (см. [3,12]). При этом реализуется так называемый полубезмоментное напряженное состояние [13], для которого

d2w d2w dx2 дф2

(3.1)

Упрощая систему (2.4) в соответствии с неравенством (3.1), приходим к краевым задачам (2.4), имеющим четвертый порядок по х. Поэтому на криволинейных краях оболочки ставятся только по два безмоментных граничных условия.

Положим в формулах (2.2) к\ = ¿1 = 0, = ¿2 = 1 и рассмотрим случай шарнирного опирания краев х = ±1/2, которому соответствуют граничные условия и> = Ф = 0. Решение однородной задачи (2.4) имеет вид

w(o) = a cos kx cos mф, Ф(0) = af cos kx cos mф, f =

k2

U2(k2 + m2)2'

k = -v (3.2)

¡j?(k2 + m2)2 Ao = -ñ--h

k4

U2m2(k2 + m2)2 '

Учитывая, что k ^ m и проводя минимизацию по m, находим

Ao = 4fcM3-3/4, m = 2,1/\-, f =

U

V3'

(3.3)

Возьмем неправильность wo = e3ao sin kx cos 'ш,ф, совпадающую по форме с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Тогда при построении первого приближения

(i) и4 k2 mm2

F[ ' = ¡j?Xim2w^ H--——a2(cos2rrvp + cos2/cx),

3

(i) u4k2m2 2

— -a (eos 2my + eos 2кж)

F?' = -

2

и условие (2.5) дает Ai = 0. Из системы (2.4) находим

w/1) = ¡jb2m2a2 ^/i(x) cos 2rrvp + ф(1) = ^2m2a2 ^f2(x) cos 2rrvp + ^

где

/i (x) = — + C\ ch z cos z + C*2, sh z sin z, 1 [2

/2 (ж) =---= + J — (Ci sh z sin z — C2 ch z cos z),

32 3 3

1 / sh zo sinzo\ ~ 1 f chzo coszo , , . ,

w = —ТТ7Г7— ( chzocoszo--7=- , 62 =--— --=--V shzosmzo ,

32Д

V2

32Д0 V V2

2 / n 3/4 A 1 2 2 1 2 2

z = rx, r = —-—, z0 = 2 ' 7Г, До = sh z0 cos z0 + sh zg sin zq.

m

При построении второго приближения

= ¡j?m2(X2 а + X°a°)coskx cos mф +

F^ = — fjPk^m'1 a? cos kx cos mip I - cos 2mip--cos 2kx

1

¡6 k2m4a3 2a/3 1

■ cos kx cos 2kx cos тф,

и из условия (2.5) находим уравнение разветвления

Х^а + Ао ао + Ьа3 = 0 Предельная нагрузка А* = Ао(1 — 6) достигается при а = а*, причем 3 ао

37/4

Ъ = —,,:'/Л 16

6:

2a

An on

TT

ао

k2¡ 2

I 32 9a/3

1.271.

(3.4)

На рис. 1 представлены зависимости критических нагрузок для идеальных и неидеальных оболочек различной длины с амплитудой неправильности ао = Н. По оси ординат откладывается величина А1с тем, чтобы значение Ао1из (3.3) было одинаковым для оболочек произвольной длины. По оси абсцисс откладывается относительная толщина оболочки. Кривая 1 соответствует критической нагрузке идеальной оболочки Ао. Остальные кривые соответствуют неидеальным оболочкам различной длины.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 h/R

Рис. 1. Критические нагрузки для оболочек различной длины.

Возьмем теперь неправильность в виде wo = sao sin kx cos2m^>. Тогда в первом приближении

iv= a sin kx cos mw -\--an,

^ 513 '

При построении следующего приближения

256

ф(°) =

1

7Г

(о).

= (j?т?\-i_asmkx cos rrnp — 2

(2)

+ ...,

/2) 769¡4k2m2 а3 . 2 2

b 2 =--gy^-(5 sin" kxcoe imp сов 2rmp — 4cos^ kxsmrmpsm2rmp) +

c

где точками обозначены члены, не влияющие на величину интеграла (2.5). Из (2.5) находим чувствительность точки бифуркации Хь к рассматриваемому несовершенству

28 • 769

Аь = Л0(1 - 6Ь), 5Ъ = Cik/лао, Cl = 513 33/4^ = 5-861- (3-5)

Сравнивая величины S и 5ь найденные по формулам (3.4) и (3.5), видим, что они зависят от одного и того же параметра £, причем

S = 1.14£2/3, Sb = 5.85£, £ = a0¡k.

