CC BY
32
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 1
УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ
B. В. Платонов
C.-Петербургский государственный университет, аспирант, viktorplatonov@yandex.ru
1. Введение. Исследование динамической устойчивости длинной цилиндрической оболочки под воздействием радиального давления [1] показало, что как и при решении задач статики и колебаний оболочек [2], учет поперечного сдвига может приводить к существенным поправкам по сравнению с классической теорией. В данной статье рассматривается устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия. Используется уточненная теория, учитывающая поперечные деформации сдвига согласно С. А. Амбарцумяну [3]. Определяются критические нагрузки для трансвер-сально изотропного и изотропного материалов. Рассматривается задача колебаний цилиндрической оболочки, проводится сравнение величин частот собственных колебаний, найденных по уточненной и классической теориям.
2. Критическая нагрузка. Для определения критической нагрузки рассматривается задача устойчивости цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия. Система трех уравнений относительно искомых функций и, V, т для трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки согласно [3] имеет вид
Д2
Д'
д3г
V д3т 1 ----1---
Д да3 Е дад/З2 ' 2 + V д3т 1 д3т
Е да2др Е др3 ' ЕЬ д^т
Д4г« + -^(1 - = (1 " Ь**А)А2г,
где
Ь** =
ЕЬ2
10(1 - v2)G'
Z — нормальная составляющая внешней нагрузки, Е — модуль Юнга в тангенциальных направлениях, V — коэффициент Пуассона, G — модуль сдвига для плоскостей, нормальных к поверхности оболочки. В данной системе
Д = Е2
1
АВ
д_ (Вд_\ д_ ( Ад_ да [А да) + д(3
— оператор Лапласа в безразмерном виде. Здесь а и в являются ортогональными координатами, которые совпадают с линиями главной кривизны срединной поверхности. Тогда для коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь А = В = 1. Эта система уравнений является упрощенной и относится к случаю, когда размер вмятин
© В. В. Платонов, 2011
2
мал по сравнению с размерами оболочки. В применении к задачам устойчивости эти уравнения справедливы для оболочек средней длины. Более подробный анализ показывает [4], что параметры оболочки средней длины должны удовлетворять условию
к Ь Я
уд У Л'
где к — толщина, Я — радиус, Ь — длина оболочки.
Оболочка находится под действием осевого сжатия. Нагрузка, приходящаяся на единицу длины дуги поперечного сечения оболочки, равна р. Для начального безмо-ментного состояния внутренние силы имеют вид
Т0
грО Т 2
—р, т2 = 0, Т0 = 0.
Тогда для интенсивности фиктивной поверхностной нагрузки Z* имеем
Г7* д 2т
г* = -р
да2
После подстановки Z* в систему для решения задачи статической устойчивости получим следующую систему дифференциальных уравнений:
Д2
Д2 V
V д3т 1 д3т и = — — ——— +
Яда3 Я дадв2' 2 + V д3т 1 д3т
Ек д^т
А4га + -^(1 - + (1 - к**А)А
Я да2др Я дв3 2
(1)
д 2т\
0.
Будем искать решение системы (1) в следующем виде:
тпа пв и = А СОЭ —-— 81П —,
ЬЯ
тпа пв V = В эш —-— соэ —, ЬЯ
тпа пв IV = С 8И1 —-— 8И1 — .
ЬЯ
(2)
Выбор решения в виде (2) означает, что удовлетворяем условиям шарнирного опира-ния по торцам. Подставив значения для и(а,в), ^(а, в), т(а, в) в систему (1), после преобразований получим систему уравнений для постоянных А, В и С:
А(А2 + п2) = СА^А2 — п2), В(Л2 + п2) = — СА[(2 + v)А2 + п2], (А2 + п2)2 А4
С
+
где
1 + к* (А2 + п2) (А2 + п2)2 тпЯ о к2
рЛ2 Е
Ь
12(1 — v2)Я2 :
к*
Ек2
10(1 — V2 )Я 2С
0
А
с
Из условия существования нетривиального решения третьего уравнения получим соотношение для определения критической нагрузки:
(А2 + n2)2
+
А4
1 + к* (А2 + n2) (А2 + n2)2
М2 Е '
(3)
Рассматрим задачу устойчивости цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия в классической постановке. Уравнение устойчивости оболочки в этом случае [4] имеет вид
Ба 4 Е д4т л2/ д 2т\
(4)
После подстановки значения т(а, в) из системы (1) в уравнение (4) получим уравнение для определения критической нагрузки:
с2 (А2 + n2)2 +
А4
(А2 + n2)2
М2 Е '
(5)
Уравнение (3) отличается от соответствующего уравнения классической теории (5) лишь наличием члена с к*, который учитывает явление поперечного сдвига.
Из уравнений (3) и (5) выводим выражения для определения критической нагрузки:
pkl = Eh
pa = Eh
2 (А2 + n2)2 А2
(А2 + n2)2
+
А2
(А2 + n2)2_
+
А2
А2 (1 + к*(А2 + п2)) (А2 + п2)2_ Минимизируя рк по £, где £ = (А2 + п2)2/А2, для £ получаем
с
Тогда соответствующая критическая нагрузка имеет вид
Ркк1р = 2сЕк.
