Научная статья на тему 'Объемная и поверхностная устойчивость трансверсально изотропного материала при сжатии'

Объемная и поверхностная устойчивость трансверсально изотропного материала при сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
87
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОБЪЕМНАЯ И ПОВЕРХНОСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ / ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ ИЗОТРОПИЯ / НЕЛИНЕЙНОСТЬ / БИФУРКАЦИЯ / TRANSVERSAL ISOTROPY. NON-LINEARITY / BODY AND SURFACE STABILITY / BIFURCATION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Товстик П. Е.

Рассматривается объемная и поверхностная потеря устойчивости трансверсально изотропного упругого полупространства, равномерно сжатого в горизонтальных направлениях. В предыдущих работах установлено, что критические напряжения достигаются при достаточно большом уровне докритических деформаций порядка 0.1-0.3. В то же время при выводе уравнений бифуркации докритические деформации не учитывались. Настоящая работа посвящена исследованию влияния докритических деформаций на критическую нагрузку и форму потери устойчивости. Как и ранее, система уравнений бифуркации распадается на уравнение, описывающее чисто сдвиговую форму потери устойчивости в плоскости изотропии, и систему двух уравнений, описывающую деформацию общего вида. Установлено, что игнорирование докритических деформаций заметно искажает величину критической деформации как при объемной, так и при поверхностной потере устойчивости. Только в случае случай весьма сильной анизотропии, в котором докриические деформацмм малы, различие линейного и нелинейного подходов незначительно. Как при объемной, так и при поверхностной потере устойчивости из уравнений бифуркации определяется только критическая нагрузка. Размеры и форма вмятины остаются неопределенными.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The body and the surface stability of a transversal isotropic elastic half-space uniformly compressed in the horizontal directions is studied. In the previous papers it was established that the large enough preliminary strains of order of 0.1-0.3 correspond to the critical stresses. At the same time the preliminary strains are not included in the bifurcation equations. In this work the influence of the preliminary strains on the critical load and on the buckling mode is investigated. As earlier the bifurcation system is separated into the equation describing purely shear buckling mode in the plane of isotropy and into the system of two equations describing the general deformation. It is established that the preliminary deformations neglecting essentially districts the critical deformation as for body so for surface loss of stability. Only in the case of strong anisotropy with small preliminary deformations the differnce between linear and non-linear approach is inessential. As for body so for surface loss of stability from the bifurcation equations it is possible to fid the critical load. The wave length and the buckling mode remain indefinite.

Текст научной работы на тему «Объемная и поверхностная устойчивость трансверсально изотропного материала при сжатии»

ОБЪЕМНАЯ И ПОВЕРХНОСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ СЖАТИИ*

П. Е. Товстик

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. При достаточно большом уровне начальных сжимающих напряжений упругое твердое тело теряет объемную устойчивость в связи с нарушением неравенства Адамара [1, 2]. Упругое полупространство теряет поверхностную устойчивость с образованием вмятин вблизи свободной поверхности при несколько меньших начальных напряжениях [2-4]. При этом докритические напряжения вычисляются, исходя из уравнений линейной теории упругости. Однако для трансверсально изотропного полупространства критические начальные напряжения имеют порядок одного из модулей сдвига и докритические деформации весьма значительны (см. [2, 3]). Поэтому ниже при вычислении докритического напряженно-деформированного состояния используются уравнения геометрически нелинейной теории упругости. Для различных уровней анизотропии полупространства исследуется влияние нелинейности на критическую нагрузку. Обсуждается вопрос о форме потери устойчивости. Как и в линейном приближении [2-4], оказывается, что критическая нагрузка определяется однозначно, однако форма потери устойчивости неопределенна. Одной и той же нагрузке отвечают вмятины, отличающиеся друг от друга по размерам, а при однородном сжатии в горизонтальных направлениях — и по форме. Рассмотрение потери устойчивости в закритической стадии приводит к «шахматной» форме вмятин [3].

2. Упругий потенциал для трансверсально изотропного материала. Плотность потенциальной энергии деформации ортотропного материала имеет вид

1 3 I

U = 2 Ei3£H£33 + X/1' '

i,j= 1 i<j

где

dui 1 Д. / duk \2 dUi dUj ^ duk duk .

