CC BY
46
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ
B. В. Платонов
C.-Петербургский государственный университет, аспирант, viktorplatonov@yandex.ru
1. Введение. Применение классической теории Киргоффа—Лява к исследованию устойчивости длинной цилиндрической оболочки под воздействием динамического радиального давления показало, что при внезапно приложенной нагрузке, превышающей статическую критическую нагрузку, возникает новая форма потери устойчивости [1]. В работе [2] показано, что в задачах динамической устойчивости, как и при решении задач статики и колебаний оболочек [3], учет поперечного сдвига и инерции вращения (теория Тимошенко—Рейсснера) может приводить к существенным поправкам по сравнению с классической теорией особенно для мягких или слоистых оболочек. В данной работе исследуется возможность возникновения принципиально новых форм потери устойчивости трансверсально-изотропной сферической оболочки при нормальной динамической нагрузке. Задача рассматривается с использованием уточненной теории, учитывающей поперечные деформации сдвига согласно С. А. Амбарцумяну [4]. Строится полная система решений уравнения движения сферической оболочки. Определяются формы потери устойчивости и частоты собственных колебаний.
2. Разрешающее уравнение уточненной теории. Рассматривается задача устойчивости замкнутой сферической оболочки под действием нормального быстро приложенного равномерно распределенного внешнего давления. Пусть срединная поверхность сферической оболочки радиуса R отнесена к географической системе координат а, в так, что а представляет угол долготы, а в — угол широты. Тогда для коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь A = R, B = R sin а. В последующих выкладках значения A и B подставлять не будем, однако будем помнить, что A — величина постоянная, а B не зависит от в. Отметим, что при построении уточненной теории трансверсально изотропной сферической оболочки не учитываются по сравнению с единицей члены порядка (hkj)2, где h — толщина оболочки, kj —главные кривизны.
Выражения для внутренних сил и моментов имеют вид [4]
Eh
2 = -----Q (£l>2 + l/£2,l) + Т®2)
1 — V2
T = fk ,LV + T°,
2(í + i/)
Eh3 1
Aíl,2 = Y2^[---^2y[Kl’2 L'K‘2,l + д (e 1,2 + ^£2,1)] + Afl,2i
H = Eh3 (T +-) + #°;
24(1 + v) R’ ’
© В. В. Платонов, 2010
здесь члены с индексом 0, представляющие влияние поперечного сдвига, выглядят следующим образом:
мо = 16Дто =
ЕН5
120(1 - v2)G' ЕН5
1 дф П дф 1 <9В
А 9а ^ у В д/3 АВ да
0 _ 16Д о _ _
Щ ~ 9 12 ~ 120(1 — і/2)С
Н о
16Я
ЕН5
1 дф 1 дВ V дф'
В д/3 АВ да А да
Ад ґ ф\ В д Ґ ф В~д/3 [а) + ~А~да [в
9 240(1 + ^)С'
где ф(а, в) и ф(а, в) —аппроксимирующие функции для ахх и аух соответственно. Исключив из уравнений равновесия сферической оболочки перерезывающие силы, получим следующую систему трех уравнений, которым должны удовлетворять внутренние силы и моменты:
д_
да
в[Ті + 1Г
д
да
вИ
Ті + Т2
дВ ( Н\ д
+ д^^+я) + д?
7о, д2у 9 ді2 ’
Я
1
АВ
д 1 д 1 дВ 1 д
д^\А^ ^~АІ)^ + Ад/з( ^
1
АВ
д
~д/3
ъ1{Ш) + ъ^н+ъй{АЩ)
7о , д2гю
Тк~аё-
7о, д2и 7о д2у 7о д2гю
где 7'1а?' 7*а?