С асимптотической точки зрения при £ ^ 0 будет S > Si, т.е. предельная точка при неправильности вида wo = ao sin kx cos mf будет достигнута при меньшей нагрузке, чем точка бифуркации при неправильности вида wo = ao sin kx cos2mf. Однако, S = Si при £ = 0.00816, поэтому при фиксированных значениях параметров могут иметь место оба рассмотренных выше случая.

Оболочка вращения при комбинированном нагружении в особом случае.

Пусть ti = k2 = 1, Í2 = ki = a, a > 0. В работах [10,11] было установлено, что для осесимметричных неправильностей при указанном (особом) соотношении между параметрами в операторах (2.2) критическая нагрузка наиболее чувствительна к несовершенствам. К особому случаю относятся, в частности, цилиндрическая оболочка при осевом сжатии и сферическая оболочка при внешнем давлении. Ниже особый случай рассматривается для неосесимметричных неправильностей.

Построенные здесь формы потери устойчивости удовлетворяют условиям шарнирного опирания только в нулевом приближении, старшие приближения этим условиям не удовлетворяют. Полученные асимптотические формулы пригодны для произвольных закреплений краев оболочки за исключением слабых закреплений (в т.ч., свободного края), ибо вмятины при потере устойчивости локализуются вблизи слабо закрепленного края и приводимые ниже формулы не имеют места.

Сделаем изменение масштаба независимых переменных x = ¡x*, f = ¡f* (далее * опускаем). Однородная система (2.5) имеет решение

w(0) = a sinpx cos qf, Ф(0) = a sinpx cos qf, Х0 = 2,

причем волновые числа p и q удовлетворяют соотношению

(Р2 + q2)2 = Р2 + aq2, (4.1)

т. е. множество форм потери устойчивости дает одну и ту же критическую нагрузку для идеальной оболочки.

Возьмем неправильность в виде

w0 = £3a0 sin px cos qf, (4.2)

где р и q удовлетворяют тому же соотношению (4.1). Предположим сначала, что р = 1/2, q = 0, 4q2 = а. Имеем

= p2qV(cos2q^ - cos2pж), = -^2(1)/2.

Решая систему (2.4), находим

-»2 i

(1) (8 дг+а)р-а- (8р

мл1-1 = ., . „-гтг- cos 2 qtp —

l)q2a2

8(4q2 - a)2

Ф(1) = -

(q2 - a)p

22

■ cos 2qф +

8(4p2 - l)2 (p2 - 1)q^2

cos 2px,

cos 2px.

2(4q2 - a)2 ^ 2(4p2 - 1)2 Правые части системы (2.4) при j = 2 равны

= (р2 + aq2 )(Л2a + A0a0)sin рж cos

2 2 3 / (4q2 + 5a)p2 (4p2 + 5)q2

+ ad smpx cos q<p ^ 2(4q2 - a)2 C°S 2qV ~ 2(4p2 - l)2 С°® pX

p(2) о о 3 . f(8q2 + a)p2 (8p2 + l)q2 Л

^ = -p q a smp.x cos qtp _a)2 cos2<^ " 2(4p2 _ 1)2 cos2^J •

Теперь условие (2.5) дает уравнение разветвления Á2a + Aoao + ba3 = 0,

b _ 3p4q2(2q2 +a) 3p2q4(2p2 + 1)

2(4q2 - a)2 2(4p2 - l)2 Аналогично (3.5) находим параметр чувствительности

3

ó

2«r/V/3.

(4.3)

На рис. 2 представлены зависимости критической нагрузки от амплитуды несовершенства. Как следует из (4.1), при каждом а существует бесконечное число форм потери устойчивости. На графиках для двух значений а изображены критические нагрузки, соответствующие неправильностям вида (4.2) для различных значений р, причем величина q определяется из (4.1). Влияние несовершенств на критическую нагрузку существенно зависит их формы, в частности, от того, удовлетворяют ли волновые числа р и q соотношению (4.1).

2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4

a =1/2

-р=о,1 2,01,81,6-

-р = 0,3

--р = 0,6 1,41,2-

10 1,00,8 -

а = 2

L J_I_I_I_L

0 2 4 6 8 10

ajh

Рис. 2. Критические нагрузки для различных форм неправильностей.

При p = 1/2 или при 4q2 = a будет b = то и формула (4.3) неприменима. Пусть теперь p = 1/2. Тогда однородная задача (2.4) в нулевом приближении имеет решение

= = о sin — cos qíp + с cos ж, An = 2, где а и с пока произвольны. Считаем, что вмятины имеют форму го о = t2a<o sin — cos qíp.

2

При построении первого приближения

F^ = + (Л10 + Anon) sinрх cos qip + Aiccosx+

2 2

a q , . 2 x

H--(cos 2qip — cos x) + 2acq~ sin — cos x cos qip,

4 22 2

(1) a2q2 2 x

=--— (cos 2qtp — cos x) — acq" sin — cos x cos qip.

