CC BY
20
УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 2
МЯО 74Л10, 74Л15, 74010, 74С15, 74К10, 74К20
ДЛИННОВОЛНОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНОЙ БАЛКЕ*
П. Е. Товстик1, Т. П. Товстик2, Н. В. Наумова1
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
2 Институт проблем машиноведения РАН,
Российская Федерация, 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В. О., 61
Методом асимптотического интегрирования исследуются длинноволновые колебания и волны в бесконечной неоднородной по толщине анизотропной балке-полоске. Построено дисперсионное уравнение второго порядка точности по отношению к относительной толщине балки. Отмечены дополнительные качественные эффекты, связанные с анизотропией. Библиогр. 25 назв. Табл. 2.
Ключевые слова: колебания, волны, анизотропная балка, асимптотические методы.
1. Введение. В работе построены приближенные модели в задаче о свободных длинноволновых колебаниях и распространении волн в анизотропной неоднородной бесконечной балке-полоске. Эта задача принадлежит к классу задач построения моделей меньшей размерности для балок, пластин и оболочек. Наиболее употребительной является модель Кирхгофа—Лява (КЛ), основанная на гипотезе прямой нормали [1, 2]. Более сложная и в некоторых случаях более точная модель Тимошенко— Рейсснера (ТР) учитывает поперечный сдвиг [3, 4]. Используются также модели, основанные на разложениях неизвестных функций в ряды по полиномам Лежандра [5, 6]. Многочисленные исследования посвящены моделям [7—11], использующим асимптотические разложения по степеням малой относительной толщины ^ = Н/Ь, где Н — толщина, Ь —длина волны в тангенциальном направлении.
Для анизотропных неоднородных по толщине (в частности, многослойных) балок, пластин и оболочек задача вывода моделей существенно усложняется. Методы, основанные на гипотезах, становятся неприменимыми или область их применимости существенно сужается. В то же время методы асимптотического интегрирования дают надежные результаты, что подтверждается рассмотрением тестовых примеров, в которых трехмерные задачи допускают точное решение. Установлено [12, 13], что для анизотропных однородных пластин и оболочек модель КЛ неприменима. Модель ТР нуждается в обобщении, при этом получается система 10 порядка, содержащая нехарактерные для теории пластин и оболочек интегралы пограничного слоя. Исключение этих интегралов и сведение системы 10 порядка к системе 8 порядка (как и в модели КЛ) представляет отдельную задачу [13]. В [14] методом асимптотического интегрирования для неоднородной по толщине анизотропной пластины в нулевом приближении получена система 8 порядка, не содержащая интегралов пограничного слоя. Различные вопросы, связанные с изгибом и распространением продольных волн в анизотропных и слоистых пластинах, обсуждаются в работах [15-17].
В работах [18-21] для пластины из трансверсально изотропного неоднородного (в частности, многослойного) материала и для балки из ортотропного неоднородного
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 16.01.00580-а и № 16.51.52025 МНТ-а).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017
материала получены уравнения второго порядка точности. Оказалось, что как для пластины, так и для балки получается одна и та же разрешающая система уравнений 4 порядка, определяющая закон изменения неизвестных функций по толщине. Ценность модели второго порядка точности заключается в том, что она (в отличие от моделей КЛ и ТР) может быть использована для пластин и балок с весьма малой жесткостью на поперечный сдвиг, а также для многослойных пластин и балок, у которых чередуются жесткие и весьма мягкие слои (отношение модулей Юнга слоев может достигать 1000).
Попытка получить уравнения второго порядка точности для анизотропных пластин и оболочек (с 21 модулем упругости) пока не привела к успеху, ибо уравнения получаются очень громоздкими. Поэтому в настоящей работе методом асимптотического интегрирования выведены уравнения ВТ для анизотропной балки-полоски (с 6-ю модулями упругости). Рассматриваются свободные длинноволновые колебания и распространение продольных и изгибных волн, а также кратко исследуются высокочастотные длинноволновые колебания. Соотношения упругости при рассматриваемом плоском напряженном состоянии содержат 6 констант в отличие от 4 констант для ортотропной балки. Выяснено, какие дополнительные качественные эффекты связаны с общей (косой) анизотропией по сравнению с ортотропным (или изотропным) материалом.
2. Основные уравнения и предположения. Рассматривается плоская динамическая задача для бесконечно длинной анизотропной балки-полоски постоянной толщины к. Система уравнений движения имеет вид
дап да13
Н-----1ПХ, М) =
дх
дг
д<713 дстчч „ .
дх
дг
(2.1)
где оц —напряжения, /1, /3 —интенсивности внешней нагрузки в проекциях на оси х, 2 декартовой системы координат, £ — время. Для рассматриваемых ниже задач свободных колебаний /1 = рш2и, /3 = где и(х, г), гш(х, г) —проекции перемещения на направления х и г соответственно, ш — частота колебаний, р = р(г) —плотность материала.
