CC BY
26
ОБЪЕМНАЯ И ПОВЕРХНОСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ СЖАТИИ*
П. Е. Товстик
С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru
1. Введение. При достаточно большом уровне начальных сжимающих напряжений упругое твердое тело теряет объемную устойчивость в связи с нарушением неравенства Адамара [1, 2]. Упругое полупространство теряет поверхностную устойчивость с образованием вмятин вблизи свободной поверхности при несколько меньших начальных напряжениях [2-4]. При этом докритические напряжения вычисляются, исходя из уравнений линейной теории упругости. Однако для трансверсально изотропного полупространства критические начальные напряжения имеют порядок одного из модулей сдвига и докритические деформации весьма значительны (см. [2, 3]). Поэтому ниже при вычислении докритического напряженно-деформированного состояния используются уравнения геометрически нелинейной теории упругости. Для различных уровней анизотропии полупространства исследуется влияние нелинейности на критическую нагрузку. Обсуждается вопрос о форме потери устойчивости. Как и в линейном приближении [2-4], оказывается, что критическая нагрузка определяется однозначно, однако форма потери устойчивости неопределенна. Одной и той же нагрузке отвечают вмятины, отличающиеся друг от друга по размерам, а при однородном сжатии в горизонтальных направлениях — и по форме. Рассмотрение потери устойчивости в закритической стадии приводит к «шахматной» форме вмятин [3].
2. Упругий потенциал для трансверсально изотропного материала. Плотность потенциальной энергии деформации ортотропного материала имеет вид
1 3 I
U = 2 Ei3£H£33 + X/1' '
i,j= 1 i<j
где
dui 1 Д. / duk \2 dUi dUj ^ duk duk .
« = ai; + 52Дai7j ’ = a^+ ai7 + ^ aSTaS? *’J = 1’2'3’
k=1 4 y J k=1 J
(2.2)
В формулах (2.1) и (2.2) xi —декартовы координаты, ui —проекции перемещения, Eij, Gij — модули упругости, причем для трансверсально изотропного материала
E11 = E22 = E12 + 2G12, E13 = E23, G13 = G23. (2.3)
Ниже при выборе модулей Eij, Gij для трансверсально изотропного материала поступаем следующим образом. Рассмотрим многослойное тело с чередующимися мягки-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №07-01-00250а, 09-01-92002-HHC). © П.Е.Товстик, 2010
ми и жесткими плоскими изотропными слоями с параметрами
E„, v„, hn, n = 1,2, (2.4)
где En, vn, hn — модули Юнга, коэффициенты Пуассона и толщины слоев соответственно. Осреднение упругих свойств по толщине слоев при h-1, h-2 ^ 0, h1/h-2 = const при-
водит к трансверсально изотропному материалу. При вычислении его модулей Eij, Gij пользуемся тем, что на границе слоев непрерывны деформации £ц, £12, £22 и напряжения <713, 023, 033. Общий случай рассмотрен в [2], а здесь приведем формулы для частного случая, в котором V1 = V2 = v, h-1 = h-2, а отношение n = E2/E1 служит мерой анизотропии. Получаем
£ц _ (1 + Г]2)( 1 - 2г/) + 2r/((1 - г/)2 + г/2) _ (1 + r]2)iy( 1 - 2z/) + 2гуг/
2(l+ry)(l -z/2)(l -2z/) ’ ~Ё[ ~ 2(1 + г])(1 - г/2)(1 - 2г/) ’
^13 _ _________2?уг/_____________________________________ £33 _ 2?7(1 - и) -2 5-
El (1+??)(1 + г/)(1 - 2г/)’ Ei (1 + 77)(1 + г/)(1 - 2г/) ’
<?12 _ 1 + ?? <?13 _ ??
Ei 4(1 +г/)’ Ei (1 + 77)(1 + г/)'
Для изотропного тела n =1, E33 = E11, E13 = E12, E13 = E12.
