Влияние ортотропии материалана деформацию оболочки вращения при осевом сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

2005_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 4

МЕХАНИКА

УДК 531

В. Ю. Анисимов

ВЛИЯНИЕ ОРТОТРОПИИ МАТЕРИАЛА НА ДЕФОРМАЦИЮ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

1. Введение. В настоящее время при проектировании конструктивных элементов, выполненных в виде пластин и оболочек, широко используются композитные материалы. Теория пластин и оболочек из композитных материалов начала свое развитие на основе использования классической гипотезы Кирхгофа—Лява для анизотропного упругого тела. Проведенные исследования показали, что классическая теория обладает рядом недостатков, требующих ее уточнения. Это послужило толчком к построению теорий оболочек, основанных на менее жестких допущениях. Наибольшее признание получила теория, построенная на сдвиговой модели С. П. Тимошенко (см. [1]).

В теории Тимошенко принимаются следующие допущения: прямолинейные волокна, нормальные к срединной поверхности оболочки, после деформации сохраняют свою длину и остаются прямолинейными, но не перпендикулярными к деформированной срединной поверхности (в отличие от классической теории), а поворачиваются на некоторый угол; нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с аналогичными напряжениями на площадках, перпендикулярных к срединной поверхности. Изменение размеров оболочки в процессе деформации в направлении нормали к срединной поверхности не учитывается.

В работе [2] исследуется деформация оболочки вращения и величина предельной нагрузки при осевом сжатии для различных краевых условий на основе использования классической гипотезы Кирхгофа—Лява. Использование классической теории ограничивает применение полученных результатов изотропными и близкими к изотропным материалами. Данная работа на основе использования гипотезы Тимошенко расширяет спектр применимости результатов на ортотропные и близкие к ортотропным композитные материалы.

В результате численного исследования выясняется, как увеличение коэффициента ортотропии влияет на деформацию и величину предельной нагрузки оболочки. Приводятся табличные и графические данные.

© В. Ю. Анисимов, 2005

2. Геометрия оболочки. Будем рассматривать оболочку вращения из линейно-упругого ортотропного материала постоянной толщины Н, которая предполагается малой по сравнению с характерным размером К срединной поверхности.

Пусть до деформации форма срединной поверхности описывается функциями го(во), во(во), где во («1 < во < в2)—длина дуги образующей до деформации, го — расстояние до оси вращения, во — угол между нормалью к оболочке и осью вращения. Оболочка ограничена двумя параллелями в1 и в2 или имеет форму купола.

После деформации форма срединной поверхности описывается функциями г (в), в (в), где в (во) —длина дуги образующей после деформации (см. рис. 1, на котором показана образующая оболочки до и после деформации).

Рис. 1.

Для оболочек вращения справедливы следующие геометрические соотношения (см. [2-4]):

dr

А = 1, В = г = i?2 sin 0, — = cos 0

к - 1 - dB

ds

0' , 1 sin 0 d£ 0'

-, fc2

К1 dв 1 + £1 К 2 г dв 1 + £1

Здесь А, В, Д1, К2 и к1, к2 —коэффициенты Ламе и радиусы кривизны соответственно,

а ( ) = ——. Выражения для деформаций срединной поверхности имеют вид dво

£1 = s' — 1,

«1 = ki - kw = -

d-ф dso'

£2 = - - 1

ro

cos 00

«2 = «2 - «2П =--W-

ro

(1)

Здесь ф — угол поворота нормали к срединной поверхности, а К1, «2 —изменения кривизны.

3. Соотношения упругости. Для ортотропной упругой оболочки в декартовой системе координат Х1 ,Х2, хз связь деформаций е^ и напряжений а^ даются формулами (см. [4])

Oil =

El(eii + ^21^22 )

1 - V12 V21 и содержат 6 независимых констант.

O22 =

Ео(е22 + г/12Сц)

1 - V12V21

jij Gij6ij, i < j (2)

Соотношения (2) будут использованы при рассмотрении модели оболочки типа Тимошенко, учитывающей поперечный сдвиг. Для классической модели Кирхгофа—Лява поперечные сдвиги 613 = £23 = 0, а перерезывающие силы Qi и Q2 и связанные с ними напряжения <713 и 023 определяются из уравнений равновесия.