Плоскости г = 0 и г = к считаем свободными, что дает граничные условия
<713 (х, г, £) = 033 (х, г, £) = 0, г = 0, к.
(2.2)
Для анизотропного материала соотношения упругости, связывающие напряжения оц с деформациями £ц, записываются так:
<11 = ЕЦ£Ц + #1 £13 + Е13 £33, / Ец #1 Е13 \
<13 = #1£11 + ^13 £13 + #3£33, Е= ^13 #3
<33 = Е13£ц + #3 £13 + Е33 £33, \ Е13 #3 Е33 )
(2.3)
£11
ди дх
£13
ди ди> дг дх
£33
дад дг
(2.4)
Считаем, что модули упругости в матрице Е не зависят от х, но могут зависеть от г. Тем самым многослойные балки и балки из функционально градиентного материала не исключаются из рассмотрения. Предполагается, что матрица Е является положительно определенной.
Разрешая соотношения (2.3) относительно величин £33, £13, <11, получаем
£33 = С3О33 - Cv£11 - Ci£i3,
£13 = -Ch£11 + Cg<713 - C1033, (2.5)
an = Co£11 + Ch<13 + Cv 733,
где
E13G13 — 2H1H3E13 + H1E33 Д G13 H3
C0 = En--д^-= дг>0' Сз=д? С1 = д?
_ Е33Н1 — Е13Н3 _ E13G13 — Н1Н3 _ Е33
сн - Xí ' ~ Ä[ ' Сд ~ Д?
(2.6)
причем Д1 = G13E33 — H3 > 0 и Д > 0 — определитель матрицы E.
Основными неизвестными в системе (2.1), (2.3) считаем w,u,ai3,a33. Они в силу формул (2.5) удовлетворяют системе уравнений
dw dz du v dx C1<13 + C3<33,
du dz dw dx du di + ^ " C1 < 33
d(Ji3 dz d2u 0 dx2 d<13 Ch я c dx дстзз v dx
дстзз dz da13 dx 2 - pui2w.
(2.7)
2
pui2u,
Вводим безразмерные переменные (со значком Л):
{u,w,z} = h{U,w,z}, x = Lx, {<ij, Eij, G13, Hi, Co} = Eo{7ij, Ej, G13, Hi, co},
{ci,c3,cs} = ^{ci,c3,cs}, Eo
¿ LA h (2.8)
p = p0p, ш = —, t = Tt, v = —v, p0 = -j-,
I-2~
E0 = \ J c0{z)dz, po = ^ J p{z)dz, T = J
М Ь} ' 1 V Ео
о о
Здесь Ь — длина волны в продольном направлении, Ео, ро — средние по толщине значения эквивалентного напряжения в продольном направлении ео и плотности материала, Т — время распространения продольной волны на длину Ь, V — ее скорость. Для рассматриваемых ниже длинноволновых колебаний ро — малый параметр толщины. Далее значок Л опускаем.
Для балки из ортотропного материала в безразмерных переменных будет
Н\ = Нз = 0, ci = ch = 0, со = Ец ———, сд = = сз = "F7-
Е1з _ 1 _ £-13 _ _¡_
т? ' Сд ~ п ' Cv т? ' сз у-, E33 G13 E33 E33
(2.9)
и для изотропного материала —
Е 2{1 + у)Е0 v Ер(1 — 2г/)(1 + у)
со = 7т-гГ> cs = -F-' = 1-' сз = -F7i-Ñ-> (¿-10)
E0(1 - v2) E 1 - v E(1 - v)
где E(z),v(z) — модуль Юнга и коэффициент Пуассона, причем E и Eo являются размерными величинами по определению.
Если H = 0 и/или H3 = 0, анизотропию называем косой. Для нее ci =0 и/или ch = 0. В противном случае материал считается ортотропным (или изотропным).
Рассматриваем две задачи, сводящиеся к одной и той же системе уравнений, — задачу о свободных гармонических колебаниях и задачу распространения продольных волн. В задаче колебаний инерционные нагрузки в безразмерных обозначениях таковы:
{/ъ/з } = p(z)u>2{u(z),w(*)W,iXei"t, р = 2тф0 = (2.11)
где u — новый малый параметр. Неизвестные функции ищем в виде
Y (x,z,t)= Y Y = {w,u,a13,a33}. (2.12)
В задаче распространения волн имеем
{/i,/s}(x,z,í) = p(z)w2{u(z),w(z)}e^(:x-ví), Y (x,z,t) = Y (z)e^(x-ví), (2.13)
где v — скорость распространения волны, связанная с ее длиной L (см. (2.11)) и частотой w соотношением
v = w/u. (2.14)
Нашей задачей является определение частоты w и связанной с ней по формуле (2.14) скорости распространения волны v.