« = ai; + 52Дai7j ’ = a^+ ai7 + ^ aSTaS? *’J = 1’2'3’

k=1 4 y J k=1 J

(2.2)

В формулах (2.1) и (2.2) xi —декартовы координаты, ui —проекции перемещения, Eij, Gij — модули упругости, причем для трансверсально изотропного материала

E11 = E22 = E12 + 2G12, E13 = E23, G13 = G23. (2.3)

Ниже при выборе модулей Eij, Gij для трансверсально изотропного материала поступаем следующим образом. Рассмотрим многослойное тело с чередующимися мягки-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №07-01-00250а, 09-01-92002-HHC). © П.Е.Товстик, 2010

ми и жесткими плоскими изотропными слоями с параметрами

E„, v„, hn, n = 1,2, (2.4)

где En, vn, hn — модули Юнга, коэффициенты Пуассона и толщины слоев соответственно. Осреднение упругих свойств по толщине слоев при h-1, h-2 ^ 0, h1/h-2 = const при-

водит к трансверсально изотропному материалу. При вычислении его модулей Eij, Gij пользуемся тем, что на границе слоев непрерывны деформации £ц, £12, £22 и напряжения <713, 023, 033. Общий случай рассмотрен в [2], а здесь приведем формулы для частного случая, в котором V1 = V2 = v, h-1 = h-2, а отношение n = E2/E1 служит мерой анизотропии. Получаем

£ц _ (1 + Г]2)( 1 - 2г/) + 2r/((1 - г/)2 + г/2) _ (1 + r]2)iy( 1 - 2z/) + 2гуг/

2(l+ry)(l -z/2)(l -2z/) ’ ~Ё[ ~ 2(1 + г])(1 - г/2)(1 - 2г/) ’

^13 _ _________2?уг/_____________________________________ £33 _ 2?7(1 - и) -2 5-

El (1+??)(1 + г/)(1 - 2г/)’ Ei (1 + 77)(1 + г/)(1 - 2г/) ’

<?12 _ 1 + ?? <?13 _ ??

Ei 4(1 +г/)’ Ei (1 + 77)(1 + г/)'

Для изотропного тела n =1, E33 = E11, E13 = E12, E13 = E12.

3. Докритическое напряженное состояние и его бифуркация. Рассмотрим однородное плоское докритическое напряженно-деформированное состояние, определяемое соотношениями

д о 1 3

е* = ——, е°* = е* + -е2, £^-=0, стг° = ^ Ец.е°кк, г = 1,2,3, Стд = 0, (3.1)

х к=1

где м0 —докритические перемещения. Докритические деформации в1 и в2 считаем заданными, а ез определяем из соотношения ст3 = 0.

Введем малые возмущения vi докритического состояния по формулам

мг — + livi, li — 1 + (3*2)

Тогда

£й = 4 + ^ + ^Е(^£) > = + + (3-3)

Разложим потенциал (2.1) по степеням vi:

dvi , dvi dvj

E/ = £/o + E/i + £^2 + 0(4 Ux=Aik^- Ui=A^n^~kgf, (3.4)

где Aik и Aikjn — постоянные коэффициенты, а по повторяющимся индексам проводится суммирование. Вариация функционала (3.4) по 5vi приводит к системе уравнений возмущенного равновесия, которая после преобразований принимает вид

(Ekkll+Vk)~gJr+y~] (gkill + ai)~gjr + (Eki + Gki)lj gXKgXt) = °> к = 1,2,3. (3.5)

При выполнении условий (2.3) и при її = І2 = 1 система (3.5) переходит в исследованную в [2, 3, 4] систему, в которой докритические деформации и напряжения определялись по линейному приближению.

Условием объемной устойчивости является отсутствие у системы (3.5) ненулевых ограниченных решений.

Условием устойчивости полупространства хз ^ 0 является отсутствие ненулевых ограниченных решений, удовлетворяющих на свободной поверхности хз = 0 условиям

0-І3 = 0.

Как ив [2], при

Єї = Є2 = е (3.6)

(и, следовательно, її = /2 = /, 0° = 0° = а°) и 03 =0 система (3.5) распадается на две

системы. Введем вспомогательные неизвестные функции

/у = і у = — - — ГЗ 7)

дх\ дх2 ’ дх2 дх\

Тогда система (3.5) дает

я2у д2 д2

(С12І2 + а°)АУ + С1312щ=0, Д=_ + _; (3.8)

(Еп12 + а°)А11 + С1312Щ + (Е13 + С13)12А^~ = 0,

2 2 °ч Л „ ,2 д2<ш

(3.9)

(Е13 + С13 )12— + (С1312 + а0) Ага + Е33123^щ = 0.

В силу соотношений (3.1), (3.6)

,° _ I Г і I? 2Е1зА П ;2 _ (Л . ^2 4Е13

^=[Еп + Е12-—^ гУ1Ъ 1* = (1 + езу = 1-—^еЧ1. (3.10)

\ Е33 у Е33

Уравнение (3.8) описывает чисто сдвиговые деформации со смещениями в плоскости изотропии Ж1,Ж2, а система (3.9) описывает деформации со смещениями в трех направлениях, связанные с изменением объема.

