CC BY
59
П. Е. Товстик
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ХАРАКТЕРЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ БАЛОК,
ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК*
На ряде тестовых примеров результаты, полученные по приближенным моделям для балок, пластин и оболочек, основанным на кинематических гипотезах Бернулли—Кирхгофа—Лява (БКЛ) и Тимошенко—Рейсснера (ТР), сравниваются с асимптотическими решениями трехмерных уравнений теории упругости для узких областей. Рассматриваются задачи статики и свободных колебаний для тел из линейно упругого ортотропного материала. Основное внимание уделено случаю, когда жесткость материала в тангенциальных направлениях существенно больше его жесткости в поперечном направлении.
1. Введение. Целью статьи является обсуждение асимптотического характера приближенных моделей тонких тел из ортотропного однородного линейно упругого материала. Выводу одномерных и двухмерных приближенных моделей из трехмерных уравнений теории упругости посвящены многочисленные исследования, из которых назовем монографии [1-4]. Для балок и пластин напряженное состояние складывается из состояния основного и пограничного слоя. Основное состояние считаем медленно меняющимся, а скорость его изменения характеризуется малым параметром ^, пропорциональным отношению толщины Н к длине волны деформации Ь в тангенциальном направлении. Если деформация характеризуется функцией т = то Бт гх, то считаем, что ц = гН = 2пН/Ь. Пограничный слой локализуется в окрестности края области и для его описания приближенные модели непригодны. У оболочек может появиться еще одно напряженное состояние — краевой эффект, — которое также локализуется в окрестности края области, однако может быть описано двухмерными моделями. Ниже обсуждается только основное состояние.
Для тонких тел из изотропного материала теории БКЛ являются первым асимптотическим приближением при ^ ^ 0 трехмерной теории. Теория ТР, учитывающая сдвиг, несущественно уточняет теорию БКЛ, делая ее в то же время асимптотически противоречивой. Показано [5], что одно из напряженных состояний по теории ТР имеет длину волны порядка толщины оболочки.
Для тел из ортотропного материала с малой поперечной жесткостью положение существенно меняется. Введем малый параметр д = 0\з/Е\, равный отношению модуля упругости при поперечном сдвиге 0\з к модулю Юнга в тангенциальном направлении Е\. При умеренно малой поперечной жесткости на сдвиг (^2 ^ д ^ 1) теория ТР асимптотически непротиворечива и существенно уточняет теорию БКЛ. Если же жесткость на сдвиг еще меньше (д < ^2), двухмерные теории утрачивают свой асимптотический характер. Эти утверждения прослеживаются на приводимых ниже примерах.
2. Деформация балки из ортотропного материала. Рассмотрим плоскую задачу о деформации полосы —то < х < то, —Н/2 < г < Н/2 под действием гармонической нагрузки, приложенной к верхнему краю. Уравнения равновесия и соотношения
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00250а).
© П. Е. Товстик, 2007
до\ дт дт даз
дх dz дх dz
du 1 du dw т dw 1
^ = 37 + ^: = ^. aj = еЦп ~ «1
(2.1)
где u(x, z), w(x, z) —проекции перемещения, 7i (x, z), т(x, z) —напряжения, Ei, Vi, Gl3 — модули упругости, причем V1E3 = V3E1. Граничные условия возьмем в виде
т(x, —h/2) = т(x, h/2) = <73 (x, —h/2) = 0, <73 (x, h/2) = f sinrx. (2.2)
Будем искать периодическое решение в виде
{u, т}(x, z) = {u, т}(z) cos rx, {w, 7i, 73}(x, z) = {w, 7i, 73}(z) sin rx. (2.3)
Получим систему дифференциальных уравнений 4-го порядка. После растяжения масштаба z = hzi, u = hu*, w = hw*, т = Е1т*, <73 = Eia* (далее * опускаем) и ряда преобразований приведем эту систему к виду
т"' — jj? (-\ т' + —аз = 0, (Jo — yU,r = 0, ( У = ——, ц = rh, (2.4)
\g J e dzi
т' + ^Viff3 , т E3 Gi3
w =------r---, u+jj,w=~, e=—, 3=. (2.5)
M2 g Ei Ei
Из уравнений (2.4) находим напряжения т и <73, удовлетворяющие граничным условиям (2.2), а затем перемещения u и w находим по явным формулам (2.5).
При м ^ 1, M2/g ^ 1, M2/e ^ 1 решение системы (2.4), (2.5) может быть найдено в виде ряда по степеням м с коэффициентами, являющимися полиномами по zi. В частности, получаем
»W2) = 0A- К = 1 + Т|-¥ + 0(Л
При малой трансверсальной жесткости (при малых e и g) основную поправку в w(h/2) дает второе слагаемое с множителем g в знаменателе, учитывающее сдвиг. Малая величина e входит лишь в члены более высокого порядка малости.