Формулы (2.11) подставим в систему уравнений (2.7) и положим для удобства u(z) = rn(z), <7i3(z) = icri3(z). Тогда, опуская значок получим
w' = ucvu - ¿ciai3 + C3CT33, ()' = ()/dz, u' = -uw - u-ichu + cfl^13 + ¿ciO"33,
ai3 = u2cou - u«ch^i3 - ucv^33 - pw2u = Zi, (2.15)
0"33 = 13 - pw2w = Z2,
ai3 (0) = ai3(1) = ^33(0) = ^33 (1) = 0.
3. Обсуждение краевой задачи (2.15). При сделанном предположении о положительной определенности матрицы упругих модулей эта задача имеет неотрицательный спектр, что вытекает из энергетических соображений [19].
Несложно непосредственно доказать, что собственные значения задачи (2.15), неотрицательны (положительны, если исключить перемещения балки как твердого тела). Умножим третье и четвертое уравнения (2.15) на комплексно сопряженные функции и и wJ и проинтегрируем их по z в пределах (0,1). Тогда после преобразований получим
oj2 [ р(\и\2 + \w\2)dz = [ (р2с0\и\2+сд\а13\2+ 2c1lm(a13a33) + c3\a33\2)dz, (3.1)
00
326 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4(62). 2017. Вып. 2
где Im(Y) —коэффициент при мнимой части Y. В силу (2.6) из соотношения (3.1) следует w2 > 0, ибо со > 0 в силу положительной определенности матрицы E и CgС3 - с1 = 1/Ai > 0.
Коэффициенты со, Ch, cv,ci,cg,сз,р в системе (2.15) зависят от z (в общем случае). При р ^ 1 эта система описывает низкочастотные изгибные (при w2 ~ р4) и продольные (при w2 ~ р2) колебания и две бесконечные серии высокочастотных колебаний. Для низкочастотных колебаний правые части системы (2.15) малы, и для построения частот и форм колебаний будем использовать метод итераций. Интегрирование по z первых двух уравнений (2.15) вводит произвольные функции, которые определяются из условий совместности третьего и четвертого уравнений (2.15) и граничных условий:
(Zk (z)) =0, k = 1,2, (Y) = í Y(z) dz, (3.2)
о
где (Y) — оператор осреднения по толщине балки. В частности, в силу введенных обозначений будет (с0) = 1, (р) = 1.
Построено нулевое приближение по р решения задачи (2.15), а также первое и второе приближения. Нулевое приближение зависит только от эквивалентной продольной жесткости материала co(z). Первое приближение уточняет нулевое приближение при Ch =0 (т.е. в случае косой анизотропии). Для ортотропной балки первое приближение совпадает с нулевым. Второе приближение, зависящее от остальных коэффициентов в системе (2.15), является достаточно громоздким. Цель его построения — уточнение предыдущих приближений, причем наиболее существенным это уточнение получается в случае малой жесткости на поперечный сдвиг. При этом коэффициент cg в системе (2.15) является большим.
Для краткости записи (кроме оператора осреднения (3.2)) введем оператор интегрирования по толщине балки I(Y) = J0 Ydz.
Отметим легко проверяемые свойства этих операторов:
(I (Y)) = (Y) - (zY), (Y I (Z)) + (ZI (Y)) = (Y) (Z). (3.3)
Результат применения метода итераций зависит от начального приближения. Начнем с продольных колебаний, как более простых.
4. Продольные колебания. Возьмем u(0) = 1 в качестве нулевого приближения. Тогда асимптотические порядки остальных неизвестных будут следующими:
1 2 3 2 2 Глл\
U ~ 1, w ~ р, С13 ~ р , СТ33 ~ р , W ~ р . (4.1)
В нулевом приближении имеем w(0) = р^1 +I(cv, где постоянная wi подлежит определению. Условие (Zi) = 0 совместности третьего уравнения (2.15) дает w2 = р2. Далее находим ст^ = р2!(со) — w2I(р) = р2!(с0 — р). Условие совместности четвертого уравнения (2.15) после преобразований дает величину w1 = (I(с0 — р — cv)). Определение напряжения = р3 (I(I(с0 — р)) — I^(wi + I(cv)))) завершает построение нулевого приближения.
В первом приближении имеем w(i) = w(0) = р^! + I(cv)), u(i) = 1 — р0Л(ch). Условие (Zi) = 0 дает р2 (ед(1 — рИ(ch))) — р3г (chI(с0 — р)) — w2 (р(1 — рИ(ch))) = 0. Как и должно быть в силу вещественности величины w2 , слагаемые с множителем
гр3 с учетом тождеств (3.3) взаимно уничтожаются и ш2 = ш2 = р2. В первом приближении получаем ст1^ = P2I (со — р) + р3г(1 ((р — со)1 (сн)) + I(снI(р — со))). Величина
(1) 2 СТ33 не приводится, так как она не участвует при вычислении ш2
Наконец, во втором приближении будем иметь
и(2) = 1 — рг1 (сн) + р2(1 (сдI(со — р)) — I(снI(сн)) — I(сн(■ + I(с^)))), (4 2) ■(2) = р(ю + I (с„)) — ¿р3(юз + I (I (со — р))).