Если плоскость Ж1,Ж2 является плоскостью изотропии упругих свойств материала, то для описания оболочки по модели, учитывающей поперечный сдвиг, остается 3 независимых упругих постоянных E, v, G, причем

E

Ei = Е2 = Е, г/12 = V21 = v, G12 = —-, G13 = G 23 = G.

2(1 + v)

При написании определяющих соотношений для модели оболочки типа Тимошенко, учитывающей поперечный сдвиг, принимается, что норманьные до деформации волокна остаются прямолинейными, однако они уже не перпендикулярны к деформированной срединной поверхности. Вводятся независимый от перемещения срединной поверхности угол поворота нормального до деформации волокна. Формулы для тангенциальных усилий и моментов имеют тот же вид, что и для оболочки Кирхгофа—Лява:

Eh(ei + v£2^ Eh(£2 + v£ 1) -i-2-' J2 ~~-i-2-'

1"v 2 1 " (3)

_ Eh3(n 1 +VK2) _ Eh3(n2 +vki)

12(1 — г/2) ' 12(1 — г/2) '

Однако здесь вместо изменений кривизны срединной поверхности К1, К2, вычисляемых по формулам (1), берем величины

dp dS

ni = -—- = k 1 - /гю -

dso dso

cos во cos во

(4)

jf2 = -"""""у = k2 - k2о - —í. го го

Здесь 5 = — ф —угол сдвига волокна относительно нормали.

Перерезывающее усилие Ql в модели Тимошенко определяется по формуле

Qí = —G5h. (5)

4. Уравнения равновесия. Предполагаем, что на оболочку не действуют внешние поверхностные нагрузки, но она находится под действием осевой сжимающей силы.

Уравнения как в модели Кирхгофа—Лява, так и в модели Тимошенко имеют один и тот же вид. Система уравнений равновесия при осесимметричной деформации оболочки вращения в проекциях на касательную и нормаль к срединной поверхности имеет вид (см. [2—4])

(roTi)' - T2 cos в + гоe'Qi =0,

(roQi)' - T2 sin в - гов'Ti =0,

(roMi)' - M2 cos в - го(1+ £i)Qi =0,

где усилия Ti, Qi и моменты Mi отнесены к единице длины срединной поверхности до деформации.

Рис. 2.

Та же система в проекциях на осевое и радиальное направления (см. рис. 2) имеет

вид

где

(r0V)' + roqz = 0, (roU)' - T2 + roqr = 0,

(r0M1)' - M2 cos в - r0(1 + e1)(U sin в - V cos в) = 0,

(6)

Ti = U cos в + V sin (

Q1 = U sin в - V cos в.

Примем следующий вариант граничных условий: край во = в! оболочки в радиальном направлении закреплен, а край во = в2 — свободен,

£2(si) = 0, U (S2) =0,

в(в1) = const, M (S2) =0.

(7)

5. Переход к безразмерым координатам. В рассматриваемом нами случае дг = 0 и система уравнений (6) с учетом соотношений (3), (4) и (5) принимает вид

¡(r0U)' = е2 + jv(U cos в + V sin в), j(r0£2)' = (1 + je1) cos в - cos в0,

¡в' = M1 + j(o'0 + S' - (v/r0)(sin в - sin в0 - Scos в0) ¡(r0M1)' = r0(1 + J£1)(U sin в - V cos в) + jM2 cos в, где величины V, S,£1, M2 разрешены относительно U, £2, в, M1:

V=

С ra'

S = -K (U sin в - V cos в),

£ 1 = -V£2 + ¡(1 - v2)(U cos в + V sin в),

M2 = (j/r0)(sinв - S1 sinв0) + ¡^(в' - в0 - S')

(8)

K = ¡j2£/g,

(9) 73

и

а безразмерные величины (с индексом °) связаны с соответствующими размерными величинами по формулам

{во, г0} = Н^О, г°}, е2 = це°2, и = ЕН^2и°, М1 = ЕНЕ^3И° (10)

(после замен (10) индекс ° опущен). Параметр нагружения С связан с осевой силой Р (при сжатии Р < 0) по формуле

Р = -2пЕНЕр2С, а л > 0 — малый параметр — определяется формулой

4= У

М 12(1-г/2)Д2'

Такой вариант замен выбран в предположении, что осевая сила P имеет порядок P ~ ЕЬ2, что соответствует критической нагрузке при потере устойчивости цилиндрической оболочки радиуса Я при осевом сжатии. Тогда порядок безразмерной осевой силы — около единицы (Р° ~ 1).