4. Объемная устойчивость. Для исследования объемной устойчивости трансверсально изотропного материала неизвестные функции, входящие в уравнения (3.8) и

(3.9), представляем в виде

{V, £/,«;}(жьж2,жз) = {У0,и0,т0}е^Г1Х1+Г2Х2+ГзХз\ i = л/^1. (4.1)

В соответствии с критерием Адамара [1] признаком неустойчивости является существование ненулевого решения этих уравнений при вещественных г к .

Для уравнения (3.8) неустойчивость имеет место при С^/2 + <г0 < 0 или при

_Є > е"-1} _ 1 ~~ \ 1 ~~ Е Е 33_Е2 ’ ^4‘2^

у Е11Е33 — Еїз

а для системы (3.9) —при ^13/3 + 0° < 0 или при

,(2) = і_./і_____________2013Е33____________

V (Еп+Е12)Е33-2Е13(С13 + 2Е13)’ У ]

Рис. 1. Зависимости еП1 (п), еП! (п),

I (П), е(2

,(2)/

е(1)(п), е(2) (п) при V = 0.3.

где через еП1^ и еП2) обозначены критические деформации сжатия, найденные с учетом докритическх деформаций.

Если докритические деформации не учитываются, следует считать в уравнениях (3.8) и (3.9)

/ 2Е2.\

(4.4)

11 = 12 = 1, <т° = ( Ец + £12 - ^ I е.

33

Вместо (4.2) и (4.3) условия неустойчивости для уравнения (3.8) и системы (3.9) принимают, соответственно, вид

С12 Е33 _ (2) С13Е33

_е > е(!) = _______

г (Ей + Е12)Е33 - 2Е&

где еП1) и еП2) —критические деформации сжатия, найденные без учета докритических деформаций.

Пусть упругие модули заданы формулами (2.5). Формулы (4.2) и (4.3) принимают, соответственно, вид

?(1) = 1 -

а формалы (4.5) — вид

1 + V

з(2) = 1 _

(1 - п)2 (1 + V)

(1)

1 - V

(1 + п2)(1 + V) + п(2 - 6v) ’ (2) _ 2/7(1 ~ у)

(4.6)

(4.7)

1 2(1 + V )’ 1 (1 + п)2 (1 + V)'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

На рис. 1 приведены зависимости критических деформаций еП1) (п), еП2) (п) (сплошные линии), е(1)(п), е(2) (п) (пунктир) от параметра анизотропии п при V = 0.3. Причем

(1) (1) п о

величины еп и еп не зависят от параметра анизотропии п и при V = 0.3 имеем

е(1) = 0.269, еП1) = 0 .194. При учете докритических деформаций их критические значения существенно увеличиваются, т. е.

еП1} > е,(1), еП2)(п) > е|<2)(ч).

(4.8)

причем равенство в последнем соотношении (4.8) достигается лишь при п = 0, т. е. при предельно малых докритических деформациях.

2

Кривые еП1^ и еП2)(п) пересекаются при п* = 0.172. Жирной линией показана граница области устойчивости. Следовательно, при сравнительно небольшой анизотропии (1 ^ п > П*) при объемной потере устойчивости реализуется чисто сдвиговая форма, а при более сильной анизотропии (п < П*) преимущественной деформацией является растяжение.

(2)

Игнорирование докритических деформаций существенно занижает величины е* (п) и е*1). Только при очень сильной анизотропии (п ^ 1) докритические деформации при объемной потере устойчивости являются малыми, и ими можно пренебрегать.

5. Поверхностная устойчивость. Рассматриваем устойчивость сжатого однородной горизонтальной нагрузкой сто (см. (4.6)) трансверсально изотропного полупространства г ^ 0. В нем выполнены уравнения (3.5) или после введения вспомогательных неизвестных — уравнения (3.8) и (3.9). Плоскость г = 0 считаем свободной, и на ней выполнены граничные условия

"13(^ + СЬ к = 1,2, ^1з/2(£т + Ё)+^Й = 0 (51)

или после введения функций (3.7) —условия

дУ

,, "• <5-2>

(5.5)

/2^+/2Д«; = 0, Е131211 + Е3312^- =0. (5.3)

дг дг

При г ^ —то выполнены условия затухания {У, и, т} ^ 0.

Уравнение (3.8) не имеет ненулевых ограниченных решений, удовлетворяющих условию (5.2) и условию затухания.

Рассмотрим систему (3.9) с граничными условиями (5.3). Положим

и (х1,х2,г) = гиое4(г1Х1+Г2Х2)+г“2, Ж = ^ое4(г1Х1+Г2Х2)+г“2, (5.4)

где г = %/—Т, Г1, г'2 вещественны, г = у/г1 + Г2 и Де(а) > 0. Тогда система (3.9) дает — (Ец12 + ст0)ио + С1з/2а2ио — (Е13 + С1з)/з«адо = 0,

(Е13 + С1з)12аЦо — (С1з/| + сто)и>о + Езз^а^о = 0, а граничные условия (5.3) переписываются в виде

12аио — /|адо = 0, Е1з12ио + Езз/|аадо = 0. (5.6)

Видим, что в результате замен (5.4) волновые числа исключались.