Условие (2\) = 0 приводит к дисперсионному уравнению второго порядка точности
ш2 = р2 + р4А + 0(р5), А = Ад + А + Ан, (4.3)
где
Ад = ((со — P)I(сдI(со — р))), А^ = — (с^ (II(со — р) — I(р(ю + I(с,)))), (4.4)
Ан = ((р — cо)(I(cн(I(сн + с^) + wl) + cнI((р — со)!(сн)) + сн!(снI(р — со))) .
Для балки из ортотропного материала имеем сн = Ан = 0.
Если материал однородный (коэффициенты со,сд,си,сн,р постоянны), то формулы (4.4) упрощаются, ибо в безразмерных обозначениях со = р = 1. В результате получаем
с2
Ад=Ан = о, А = А„ = -г£. (4.5)
В соответствии с формулой (2.14) скорость VI распространения продольной волны в безразмерных переменных имеет вид
ш р2А ,, ,
у1 = - = 1 + ^—+0(р3) (4.6)
р 2
или в исходных переменных
где Ео и ро — эквивалентная продольная жесткость и средняя плотность материала (см. (2.8)). Формула (4.7) описывает слабую дисперсию скорости продольной волны, т. е. слабую зависимость скорости распространения волны от ее длины. Эта дисперсия имеет место как для анизотропного, так и для изотропного материалов. Впервые дисперсия была обнаружена в работах Похгаммера [20] и Кри [21] при изучении распространения продольной волны по однородному изотропному стержню кругового поперечного сечения. Заметим, что в однородном анизотропном упругом пространстве плоские волны распространяются без дисперсии [19].
Косая анизотропия проявляется в величине коэффициентов Ео и А и в появлении малого поперечного перемещения стержня.
5. Изгибные колебания. Возьмем ю(о) = 1 в качестве начального приближения в методе итераций. Тогда порядки неизвестных функций в системе (2.15) будут равны
■ ~ 1, и ~ р, СТ13 ~ р3, СТ33 ~ р4, ш2 ~ р4. (5.1)
Нулевое приближение имеет вид
= 1, «(о) = р^*, г* = а — г, а = (сог) , а^ = р^ (сог*), ^^ ^^
р4Б = о2, Б = (7(сог*)) = (со^) , а33} = (I(сог*)) — (р),
где а — координата нейтрального слоя, Б —безразмерная изгибная жесткость, оо — частота колебаний в нулевом приближении. Уравнение р4Б = о2 может быть получено в рамках гипотез Кирхгофа—Лява при соответствующем значении продольной жесткости со балки.
Нулевое приближение совпадает с полученным ранее [16-18] нулевым приближением при описании колебаний трансверсально изотропной пластины, ибо при сь = с 1 =0 обе задачи описываются одной и той же системой уравнений (2.15). Первое приближение имеет вид
ад1 1) = 1, м1 1) = рг:* + гр2(м 1 — I (сь г*)). (5.3)
Постоянная «1 определяется из условия совместности (^1) = 0:
«1 — (^1) = 0, и = со/(сь г*) + (сог *). (5.4)
Далее получаем
а^ = р3I (со г*) + гр4/(со «1 — ^1). (5.5)
Величина о2 определяется из уравнения =0, ^2 = ра 13^ — ро2, что дает о2 = р4Б + гр5 (V), У1 = I(со)«1 — I(Ц.). Пользуясь тождествами (3.2), можно показать, что (У1) = 0, что и должно быть, ибо в противном случае частота 01 была бы комплексной. Следовательно, 01 = оо = р4Б. Во втором приближении имеем
= 1 + р21 (с„г*), и(2) = р,г* + ¿р2(«1 — I(сьг *)) + р3(«2 + I(и)), ,г
(5.6)
^2 = —I (с„ г*) + сь(«1 — I (сь г*)) + с31 (сог *).
Постоянная «2 определяется из условия совместности (^1) = 0, что дает «2 + (^2) = 0, где
V) = cоI (^2) + сь! (со«1 — ^1) — с^ I (I (со г*)) + с^ Ш (р) — Б,г* р. (5.7)
Далее находим
а(3) = р3I (со г*) + гр^ (со«1 — ^1) + р5I (со «2 + ^г). (5.8)
Наконец, условие (^2) = 0 дает значение второго порядка точности для частоты 02: о2 = р4Б + р6В, В = (I (со«2 + V») — ^ (с, г *)) = Вд + В„ + Вь + Вр, (5.9) где
Вз — _ \ "-з
— (сз (I(сог*, В^ = — (сог *I(I(с^г *)) + с^г *I(I(сог*))) ,
Вр = —Б (рг?) + Б (с„г*I(р) — рI(с„г*)) , (5.10)
Вь = (сьг* I (со) + со г * I (сь)) (с^ (со г *) + ^ (с^г *)) —
— (сьг*I(^(сьг*)) + с^г *I(сьI(сог *)) + сог *I(с^(сьг*))) .