составляющие результирующей силы инерции. При
$ от2 $ от2 $
рассмотрении динамического процесса, не учитывающего распространения упругих волн, становится возможным отбросить инерционные члены в первых двух уравнениях [5]. Подставив значения внутренних сил и моментов в уравнения равновесия, сделав некоторые преобразования, найдем
(Д + 1 - и)-& - 4 (Д + 1 - г/ ) (Д + 2)и> =
1 + ІУ
Я
Я V12Я2
Н2 ( 6Е
1 +
51г /л , і Ло^д2«;
_^(Д + 1
32ЯО‘
12Я2 V 5(1 - v)G,
1 - V2 ( ЕН2
1 -
к2
12Я4
(Д+1 - v)(Д + 2)w:
ЕН
7д) ^нд2ш
10Я2(1 - v2)G' / д дг2
где введено следующее обозначение:
п 1 ( д /г> ■, д Л 2-ы
й = £‘ + г2 = М^( ) + ЭД(
В этих уравнениях Д — оператор Лапласа в безразмерном виде и
1
Д
Вт а
д д2 1 д2
соъа— + апа-^ + ---------------—^
да да2 йш а д/З2
[с2(Л + I)2 + 1 - h*А] (Д + 2)w = ^-(1 - h* А)(А + 1 - (1)
Исключая параметр $ из этих уравнений, получим одно уравнение шестого порядка относительно нормального перемещения w:
*(1-^)(Д + 1-^*
где
_ * _ IS- Е
12(1 — v)R2' 10(1 — v2)R2 &
Здесь E — модуль Юнга в тангенциальных направлениях, v — коэффициент Пуассона, G — модуль сдвига для плоскостей, нормальных к поверхности оболочки. Это уравнение является исходным при рассмотрении задачи колебаний замкнутой трансверсально-изотропной сферической оболочки. Отметим, что при рассмотрении других задач, где требуется определить все функции u, v и w, нужно рассматривать полную систему уравнений.
3. Определение частот собственных колебаний. Для определения частот собственных колебаний исследуется задача колебаний трансверсально-изотропной замкнутой сферической оболочки. Поверхность изотропии в каждой точке оболочки параллельна срединной поверхности.
Для динамических задач [1] и для задач колебаний [3] решение представляется в виде
w(a, e,t) = W(а, в) sin ut.
После подстановки значения w(a, в, t) в выражение (1) для W(а, в) получим следующее уравнение:
r2y
[с2(А + I)2 + 1 - h*A] (А + 2)W = и2-^( 1 - h*A)(A + 1 - v)W. (2)
Eg
Решение уравнения (2) должно удовлетворять граничным условиям для w, т. е. условиям непрерывности и однозначности на сфере. В силу малости параметров оболочки с2 ^ 1, h* ^ 1 и с принятой здесь точностью, следуя [6], ограничимся классом решений, являющихся решениями дифференциального уравнения:
AW + XW = 0. (3)
Из (2) и (3) получим выражение для частот собственных колебаний трансверсально изотропной сферической оболочки:
2 _ дЕ ,л c2(\-l)2+ l + h*\
_ ТоД2 _ (1 + h*X)(X — 1 + г/)' (4)
Полагая в выражении (4) h* = 0, получаем выражение для частот колебаний изотроп-
ной сферической оболочки (т. е. без учета сдвига):
^^(Л-г)^-1^1. (5)
YoR2 (Л - 1 + v)
Рассмотрим колебания пологой сферической оболочки, используя классическую теорию [7]. В этом случае уравнение движения можно записать:
DrA3w + A + ^Aw = 0, (6)
hR4 \g dt2 J R2
где О = ЕН3/(12(1 — V2)) —цилиндрическая жесткость оболочки. Решая уравнение (6)
так же как в случае теории С. А. Амбарцумяна, для частот собственных колебаний
получим следующее выражение:
шкь = ^2 (с2д2 + !) • (?)
Сравнивая выражения (4), (5) и (7), можно составить следующее неравенство при Л > 0:
шкь > ^1 > штт■ (8)
Это означает, что учет кривизны (выражение (5)) и учет сдвига (выражение (4)) понижают значение частот собственных колебаний. В таблице 1 представлен расчет частоты собственных колебаний для оболочки Н/К = 0.05.