(6) (7)
(8)
Минимизируя ра как функцию двух переменных
А2
и п2, получаем критическую нагрузку, соответствующую уточненной теории:
2 - 2h*
p
:р 1 + 2к
■cEh.
(9)
На рис. 1 показана зависимость сжимающей нагрузки от параметра А для оболочек с различным отношением h/Д в классической постановке. Нижняя ветвь соответствует оболочке h/Д = 0.01, средняя ветвь оболочке h/Д = 0.05 и верхняя к/Д = 0.1. Видно, что чем толще оболочка, тем больше критическая нагрузка.
На рис. 2 показан график сжимающей нагрузки. Верхняя ветвь, соответствующая классической постановке, построена по формуле (6), остальные ветви соответствуют уточненной теории и построены по формуле (7) при разных отношениях G'/E. Минимум соответствует критической нагрузке. Видно, что чем меньше отношение G'/E, тем меньше критическая нагрузка и существеннее уточнение с классической постановкой.
2
c
2
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 X
Рис. 1. График зависимости сжимающей нагрузки от параметра Л при разных параметрах оболочки.
Р
6,25*10"' 6,2*10"* 6,15*10"* 6,1*10"* 6,5*10" 0,006 5,995*10 3 5,99*10 3 5,985*10 3
5,98*10 3 Л
0,053 0,0535 0,054 0,0545 0,055 0,0555 0,056 0,0565 А,
Рис. 2. График зависимости сжимающей нагрузки ры и ра от параметра Л при разных значениях отношения О'/Е.
3. Свободные колебания. Для определения частот собственных колебаний исследуется задача колебаний трансверсально изотропной цилиндрической оболочки. Уравнения движения из (1) и (4) имеют следующий вид
ЯД4» + f (1 " + (1 " h**A)A2 (ph^ = О, (10)
^ „ 4 Eh д 4w „о ( , д 2w\ . .
где уравнение (10)—по уточненной теории Амбарцумяна, уравнение (11)—классическая постановка. Для задач колебаний решение ищем в виде [5]
w(a, в, t) = W(а, в) sin wt.
После подстановки в (10) и (11) получим следующие уравнения для определения w2:
Eh d4"W
DA4W + —(1 - h**A)—— - Lv2ph(í - h**A)A2W = 0, (12)
R2 да4
DA4W uj2phA2W = 0. (13)
R2 да4
Решение W(а, в) возьмем как в системе (2). После подстановки W(а, в) в уравнения (12) и (13) получим
2 (А2 + n2)2 Л4 2 А2 + n2
С 1 + ИА2 + ™2) + (А2 + п2)2 ~ Ш ph^iT = (14)
с2(д2 + n2)2 + (a^W " = (15)
Отсюда находим выражения для частот собственных колебаний цилиндрической оболочки:
2 Е
иы = — р
г2(\2 + п2) + Л4
(Л2 + n2)3_
Таблица 1. Влияние параметра поперечной жесткости на сдвиг на ш2
(16)
Л co'i, G'/E = 0.05 co'i, G'/E = 0.02 co'i, G'/E = 0.01
0,314 0,007341761 0,00734176 0,007341755 0,007341749
0,628 0,057383638 0,05738363 0,057383628 0,057383619
0,942 0,117138784 0,11713878 0,117138766 0,117138748
1,256 0,145349951 0,14534994 0,145349918 0,145349884
1,57 0,146090124 0,14609010 0,146090063 0,146090003
3,14 0,076005649 0,07600541 0,076005059 0,076004476
4,71 0,03970471 0,03970363 0,039702039 0,039699434
6,28 0,023891465 0,02388820 0,023883413 0,023875704
15,7 0,006274989 0,00615804 0,006003616 0,005790267
31,4 0,010051714 0,00844024 0,006872951 0,005348051
157 0,225834565 0,03522425 0,015565516 0,008079404
314 0,903158662 0,03984969 0,016379202 0,008269521
628 3,612569136 0,04120522 0,016597172 0,008318955
942 8,128264527 0,04146655 0,016638221 0,008328196
vi =
Е Р
(Л2 + n2)
+
Л4
1 + Н*(Л2 + n2) (Л2 + n2)3_
(17)
Сравнивая выражения (16) и (17), можно составить следующее неравенство v2 > Это означает, что учет сдвига снижает значение частоты собственных колебаний.
В табл. 1 представлен расчет частоты собственных колебаний для оболочки h/R = 0.01 и L/R = 2. Видно, что чем меньше отношение G'/Е и больше параметр Л, тем существеннее разница значений в сравнении с классической постановкой.
2
c
Литература
1. Бауэр С. М., Клец О. Г., Морозов Н. Ф. О поведении трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек при динамическом приложении радиального давления // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. 4. С. 19-25.
2. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007. Вып. 3. С. 49-54.
3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
4. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматлит, 1963. 880 с.
5. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