По рассмотренной здесь двухмерной модели перемещения w(z) отличаются от w(h/2) на величины относительного порядка м2 (обжатие нормали), а по моделям БКЛ и ТР они считаются постоянными. При этом для модели БКЛ в формуле (2.6) следует считать K = 1, а для модели ТР — K = 1+м2/(10g). Для получения последней формулы вместо модуля сдвига G следует (как это обычно делается, см. [1]) использовать значение 5Gi3/6, учитывающее неравномерность распределения касательных напряжений по толщине.
Пусть теперь м ^ 1, M2/g ~ 1, M2/e ~ 1. Тогда ряд (2.6) утрачивает свой асимптотический характер и решение системы (2.4), (2.5) выражается через гиперболические функции. Представляя прогиб w(h/2) в форме (2.5), для коэффициента K приходим к выражению
К=—--------—-т + 0(д2), £=m/--2z/i. (2.7)
12(£-2th(£/2)) h S g 1 v ;
Рассмотрим численный пример. Возьмем ц = 0.1, VI = 0.3 и ряд значений параметров д и е:
10-'
о,-= —------Г, е, = 10^, 7=0,1,2,3,4, (2.8)
Уз 2(1 +щ)’ 3 ’ 7 ’ ’ ’ ’ ’ ^ у
причем =0 соответствует изотропному материалу. В таблице 1 приведены значения параметра К в формуле (2.6), найденные различными способами. В столбце 1 приведены точные значения, полученные при численном интегрировании системы (2.4), (2,5), в столбце 2 — по формуле (2.6), в столбце 3 — по модели ТР, в столбце 4 — по формуле (2.7). Напомним, что по модели БКЛ К =1.
Таблица 1. Значения коэффициента К.
3 1 2 3 4
0 1.002 1.002 1.003 1.002
1 1.025 1.025 1.026 1.025
2 1.259 1.259 1.260 1.259
3 3.540 3.599 3.600 3.537
4 24.763 26.999 27.000 24.734
Видим, что область применимости модели БКЛ весьма узка, а модель ТР дает удовлетворительные результаты и при весьма малых значениях параметра д. Приближенная формула (2.7) дает хорошие результаты во всем рассмотренном диапазоне.
3. Свободные колебания балки. Рассматриваем колебания с заданной длиной волны, при которой прогиб имеет вид ад(ж, г) = ад(г) вт гж. Начнем с одномерных моделей, в которых ад(г) = 1. По модели БКЛ имеем
л = < х = е!£^, ,3.1)
12’ Е\ к ’
где Л — частотный параметр, р — плотность, ш — частота колебаний.
Модель ТР учитывает инерцию вращательного движения сечений, поэтому для параметра Л приходим к квадратному уравнению:
12“Л(1+ П+к)+^Х2 = 0’ к=10~д■ (3'2)
При ц ^ 1 асимптотика двух корней уравнения (3.2) имеет вид
Л1= 12(1*+ А) +°(^6)’ М={к+^ +0(М2)- (3.3)
Рассмотрим теперь двухмерную задачу о свободных колебаниях полосы. В уравнения равновесия (2.1) включаем инерционные слагаемые и после разделения переменных, растяжения масштаба г = и ряда преобразований приходим к системе уравнений
и' =-/хго, т'= и\ /ш+(-г/?] <тз, т'= (и? — Х)и — ци 1<тз, ап=/лт — Аи), (3.4)
де
которая после исключения перемещений принимает вид
Ат" + (р?-А)(уи,2 — Л)т + (/«VIА — ц(р? — Л)) Сто = 0,
д3
((1 N \ (3.5)
(уи,2 — Л)<7з + ( (-г/2 ) \(/12 — А) + уи,2г/2Л ) <тз + (ць'хХ — /л(/л2 — Л)) т' = 0.
Систему (3.5) интегрируем вместе с граничными условиями т(±1/2) = <гз(±1/2) = 0. По-прежнему считаем р ^ 1. Система (3.5) описывает низкочастотные изгибные колебания с Л ~ р4 и две счетных серии высокочастотных колебаний с Л ~ 1.
Для вычисления частоты изгибных колебаний проинтегрируем второе уравнение
(3.5) и результат подставим в первое уравнение. Получим
Здесь с — постоянная. Систему (3.6) решаем методом итераций, начиная с функций т =
1 — 4г2, <гз = 0. Уравнение для Л находим из условия совместности второго уравнения
(3.6). После отбрасывания малых слагаемых получаем
где к — то же, что и в (3.2). Видим, что при к ^ 1 из (3.7) следует значение Л1, приве-
нения (3.5) при р ^ 1 связаны слабо, поэтому с погрешностью порядка р2 возможно раздельное определение частот:
сечения, связанная главным образом с его поворотом, приближенно описывается ве-
k ^ 1, п2 ^ 1О.
