Устойчивость стержня переменной жесткости при односторонних ограничениях на перемещения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 8. 2008

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ОДНОСТОРОННИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Е.В. Тулубенская, Р.В. Каргин

В работе исследуется устойчивость продольно сжатого стержня переменной жесткости на границе винклеровских сред с помощью алгоритма локального перебора вариантов [1], суть которого заключается в выявлении качественно адекватной собственной формы на основе полного перебора вариантов на "редкой сетке" с дальнейшим последовательным удвоением числа её узлов путем деления пополам и перебором вариантов лишь вблизи корней собственной формы.

1. Введение

Предложенный алгоритм локального перебора вариантов позволяет решать некоторые задачи конструктивно нелинейной механики упругих систем с достаточно большой точностью. Погрешность данного алгоритма лежит в рамках погрешности применяемой конечно-разностной аппроксимации.

2. Постановка задачи

Рассмотрим шарнирно опертый сжимаемый продольной силой Р стержень длины /, находящийся на границе раздела двух упругих сред с жесткостями £4, Полную энергию системы можно представить формулой

2П(ги) = [ (Е1)(х) (и]")2 сіх + ^ Сі (г^+)2 с1х+

сій)

(і)

© Тулубенская Е.В., Каргин Р.В., 2008.

Необходимое условие минимума функционала (1) выражается уравнением

((Е1)(х)иип)" + С1 + с2ии_ = -Рио". (2)

Заменим формулу (1) приближенной, основанной на дискретном представлении функции ъи(х), х Е [0,/] на т-мерной сетке:

уог = гу(хг), г Е 0 : т; £¿+1 = Х{ + г, г = //т, х0 = 0, хт = I.

Интеграл вычисляем по квадратурной формуле трапеций, производные аппроксимируем конечноразностными отношениями

2т г2

Значения срезок функции г^(х) в узлах сетки представляем формулами и1+(Хг) = ад_(Хг) = (1 - Ьг)ги*, (4)

где

Г1, ^ > о

г \0, ^ < 0 (5) Граничные условия шарнирного опирания

ги(0) = уо{1) — 0, ги"(0) = иоп{1) — 0

с учетом аппроксимации (3) принимают вид

^0 = о, ги_1 = -гуь гит = 0, гит+1 =

На основании сказанного формула (1) переходит в следующую:

2П(й) = (Ай), й) + (Сй, й) — Л(<Эг?;, г&), (6)

где уо — [г^1, г^2, • • •, г^ш_1]т; А = Р; Дф симметричные матрицы размерности (ш — 1) х (т — 1), С1 — диагональная матрица с неотрицательными элементами.

Необходимое условие минимума функционала (6) имеет вид

Ай) + Си) = ХС^й. (7)

Задача на устойчивость сводится к обобщенной задаче на собственные значения операторного уравнения (7), где Л имеет смысл критической нагрузки.

3. Алгоритм

Для построения части собственного спектра уравнения (7) предлагается следующий алгоритм локального перебора вариантов (ЛПВ):

1. На сетке с относительно небольшим числом узлов применяется к уравнению (7) алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) возможных форм изгиба в соответствии с принятой сеткой, который (алгоритм) заключается в следующем:

• перебираются все 2Ш_1 возможных представлений вектора формы Ь — [&1, &2,..., Ьт-\]Т с учетом соотношения (5);

• для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения детерминированного (все компоненты вектора формы известны) уравнения (7) [3];

• запоминается собственная пара, для которой форма изгиба согласуется с выбранным вектором формы.

2. Определяется качественно адекватная собственная форма (качественная конфигурация которой остается неизменной) [1].

3. Далее последовательно удваивается число узлов сетки путем деления пополам и выполняется перебор вариантов лишь вблизи корней искомой собственной формы.

4. Процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой (и достижимой) точностью.