3. Докритическое напряженное состояние и его бифуркация. Рассмотрим однородное плоское докритическое напряженно-деформированное состояние, определяемое соотношениями
д о 1 3
е* = ——, е°* = е* + -е2, £^-=0, стг° = ^ Ец.е°кк, г = 1,2,3, Стд = 0, (3.1)
х к=1
где м0 —докритические перемещения. Докритические деформации в1 и в2 считаем заданными, а ез определяем из соотношения ст3 = 0.
Введем малые возмущения vi докритического состояния по формулам
мг — + livi, li — 1 + (3*2)
Тогда
£й = 4 + ^ + ^Е(^£) > = + + (3-3)
Разложим потенциал (2.1) по степеням vi:
dvi , dvi dvj
E/ = £/o + E/i + £^2 + 0(4 Ux=Aik^- Ui=A^n^~kgf, (3.4)
где Aik и Aikjn — постоянные коэффициенты, а по повторяющимся индексам проводится суммирование. Вариация функционала (3.4) по 5vi приводит к системе уравнений возмущенного равновесия, которая после преобразований принимает вид
(Ekkll+Vk)~gJr+y~] (gkill + ai)~gjr + (Eki + Gki)lj gXKgXt) = °> к = 1,2,3. (3.5)
При выполнении условий (2.3) и при її = І2 = 1 система (3.5) переходит в исследованную в [2, 3, 4] систему, в которой докритические деформации и напряжения определялись по линейному приближению.
Условием объемной устойчивости является отсутствие у системы (3.5) ненулевых ограниченных решений.
Условием устойчивости полупространства хз ^ 0 является отсутствие ненулевых ограниченных решений, удовлетворяющих на свободной поверхности хз = 0 условиям
0-І3 = 0.
Как ив [2], при
Єї = Є2 = е (3.6)
(и, следовательно, її = /2 = /, 0° = 0° = а°) и 03 =0 система (3.5) распадается на две
системы. Введем вспомогательные неизвестные функции
/у = і у = — - — ГЗ 7)
дх\ дх2 ’ дх2 дх\
Тогда система (3.5) дает
я2у д2 д2
(С12І2 + а°)АУ + С1312щ=0, Д=_ + _; (3.8)
(Еп12 + а°)А11 + С1312Щ + (Е13 + С13)12А^~ = 0,
2 2 °ч Л „ ,2 д2<ш
(3.9)
(Е13 + С13 )12— + (С1312 + а0) Ага + Е33123^щ = 0.
В силу соотношений (3.1), (3.6)
,° _ I Г і I? 2Е1зА П ;2 _ (Л . ^2 4Е13
^=[Еп + Е12-—^ гУ1Ъ 1* = (1 + езу = 1-—^еЧ1. (3.10)
\ Е33 у Е33
Уравнение (3.8) описывает чисто сдвиговые деформации со смещениями в плоскости изотропии Ж1,Ж2, а система (3.9) описывает деформации со смещениями в трех направлениях, связанные с изменением объема.
4. Объемная устойчивость. Для исследования объемной устойчивости трансверсально изотропного материала неизвестные функции, входящие в уравнения (3.8) и
(3.9), представляем в виде
{V, £/,«;}(жьж2,жз) = {У0,и0,т0}е^Г1Х1+Г2Х2+ГзХз\ i = л/^1. (4.1)
В соответствии с критерием Адамара [1] признаком неустойчивости является существование ненулевого решения этих уравнений при вещественных г к .
Для уравнения (3.8) неустойчивость имеет место при С^/2 + <г0 < 0 или при
_Є > е"-1} _ 1 ~~ \ 1 ~~ Е Е 33_Е2 ’ ^4‘2^
у Е11Е33 — Еїз
а для системы (3.9) —при ^13/3 + 0° < 0 или при
,(2) = і_./і_____________2013Е33____________
V (Еп+Е12)Е33-2Е13(С13 + 2Е13)’ У ]
Рис. 1. Зависимости еП1 (п), еП! (п),
I (П), е(2
,(2)/
е(1)(п), е(2) (п) при V = 0.3.
где через еП1^ и еП2) обозначены критические деформации сжатия, найденные с учетом докритическх деформаций.
Если докритические деформации не учитываются, следует считать в уравнениях (3.8) и (3.9)
/ 2Е2.\
(4.4)
11 = 12 = 1, <т° = ( Ец + £12 - ^ I е.