6. Безмоментное решение. Величины, описывающие безмоментное напряженное состояние, отметим индексом °. Для безмоментного решения

т° = —!—— т° = р<у®°У

1 2тгго8т6»0' 2 27Г8т26»0' ^ '

Деформации е° и е\ имеют порядок ¡л2 и могут быть найдены из соотношений

£? = л2(т° - жо), е° = л2(т°0 - Т).

В формулах (11) можно с погрешностью порядка л считать 0° = 0°. Остальные неизвестные в безмоментном решении имеют порядки

(к 1 , К) = й(л2), (M°, M°, Q1 ) = 0(л4).

7. Асимптотические разложения. Система уравнений равновесия является сингулярно возмущенной. При л ^ 0 она вырождается в безмоментную систему второго порядка. Обозначим через z любую из неизвестных функций, входящих в эту систему. Ее решение на краю S2 при л ^ 1 будем искать в виде суммы двух асимптотических рядов (см. [5]):

Z = z° + zk = ЕГ ¡iz°(s°)+^ai ЕГ izk(0, е =(s° - S2). (12)

Коэффициенты а° и а\ являются показателями интенсивности и определяются из условия неравенства нулю старших членов в рядах.

Ряд z° является внутренним решением и в нулевом приближении совпадает с решением безмоментной задачи. Ряд zк является интегралом краевого эффекта и экспоненциально убывает при удаленнии от края S2, т. е при

lim zк = 0. (13)

£—> — Г

8. Краевой эффект. Подстановка ряда z2 в уравнения равновесия (8) в нулевом приближении дает

Uo = ego = cos(y + 0g) - cosч,

■ (14) 0g = Mg0 + S, Mg0 = (Ug - Cctn y) sin(7 + 0g) + Ccos(y + вg),

или в виде с исключенным S

Uog = ego,

¿20 = cos(y + 0g) - cos Y,

■ k Mg0-Keg0 Sin(7 + 0g)

~~-

1 - K(Csin(Y + 0g) - Uk cos(Y + 0g))'

Mfo = (U0k - Cctn y) sin(Y + 0%) + Ccos(Y + ).

Здесь

При К = 0, т. е. в рамках гипотезы Кирхгофа—Лявы, и при 01 ^ 1 система (14) линеаризуется и приводится к уравнению

<1А0к . сС20к

4 + 2(/sinY-^j- + 0о sin2 Y = 0, C

1= „ ■ 2

2 sin2 y

В предположении (13), решение уравнения имеет вид

0g = exp(—a£)(ai cos(b£) + a2 sin(b£)),

a = л/l -q, b = y/q+ 1.

А величины M-fg , £°o, U-, в предположении fe = 0 и 01 ^ 1, имеют вид

Mí, = 0o, 0k

= + 2 q0g.

sin y

0 k

eko = Uk = ^- + 2q0k.

9. Численное решение. Выберем точку £ i на достаточном удалении от края S2. Будем полагать, что в этой точке значение величины 0° достаточно мало, а влиянием ортотропии можно пренебречь (т. е условно положить K = 0). Тогда систему можно привести к линейной.

Для линейной системы решение известно в точке £ i с точностью до констант a i,a2, которые определяются двумя граничными условиями на краю S2 (в точке £ = 0). Подбор констант ai,a2 можно осуществить численным решением краевой задачи, составленной из нелинейного уравнения равновесия (14) и граничных условий на краю £ = £ i. Величины Uk и Mkg на краю £ = 0, согласно (7), (11) и (12), имеют вид

Uk = C ctn y, Mko =0.