Для параметра а получаем уравнение

(С1за2 — (Ец + ст°Г2))(£зза2 — (^з + ст%-2)) + (Е1з + С1з)2а2 = 0. (5.7)

При С1з/з + сто > 0 уравнение (5.7) имеет два корня а1 и а2, удовлетворяющих условию йе(а^) > 0, и решение системы (3.9), удовлетворяющее условиям затухания при г ^ —то, ищем в виде

™ =Е Ске*(г1х1+г2х2)+гакх, и = 5ке4(г1х1+г2х2)+г“к2, (5.8)

к=1,2 к=1,2

где

Схз/о + а0 — Езз/оа?

Ък= г- ,г ,,Т3 к, к =1,2. (5.9)

(Е13 + ^13 )<2ай

Определяя постоянные Ск из граничных условий (5.3), получаем уравнение для определения критической нагрузки сто или начальной критической деформации е:

Е1312Ъ1 + Езз13а1 _ Е-1з12Ъ2 + Дзз^за2 ^ .„ч

Ра^-!2 ~ 12а2Ь2-Щ ' ;

Решение уравнения (5.10) дает критическую деформацию при поверхностной потере устойчивости с учетом докритических деформаций. Подставляя в (5.10) формулы (4.4), получаем критическую деформацию без учета докритических деформаций.

В качестве примера опять рассмотрим материал с модулями упругости (2.5) и возьмем V = 0.3. Критические деформации при поверхностной потере устойчивости приведены в таблице 1.

Таблица 1. Критические деформации при поверхностной устойчивости

V -е„ у • г (1) (2Ь тт{е„ , е^.у | “ег • г (1) (2Ь тт{е; , е?. )

1 2 3 4 5

1.0 0.230 0.269 0.245 0.194

0.5 0.224 0.269 0.222 0.194

0.2 0.176 0.269 0.144 0.150

0.1 0.105 0.111 0.087 0.089

0.05 0.0539 0.0548 0.0484 0.0488

0.02 0.0216 0.0217 0.0206 0.0207

В столбце 1 таблицы приведен параметр анизотропии, столбцах 2 и 4 приведены критические деформации при поверхностной потере устойчивости, найденные из уравнения (5.10) с учетом (еПя)) и без учета (—е(я)) докритической деформации, а в столбцах 3 и 5 — критические деформации при объемной потере устойчивости с учетом и без учета докритической деформации, приведенные на рис. 1.

При учете докритических деформаций поверхностная потеря устойчивости (при росте деформации е) всегда предшествует объемной потере устойчивости, однако с ростом уровня анизотропии (при уменьшении п) критические нагрузки сближаются (см. столбцы 2 и 3). Без учета докритических деформаций этот естественный порядок нарушается. При малых уровнях анизотропии (строки 1 и 2 в столбцах 5 и 6) объемная сдвиговая потеря устойчивости предшествует поверхностной потере устойчивости.

6. Заключение. Игнорирование докритических деформаций, которое имело место в работах [2-4] и в ряде других работ, заметно искажает критическую деформацию при поверхностной потере устойчивости (см. столбцы 2 и 4 таблицы 1) за исключением случаев весьма сильной анизотропии (п ^ 1).

Как при объемной, так и при поверхностной потере устойчивости из уравнений бифуркации определяется только критическая нагрузка. Размеры и форма вмятины остаются неопределенными. Для пластины, лежащей на трансверсально изотропном упругом основании, из уравнения бифуркации однозначно определяются размеры вмятин [2-4], а их «шахматная» форма получается при рассмотрении закритических деформаций [3]. Вопрос о размерах и форме поверхностной потери устойчивости сжатого полупространства требует дальнейшего изучения.

Автор благодарит Н. Ф. Морозова за весьма полезное обсуждение.

1. Ciarlet P. G. Mathematical Elasticity. Amsterdam etc.: North-Holland, 1988. (Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 472 с.)

2. Товстик П. Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании // Прикл. матем и механ. 2009. Т. 73. №1. С. 106-120.

3. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 130-139.

4. Tovstik P. E. On the vibrations of pre-stressed anisotropic plates and shells lying on a prestressed anisotropic elastic foundation // EUROMECH Colloq. 481: Resent advances in the theory and application of surface and edge waves. Keele Univ. 2007. P. 38.

Статья поступила в редакцию 20 октября 2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.