8 2

Условие (2.5) дает два уравнения

+ Aic = 0, -|ocg2 + (Aio + 2o0) Q + ^ =0-

Определяя из этой системы максимальное по модулю отрицательное значение Ai, получаем параметр чувствительности

А 33/4bV4 V2 f^)1/4 З3/У"п/2 ь 9g4

д = —6 а° ' ' С* = ~ 8 63/4 . 4(1 + 4 д2)' (4-4)

Рис. 3 иллюстрирует влияние амплитуды несовершенств на критическую нагрузку. Заметим, что в этом случае параметр чувствительности не зависит от относительной толщины оболочки, а зависит лишь от формы неправильности и отношения амплитуды вмятины к толщине оболочки. Кроме того, согласно (4.4), чувствительность тем сильнее, чем больше число волн несовершенства q.

А 2,0

1,8

1,6

1,4

12,-

J_I_I_I_I_I_I_I_I_I_L_

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

ao

Рис. 3. Критические нагрузки при p = 1/2.

Рассмотренный случай включает в себя случай цилиндрической оболочки при осевом сжатии при р = q = 1/2 и сферической оболочки при равномерном внешнем давлении при р = 1/2, q = а/3/2.

5. Заключение. Здесь рассмотрены две типичные задачи устойчивости безмомент-ного осесимметричного состояния оболочки при наличии регулярной циклически симметричной системы неправильностей на ее поверхности. Для цилиндрической оболочки при внешнем давлении характерна сравнительно слабая зависимость критической нагрузки от амплитуды вмятины. Параметр чувствительности убывает вместе с относительной толщиной оболочки как (h/R)1/3 и вместе с относительной амплитудой вмятины ao как а0/3 (см. (3.4)).

Для оболочки вращения в особом случае, наоборот, чувствительность к несовершенствам весьма значительна. Параметр чувствительности не зависит от относительной толщины оболочки и убывает вместе с ao как a0/3 в общем случае (см. (4.3)) и как aj/2 при p = 1/2 (см. (4.4)). Отметим, что эти оценки согласуются с результатами, полученными в работе [5]. Сравнение с результатами работ [11,14] показывает, что в особом случае чувствительность к локализованным осесимметричным несовершенствам также является наибольшей.

Summary

P. E. Tovstik, S. P. Chernjaev. Nonlinear deformation of thin shells with the middle surface imperfections.

The influence of regular cyclic-symmetric imperfections of the middle surface (dents) on the stability of the axisymmetric membrane equilibrium of a thin shell of revolution is considered. A number of special problems where the dent form coincides (o connected) with the ideal shell buckling form is studied. The perturbation method is used. The approximate formulae for the imperfections sensitiveness parameter are obtained.

Литература

1. Lorenz R. Die nicht achsensymmetrische Knickung dunnwandiger Hohlzylinder // Phys. Z. 1911. Vol. 12. N7. P. 241-260.

2. Тимошенко С. П. Деформация и устойчивость цилиндрических оболочек // Изв. Пет-рогр. электротех. инст. 1914. Т. 11. C. 267-287.

3. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure // Phil. Mag. Ser. 6. 1913. Vol. 25. P. 149; 1914. Vol. 26. P. 153; 1915. Vol. 26. P. 169.

4. Zoelly R. Uber ein Knickungsproblem an der Kugelshale — Diss. Zurich. 1915.

5. Koiter W. T. On the stability of the elastic equilibrium — Thesis, Delft. 1945.

6. Arbocz J. The effect of initial imperfections on shell theory // Thin-Shell Structures: Theory, Experinent, and Design. 1974. Prentics-Hall, New Jersey. P. 205-345.

7. Bushnell D. Buckling of shells — Pitfall for designers // AIAA J. 1981. Vol. 19. N9. P. 11831226.

8. Teng J. G. Buckling of thin shells: Recent advances and trends // Appl. Mech. Rev. 1996. Vol. 49. P. 4.

9. Buckling predictions of imperfection sensitive shells. —Euromech-424. Delft. 2001.

10. Tovstik P. E. Comparative asymptotic analysis of shells buckling with imperfections // Buckling predictions of imperfection sensitive shells. 2001. Euromech-424. Delft. 89-91.

11. Товстик П. Е., Черняев С. П. Влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 1 (№1). С. 93-100.

12. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука. 1995. 320 с.

13. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

14. Товстик П. Е. Влияние осесимметричных неправильностей формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения // Вестн. Ленингр. ун-та. 1974. №19. С. 102-108.

Статья поступила в редакцию 23 декабря 2003 г.