33
Вместо (4.2) и (4.3) условия неустойчивости для уравнения (3.8) и системы (3.9) принимают, соответственно, вид
С12 Е33 _ (2) С13Е33
_е > е(!) = _______
г (Ей + Е12)Е33 - 2Е&
где еП1) и еП2) —критические деформации сжатия, найденные без учета докритических деформаций.
Пусть упругие модули заданы формулами (2.5). Формулы (4.2) и (4.3) принимают, соответственно, вид
?(1) = 1 -
а формалы (4.5) — вид
1 + V
з(2) = 1 _
(1 - п)2 (1 + V)
(1)
1 - V
(1 + п2)(1 + V) + п(2 - 6v) ’ (2) _ 2/7(1 ~ у)
(4.6)
(4.7)
1 2(1 + V )’ 1 (1 + п)2 (1 + V)'
На рис. 1 приведены зависимости критических деформаций еП1) (п), еП2) (п) (сплошные линии), е(1)(п), е(2) (п) (пунктир) от параметра анизотропии п при V = 0.3. Причем
(1) (1) п о
величины еп и еп не зависят от параметра анизотропии п и при V = 0.3 имеем
е(1) = 0.269, еП1) = 0 .194. При учете докритических деформаций их критические значения существенно увеличиваются, т. е.
еП1} > е,(1), еП2)(п) > е|<2)(ч).
(4.8)
причем равенство в последнем соотношении (4.8) достигается лишь при п = 0, т. е. при предельно малых докритических деформациях.
2
Кривые еП1^ и еП2)(п) пересекаются при п* = 0.172. Жирной линией показана граница области устойчивости. Следовательно, при сравнительно небольшой анизотропии (1 ^ п > П*) при объемной потере устойчивости реализуется чисто сдвиговая форма, а при более сильной анизотропии (п < П*) преимущественной деформацией является растяжение.
(2)
Игнорирование докритических деформаций существенно занижает величины е* (п) и е*1). Только при очень сильной анизотропии (п ^ 1) докритические деформации при объемной потере устойчивости являются малыми, и ими можно пренебрегать.
5. Поверхностная устойчивость. Рассматриваем устойчивость сжатого однородной горизонтальной нагрузкой сто (см. (4.6)) трансверсально изотропного полупространства г ^ 0. В нем выполнены уравнения (3.5) или после введения вспомогательных неизвестных — уравнения (3.8) и (3.9). Плоскость г = 0 считаем свободной, и на ней выполнены граничные условия
"13(^ + СЬ к = 1,2, ^1з/2(£т + Ё)+^Й = 0 (51)
или после введения функций (3.7) —условия
дУ
,, "• <5-2>
(5.5)
/2^+/2Д«; = 0, Е131211 + Е3312^- =0. (5.3)
дг дг
При г ^ —то выполнены условия затухания {У, и, т} ^ 0.
Уравнение (3.8) не имеет ненулевых ограниченных решений, удовлетворяющих условию (5.2) и условию затухания.
Рассмотрим систему (3.9) с граничными условиями (5.3). Положим
и (х1,х2,г) = гиое4(г1Х1+Г2Х2)+г“2, Ж = ^ое4(г1Х1+Г2Х2)+г“2, (5.4)
где г = %/—Т, Г1, г'2 вещественны, г = у/г1 + Г2 и Де(а) > 0. Тогда система (3.9) дает — (Ец12 + ст0)ио + С1з/2а2ио — (Е13 + С1з)/з«адо = 0,
(Е13 + С1з)12аЦо — (С1з/| + сто)и>о + Езз^а^о = 0, а граничные условия (5.3) переписываются в виде
12аио — /|адо = 0, Е1з12ио + Езз/|аадо = 0. (5.6)
Видим, что в результате замен (5.4) волновые числа исключались.