Наибольший интерес представляет минимальное собственное значение А]_, которому соответствует первая критическая сила

Р1 = Хг. (8)

4. Результаты

4.1. Применим предложенный алгоритм к нахождению критической нагрузки для шарнирно опертого стержня с двумя участками различной жесткости. Пусть при х Е [0, жесткость стержня равна £7, а при х Е [|,/] жесткость стержня равна 4Е7, где I — длина стержня и к\ — Тогда матрицы операторного уравнения (7),

например, для т = 5, примут следующий вид:

/ 5 -4 1 0 \

1 -4 9 -10 4

т3 1 1 О 21 -16

V 0 4 -16 20 /

Я =

4Е1т

( 3 0 1 О \

0 2 0 1

10 2 0

О 1 0 3 /

С = т

( ^1^1 + ^2(1 — ^1) \

&1&2 + ^2(1 — М О О Аабз + к2( 1 - Ь3)

\ к\Ь^ + ^2(1 — 64) У

Приведем результаты расчетов первого собственного числа при к\ к2 — О, I = 7г, Е1 = 1 в таблице 1.

Таблица 1.

гп 10 20 40 80

А1 1.504 1.486 1.481 1.479

При к\ — к2 = 0 уравнение (2) является линейным и допускает аналитическое решение [2]

14.6 Е1

Ркр = /2 = 1.479289281.

(9)

Далее вычислим значение первого собственного числа уравнения (7) при различных значениях к\, к2 и при I = тт см. Результаты вычислений приведены в таблице 2 и на рис. 1-4.

Таблица 2.

гп кх = 5, *2 = 20 II I—1 о ю II ю о кх = 15, к2 = 20 II ю II ю о

10 6.10373 12.0790 12.4464 12.6645

20 5.94681 11.1330 11.4583 11.6084

40 5.90245 10.8828 11.1977 11.3447

80 5.89193 10.8184 11.1308 11.2767

0.3-

0.2-

0.1-

0 -0.1- 20 40 60 о 00

-0.2-

-0.3-

Рис. 1. Прогиб стержня при кг = 5, к2 = 20

Рис. 2. Прогиб стержня при к\ = 10, к2 = 20

Рис. 3. Прогиб стержня при кг = 15, к2 = 20

Рис. 4. Прогиб стержня при к\ — 20, к2 = 20

4.2. Применим предложенный алгоритм к нахождению критической нагрузки для шарнирно опертого стержня. Стержень симметричен относительно своего среднего сечения. Переменный момент инерции поперечного сечения меняется соответственно ОТ X — 0 К X — I по закону 1{х) — (~°-3^+4)^ ? Где ^ толщина стержня.

Приведем результаты расчетов первого собственного числа при с\ — С‘2 — 0- I — 10 см, к = 0.5 см в таблице 3.

Таблица 3.

т 10 20 40 80

Ах 107.704 105.796 105.345 105.131

Далее вычислим значение первого собственного числа уравнения (7) при различных значениях С]_, с2 и при / = 10 см, /г = 0.5 см. Результаты вычислений приведем в таблице 4 и на рис.5-8.

Таблица 4.

т с\ — 50, с2 = 200 с\ — 100, с2 = 200 С1 = 150, с2 = 200 с\ — с2 — 200

10 492.299 662.528 789.602 895.317

20 453.788 591.490 691.761 773.639

40 444.425 574.640 668.533 744.627

80 442.043 570.504 662.791 737.478

к) о

Рис. 5. Прогиб стержня при с\ — 50, с2 = 200

Рис. 6. Прогиб стержня при с\ — 100, с2 = 200

Рис. 7. Прогиб стержня при с\ — 150, с2 = 200

о.-0.2--

О

•0.2-É

•О/

W

20

40

Рис. 8. Прогиб стержня при с\

5. Выводы

с2 = 200

Полученные результаты хорошо согласуются с аналитическими решениями в случае С\ — с2 — 0, а в случае с основаниями различной жесткости при плавном переходе к однородной упругой среде критическая нагрузка также плавно изменяется (см. табл. 2,4), стремясь к соответствующему аналитическому решению, что является косвенным подтверждением сходимости предложенного алгоритма.

Литература

1. Михайловский Е.И., Тулубенская Е.В. Алгоритм локального перебора вариантов в задаче об устойчивости круглой пластины на границе винклеровских сред// Механика и процессы управления: Тр. XXXVII Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С. П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра "КБ им. академика В. П. Макеева ”. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 109-116.

2. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.

3. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.564 с.

Summary

Tulubenskaya E.V., Kargin R.V. The stability of the longitudinally compressed shank with unconstant rigidity at the border of two Winkler’s ambiences

The stability of the longitudinally compressed shank with unconstant rigidity at the border of two Winkler’s ambiences is investigated. The algorithm is based on the local search variants.

Сыктывкарский университет

Поступила Ц-02.08