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4(62). 2017. Вып. 2 329
Слагаемые Вд, Би, Вн учитывают, соответственно, влияние поперечного сдвига, пуас-соновскую деформацию нормальных волокон и влияние косой анизотропии. Слагаемое Вр учитывает дополнительные силы инерции и состоит из двух частей, первая из которых связана с инерцией вращательного движения нормальных волокон, а вторая — с инерцией их пуассоновской деформации.
Для однородного материала, со = р =1, а = 1/2, и коэффициенты (5.10) принимают значения
_L в = Сд В = — В =__-__— В =
12' 9 120' " 60' р 144 72' h 360'
При ci = ch =0 система (2.7) была ранее исследована в работах [16-18], ибо к ней сводятся задачи изгиба и колебаний трансверсально изотропной пластины. Коэффициенты Bg,BV и Bp в (5.10) с точностью до обозначений совпадают с полученными ранее. Коэффициент Bh учитывает влияние косой анизотропии.
Уравнение нулевого приближения a4D = w2 может быть получено в рамках гипотезы прямой нормали Кирхгофа—Лява при соответствующем значении эквивалентной продольной жесткости со балки (см. (2.6)). Для ортотропной балки слагаемое a6Bg в формуле (5.6) может быть получено в рамках гипотез Тимошенко—Рейсснера, учитывающих сдвиг при соответствующем выборе эквивалентной жесткости на сдвиг [18]. При этом нормальное волокно изгибается, как кубическая парабола [17].
Косая анизотропия не приводит к существенному изменению частоты колебаний, однако в соответствии с формулами (5.6) форма прогиба претерпевает более существенные изменения. Возвращаясь к исходным обозначениям, с учетом (2.13) и принятого обозначения и = iu запишем вещественные части формул (5.6) в виде
w = (1 + u2I(cvz*)) cos ax,
2 (5.12)
и = -(az* + a (u2 + i(U2))) sin ax — a (ui — I(chz*)) cos ax.
Гипотезам Кирхгофа—Лява соответствует соотношение ди/дг + дт/дх = 0, которому удовлетворяют лишь главные слагаемые в (5.12).
Как для анизотропной, так и для изотропной балок скорость гиь сильно зависит от длины волны Ь. В безразмерных переменных получаем
(5.13)
и в исходных переменных —
2пН /ЕоО / 2п2Н2В\
На скорость волны Vь анизотропия влияет через коэффициенты Ео, О, В, не меняя качественной картины. Влияние на форму прогиба в соответствии с (5.12) более существенно.
6. Высокочастотные длинноволновые колебания. При построении колебаний в системе (2.15), по прежнему, параметр р считаем малым. Ограничимся построением нулевого по р приближения для однородной анизотропной балки. Тогда приходим к краевой задаче
а'/3 + ^2о30 13 - 01033 = 0, "зэ - ^2С1013 + ^2езозз = 0,
013(0) = 013 (1) = 0, озз(0) = 033 (1) = 0.
(6.1)
(Для получения вещественного решения сделана обратная замена 013 на —¿013.)
Для ортотропной балки имеем с1 = 0, и задача (6.1) распадается на две. Одна из них описывает серию сдвиговых колебаний с ш)^ = тк/у/сЦ, п = 1, 2,..., а другая — толщинных колебаний с = дат/ у/Щ.
Для балки с косой анизотропией (01 = 0) также появляются две серии частот, в каждой из которых присутствуют оба напряжения 013 и 033:
= пп/
(к)
а"1з = 01 81П ппг
, 033) = (0д — А(к) )в1
81П ппг,
к = 1, 2,
где А(к) — корни уравнения
А2 — (сд + сз)А + с3 сз — о2 =0.
(6.2)
(6.3)
В силу неравенства од03 — с2 > 0 оба корня уравнения (6.3) положительны.
На основании формул (6.2) отношение £(к) максимальных амплитуд толщинных и сдвиговых нвпряжений в нулевом приближении имеет вид
е(к) =
т(к)
33
тах 0
(к) 13
- А(*>
с 1
(6.4)
Слабая зависимость (порядка р) этих частот от длины волны может быть найдена из первого приближения, которое здесь не рассматривается.