4. Деформации и колебания ортотропной пластины. Для ортотропной пластины и для балки результаты в значительной мере совпадают, поэтому приводится лишь их краткое обсуждение (подробности см. в [5]). Ищем решение в виде двоякопериодической функции w(x,y, z) = w(z) sin rix sin Г2У. После разделения переменных задача приводится к системе 6-го порядка, которая в новых переменных распадается на системы второго и четвертого порядков [5]:
(3.6)
аз dz.
(3.7)
денное в (3.3), т. е, как и в п. 2, при р•? ^ д ^ 1 модель ТР учитывает главную часть влияния сдвига.
Найдем первые корни высокочастотных серий Л^п) и Л3”^. Первое и второе урав-
n = 1, 2,... (3.8)
Серия Л2П) описывает изгибные деформации поперечного сечения балки, а серия Л3П) —деформации растяжения-сжатия сечения. Описание серии Л^и) приближенными моделями БКЛ и ТР не предусмотрено. Первая частота Л21) изгибных деформаций
личиной Л2, заданной формулой (3.3). Совпадение л21) и Л2 имеет место, если считать
т' — r2Gv + pw2v = О, G13v' = т;
а' — Ецг2м + ЕізгмЗ + р^2м = О, а = Сіз(м' + гиз),
а33 — га + Р^2«з = О, азз = Езз^З — £азгм,
(4.1)
(4.2)
2 2 2 где г2 = г2 + г2 .
Система (4.1) в задаче о свободных колебаниях описывает высокочастотные крутильные колебания, а в задаче статики с нормальным давлением вида f sin rix sin Г2У имеет нулевое решение.
Система (4.2) лишь обозначениями отличается от системы (3.4) для балки, поэтому основной вывод остается прежним — нулевое приближение по малому параметру ц = rh совпадает с результатом по модели БКЛ и при относительно малом модуле поперечного сдвига главная часть первого приближения учитывается моделью ТР.
5. Устойчивость при осевом сжатии. По модели ТР в линейном приближении рассматриваем устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки радиуса R при осевом сжатии. Ищем форму потери устойчивости в виде
w(x,y) = wo sin rix sin Г2У, (5.1)
где x и y — осевая и окружная координаты, r —искомые волновые числа. Критическая осевая нагрузка определяется [5] по формуле
Dr8 + Ar4 (1 + Br2) Eih3 „ Eih 6D , 4
“ r2r4(l + Br2) ’ " 12(1-1/?)’ " Ж’ " 5G13fe’
где r2 = r2 + r2. Модели БКЛ соответствует B = 0. Минимизация в (5.2) дает r2 = 0, что соответствует осесимметричной потере устойчивости, и
_ E\h2 J/ Г 2 — 77, ?7<1, _ 6Д1 h
° i?v/12(l — ^2) I 1/J?> ^ 77 5G13i?v/12(l-z/2)' '
При п = 2 выражение (5.3) дает классическую критическую нагрузку Лоренца— Тимошенко, не учитывающую поперечный сдвиг. Функция /(п) описывает снижение нагрузки, связанное с учетом сдвига. При п < 1 минимум в (5.3) достигается при конечном значении Г1, а при п > 1 —при Г1 = то. Последнее обстоятельство говорит о неприемлемости оболочечной модели при весьма малых значениях б^з. Отметим [6], что при напряжении сжатия —«гц = 613 сам ортотропный материал теряет устойчивость, а усилие —ТО при п < 1 порождает близкие значения напряжения [5].
Рассматриваемые здесь вопросы были предметом неоднократных обсуждений с Н. Ф. Морозовым, за что автор ему премного благодарен.
Summary
P. E. Tovstik. On the asymptotic nature of the approximate models of beams, plates and shells.
By using some test examples the results obtained by the approximate models of beams, plates and shells based on the kinematical hypotheses of Bernoulli—Kirchhoff—Love and Timoshenko— Reissner are compared with the asymptotic solutions of 3D equations of the theory of elasticity for narrow areas. The statical problems and the problems of free vibrations for bodies made of the linearly elastic orthotropic material are studied. The main attention is paid to the cases in which the material stiffness in the tangential directions is much larger than its stiffness in the transversal direction.
1. Доннелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.
2. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.
3. Агаловян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997. 414 с.
4. Назаров С. А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Новосибирск: Научная книга, 2002. 408 с.
5. Tovstik P. E., Tovstik T. P. On the 2D models of plates and shells including the shear // ZAMM. 2007. Vol. 87. N2. P.160-171.
6. Морозов Н. Ф., Семенов Б.Н., Товстик П.Е. Континуальные и дискретные модели в задаче устойчивости трехслойной нанопластины // Теор. и прикл. механика. Минск. Вып. 19. 2005. С. 37-41.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