Решение можно выполнить методом прогонки в сочетании с методом движения по параметру (см. [6]). При этом движение предлагается осуществлять по параметру, характеризующему меру деформации оболочки. В качестве такой величины удобно принять

Ahk0 = í (sin(Y + ek0) - sin yH-

J — tt

Это интегральное соотношение по формуле

(15)

ДН2 =

связано с вертикальным укорочением оболочки, вызванным ее деформациями. В дифференциальной форме выражение (15) перепишется в виде

dAhk0(Q

¿e

= sin(Y + 00) - sin y, Ah0 (-x>) = 0.

При движении по параметру ДНо необходимо добавить условие

дно (0) = дно,

которое определяет заданную величину вертикального укорочения оболочки. При этом С необходимо рассматривать как величину, подлежащую определению наряду с величинами «1,«2.

Движение по параметру следует начинать от малого ДЬ°, положив

а1 =0, а2 =0, С = 0 в качестве начального приближения.

10. Численные результататы. На рис. 3 представлена зависимость д(Н), расчи-танная для разных К при 7 = 45°. Кривая 1 соответствует случаю К = 0, а кривая 2, случаю К =1. Предельную нагрузку С а (точка А на рис. 4) определяем из условия

dC dAh-2

0,

где ДН2 —характерная деформация. В табл. 1 приведены значения предельной нагрузки д, полученные для разных значений 7 и К. Заметим, что случай К = 0 соответствует случаю гипотезы Кирхгофа—Лявы.

Таблица 1

7 К = 0 К = 0.5 К = 1 К = 2

20° 0.2056 0.2019 0.1985 0.1953

30 0.2156 0.2090 0.2031 0.1977

45 0.2402 0.2268 0.2151 0.2047

60 0.2814 0.2557 0.2343 0.2160

Для наглядности данные табл. 1 приведены на рис.5. Здесь кривые 1, 2, 3 и 4 соответствуют значениям K равным 0, 0.5, 1 и 2 соответственно. Из рисунка следует, что предельная нагрузка снижается вместе с K и растет вместе с sin 7.

Рис. 3.

11. Обсуждение. Полученные результаты позволяют оценить, как ортотропия материала влияет на деформацию и величину предельной нагрузки оболочки вращения при осевом сжатии. Коэффициент ортотропии определяется формулой (9) и выражает отношение упругих постоянных Е и О. Входящий в выражение для К коэффициент

2

¡л2 имеет порядок

о Н

Г = Д'

т. е. порядок малой величины отношения толщины оболочки к ее характерному размеру.

Поэтому значение величины K достигает значений порядка единицы, когда

Е R

И

т. е. отношение упругих постоянных достаточно велико. В случаях, когда E и G являются величинами одного порядка, коэффициент ортотропии K в системах уравнений (8) и (14) можно считать равным нулю. В этом случае (8) и (14) принимают вид, который может быть получен при использовании предположений гипотезы Кирхгофа—Лява (см. [3]). Данные, представленные на рис. 3, рис. 5 и табл. 1, показывают, что увеличение отношения E/G приводит к уменьшению предельной нагрузки. Наивысшая предельная нагрузка достигается, когда величины E и G имеют один порядок малости и K ~ /2. В частности, это имеет место для изотропного материала. Данные, полученные в этой работе для K = 0, полностью согласуются с данными, полученными в работе [2], в которой исследуется деформация оболочки вращения и величина предельной нагрузки при осевом сжатии на основе использования классической гипотезы Кирхгофа—Лява.

Summary

V. Y. Anisimov. The problem of the deformation of a thin elastic orthotropic axially compressed shell of revolution.

The problem of the deformation of a thin elastic orthotropic axially compressed shell of revolution is studied. The shell is modeled in Timoshenko's approach, in which the thread line shear is taken into account. The problem is solved with numerical method. Conditions of the ultimate load lowering are found. It is indicated that the orthotropic coefficient magnification reduce to an ultimate load lowering. The results of Timoshenko's and Kirchhoff's approaches are analysed.

Литература

1. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 280 с.

2. Товстик П. Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1995. №1. С. 95-102.

3. Товстик П. Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала // Прикл. мат. и мех. 1997. №4. С. 660-673.

4. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 988 с.

5. Товстик П. Е., Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 188 с.

6. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

Статья поступила в редакцию 25 января 2005 г.