7. Примеры. В качестве тестового примера рассмотрим колебания однородной анизотропной балки с безразмерными параметрами
со = р
1,
0.3,
оз = П,
оь
01 = 0.5п, р = 0.1,
(7.1)
причем параметр п будем менять. В работах [16-18, 22] показано, что для трансвер-сально изотропных пластин и ортотропных балок уточнение, связанное со слагаемым второго порядка точности р6В в (5.6), существенно лишь в случае малой жесткости в поперечном направлении. Поэтому в (7.1) введен параметр п (при п ^ 1 поперечная жесткость мала).
Таблица 1.
V Ш1 £2 £о и>2 е0 ~ £2 ш3 £0 Ш 4 £0
1 0.002884 10~у 0.1% 0.099996 КГ -V 2.566 0.1% 4.443 0.1%
10 0.002860 10-4 0.3% 0.099998 10- -5 0.815 0.5% 1.398 0.6%
50 0.002545 1.2% 13% 0.099998 10- -5 0.376 3.5% 0.579 8.5%
100 0.001839 4.7% 60% 0.099998 кг -Б 0.280 7.5% 0.371 19%
В таблице 1 для ряда значений п приведены первые четыре частоты, найденные в результате численного решения краевой задачи (2.15), и относительные погрешности
о
о
V
д
приближенных формул (4.3), (5.9) и (6.2). Через е0 и е2 обозначены, соответственно, погрешности нулевого и второго приближений. Частота изгибных колебаний ш\ убывает с ростом п, а погрешности е2 и е0 формулы (5.9) растут. Частота продольных колебаний Ш2 практически не зависит от п и определяется по формуле (4.3) с высокой точностью.
Первые частоты шз и W4 высокочастотной серии убывают вместе с п, а погрешности формул (6.2) растут. По формуле (6.4) для модулей (7.1) максимальные амплитуды толщинных и сдвиговых напряжений оказываются равными для обоих рассматриваемых форм колебаний (£(3) = £(4) = 1).
Рассмотрим балку, равномерно армированную системой малорастяжимых волокон, наклоненных под углом а к оси Ox. В [22] для упругих модулей в (2.3) приводятся следующие формулы:
Ец = —^ + Еп5 cos4 а, Е\з = Е^И—Jil Enösm2 a cos2 а, 1 — V2 1 — V2
Езз = + En & sin4 а, Gi3 = f^ ~ ^ + EnS sin2 а cos2 а, (7'2)
1 — V2 2(1 + V)
Hi = EnS sin а cos3 а, H3 = EnS sin2 а cos а,
где E и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона матрицы, En — модуль Юнга волокон, S — доля обьема, занятого волокнами.
Рассмотрим изгибные колебания балки с безразмерными параметрами
E = 1, V = 0.3, En = 1000, S = 0.1, р = 1. (7.3)
Угол а наклона волокон будем менять.
В таблице 2 для ряда значений а приведены: эквивалентная продольная жесткость со, найденная по формуле (2.6), коэффициент cg податливости на поперечный сдвиг; изгибная частота колебаний ш\, найденная при численном решении задачи (2.15); и относительные погрешности £2 и £о формулы (5.9) во втором и в нулевом приближениях.
Таблица 2.
а со с9 ш 1 £2 £0
0 101 291 0.0255 3% 13.6%
2 74 160 0.0230 1% 8.7%
5 32 29 0.0159 0.6% 2.5%
10 11 3.3 0.0095 10-4 0.6%
30 2 0.1 0.0041 10-4 0.1%
60 1 0.1 0.0030 10-4 0.05%
90 1 2.6 0.0027 Ю-4 0.2%
С уменьшением угла а возрастают как продольная жесткость со, так и частота изгибных колебаний Одновременно растет параметр сд, что сопровождается ростом погрешности приближенных формул.
8. Заключение. Выведены уравнения второго порядка точности, описывающие длинноволновые колебания балки-полоски в случае анизотропии общего вида. Получена эквивалентная продольная жесткость, которая в рамках гипотез КЛ позволяет описать в нулевом приближении изгибные и продольные колебания анизотропной неоднородной по толщине балки. Как для ортотропной балки, так и в случае косой
анизотропии первое приближение не дает поправки к частоте колебаний, а поправочное слагаемое второго приближения зависит от всех модулей упругости.
Что касается формы колебаний, в случае косой анизотропии при поперечных колебаниях появляется малая продольная составляющая перемещений нейтрального слоя. При продольных колебаниях влияние косой анизотропии на форму колебаний незначительно, малая поперечная составляющая перемещения связана, в основном, с эффектом Пуассона.
Для высокочастотной серии наличие косой анизотропии очень существенно. Тол-щинные и сдвиговые частоты и формы колебаний связаны уже в нулевом приближении и образуют единую высокочастотную серию.
Литература
1. Kirchhoff G. Vorlesungen über Matematische Physik // Mechanik. Leipzig, 1876.
2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ НКТП, СССР, 1935.
3. Timoshenko S. P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Philos. Mag. Vol.4. Ser. 6, N242. 1921.
4. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1945. Vol. 12. P. 69-77.