Для параметра а получаем уравнение
(С1за2 — (Ец + ст°Г2))(£зза2 — (^з + ст%-2)) + (Е1з + С1з)2а2 = 0. (5.7)
При С1з/з + сто > 0 уравнение (5.7) имеет два корня а1 и а2, удовлетворяющих условию йе(а^) > 0, и решение системы (3.9), удовлетворяющее условиям затухания при г ^ —то, ищем в виде
™ =Е Ске*(г1х1+г2х2)+гакх, и = 5ке4(г1х1+г2х2)+г“к2, (5.8)
к=1,2 к=1,2
где
Схз/о + а0 — Езз/оа?
Ък= г- ,г ,,Т3 к, к =1,2. (5.9)
(Е13 + ^13 )<2ай
Определяя постоянные Ск из граничных условий (5.3), получаем уравнение для определения критической нагрузки сто или начальной критической деформации е:
Е1312Ъ1 + Езз13а1 _ Е-1з12Ъ2 + Дзз^за2 ^ .„ч
Ра^-!2 ~ 12а2Ь2-Щ ' ;
Решение уравнения (5.10) дает критическую деформацию при поверхностной потере устойчивости с учетом докритических деформаций. Подставляя в (5.10) формулы (4.4), получаем критическую деформацию без учета докритических деформаций.
В качестве примера опять рассмотрим материал с модулями упругости (2.5) и возьмем V = 0.3. Критические деформации при поверхностной потере устойчивости приведены в таблице 1.
Таблица 1. Критические деформации при поверхностной устойчивости
V -е„ у • г (1) (2Ь тт{е„ , е^.у | “ег • г (1) (2Ь тт{е; , е?. )
1 2 3 4 5
1.0 0.230 0.269 0.245 0.194
0.5 0.224 0.269 0.222 0.194
0.2 0.176 0.269 0.144 0.150
0.1 0.105 0.111 0.087 0.089
0.05 0.0539 0.0548 0.0484 0.0488
0.02 0.0216 0.0217 0.0206 0.0207
В столбце 1 таблицы приведен параметр анизотропии, столбцах 2 и 4 приведены критические деформации при поверхностной потере устойчивости, найденные из уравнения (5.10) с учетом (еПя)) и без учета (—е(я)) докритической деформации, а в столбцах 3 и 5 — критические деформации при объемной потере устойчивости с учетом и без учета докритической деформации, приведенные на рис. 1.
При учете докритических деформаций поверхностная потеря устойчивости (при росте деформации е) всегда предшествует объемной потере устойчивости, однако с ростом уровня анизотропии (при уменьшении п) критические нагрузки сближаются (см. столбцы 2 и 3). Без учета докритических деформаций этот естественный порядок нарушается. При малых уровнях анизотропии (строки 1 и 2 в столбцах 5 и 6) объемная сдвиговая потеря устойчивости предшествует поверхностной потере устойчивости.
6. Заключение. Игнорирование докритических деформаций, которое имело место в работах [2-4] и в ряде других работ, заметно искажает критическую деформацию при поверхностной потере устойчивости (см. столбцы 2 и 4 таблицы 1) за исключением случаев весьма сильной анизотропии (п ^ 1).
Как при объемной, так и при поверхностной потере устойчивости из уравнений бифуркации определяется только критическая нагрузка. Размеры и форма вмятины остаются неопределенными. Для пластины, лежащей на трансверсально изотропном упругом основании, из уравнения бифуркации однозначно определяются размеры вмятин [2-4], а их «шахматная» форма получается при рассмотрении закритических деформаций [3]. Вопрос о размерах и форме поверхностной потери устойчивости сжатого полупространства требует дальнейшего изучения.
Автор благодарит Н. Ф. Морозова за весьма полезное обсуждение.
1. Ciarlet P. G. Mathematical Elasticity. Amsterdam etc.: North-Holland, 1988. (Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 472 с.)
2. Товстик П. Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании // Прикл. матем и механ. 2009. Т. 73. №1. С. 106-120.
3. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 130-139.
4. Tovstik P. E. On the vibrations of pre-stressed anisotropic plates and shells lying on a prestressed anisotropic elastic foundation // EUROMECH Colloq. 481: Resent advances in the theory and application of surface and edge waves. Keele Univ. 2007. P. 38.
Статья поступила в редакцию 20 октября 2009 г.