Таблица 1. Влияние параметра поперечной жесткости на сдвиг
Л ш^1, °'/Е = ол ш^1, С'/Е = 0.04 ш^1, С'/Е = 0.02 Ш1 ШКЬ
0 2,8571 2,8571 2,8571 2,8571 1
2 0 0 0 0 1,0011
6 0,7603 0,7603 0,7603 0,7603 1,0107
12 0,9168 0,9168 0,9168 0,9168 1,0428
20 1,0328 1,0328 1,0328 1,0328 1,1190
30 1,1946 1,1947 1,1947 1,1948 1,2678
42 1,4525 1,4528 1,4529 1,4530 1,5250
56 1,8542 1,8550 1,8553 1,8556 1,9333
72 2,4518 2,4536 2,4541 2,4547 2,5428
90 3,3028 3,3062 3,3074 3,3085 3,4107
110 4,4715 4,4778 4,4799 4,4820 4,6011
На рис. 1 показан график зависимости величин шКш] и шТ 1 от параметра Л при разных параметрах оболочки. Для каждого отношения Н/К построены три выражения для ш2, которые располагаются согласно неравенству (8). Видно, что учет влияния параметра поперечной жесткости на сдвиг сказывается при больших Л. Чем больше Л и больше отношение О'/Е, тем существеннее поправка.
4. Определение формы потери устойчивости. Для определения формы потери устойчивости будем искать решение уравнения (3) в виде
Ш(а, в) = Р(а) соя кв, к = 0, 1, 2, . ..
После подстановки выражения для Ш(а, в) в уравнение (3) получим йР
(1
йх
(І ~х )~Г~ ах
+ ( А----------------- ) Р = 0, х = соэ а, к = 0,1, 2,
1 х2
Решения этого уравнения подробно изучены [8]. Нетривиальное ограниченное решение этого уравнения существует только при собственных значениях
Лп = п(п +1), п =0,1, 2, ■ ■ ■, которым соответствуют собственные функции
¿к
Р*{х) = {1-х2)к12—Рп{х), к = 0,1, 2,
h/R=0.1
1.5-
/ W
/ її
/7
0 10 20 30 4 0 S 0 6 0 7 0 8 0 90 10
h/R=0.05
Ш=0.01
Рис. 1. График зависимости и от параметра Л при разных параметрах оболочки.
где Pn — полином Лежандра
1 dn
Рп(х) = ---- ---- \{х2 — 1)П1 .
v ; 2nn\dxn LV ; J
Таблица 2. Полная система решений уравнения (3)
к = 0 W0(a,{3) = P"{ cosa) 1, eos a, 0.5(3 cos2 a — 1), ...
к = 1 W- i(a, (3) = P¿(cos a) sin (3 0, sin a sin (3, 3 sin a eos a sin /5, ...
Wi (a, (3) = Pn (eos a) eos (3 0, sin a eos (3, 3 sin a eos a eos (3, ...
к = 2 W-2(ct, (3) = P2(eos a) sin 2(3 0, 0, 3 sin2 a sin 2(3, ...
W2 (a, (3) = P2 (eos a) eos 2(3 0, 0, 3 sin2 a eos 2(3, ...
к = п W-n(oí, (3) = P£(eos a) sin n(3
Wn(ct, (3) = P™{eos a) eos n(3
Полная система решений уравнения (3) представлена в табл. 2. Полиномы Лежандра Pn (cos а) в интервале изменения 0 < а < п имеют п нулей. Собственные функции Лежандра P% (cos а) имеют n — к нулей. Функции sin пв и cos пв обращаются в нуль на меридианах. Функции P^ (cos а) обращаются в нуль на п — к широтах. Таким образом, этими меридианами и широтами оболочка разбивается на участки, на которых Wn не обращается в нуль. Это означает, что параметр An определяет вид формы ко-
лебаний оболочки. Чем больше параметр Ап, тем меньше размеры полуволн. Любая форма потери устойчивости может быть выражена через эту систему. Таким образом, для трансверсально-изотропной сферической оболочки под воздействием нормального динамического давления не возникают новые формы потери устойчивости. Аналогично, учет поперечного сдвига согласно теории Тимошенко—Рейснера в этом случае существенных поправок к изменению формы потери динамической устойчивости не дает. Для трансверсально изотропных материалов учет влияния параметра поперечной жесткости на сдвиг д = О'/Е приводит к уточнению частоты собственных колебаний.
Литература
1. Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН Россия. Т. ЬХ1У. 1949. С. 779-781.
2. Бауэр С. М., Клец О. Г., Морозов Н. Ф. О поведении трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек при динамическом приложении радиального давления // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. 4. С. 19-25.
3. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2007. Вып. 3.
4. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
5. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
6. Власов В. З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикл. мат. и мех. 8. 1944.
7. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматлит, 1963. 880 с.
8. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 399 с.
Статья поступила в редакцию 6 апреля 2010 г.