5. Родионова В. Ф., Титаев В. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория инизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996.
6. Векуа И. Н. Об одном методе расчета призматических оболочек // Тр. Тбилисского мат. ин-та. 1955. Т. 21. C. 191-259.
7. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.
8. Аголовян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997.
9. Назаров С. А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Т. 1. Новосибирск: Научная книга, 2002.
10. Зимин Б. А., Зорин И. С. К вопросу о формах равновесия неоднородных анизотропных упругих пластин и стержней // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 2(60). Вып. 1. С. 600-605.
11. Vetyukov Y., Kuzin A., Krommer M. Asymptotic splitting in the three-dimensional problem of elasticity for non-homogeneous piezoelectric plates // Int. J. Solids and Structures. 2011. Vol.48. P. 12-23.
12. Товстик П. Е. Двухмерные модели пластин из анизотропного материала // Доклады РАН. 2009. Т. 54(4).
13. Tovstik P.E., Tovstik T.P. Two-dimensional models of shells made of an anisotropic material. Acta mechanica. 2014. Vol. 225(3). P. 647-661.
14. Tovstik P. E., Tovstik T. P. Two-dimensional model of plate made of anisotropic inhomogeneous material // Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics. 2014 (ICNAAM-2014). Vol. 1648. 300011.
15. Vijayakumar K. Poisson's Theory for Analysis of Bending of Isotropic and Anisotropic Plates, ISRN Civil Engineering. Vol.2013, Article ID 562482, 8 pages, 2013. doi: 10.1155/2013/562482
16. Verma K. L. Wave propagation in laminated composite plates Int. J. Adv. Struct. Eng., 2013, 5, 10. doi: 10.1186/2008-6695-5-10
17. Kuznetsov S. V. Lamb waves in anisotropic plates, Acoustical Physicsl. 2014. Vol. 60, N 1. P. 95103.
18. Kienzler R., Shneider P. Comparison of various linear plate theories in the light of a consistent second order approximation. Shell Structures: Theory and Applications. Proc. 10th SSTA 2013 Conf. Vol.3. P. 109-112 (2014).
19. Товстик П. Е., Товстик Т. П. Уравнение изгиба тонкой пластины второго порядка точности // Доклады РАН. 2014. Т. 59(8).
20. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Обобщенная модель Тимошенко—Рейсснера для многослойной пластины // Изв. РАН. МТТ. 2016. №5. C. 22-35.
21. Tovstik P.E., Tovstik T.P. Generalized Timoshenko—Reissner models for beams and plates, strongly heterogeneous in the thickness direction // ZAMM (to be published).
22. Бабич В.М., Киселев А. П. Упругие волны // Высокочастотная теория. СПб.: БХВ-Петербург, 2014. 320 с.
23. Pochhammer L. Biegung des Kreiscylinders-Fortpflanzungs-Geschwindigkeit kleiner Schwingungen in einem Kreiscylinder // J. reine angew. Math. 1876. Vol. 81.
24. Chree C. Longitudinal vibrations in solid and hollow cylinders // Phil. Mag. 1899. Vol. 47(5). P. 333-349.
25. Товстик П. Е., Товстик Т. П. Двухмерные модели пластин из анизотропного материала // Тр. семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 4-16.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2016 г.; рекомендована в печать 22 декабря 2016 г. Сведения об авторах
Товстик Петр Евгеньевич — доктор физико-математических наук, профессор; peter.tovstik@mail.ru Товстик Татьяна Петровна — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник; tovstik t@mail.ru
Наумова Наталья Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент; n.v.naumova@spbu.ru
lONG-WAVE VIBRATIONS AND WAVES IN ANISOTROPIC BEAM
Petr E. Tovstik1, Tatiana P. Tovstik2, Natalia V. Naumova1
1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; peter.tovstik@mail.ru, n.v.naumova@spbu.ru
2 Institute of Problems of Mekhanical Engineering RAS, Bolshoy pr. V. O., 61, St. Petersburg, 199178, Russian Federation; tovstik t@mail.ru
Long-wave vibrations and waves in infinite non-homogeneous in thickness of anisotropic beam-belt are investigated by using asymptotic methods. Dispersion equation of second order accuracy on the relative beam thickness are obtained. Additional quality effect related to anisotropy are noticed. Refs 25. Tables 2. Keywords: vibrations, waves, anisotropic beam-belt, asymptotic methods.
References
1. Kirchhoff G., "Vorlesungen iiber Matematische Physik", Mechanik (Leipzig, 1876).
2. Love A. E. H., A treatise on the mathematical theory elasticity (Dover, New York. 1927).
3. Timoshenko S. P., "On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars", Philos. Mag. Ser. 6 4(242), (1921).
4. Reissner E., "The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates", Trans. ASME, J. Appl. Mech. 12, 69-77 (1945).
5. Chernykh K. F., Rodionova V.A., Titaev B.F., Applied theory of anisotropic plates and shells (St. Petersburg University Press, 1996) [in Russian].
6. Vekua I. N., "On one method of calculating prismatic shells", Trudy Tbilis. Mat. Inst. 21, 191-259 (1955) [in Russian].
7. Goldenweizer A. L., Theory of Elastic Thin Shells (Nauka, Moscow, 1976) [in Russian].
8. Agalovyan L. A., Asymptotic theory of anisotropic plates and shells (Nauka, Moscow, 1997) [in Russian].
9. Nazarov S. A., Asymptotic analysis of thin plates and rods 1 (Nauch. Kn., Novosibirsk, 2002) [in Russian].
10. Zimin B. A., Zorin I. S., "On the stability of a flat shape balance inhomogeneous anisotropic elastic plates and rods", Vestnik SPbSU. Series 1 2(60)(1), 600-605 (2016) [in Russian].
11. Vetyukov Y., Kuzin A., Krommer M., "Asymptotic splitting in the three-dimensional problem of elasticity for non-homogeneous piezoelectric plates", Int. J. Solids and Structures 48, 12-23 (2011).
12. Tovstik P. E., "Two-dimensional models of plates made of an anisotropic material", Doklady Physics 54(4), 205-209 (2009).
13. Tovstik P. E., Tovstik T. P., "Two-dimensional models of shells made of an anisotropic material", Acta mechanica 225(3), 647-661 (2014).
14. Tovstik P. E., Tovstik T. P., "Two-dimensional model of plate made of anisotropic inhomogeneous material", Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics 2014 (ICNAAM-2014) 1648, 300011.
15. Vijayakumar K., Poisson's Theory for Analysis of Bending of Isotropic and Anisotropic Plates, ISRN Civil Engineering, vol. 2013, Article ID 562482, 8 pages, 2013. doi:10.1155/2013/562482
16. Verma K. L., Wave propagation in laminated composite plates Int. J. Adv. Struct. Eng., 2013, 5, 10. doi: 10.1186/2008-6695-5-10
17. Kuznetsov S. V., Lamb waves in anisotropic plates, Acoustical Physicsl 60(1), 95—103 (2014).
18. Kienzler R., Shneider P., Comparison of various linear plate theories in the light of a consistent second order approximation. Shell Structures: Theory and Applications. Proc. 10th SSTA 2013 Conf. 3, 109-112 (2014).
19. Tovstik P. E., Tovstik T. P., "A thin-plate bending equation of second-order accuracy", Doklady Physics 59(8), 389-392 (2014).
20. Morozov N. F., Tovstik P. E., Tovstik T. P., "Generalized Timoshenko—Reissner models for multilayered plate", Izv. RAN. МТТ (5), 22-35 (2016) [in Russian].
21. Tovstik P. E., Tovstik T. P., Generalized Timoshenko—Reissner models for beams and plates, strongly heterogeneous in the thickness direction. ZAMM (to be published).
22. Babich V. M., Kiselev A. P., Elastic waves. High-frequency theory (SPb. BHV-Petersburg. 2014, 320 p.) [in Russian].
23. Pochhammer L., "Biegung des Kreiscylinders-Fortpflanzungs-Geschwindigkeit kleiner Schwingungen in einem Kreiscylinder", J. reine angew. Math. 81 (1876).
24. Chree C., "Longitudinal vibrations in solid and hollow cylinders", Phil. Mag. 47(5), 333-349 (1899).
25. Tovstik P. E., Tovstik T.P., "Two-dimensional models of anisotropic plates", Tr. seminara "Computer methods in Continuum mechanics", 4-16 (St. Petersburg University Press, 2008) [in Russian].
Для цитирования: Товстик П. Е., Товстик Т. П., Наумова Н. В. Длинноволновые колебания и волны в анизотропной балке // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 2. С. 323-335. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.216
For citation: Tovstik P. E., Tovstik T. P., Naumova N. V. Long-wave vibrations and waves in anisotropic beam. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4 (62), issue 2, pp. 323335. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.216
ХРОНИКА
23 ноября 2016 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили заслуженный деятель науки РФ, доктор физ.-мат. наук, профессор П. Е. Товстик (Санкт-Петербургский государственный университет) и кандидат физ.-мат. наук Т. П. Товстик (ИПМаш РАН) с докладом на тему «Модели деформации балок и пластин».
Краткое содержание доклада:
В докладе рассматривались одномерные модели деформации балок типа Бер-нулли—Эйлера и двухмерные модели пластин типа Кирхгофа—Лява и Тимошенко— Рейсснера. Путем сравнения с результатами асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории упругости обсуждались области применимости этих моделей и их погрешности. Особое внимание уделено многослойным, анизотропным и функционально градиентным балкам и пластинам.
